学案6 章末总结
一、对机械能守恒定律的理解与应用
应用机械能守恒定律解题，重在分析能量的变化，而不太关注物体运动过程的细节，这使问题的解决变得简便．
1．守恒条件：只有重力或弹力做功，系统内只发生动能和势能之间的相互转化．
2．表达式：
(1)状态式
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，理解为物体(或系统)初状态的机械能与末状态的机械能相等．
(2)变量式
①ΔEk＝－ΔEp，表示动能与势能在相互转化的过程中，系统减少(或增加)的动能等于系统增加(或减少)的势能．
②ΔEA增＝ΔEB减，适用于系统，表示由A、B组成的系统，A部分机械能的增加量与B部分机械能的减少量相等．
例1 如图1所示，物体A质量为2m，物体B质量为m，通过轻绳跨过定滑轮相连．斜面光滑，且与水平面成θ＝30°角，不计绳子和滑轮之间的摩擦．开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，A、B两物体均静止．撤去手后，求：
图1
(1)A物体将要落地时的速度多大？
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，则B物体在斜面上的最远点离地的高度多大？
解析 (1)由题知，物体A质量为2m，物体B质量为m，A、B两物体构成的整体(系统)只有重力做功，故整体的机械能守恒，得：
mAgh－mBghsin θ＝(mA＋mB)v2
将mA＝2m，mB＝m代入解得：v＝.
(2)当A物体落地后，B物体由于惯性将继续上升，此时绳子松了，对B物体而言，只有重力做功，故B物体的机械能守恒，设其上升的最远点离地高度为H，根据机械能守恒定律得：
mBv2＝mBg(H－hsin θ)
整理得：H＝h.
答案 (1) (2)h
二、功能关系的应用
利用功能关系解决物理问题是常用的解题手段，本章常见的几对功能关系如下：
1．重力做功与重力势能：
(1)表达式：WG＝－ΔEp.
(2)物理意义：重力做功是重力势能变化的原因．
(3)含义：WG＞0，表示势能减少；WG＜0，表示势能增加；WG＝0，表示势能不变．
2．弹簧弹力做功与弹性势能：
(1)表达式：W弹＝－ΔEp.
(2)物理意义：弹力做功是弹性势能变化的原因．
(3)含义：W弹＞0，表示势能减少；W弹＜0，表示势能增加；W弹＝0，表示势能不变．
3．合力做功与动能：
(1)表达式：W合＝ΔEk.
(2)物理意义：合外力做功是物体动能变化的原因．
(3)含义：W合＞0，表示动能增加；W合＜0，表示动能减少；W合＝0，表示动能不变．
4．除重力或系统弹力外其他力做功与机械能：
(1)表达式：W其他＝ΔE.
(2)物理意义：除重力或系统弹力外其他力做功是机械能变化的原因．
(3)含义：W其他＞0，表示机械能增加；W其他＜0，表示机械能减少；W其他＝0，表示机械能守恒．
例2 节日燃放礼花弹时，要先将礼花弹放入一个竖直的炮筒中，然后点燃礼花弹的发射部分，通过火药剧烈燃烧产生的高压燃气，将礼花弹由炮筒底部射向空中，若礼花弹在由炮筒底部出发至炮筒口的过程中，克服重力做功W1，克服炮筒阻力及空气阻力做功W2，高压燃气对礼花弹做功W3，则礼花弹在炮筒内运动的过程中(设礼花弹发射过程中质量不变)( )
A．礼花弹的动能变化量为W3＋W2＋W1
B．礼花弹的动能变化量为W3－W2－W1
C．礼花弹的机械能变化量为W3－W1
D．礼花弹的机械能变化量为W3－W2－W1
解析 礼花弹在炮筒内运动的过程中，重力、炮筒阻力及空气阻力做功，高压燃气对礼花弹做功，三个力做的功的和：W3－W2－W1，故A错误，B正确；除重力外其余力做的功是机械能变化的量度，故高压燃气做的功和空气阻力和炮筒阻力做的功之和等于机械能的变化量，即机械能的变化量为W3－W2，故C、D错误．
答案 B
三、能量守恒定律的应用
用能量守恒定律去分析、解决问题往往具有简便、适用范围广等优点，在学习中应增强利用能量守恒定律解题的意识，应用此规律时应注意．
1．要研究系统中有哪些力在做功，有哪些形式的能在发生转移、转化．
2．某种形式的能的减少，一定伴随着其他形式的能的增加，且增加量一定等于减少量，即ΔE增＝ΔE减．
例3 电机带动水平传送带以速度v匀速运动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图2所示．当小木块与传送带相对静止时，求：
图2
(1)小木块的位移；(2)传送带转过的路程；(3)小木块获得的动能；(4)摩擦产生的热；(5)电机带动传送带匀速转动输出的总能量．
解析 对小木块，相对滑动时，由ma＝μmg得加速度a＝μg，由v＝at得达到相对静止所用的时间t＝.
(1)小木块的位移s1＝t＝.
(2)传送带始终匀速运动，故路程s2＝vt＝.
(3)小木块获得的动能Ek＝mv2.
(4)摩擦产生的热Q＝μmg(s2－s1)＝mv2.
(注意：这儿凑巧Q＝Ek，但不是所有的问题都这样．)
(5)由能量守恒定律知，电机输出的总能量转化为小木块的动能与摩擦产生的内能，所以E总＝Ek＋Q＝mv2.
答案 (1) (2) (3)mv2 (4)mv2
(5)mv2
1．(能量守恒定律的应用)如图3所示由理想电动机带动的水平传送带匀速运动，速度大小为v，现将一小工件放到传送带左端点上．设工件初速为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v，而与传送带保持相对静止．设工件质量为m，它与传送带间的动摩擦因数为μ，左、右端点相距L，则该电动机每传送完一个工件消耗的电能为( )
图3
A．μmgL B.mv2
C．μmgL＋mv2 D．mv2
答案 D
解析 根据牛顿第二定律知道工件的加速度为μg，所以速度达到v而与传送带保持相对静止所用时间：t＝
工件的位移为，
工件相对于传送带滑动的路程大小为Δx＝vt－＝，则产生的热量：Q＝μmgΔx＝mv2
由能量守恒知，电动机每传送完一个工件消耗的电能一部分转化为一个工件的动能，另一部分产生热量，则E电＝mv2＋mv2＝mv2
故D正确．
2．(对机械能守恒定律的理解和应用)如图4所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP＝L/2，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B.求：
图4
(1)小球到达B点时的速率．
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少？
(3)若初速度变为v0′＝3，其他条件均不变，则小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？
答案 (1) (2) (3)mgL
解析 (1)小球恰能到达最高点B，则在最高点有mg＝，小球到达B点时的速率v＝ .
(2)选A点为零势能参考平面，由机械能守恒定律得：mv＝mv2＋mg(L＋)，则v0＝
(3)空气阻力是变力，设小球从A到B克服空气阻力做功为Wf，由动能定理得－mg(L＋)－Wf＝mv2－mv0′2，解得Wf＝mgL.
3．(能量守恒定律的应用)如图5所示，质量为m的长木块A静止于光滑水平面上，在其水平的上表面左端放一质量为m的滑块B，已知木块长为L，它与滑块之间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的恒力F拉滑块B.
图5
(1)当长木块A的位移为多少时，B从A的右端滑出？
(2)求上述过程中滑块与木块之间产生的内能．
答案 (1) (2)μmgL
解析 (1)设B从A的右端滑出时，A的位移为s，A、B的速度分别为vA、vB，由动能定理得
μmgs＝mv
(F－μmg)·(s＋L)＝mv
又由同时性可得
＝
可解得
s＝.
(2)由能量守恒定律知，拉力做的功等于A、B动能的增加量和A、B间产生的内能，即有
F(s＋L)＝mv＋mv＋Q
可解得Q＝μmgL.
