学案6 章末总结
一、分析圆周运动问题的基本方法
1．分析物体的运动情况，明确圆周运动的轨道平面、圆心和半径是解题的先决条件．在分析具体问题时，首先要明确其圆周轨道在怎样的一个平面内，确定圆心在何处，半径是多大，这样才能掌握做圆周运动物体的运动情况．
2．分析物体的受力情况，弄清向心力的来源是解题的关键，跟运用牛顿第二定律解直线运动问题一样，解圆周运动问题，也要先选择研究对象，然后进行受力分析，画出受力示意图，这是解题不可缺少的步骤．
3．由牛顿第二定律F＝ma列方程求解相应问题，其中F是指指向圆心方向的合外力(向心力)，a是指向心加速度，即或ω2R或用周期T来表示的形式．
例1 如图1所示，两根长度相同的轻绳(图中未画出)，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？
图1
解析 设每段绳子长为l，对球2有F2＝2mlω2
对球1有：F1－F2＝mlω2
由以上两式得：F1＝3mlω2
故＝.
答案 3∶2
针对训练 在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把这滑铁索过江简化成图2所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，AB间的距离为L＝80 m．绳索的最低点离AB间的垂直距离为H＝8 m，若把绳索看做是圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s.(取g＝10 m/s2)那么( )
图2
A．人在整个绳索上运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104 m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570 N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
答案 BC
解析 从最高点滑到最低点的过程中速度在增大，所以不可能是匀速圆周运动，故A错误；如图由几何关系：R2＝(R－h)2＋()2，L＝80 m，h＝8 m，代入解得，绳索的圆弧半径R＝104 m，故B正确；滑到最低点时，由牛顿第二定律：N－mg＝m，得N＝m(g＋)＝52×(10＋) N＝570 N，由牛顿第三定律知人对绳索的压力为570 N，故C正确；在最低点，人对绳索的压力大于重力，处于超重状态，故D错误．
二、圆周运动中的临界问题
1．临界状态：当物体从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．
2．轻绳类：轻绳拴球在竖直面内做圆周运动，过最高点时，临界速度为v＝，此时F绳＝0.
3．轻杆类：
(1)小球能过最高点的临界条件：v＝0.
(2)当0＜v＜时，F为支持力；
(3)当v＝时，F＝0；
(4)当v＞时，F为拉力．
4．汽车过拱桥：如图3所示，当压力为零时，即mg－m＝0，v＝，这个速度是汽车能正常过拱桥的临界速度．
图3
v＜是汽车安全过桥的条件．
5．摩擦力提供向心力：如图4所示，物体随着水平圆盘一起转动，汽车在水平路面上转弯，它们做圆周运动的向心力等于静摩擦力，当静摩擦力达到最大时，物体运动速度也达到最大，由fm＝m得vm＝ ，这就是物体以半径R做圆周运动的临界速度．
图4
例2 如图5所示，AB为半径为R的金属导轨(导轨厚度不计)，a、b为分别沿导轨上、下两表面做圆周运动的小球(可看作质点)，要使小球不致脱离导轨，则a、b在导轨最高点的速度va、vb应满足什么条件？
图5
解析 对a球在最高点，由牛顿第二定律得：
mag－Na＝ma ①
要使a球不脱离轨道，则Na＞0 ②
由①②得：va＜.
对b球在最高点，由牛顿第二定律得：
mbg＋Nb＝mb ③
要使b球不脱离轨道，则Nb≥0 ④
由③④得：vb≥.
答案 va＜ vb≥
三、圆周运动与平抛运动结合的问题
例3 如图6所示，一个人用一根长1 m、只能承受74 N拉力的绳子，拴着一个质量为1 kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面h＝6 m．转动中小球在最低点时绳子恰好断了．(取g＝10 m/s2)
图6
(1)绳子断时小球运动的角速度为多大？
(2)绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离是多少？
解析 (1)设绳断时角速度为ω，由牛顿第二定律得，
T－mg＝mω2L
代入数据得ω＝8 rad/s.
(2)绳断后，小球做平抛运动，其初速度v0＝ωL＝8 m/s.
由平抛运动规律有h－L＝gt2.
得t＝1 s.
水平距离x＝v0t＝8 m.
答案 (1)8 rad/s (2)8 m
1. (圆周运动与平抛运动结合的问题)如图7所示，在光滑水平面上一小球以某一速度运动到A点时遇到一段半径为R的圆弧曲线AB后，落到水平地面的C点，已知小球没有跟圆弧曲面的任何点接触，则BC的最小距离为( )
图7
A．R B.R
C.R D．(－1)R
答案 D
解析 在A点，小球开始离开圆弧曲面，只受重力，则有：
mg＝m
得：v＝
小球做平抛运动，由R＝gt2得：t＝
则平抛运动的最小水平位移为：
x＝vt＝·＝R
所以BC的最小距离为：d＝R－R＝(－1)R.故D正确，A、B、C错误．
2．(分析圆周运动问题的基本方法)如图8所示，已知绳长为L＝0.2 m，水平杆长为L′＝
0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．(g取10 m/s2)问：
图8
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？
(2)此时绳子的张力多大？
答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N
解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径R＝L′＋Lsin 45°.对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为T，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．
对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan 45°＝mω2R ①
R＝L′＋Lsin 45° ②
联立①②两式，将数值代入可得
ω≈6.44 rad/s.
F＝≈4.24 N.
3．(圆周运动中的临界问题)如图9所示，细绳的一端系着质量为M＝2 kg的小物体，静止在水平圆盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m＝0.5 kg的物体，M与圆孔的距离为0.5 m，并已知M与圆盘间的最大静摩擦力为4 N，现使此圆盘绕中心轴线转动，求角速度ω在什么范围内可使m处于静止状态．(g取10 m/s2)
图9
答案 1 rad/s≤ω≤3 rad/s
解析 当ω取较小值ω1时，M有向O点滑动趋势，此时M所受静摩擦力背离圆心O，对M有：mg－fmax＝Mωr，
代入数据得：ω1＝1 rad/s.
当ω取较大值ω2时，M有背离O点滑动趋势，此时M所受静摩擦力指向圆心O，对M有：mg＋fmax＝MωR
代入数据得：ω2＝3 rad/s.
所以角速度的取值范围是：1 rad/s≤ω≤3 rad/s.
