第28点 牛顿运动定律在临界和极值问题中的应用
在某些物理情景中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值．这类问题称为临界、极值问题．
临界极值问题是动力学的常见问题，常用的解决方法有：
(1)极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，可把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)显现出来，达到快速求解的目的．
(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界状态的线索，但在变化过程中有可能出现临界状态，也可能不出现临界状态，解答这类问题，一般用假设法．
(3)数学方法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式求解得出临界条件．
对点例题 一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，如图1所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.试求：
图1
(1)当车以加速度a1＝g向左做匀加速直线运动时1、2两绳的拉力的大小；
(2)当车以加速度a2＝2g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小．
解题指导 设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度为向左的a0，由牛顿第二定律得，F1cos 45°＝mg，F1sin 45°＝ma0，可得：a0＝g.
(1)因a1＝g
ma1，得：F11＝mg.
(2)因a2＝2g>a0，故细绳1、2均张紧，设拉力分别为F12、F22，由牛顿第二定律得
解得：F12＝mg，F22＝mg.
答案 (1)mg 0 (2)mg mg
特别提醒 求解此类问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况和运动情况，看哪些量达到了极值，然后对临界状态应用牛顿第二定律结合整体法、隔离法求解即可．
如图2所示，质量为m的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面的质量为M，斜面与物块无摩擦，地面光滑．现对斜面施加一个水平推力F，要使物块相对斜面静止，力F应为多大？(重力加速度为g)
图2
答案 (m＋M)gtan θ
解析
两物体无相对滑动，说明两物体加速度相同，且沿水平方向．先选取物块m为研究对象，求出它的加速度就是整体的加速度，再根据F＝(m＋M)a，求出推力F.物块受两个力，重力mg和支持力N，且二力合力方向水平．如图所示，可得：
ma＝mgtan θ，即a＝gtan θ
以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得
F＝(m＋M)a＝(m＋M)gtan θ第5点 应用a＝计算加速度的注意事项
1．公式a＝中v0表示物体的初速度，vt表示物体的末速度，应用时不能将两者颠倒．
2．公式a＝是矢量式，速度、速度的变化量、加速度皆为矢量．应用时要先规定好正方向，v0、vt的方向与规定的正方向相同时取正值，相反时取负值．
3．加速度a的正负由计算结果来确定．计算结果是正数则说明a的方向与规定的正方向相同；是负数则说明a的方向与规定的正方向相反．
对点例题 一只足球以10 m/s的速度沿正东方向运动，运动员飞起一脚，足球以20 m/s的速度向正西方向飞去，运动员与足球的作用时间为0.1 s，求足球获得的加速度的大小和方向．
解题指导 对于足球，初、末速度方向相反，求解时应先确定正方向．
规定正东为正方向，则
v0＝10 m/s，vt＝－ 20 m/s
由a＝，得a＝ m/s2＝－300 m/s2，
“－”表示加速度的方向向西．
答案 300 m/s2 方向向西
一子弹击中木板的速度是600 m/s，历时0.05 s穿出木板，穿出木板时的速度为300 m/s，则子弹穿过木板时的加速度大小为多少，加速度的方向如何？
答案 6×103 m/s2 与子弹的运动方向相反
解析 a＝＝ m/s2＝－6×103 m/s2
负号说明加速度方向与子弹的运动方向相反．第18点 静摩擦力有无及方向的判断方法
1．条件判断法
(1)根据摩擦力的产生条件(即：①物体间接触且挤压；②接触面粗糙；③物体间有相对运动趋势)判断摩擦力的有无．
(2)根据“摩擦力的方向沿着接触面与相对运动或相对运动趋势的方向相反”判断摩擦力的方向．
2．用假设法判断
假设法，就是假设接触面光滑，看物体是否会发生相对运动．若发生相对运动，则说明物体原来的静止是具有相对运动趋势的静止，且假设接触面光滑后物体发生的相对运动方向即为物体相对运动趋势的方向，从而确定静摩擦力的方向．
3．用平衡条件判断
有时物体间的相对运动趋势不明显，用假设法也不易判断，但如果物体处于平衡状态，则可由物体的平衡条件来判断是否受静摩擦力及所受静摩擦力的方向．
4．相互作用判断法
若甲对乙有摩擦力，则乙对甲也有摩擦力，并且甲、乙所受摩擦力的方向相反．
对点例题 判断下列图中物体A是否受静摩擦力作用(A和B相对静止)；若受，判断物体A受的静摩擦力沿什么方向？
解题指导 甲图所示情况物体A处于平衡状态，假设物体A受静摩擦力作用，根据二力平衡知识可知，物体A的平衡状态被破坏，因此假设是错误的，故在甲图情况下物体A不受静摩擦力．乙图所示情况下物体A也处于平衡状态，由于物体A受向右的力F的作用，由二力平衡知物体A一定受向左的静摩擦力作用．丙图所示情况，用力F拉水平地面上的物体B，物体B及其上面的物体A保持相对静止做匀速直线运动，假设物体A受静摩擦力作用，根据二力平衡知识可知，物体A的平衡状态被破坏，因此假设是错误的，物体A不受静摩擦力．丁图所示情况，由于物体A做匀速直线运动，说明物体A在水平方向上受力平衡，根据二力平衡知识可知，物体A在水平方向上一定受到静摩擦力的作用，静摩擦力的方向与运动方向相反．
答案 见解题指导
技巧点拨 1.判断静摩擦力方向可用假设法，也可用平衡条件法，也可先判定相对运动趋势的方向，再判定静摩擦力的方向．
2．隔离法的应用：本题解析中我们一直以物体A为研究对象，分析物体A受周围物体(本题只有物体B)对它的作用力的情况而不考虑其他物体(本题中的地面)，这种研究问题的方法就是隔离法，是研究由多个物体组成系统的问题中，分析其中一个物体受力的基本方法．
1．有三个相同的物体叠放在一起，置于粗糙水平地面上，物体之间不光滑，如图1所示．现用一水平力F作用在乙物体上，甲、乙、丙三个物体仍保持静止，下列说法正确的是( )
图1
A．丙受到地面的摩擦力大小为F，方向水平向左
B．甲受到水平向右的摩擦力作用
C．乙对丙的摩擦力大小为F，方向水平向右
D．丙对乙的摩擦力大小为F，方向水平向右
答案 AC
解析 甲、乙、丙均处于静止状态，确定丙与地面间的摩擦力可采用整体法．研究甲、乙、丙的受力情况时，需要将它们隔离开进行分析．
对于选项A，以甲、乙、丙三者整体为研究对象，此整体在水平方向上受平衡力的作用，因此丙受到地面的摩擦力大小等于拉力F，方向水平向左，选项A正确；对于选项B，以甲为研究对象，甲不受摩擦力，选项B错误；对于选项C、D，乙对丙的摩擦力与丙对乙的摩擦力大小相等、方向相反，乙对丙摩擦力的大小等于F、方向水平向右，故选项C正确，选项D错误．
2．如图2所示，主动轮A通过皮带带动从动轮B按图示方向匀速运动，则( )
图2
A．物体m受到的摩擦力方向向右
B．物体m受到的摩擦力为零
C．主动轮上P点所受摩擦力方向向上
D．从动轮上Q点所受摩擦力方向向下
答案 BC
解析 由于物体随皮带一起匀速运动，所以物体m没有相对皮带运动的趋势．因此物体m不受摩擦力的作用，选项A错误，B正确；假设皮带光滑，主动轮上P点相对于皮带向下运动，所以P点所受摩擦力方向向上，选项C正确；从动轮B之所以运动，是因为受到摩擦力的作用，所以从动轮上Q点受到的摩擦力方向向上，选项D错误．因此正确选项为B、C.第19点 摩擦力分析中的六大误区
在摩擦力问题中，由于对摩擦力产生的原因不明确，对摩擦力的大小和方向理解不深刻或者不区分静摩擦力和滑动摩擦力，会造成很多思维误区．
1．认为摩擦力的方向与物体的运动方向一定在同一直线上常见的多数摩擦力方向与物体运动方向在同一直线上，但不是所有的摩擦力均如此．如图1所示，手握瓶子水平移动瓶子的过程中，摩擦力的方向竖直向上，与运动方向垂直．故两物体间摩擦力的方向应正确理解为“与两物体接触面相切，和物体间‘相对运动’或‘相对运动趋势’的方向相反，与物体的运动方向无关”．
图1
2．认为摩擦力的大小一定与压力成正比若摩擦力是滑动摩擦力，根据f＝μN，两物体间的滑动摩擦力确实与压力成正比．但对静摩擦力而言，它是一个被动力，随着使物体产生“运动趋势”的外力的变化而变化，与压力大小无关，压力大小只能影响最大静摩擦力的大小．如图2所示，用一力F将质量为m的物体压在竖直的墙壁上，不管压力F怎么变化，物体与墙壁之间的静摩擦力大小总是mg，与压力大小无关．故在计算摩擦力时，应先分清是滑动摩擦力还是静摩擦力．
图2
3．认为摩擦力一定是阻力
摩擦力总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势，而不一定阻碍物体的运动，例如皮带传送机上的货物、站在启动的火车上的人受到的摩擦力都是动力，同时它阻碍了货物相对皮带、人相对车厢的滑动．
4．认为静止的物体只能受到静摩擦力，运动的物体只能受到滑动摩擦力
物体受的是静摩擦力还是滑动摩擦力，取决于它和与它接触的物体间是相对静止还是相对运动，而与它自身的运动与否无关．例如随列车加速运动的车上的货物，虽是运动的，但受到的是静摩擦力．
5．在利用公式f＝μN时，易将N当成重力大小
正压力N和重力是本质不同的两个力，N可以大于、等于或小于重力，N的大小由物体受到的其他力和物体的运动状态决定．例如自由放在斜面上的物体，N是小于重力的；而在加速上升电梯中的物体，N是大于重力的．
6．没有认识到静摩擦力有一最大值
最大静摩擦力(fmax)是指物体与接触面间静摩擦力的最大值，所以静摩擦力的取值范围是0≤f≤fmax.
(1)静摩擦力大小与正压力无关，但最大静摩擦力大小与正压力成正比，即fmax＝μ0N，其中μ0为最大静摩擦因数，它取决于接触面的材料和接触面的粗糙程度．
(2)最大静摩擦力一般比滑动摩擦力大些，μ0N>μN.但有时可认为二者是相等的，即μ0N＝μN.
对点例题 下列关于摩擦力的说法，正确的是( )
A．相对运动的两物体间一定存在摩擦力
B．摩擦力总是阻碍物体的运动
C．运动物体受到的摩擦力的方向总是与运动方向相反
D．相对静止的两个物体之间，也可能有摩擦力的相互作用
解题指导 摩擦力产生的条件是：两个物体接触且有弹力的相互作用，接触面粗糙，有相对运动(或相对运动趋势)，三者缺一不可，故选项A错误；相对静止的两个物体间，可能有静摩擦力的相互作用，故选项D正确；摩擦力的方向总是与相对运动(或相对运动趋势)的方向相反，所以，摩擦力的方向不一定与物体的运动方向相反，也不一定总是阻力，故选项B、C错误．
答案 D
如图3所示，质量为m的木块在水平桌面上的木板上表面滑行，木板静止，它的质量为M＝3m，木板与木块、木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，则木板受桌面的摩擦力大小为( )
图3
A．μmg B．2μmg
C．3μmg D．4μmg
答案 A
解析 木块向左滑动，木板相对于木块向右滑动，木板受到木块向左的滑动摩擦力大小f1＝μmg，因为木板静止，根据二力平衡条件，木板受到地面的静摩擦力方向向右，大小f＝f1＝μmg，故选项A正确．第21点 “二力平衡”在合成与分解中的应用
当一个物体受到大小相等、方向相反且作用在一条直线上的两个力作用时，物体处于静止状态或匀速直线运动状态，此时我们称为二力平衡．根据力的分解，若将其中一个力分解为两个或若干个力，那么，这两个或若干个力的合力就与原来的另一个力大小相等、方向相反且作用在一条直线上．同理，我们可以得出这样的结论：当物体受到n个力处于静止状态或匀速直线运动状态时，其中任意m个力的合力与另外n－m个力的合力大小相等、方向相反且作用在同一直线上．
对点例题 一个物体受到同一平面的几个共点力作用处于静止状态，若将其中水平向右的力F大小不变而将其方向逆时针转过，其余的力不变，则此时物体所受的合力的大小为( )
A.F B．2F
C.F D．F
解题指导 由题意可知，F与另外所有力的合力等大、反向，所以F大小不变，逆时针转过后，与另外所有力的合力应垂直，则此时物体受到的合力为F，故C选项正确．
答案 C
技巧点评 当物体受到多个力作用平衡时，可把多力平衡问题等效为“二力平衡”问题，应用此法可使思路清晰．
1．如图1所示，一物块在拉力T作用下沿水平方向做匀速运动．则拉力T与摩擦力f的合力的方向为( )
图1
A．可能向上偏右 B．可能向上偏左
C．一定竖直向上 D．无法判定
答案 C
解析 物体做匀速运动，则拉力T与摩擦力f的合力和重力与支持力的合力大小相等、方向相反，所以拉力T与摩擦力f的合力方向一定竖直向上．正确答案为C项．
2．已知物体受到F1、F2、F3三个力作用处于平衡状态，如图2所示．其中F1沿y轴正方向，大小恒定且已知，F2与x轴负方向的夹角为α，求F3的最小值和此时的方向．
图2
答案 F1cos α，方向垂直于F2，与y轴负方向夹角为α.
解析 根据平衡条件可知，F3与F1、F2的合力大小相等、方向相反．所以首先应求F1、F2合力的大小和方向，根据本题的特点(F2的方向确定，大小不确定)，可将F1分解在沿F2的作用线的方向上和垂直于F2作用线的方向上，如图所示．当沿F2作用线方向上合力为零(即F2＝F1sin α)时F1、F2合力最小，大小等于F1cos α，方向与F1的夹角为α.所以F3的最小值为F1cos α，方向垂直于F2，与y轴负方向夹角为α.第16点 弹力方向面面观
弹力的方向与物体形变的方向相反，作用在迫使物体发生形变的那个物体上，具体有下表所列的几种情况：
类型 方向 图示
接触方式 面与面 垂直接触面指向受力物体
点与面 过接触点垂直于接触面的切面指向受力物体
点与点 垂直于接触点的切面指向受力物体
轻绳 沿绳子指向绳子收缩的方向(同一根轻绳上拉力处处相等)
轻杆 可沿杆
可不沿杆(常根据二力平衡知识判断)
轻弹簧 指向弹簧恢复形变的方向
对点例题 请在图1中画出杆或球所受的弹力．
图1
甲图：杆靠在墙上．
乙图：杆一端放在地面上，另一端靠在固定的半球面上．
丙图：球用细线悬挂在竖直墙上．
丁图：点1、2、3都可能是球的重心位置，点2是球心，点1、2、3在同一竖直线上．
解题指导 甲图：杆在重力作用下对A、B两处都产生挤压作用，故A、B两处对杆都有弹力，弹力方向与接触点的平面垂直．如图甲所示．
乙图：杆对C、D两处都有挤压作用，因C处为曲面，所以C处弹力方向过圆心且垂直于杆向上；杆的D端与地面接触，弹力方向垂直于地面向上．如图乙所示．
丙图：球挤压墙壁且拉紧绳子，所以墙对球的弹力与墙面垂直；绳子对球的弹力沿绳子向上．如图丙所示．
丁图：当重心不在球心时，弹力作用也必通过球心O，如图丁所示．应注意不要错误地认为弹力作用线必定通过球的重心．
答案 见解题指导图
易错辨析 易错的是丁图，错因是认为弹力的作用线必过重心．实际上“点”和“球面”接触处的弹力，方向垂直于过该点的切面，沿该点和球心的连线，即过球心，与重心的位置无关．
画出图2中物体A所受的弹力的方向．(图中A均处于静止状态)
图2
答案 第20点 静摩擦力的被动性
对于物体间是否存在摩擦力，是静摩擦力还是滑动摩擦力，它的大小和方向怎样，不少同学模糊不清．究其原因，主要是对摩擦力的“被动性”不理解，甚至形成错误的认识．
1．方向的被动性：静摩擦力的方向与物体受主动力的方向、运动状态有关．
2．大小的被动性：静摩擦力的大小与物体受主动力的大小、运动状态有关．
对点例题 如图1所示，一木块放在水平桌面上，在水平方向上共受到三个力，即F1、F2和摩擦力作用，木块处于静止状态，其中F1＝10 N、F2＝2 N，若撤去F1，则木块在水平方向受到的合力为( )
图1
A．10 N，方向向左 B．6 N，方向向右
C．2 N，方向向左 D．零
解题指导 F1没有撤去时，木块所受合力为零，此时静摩擦力大小为8 N，方向向左．撤去F1以后，木块在F2作用下不可能沿水平方向发生运动状态的改变，木块仍保持静止，此时地面对木块的静摩擦力的大小为2 N，方向向右，木块所受的合力仍为零，选项D正确．
答案 D
规律总结 静摩擦力是被动力，没有自己独立的方向和大小，要视物体受到的主动力和运动状态而定．
如图2所示，表面粗糙的固定斜面顶端安有定滑轮，两物体P、Q用轻绳连接并跨过定滑轮(不计定滑轮的质量和摩擦)．P悬于空中，Q放在斜面上，且均处于静止状态，则( )
图2
A．Q受到的静摩擦力的方向一定向下
B．Q受到的静摩擦力的方向可能向上
C．Q受到的静摩擦力可能为零
D．Q受到的静摩擦力不可能为零
答案 BC
解析 设斜面倾角为θ，对Q进行受力分析，将重力G进行正交分解，沿斜面方向：Gx＝mgsin θ；垂直斜面方向：Gy＝mgcos θ.(1)当mgsin θ＞T时，静摩擦力沿斜面向上；(2)当mgsin θ＝T时，静摩擦力为零；(3)当mgsin θ＜T时，静摩擦力沿斜面向下，故选项B、C正确．第3点 正确区分几种速度
速度是描述物体运动快慢的物理量，是运动学的核心概念．根据分析问题的角度不同，又有瞬时速度、瞬时速率、平均速度、平均速率的区别，下面比较四个概念的关系．
1．平均速度
(1)定义：运动物体通过的位移与产生这段位移所用的时间的比值，叫做这段时间(或这段位移)的平均速度．
(2)公式：＝(s表示位移，t表示发生该段位移所用的时间)．
(3)平均速度是矢量，方向与位移方向相同．
注意：①平均速度粗略地反映了物体运动的快慢程度和方向．②物体做变速运动时，在不同阶段的平均速度一般不同，所以求平均速度时，首先搞清求哪段时间或哪段位移的平均速度．
2．瞬时速度
(1)定义：运动物体在某一时刻(或通过某一位置)的速度．
(2)公式：v＝(t→0)
(3)瞬时速度是矢量，瞬时速度的方向就是运动物体当前的运动方向．
注意：①瞬时速度是精确描述物体运动快慢和方向的物理量．②在s－t图像中，某时刻的速度等于此时刻所对应的图线的斜率．③匀速直线运动是各个时刻的瞬时速度都相同的运动．
3．瞬时速率：瞬时速度的大小．
4．平均速率
(1)定义：运动物体通过的路程与产生这段路程所用时间的比值．
(2)公式：＝(L表示路程)
(3)平均速率是标量．
注意：平均速率并不是指平均速度的大小．
对点例题 某人爬山，从山脚爬上山顶，然后又沿原路返回到山脚，上山的平均速度为v1，下山的平均速度为v2，则往返的平均速度的大小和平均速率是( )
A.， B.，
C．0， D．0，
解题指导 由于此人爬山往返一次，因此位移s＝0，平均速度＝＝＝0.路程为山脚到山顶距离的2倍，设单程为L，则平均速率为＝＝＝，所以D正确．
答案 D
技巧点拨 解平均速度类问题的关键是弄清楚所求平均速度与哪一段位移和哪一段时间相对应．在变速运动中，不同时间段的平均速度一般不同．解题的方法是先设出未知量，最后再消去．
物体沿直线做单方向的运动，途经直线上的A、B、C三点，经过这三点时的速度分别为vA、vB、vC，则下列说法正确的是( )
A．vA、vB、vC越大，则由A到C所用的时间越短
B．经过A、B、C三点时的瞬时速率就是vA、vB、vC
C．由A到C这一阶段的平均速度为＝
D．由A到C这一阶段的平均速度越大，则由A到C所用的时间越短
答案 D
解析 由A到C所用的时间的长短是由平均速度的大小决定的，而不是由瞬时速度决定，故A选项错误，D选项正确．瞬时速率是标量，B选项混淆了瞬时速度与瞬时速率的概念；A到C的平均速度与vA、vB、vC没有必然联系，故C选项错误．第23点 “形同质异”的两个问题
我们知道杆既可以发生拉伸或压缩形变也可以发生弯曲或扭转形变，因此杆的弹力不一定沿杆的方向．对于杆与铰链连接的结构，杆产生的弹力必定沿杆方向时，杆才能平衡；对于杆的一端固定(即杆不能绕杆上一点转动)时，杆平衡时，杆产生的弹力不一定沿杆，现在通过下面两个“形同质异”的问题来了解一下．
对点例题1 水平横梁一端插在墙壁内，另一端装小滑轮B，轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图1所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 N/kg)( )
图1
A．50 N B．50 N
C．100 N D．100 N
解题指导 以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力是T＝mg＝100 N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是100 N，由题意可知，∠CBD＝120°，故F合＝100 N.
答案 C
对点例题2 如图2所示，质量为m＝10 kg的物体用细绳BD悬挂在支架上的B点，轻杆AB可绕A点转动，达到平衡状态时，CB与水平方向的夹角为30°，则AB轻杆受力的大小为( )
图2
A．50 N B．50 N
C．100 N D．100 N
解题指导 绳BD的拉力大小等于100 N，将这个拉力大小沿杆AB和绳CB的方向分解，如图所示，即可得FAB＝＝100 N.
答案 D
如图3所示，不计重力的带有光滑滑轮的细杆OB可绕O点在竖直平面内自由转动，绳的一端跨过滑轮挂一重物P，另一端拴在墙壁上的A点，杆处于平衡状态．绳的拉力为T，杆受到的压力为N，杆与竖直方向夹角为θ，若A点沿墙面上移，当杆重新平衡时，有( )
图3
A．T变大 B．θ变大
C．N变小 D．T变小
答案 BC
解析 对杆的B端进行受力分析，如图所示．由图可知，细线拉力T＝mg，所以T不变．而OB杆受到的压力N是竖直绳和斜绳拉力的合力，沿杆的方向．由于A点上移，所以两个分力夹角增大，因此合力N变小．又轻杆和
墙的夹角等于两个分力夹角的一半，当A点上移时，两分力夹角增大，所以θ也增大．故选项B、C正确．第26点 分清“视重”与“实重”，理解“超重”与“失重”
“实重”是指物体实际的重力，它不因物体的运动状态而改变；“视重”是指物体对弹簧测力计的拉力或对台秤的压力，它与物体的运动状态有关．视重大于实重的现象叫做超重现象，而视重小于实重的现象叫做失重现象．对超重与失重的理解应把握以下三点：
1．物体处于超重和失重状态时，物体的重力始终存在，大小不变．
2．发生超重或失重现象只取决于加速度的方向，与物体的速度方向和大小均无关．
物体处于超重状态时，物体的加速度一定有竖直向上的分量；物体处于失重状态时，物体的加速度一定有竖直向下的分量．
3．在完全失重状态下，平时一切由重力产生的物理现象都将完全消失，比如物体对支持它的物体无压力、摆钟停止摆动、浸在水中的物体不再受浮力、液体柱不再产生向下的压强等．靠重力才能使用的仪器将失效，也不能再使用(如天平、液体气压计等)．
对点例题 如图1所示，在一升降机中，物体A置于斜面上，当升降机处于静止状态时，物体A恰好静止不动，若升降机以加速度g竖直向下做匀加速直线运动时，以下关于物体受力的说法中正确的是( )
图1
A．物体仍然相对斜面静止，物体所受的各个力均不变
B．因物体处于失重状态，所以物体不受任何力作用
C．因物体处于失重状态，所以物体所受重力变为零，其他力不变
D．物体处于失重状态，物体除了受到的重力不变以外，不受其他力的作用
解题指导 当物体与升降机一起以加速度g向下做匀加速直线运动时，物体处于完全失重状态，其视重为零，因而斜面对其的作用力亦为零；处于完全失重状态的物体，地球对它的引力即重力依然存在．
答案 D
技巧点拨 超重和失重现象是由物体加速运动引起的，与加速度的方向有关，由加速度的方向唯一确定，而与物体运动方向无关，不要被物体的运动方向所迷惑．此外一个恒定的加速度可以对应多种不同的运动形式，应注意考虑周全．
1．如图2所示，A为电磁铁，C为胶木秤盘，电磁铁A和秤盘C(包括支架)的总质量为M，B为铁片，质量为m，整个装置用轻绳悬挂于O点．当电磁铁通电，铁片被吸引加速上升的过程中，轻绳中拉力T的大小为( )
图2
A．T＝mg B．MgC．T＝(M＋m)g D．T>(M＋m)g
答案 D
解析 以A、B、C组成的系统为研究对象，A、C静止，铁片B由静止被吸引加速上升，则系统的重心加速上升，系统处于超重状态，故轻绳的拉力为T>(M＋m)g.应选D.
2．关于超重与失重的说法正确的是( )
A．游泳运动员仰卧在水面静止不动时，处于失重状态
B．在超重现象中，物体的重力是增大的
C．处于完全失重状态的物体，其重力一定为零
D．如果物体处于失重状态，它必然有竖直向下的加速度
答案 D
解析 失重是指弹力小于重力，合力竖直向下的情形，即加速度方向向下，故D正确；运动员处于静止状态，合力为零，既不失重，也不超重，A错误；不管是超重还是失重，物体的重力是不变的，B、C错误．第6点 使用打点计时器的九大注意
1．打点计时器使用的电源是交流电源，电磁打点计时器的电压是4～6 V，电火花计时器的电压是220 V.
2．打点计时器在纸带上应打出轻重合适的小圆点，如遇到打出的是短线、重复点或点迹不清晰，应调整振针距复写纸的高度，使之适当．
3．复写纸不要装反，每打完一条纸带，应调整一下复写纸的位置，若点迹不够清晰，应考虑更换复写纸．
4．纸带应平顺，减小摩擦阻力，从而起到减小误差的作用．
5．使用打点计时器，先将打点计时器固定在实验台上，接通电源，待打点计时器稳定后再放开纸带．
6．使用电火花计时器时，墨粉纸套在纸盘轴上，把纸带穿过限位孔；使用电磁打点计时器时，应让纸带通过限位孔，压在复写纸下面．
7．处理纸带数据时，密集点的位移差值测量起来误差大，应舍去；一般以每五个点(或每隔四个点)取一个计数点．
8．描点作图时，应把尽量多的点连在一条直线(或平滑曲线)上，不能连在线上的点应分居在线的两侧，误差过大的点可以舍去．
9．打点计时器不能长时间连续工作．每打完一条纸带后，应立即切断电源．待安装好纸带后，再次接通电源并进行实验．因打点计时器是按间歇工作设计的，故长期工作可能会因线圈发热而损坏．
对点例题 在使用电磁打点计时器时，若纸带上出现了下列情况，是什么原因形成的？并提出调节的方法．
(1)打点不清晰或不打点；(2)打出的是短线而不是点；(3)打双点．
解题指导 所发生的现象、形成的原因和调节的方法如下表：
现象 原因 调节的方法
打点不清晰或不打点 1.振针过高2．电压过低3．复写纸用得太久 1.把振针适当调低2．调高电压3．换新的复写纸
打出的是短线而不是点 1.振针过低2．所加电压太高，使振幅过大 1.把振针适当调高一些2．适当调低电压
打双点 振针松动 把振针固定
答案 见解题指导
1．电磁打点计时器是一种使用________电源的计时器，它的工作电压是________，当电源频率是50 Hz时，它每隔______打一次点．使用打点计时器时，纸带应穿过________，复写纸应套在________上，并要放在纸带的________面；应把________电源用导线接在______上；打点时应先________，再让纸带运动．
答案 交流 4～6 V 0.02 s 限位孔 定位轴 上 低压交流 接线柱 接通电源
解析 电磁打点计时器是一种测量时间的仪器，使用4～6 V的低压交流电源，它每隔一个周期打一个点，因此纸带上两个点之间的时间间隔为交流电的周期．使用打点计时器时，纸带应穿过限位孔，复写纸套在定位轴上，并放在纸带的上面，打点时要先接通电源再让纸带运动．
2．某学生在利用打点计时器测量匀变速直线运动的加速度实验时，开始时的装置如图1所示，其中有错误与不妥之处，请把它找出来．
图1
答案 见解析
解析 电磁打点计时器必须接低压交流电源，而题图中所接为直流电源，这是第一个错误；开始时小车离定滑轮端太近，向前运动的距离太小，致使纸带上打下的点过少，使实验无法正常进行，应让小车紧靠电磁打点计时器，这是第二个错误．第25点 “八大特性”诠释牛顿第二定律
牛顿第二定律是描述力的作用效果的，在应用过程中要特别注意它的特性．
1．模型性．牛顿第二定律的研究对象只能是质点模型或看成质点模型的物体．
2．因果性．力是产生加速度的原因，质量是物体惯性大小的惟一量度，物体的加速度是力这一外因和质量这一内因共同作用的结果．
3．矢量性．加速度和合力都是矢量，它们的方向始终相同，加速度的方向由合力的方向惟一决定．
4．瞬时性．物体的加速度跟它所受到的合力之间存在着瞬时对应关系，加速度随合力同时产生、变化和消失．
5．相对性．定律中的加速度是以地面或相对于地面静止或匀速直线运动的物体为参考系所量度的，即定律仅在惯性系中成立．
6．统一性．牛顿第二定律是实验定律，通过实验得出F∝ma，写成等式为F＝kma，其中k为比例系数．为了使k＝1，力、质量和加速度的单位必须统一使用国际单位制中的单位．
7．独立性．物体受到多个力的作用时，每个力都独立地产生一个加速度，且力和加速度之间仍遵循牛顿第二定律，就好像其他力不存在一样．
8．局限性．牛顿第二定律只能解决物体的低速运动问题，不能解决物体的高速运动问题，只适用于宏观物体，不适用于微观粒子．
对点例题 质量为2 kg的质点同时受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，其中F1＝3 N、F2＝4 N，求质点的加速度大小和方向．
解题指导 方法一：以质点为研究对象，其受力情况如图所示，根据平行四边形定则求出F1、F2的合力F＝＝ N＝5 N
设F的方向与F2成α角，如图
tan α＝＝，α＝37°
由牛顿第二定律得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
加速度方向与合力方向相同，即与F2成37°角斜向上．
方法二：利用力的独立性原理
如方法一中图，a1＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，a2＝＝ m/s2＝2 m/s2，tan α＝＝＝，α＝37°
所以a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，方向与F2成37°角斜向上．
答案 2.5 m/s2，方向与F2成37°角斜向上
力F作用于质量为m1的甲物体时产生的加速度为a1，此力作用于质量为m2的乙物体时产生的加速度为a2，若将甲、乙两个物体合在一起，仍受此力的作用，产生的加速度是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 力F作用于甲时，F＝m1a1①
力F作用于乙时，F＝m2a2②
力F作用于甲、乙整体时，F＝(m1＋m2)a3③
联立①②③得a3＝，故选项C正确．第27点 动力学两类基本问题与牛顿运动定律
动力学两类基本问题是指已知物体的受力情况求其运动情况和已知物体的运动情况求其受力情况，解决这两类基本问题的思路方法示意图如下：
其中受力分析是基础，牛顿第二定律和运动学公式是工具，加速度是连接力和运动的桥梁．下面对两类基本问题的处理思路和步骤作具体说明．
对点例题 某一旅游景区，建有一山坡滑草运动项目，该山坡可看成倾角θ＝30°、长L＝72 m的斜面．一名游客连同滑草装置总质量m＝80 kg，他从静止开始匀加速下滑，在时间t＝5 s内沿斜面滑下的位移s＝50 m．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2，结果保留两位有效数字)问：
(1)滑草装置与草皮之间的动摩擦因数μ为多大？
(2)若滑草装置与水平地面间的动摩擦因数为0.8，则人在山坡上滑下后还能在水平地面上滑多远？
解题指导 (1)由位移公式s＝a1t2得
a1＝＝ m/s2＝4 m/s2
则沿斜面方向，由牛顿第二定律得mgsin θ－μN＝ma1
垂直斜面方向上N＝mgcos θ
联立以上两式并代入数据，得μ＝≈0.12
(2)设到达坡底的速度为v，则有v2＝2a1L
在水平面上的加速度为a2，且a2＝μ′g＝8 m/s2
在水平面上做匀减速直线运动，设速度减到0时水平位移为s1
则有0－v2＝－2a2s1
联立以上三式并代入数据得s1＝36 m
答案 (1)0.12 (2)36 m
特别提醒 无论遇到动力学的哪类问题，要时刻记住，加速度是连接力和运动的桥梁．
1．在水平地面上有一质量为10 kg的物体，在水平拉力F的作用下由静止开始运动，10 s后拉力大小减为，方向不变，再经过20 s停止运动．该物体的速度与时间的关系如图1所示(g＝10 m/s2)．求：
图1
(1)整个过程中物体的位移大小；
(2)物体与地面的动摩擦因数．
答案 (1)150 m (2)0.1
解析 (1)整个过程的位移的大小等于v－t图像中三角形的面积，即s＝×10×30 m＝150 m
(2)由图像知前10 s的加速度a1＝1 m/s2
后20 s的加速度数值为a2＝0.5 m/s2
由牛顿第二定律得F－μmg＝ma1
μmg－＝ma2
解以上两方程得μ＝0.1
2．一木箱装货物后质量为50 kg，木箱与地面间的动摩擦因数为0.2，某人以200 N斜向下的力推箱，推力的方向与水平面成30°角，g取10 m/s2.求：
(1)木箱的加速度大小；(2)第2 s末木箱的速度大小．
答案 (1)1.06 m/s2 (2)2.12 m/s
解析 取木箱为研究对象，木箱受力情况如图所示，其中F为推力，mg为重力，N为支持力，f为滑动摩擦力．建立直角坐标系xOy，并取加速度a的方向为x轴的正方向．
(1)将推力F沿x轴和y轴两个方向进行分解得
Fx＝Fcos 30°，Fy＝Fsin 30°
根据牛顿第二定律有
Fx合＝Fx－f＝ma，
Fy合＝N－Fsin 30°－mg＝0
又有f＝μN，联立解得a＝
代入数据得a≈1.06 m/s2.
(2)第2 s末速度为v2＝at＝1.06×2 m/s＝2.12 m/s.第13点 纸带问题中信息的获取和处理
利用打点计时器打出的纸带，不但可以定性分析物体的运动情况，而且可以定量分析物体运动的时间、位移、速度和加速度．
1．时间t：打点计时器(所用电源频率为50 Hz)的打点周期为0.02 s，根据所打计时点的个数，即可求得物体运动的时间．
2．位移s：指两个计数点之间的距离，一般可用刻度尺测量得到．
3．物体的运动情况判断：常用“位移差”法判断物体的运动情况，即纸带上的任意两计数点间的距离是否满足关系式sn＋1－sn＝aT2.设相邻点之间的位移分别为s1、s2、s3、…
(1)若s2－s1＝s3－s2＝s4－s3＝0，则物体做匀速直线运动．
(2)若s2－s1＝s3－s2＝s4－s3＝Δs≠0，则物体做匀变速直线运动．
4．瞬时速度v：求某一计数点(或计时点)的瞬时速度v，一般利用“平均速度”法，即vn＝，或由匀变速直线运动规律：中间时刻的瞬时速度等于相邻两时刻的速度的平均值，即vn＝.
5．加速度一般有两种求法：
(1)利用“逐差法”求加速度，若为偶数段，假设为6段，则a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即＝，或由a＝直接求得；若为奇数段，则中间段往往不用，假设为5段，则不用第3段，即a1＝，a2＝，然后取平均值，即＝或由a＝直接求得．这样，所给的数据充分得到了利用，提高了准确度．
(2)先求出第n点时纸带的瞬时速度vn＝(一般要5点以上)，然后作出v－t图像，用v－t图像的斜率求物体运动的加速度．
对点例题 在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时器所用电源的频率为50 Hz，如图1所示为小车带动的纸带上记录的一些点，在每相邻的两点之间都有四个点未画出．按时间顺序取0、1、2、3、4、5六个点，用米尺量出1、2、3、4、5点到0点的距离如图所示．试求：
图1
(1)小车做什么运动？
(2)当打第3个计数点时，小车的速度为多少？
(3)若小车做匀变速直线运动，小车的加速度为多少？
解题指导 (1)因为电源频率为50 Hz，则打点周期T′＝＝0.02 s，每相邻两个点之间有四个计数点未画出，所以得到相邻计数点间的时间间隔为T＝5T′＝0.1 s.
设相邻计数点之间的位移间隔分别为s1、s2、s3、s4、s5，由题图可得相邻计数点间的位移分别为：s1＝8.78 cm；s2＝7.30 cm；s3＝5.79 cm；s4＝4.29 cm；s5＝2.78 cm.
所以相邻两计数点间的位移差分别为：Δs1＝s2－s1＝－1.48 cm；同理，Δs2＝－1.51 cm；Δs3＝－1.50 cm；Δs4＝－1.51 cm.
在误差允许的范围内，可近似认为Δs1＝Δs2＝Δs3＝Δs4，即连续相等的时间内的位移差相等，所以小车做匀减速直线运动．
(2)根据匀变速直线运动的规律可得v3＝＝ m/s＝0.504 0 m/s.
(3)解法一：利用“逐差法”
a1＝＝ m/s2≈－1.497 m/s2
a2＝＝ m/s2≈－1.507 m/s2
＝＝ m/s2＝－1.502 m/s2
负号表示加速度方向与初速度方向相反．
也可用a＝求得．
解法二：利用图像法
v1＝＝ m/s＝0.804 0 m/s
同理v2＝0.654 5 m/s，v3＝0.504 0 m/s，v4＝0.353 5 m/s
由v1＝得
v0＝2v1－v2＝(2×0.804 0－0.654 5) m/s＝0.953 5 m/s
同理得
v5＝0.203 0 m/s
作出v－t图像如图所示，求出斜率即为加速度的值．
故a＝－1.502 m/s2
答案 见解题指导
特别提醒 在处理纸带问题时，一定要区分计时点和计数点．计时点是指打点计时器所打的实际点；计数点是指为处理数据方便而在计时点中选定的点，一般是每五个点或每隔四个点选定一个计数点，这样使计数点间时间间隔为0.1 s，便于计算．
某同学用打点计时器测量做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率f＝50 Hz，在纸带上打出的点中，选出零
点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如图2所示，A、B、C、D是依次排列的4个计数点，仅能读出其中3个计数点到零点的距离：sA＝16.6 mm、sB＝126.5 mm、sD＝624.5 mm.
图2
若无法再做实验，可由以上信息推知：
(1)相邻两计数点的时间间隔为________ s；
(2)打C点时物体的速度大小为________ m/s(取2位有效数字)；
(3)物体的加速度大小为________(用sA、sB、sD和f表示)．
答案 (1)0.1 (2)2.5 (3)f2
解析 (1)打点计时器打出的纸带每隔4个点取一个计数点，则相邻计数点的时间间隔为Δt＝5×0.02 s＝0.1 s.
(2)根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度得：vC＝BD＝，代入数据得vC≈2.5 m/s.
(3)由题意知Δt＝5T＝，因为是匀变速直线运动，故(sD－sC)－(sC－sB)＝(sC－sB)－(sB－sA)，
解得sC＝.
由Δs＝a·Δt2得，(sD－sC)－(sC－sB)＝a·Δt2
联立以上各式得a＝f2.第9点 利用“平均速度”巧解运动学问题
同学们在解运动学问题时，往往首先想到利用匀变速直线运动公式及相关公式求解，但是有时利用这些公式解题比较繁琐，而利用平均速度公式解题却非常方便．
做匀变速直线运动的物体，若在时间t内位移是s，初速度为v0，末速度为vt，则有＝＝＝v.
对点例题 一物体在水平地面上由静止开始先匀加速前进10 m后，物体又匀减速前进50 m才停止．求该物体在这两个阶段中运动时间之比t1∶t2.
解题指导 设物体匀加速运动的时间为t1，匀加速运动的末速度为vt，它也是匀减速直线运动的初速度，物体匀减速直线运动的时间为t2.
由s＝t得10＝t1
50＝t2
联立两方程有t1∶t2＝1∶5
答案 1∶5
1．某种类型的飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为4.0 m/s2，飞机速度达到85 m/s 时离开地面升空．如果在飞机达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机制动，飞机做匀减速直线运动，加速度大小为5.0 m/s2.如果要求你为该类型的飞机设计一条跑道，使飞机在这种情况下停止起飞而不滑出跑道，你设计的跑道长度至少要多长？
答案 1 626 m
解析 飞机先由静止匀加速达到最大速度vm，随即又匀减速直到静止，整个过程中的平均速度＝①
加速阶段用时设为t1，则vm＝a1t1②
减速阶段可看成初速度为零、反向的匀加速直线运动，设用时为t2，则有vm＝a2t2③
跑道最小长度设为s，则s＝(t1＋t2)④
代入数值，联立①②③④解得s＝(t1＋t2)≈1 626 m
2．一物体做匀变速直线运动，在第一个2 s内的位移为4 m，在第二个2 s内的位移为0，求物体运动的初速度和加速度大小．
答案 3 m/s 1 m/s2
解析 此题易错把“在第二个2 s内的位移为0”理解为“第二个2 s内物体静止”而出错，注意匀变速直线运动的加速度始终不变．
对匀变速直线运动有＝v
则第1、2个2 s内的中间时刻速度分别为v1＝2 m/s、v2＝0，又a＝＝－1 m/s2
再根据v1＝v0＋a×1，解得v0＝3 m/s第24点 整体法与隔离法在平衡问题中的应用
对于由多个物体组成的系统进行受力分析时，一般要使用“整体法”和“隔离法”．所谓整体法，是把两个或两个以上的物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法．所谓隔离法，是将所确定的研究对象从周围物体中隔离出来的分析方法，目的是便于进一步对该物体进行受力分析，得出与之关联的力．整体法和隔离法是相互依存、相互补充的，两种方法相互配合、交替使用，能更有效地解决有关系统的问题．一般只涉及系统外部对系统的作用力时，优先选用整体法；而涉及系统内物体间相互作用力时，必须选用隔离法．
对点例题 如图1所示，倾角为θ的斜面体C置于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，已知A、B、C都处于静止状态．则( )
图1
A．B受到C的摩擦力一定不为零
B．C受到地面的摩擦力一定为零
C．C有沿地面向右滑动的趋势，一定受到地面向左的摩擦力
D．将细绳剪断，若物块B依然静止在斜面上，此时地面对C的摩擦力为0
解题指导 若绳对B的拉力恰好与B的重力沿斜面向下的分力平衡，则B与C间的摩擦力为零，A项错误；将B和C看成一个整体，则B和C受到细绳向右上方的拉力作用，故C有向右滑动的趋势，一定受到地面向左的摩擦力，B项错误，C项正确；将细绳剪断，若物块B依然静止在斜面上，利用整体法判断，B、C系统在水平方向不受其他外力作用，处于平衡状态，则地面对C的摩擦力为0，D项正确．
答案 CD
易错辨析 本题易错选B项，原因是认为A、B、C整体处于静止状态，在水平方向上不受其他外力作用，所以地面对C的摩擦力为零．其实在本例中，不能将A、B、C作为整体来分析，而要把B、C作为整体来研究，这是因为上面的滑轮还要受到其他外力的作用．因此整体法和隔离法的选用要依据题目的具体情境合理选择．
1．有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙．OB竖直向下，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图2所示．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是( )
图2
A．N不变，T变大 B．N不变，T变小
C．N变大，T变大 D．N变大，T变小
答案 B
解析
以两环和细绳整体为研究对象，竖直方向只受重力和杆对P环的支持力N，N和两环的重力平衡，N＝2mg，所以N不变．以Q环为研究对象，受力如图所示，根据竖直方向受力平衡，可得Tcos θ＝mg，将P环向左移一小段距离，θ变小，cos θ变大，细绳上的拉力T变小，B项正确．
2．如图3所示，木板B放在水平地面上，在木板B上放一重为1 200 N的物体A，物体A与木板B间、木板B与地面间的动摩擦因数均为0.2，木板B重力不计，当用水平拉力F将木板B匀速拉出，绳与水平方向成30°角时，问绳的拉力T多大？水平拉力F多大？(重力加速度g＝10 m/s2)
图3
答案 248 N 430 N
解析 (1)求绳的拉力T：隔离A，其受力如图所示
则水平方向上：Tcos 30°－f1＝0
竖直方向上：
Tsin 30°＋N1－G＝0
而f1＝μN1
联立以上三式解得T≈248 N
f1＝Tcos 30°≈215 N
(2)求水平拉力F：隔离B，其受力如图所示
A对B的摩擦力大小为f1′，地对B的摩擦力为f地，地对B的弹力大小N2＝N1′，N1′＝N1，f1＝f1′
故拉力F＝f地＋f1′＝μN2＋μN1′＝2f1＝430 N第10点 警惕刹车类问题中的“时间陷阱”
对于汽车刹车这一类减速运动问题，一定要注意“时间陷阱”，因为在利用公式s＝v0t＋at2时，只要知道了v0、a、t，原则上是可以计算出位移的，但在实际问题中，告诉的时间往往超过减速到零所用的时间，所以利用上述公式时往往容易出错．
解答这类问题的基本思路是
1．先确定刹车时间．若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则由公式vt＝v0＋aT(其中vt＝0，a＜0)可计算出刹车时间T＝－.
2．将题中所给出的已知时间t与T比较．若Tt，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t.
对点例题 一辆汽车以72 km/h的速度行驶，现因事故紧急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程加速度大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，汽车通过的距离是多少？
解题指导 错解：选v0的方向为正方向，
v0＝72 km/h＝20 m/s
a＝－5 m/s2，t＝5 s
由s＝v0t＋at2
得s＝37.5 m
正解：设汽车由刹车开始到停止运动所用的时间为t0，选v0的方向为正方向
v0＝72 km/h＝20 m/s
a＝－5 m/s2
由vt＝v0＋at0得t0＝＝ s＝4 s
可见，该汽车刹车后经过4 s就已经停止运动
由s＝v0t＋at2知刹车后经过5 s通过的距离为
s＝v0t0＋at＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m
答案 40 m
方法总结 解决刹车类问题时 ，一定要先计算出汽车减速至零所用的时间，然后根据给出的时间和减速至零的时间关系，确定位移大小．
一辆汽车以15 m/s的初速度冲上长为120 m的斜坡，设汽车在上坡过程中做匀减速直线运动，加速度大小为0.6 m/s2，求汽车到达坡顶需用多长时间？
答案 10 s
解析 取初速度方向为正方向，由s＝v0t＋at2得120＝15t－×0.6t2，解得t1＝10 s，t2＝40 s.
t2＝40 s是汽车在斜坡上减速到0，又反向加速到120 m处的时间，故应舍去．第11点 巧用逆向思维法解题
逆向思维法就是沿着物理过程发生的相反方向，根据原因探索结果的思维方式，即把运动过程的末态当成初态、初态当成末态进行反向研究的方法，该方法一般用于末态已知的情况或末态很容易确定的情况，如匀减速直线运动可看成加速度等大反向的匀加速直线运动．
对点例题 一列火车共有n节车厢，每节车厢的长度都相同且车厢间的间隙不计．该火车进站时做匀减速直线运动直到停下，该过程中，站在车站站台的一个旅客测得最后一节车厢经过他所用时间为t，则该列车第1节车厢经过他所用的时间是________．
解题指导 由于做匀减速直线运动直到停下，可将此运动反演成从终点开始沿反方向做初速度为零的匀加速直线运动，由结论“初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移所用时间之比”可得
t1∶t2∶……∶tn＝(－)∶(－)∶……∶1
即t1∶tn＝(－)∶1
求得第1节车厢经过他所用时间t1＝(－)·t
答案 见解题指导
技巧点拨 利用逆向思维法可将末速度为零的匀减速直线运动看成是反方向的初速度为零的匀加速直线运动来处理，其相应的推论和结论全部适用，求解更为快捷．
物体在一条直线上由A经B到C做匀加速直线运动，AB段与BC段的位移分别为s和3s，通过的时间分别为2t和t.求物体经过B点时的速度．
答案
解析 物体从A到B做加速度为a、末速度为v的匀加速运动，可看成从B到A做加速度为－a、初速度为v的匀减速直线运动，如图所示．
将AB段逆向思维，则s＝v·2t＋(－a)(2t)2
BC段正向思维，则3s＝v·t＋at2
联立求得物体在B点的速度v＝.第17点 全面理解胡克定律
弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比——这就是胡克定律，即：F＝kx，式中k叫做弹簧的劲度系数，单位是牛每米，符号是N/m.
1．从以下四点理解胡克定律
(1)定律的成立是有条件的，就是弹簧要发生“弹性形变”，即在弹性限度内．
(2)表达式中的x是弹簧的形变量，是弹簧伸长(或缩短)的长度，而不是弹簧的原长，也不是弹簧形变后的长度．
(3)表达式中的劲度系数k，反映了弹簧的“软”“硬”程度，其大小与弹簧的材料、形状、长度有关．
(4)由于弹簧的形变量x常以“cm”为单位，而劲度系数k又往往以“N/m”为单位，在应用公式时要注意将各物理量的单位统一．
2．胡克定律的另一种表达形式
设劲度系数为k的弹簧，在形变量为x1、x2时产生的弹力分别为F1、F2，则根据胡克定律F＝kx，有F1＝kx1，F2＝kx2.两式相减，有F1－F2＝k(x1－x2)，即ΔF＝kΔx.
上式表明：弹簧发生弹性形变时，弹力的变化ΔF与弹簧长度的变化Δx成正比．
对点例题 量得一只弹簧测力计3 N和5 N两刻线之间的距离为2.5 cm，求：
(1)这只弹簧测力计所用弹簧的劲度系数；
(2)这只弹簧测力计3 N刻线与零刻线之间的距离．
解题指导 (1)根据ΔF＝kΔx得k＝
所以k＝＝0.8 N/cm＝80 N/m
(2)又由F1＝kx1得x1＝
所以x1＝＝3.75 cm
答案 (1)80 N/m (2)3.75 cm
技巧点拨
图1
F＝kx是胡克定律的数学表达式，F与x的关系还可以用图像来描述，横轴为自变量x，纵轴为因变量F，其图像是一条过原点的直线，如图1所示，图像上各点的坐标(x，F)反映弹簧的一个工作状态，所以这一条直线是弹簧所有状态的集合，直线的斜率k＝＝反映了弹簧的劲度系数，从图像还可以看到：F与x对应，ΔF与Δx对应，弹簧的劲度系数可用k＝计算，也可用k＝计算，这样使胡克定律的应用变得更加灵活．
如图2所示为一轻质弹簧的长度和弹力大小的关系图像，根据图像判断，下列结论正确的是( )
图2
A．弹簧的劲度系数为1 N/m
B．弹簧的劲度系数为100 N/m
C．弹簧的原长为6 cm
D．弹簧伸长0.2 m时，弹力的大小为4 N
答案 BC
解析 图线与横轴交点为弹簧原长，即原长为6 cm；劲度系数为直线斜率k＝＝ N/m＝100 N/m；弹簧伸长0.2 m时，弹力F＝kx＝100×0.2 N＝20 N．所以选项B、C正确．第2点 区分矢量与标量，理解位移与路程
高中阶段的物理量分为两类：一类是有大小、有方向的物理量，称为矢量；另一类是有大小、没有方向的物理量，称为标量．两类物理量在表达、运算、比较等方面都是不同的．
1．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向的物理量．如：力、速度、位移等．
①矢量可以用带箭头的线段表示，线段的长度表示矢量的大小，箭头的指向表示矢量的方向．
②同一直线上的矢量，可用正、负表示方向．若矢量与规定的正方向相同，则为正；若矢量与规定的正方向相反，则为负．
(2)标量：只有大小没有方向的物理量．如：长度、质量、温度等．
①有些标量也带正、负号，但标量的正、负号与矢量的正、负号意义是不同的，它不表示方向．对于不同的标量，正、负号的意义也是不同的，如：温度的正、负表示比零摄氏度高还是低，电荷量的正、负表示是正电荷还是负电荷．
②标量的运算遵从算术法则．
(3)大小比较：①比较两个矢量大小时比较其绝对值即可；②比较两个标量大小时，需比较其代数值．
2．位移和路程
(1)位移：表示质点位置变化的物理量，是由初位置指向末位置的有向线段．线段的长度表示位移的大小，有向线段的指向表示位移的方向．
(2)路程：物体运动轨迹的长度，它不表示质点位置的变化．
路程和位移的比较：
路程 位移
区别 描述质点实际运动轨迹的长度 描述质点位置的变化
有大小，无方向 既有大小，又有方向
与质点的运动路径有关 与质点的运动路径无关，只由初、末位置决定
联系 都是描述质点运动的空间特征
都与一段时间相关，是过程量
一般来说，位移的大小不等于路程，只有质点做单向直线运动时，位移的大小才等于路程．因此，质点运动过程中的位移大小总是小于或等于路程
对点例题 某学生参加课外体育活动，他在一个半径为R的圆形跑道上跑步，从O点沿圆形跑道逆时针方向跑了4.75圈到达A点，求它通过的位移和路程．
思路点拨 位移是矢量，求某一过程的位移，既要求出大小，还要标明方向．描述物体在平面内的曲线运动时，需要建立平面直角坐标系．当物体做曲线运动时，其位移的大小与路程是不相等的，且路程大于位移的大小．
解题指导 如图所示，有向线段OA即为该学生通过的位移
s＝＝R，位移方向与x轴的夹角为φ＝45°.
通过的路程为L＝4×2πR＋×2πR＝πR.
答案 见解题指导
技巧归纳 解运动学问题时，画出运动示意图可帮助分析问题，特别是运动过程较复杂时，运动示意图可使运动过程清晰．此外，对于定量计算的问题，若是直线运动，就画直线坐标系；若是曲线运动，就画平面直角坐标系，并将运动的轨迹在坐标系上画出．
如图1所示，一边长为10 cm的实心立方体木块，一只昆虫从A点爬到G点．求：
图1
(1)该昆虫的位移；
(2)该昆虫的最短路程．
答案 (1)10 cm，方向由A指向G (2)10 cm
解析 (1)昆虫的位移为A指向G的有向线段，大小为10 cm，方向由A指向G
(2)关于最短路程，应该从相邻的两个面到达G点才可能最短，把面AEFD和CDFG展开，如图所示，然后连接A与G，AG的长度就是最短路程，大小为10 cm.第14点 牛顿第三定律的“四同、三异、三无关”
两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，这就是牛顿第三定律，它揭示了两个物体之间作用力与反作用力的关系，对这一关系的理解可概括为“四同、三异、三无关”．
一、“四同”
1．等大：大小相等，不能认为只有物体处于平衡状态时作用力和反作用力才大小相等．
2．共线：作用在同一条直线上．
3．同时：同时产生、同时消失、同时变化．不能认为先有作用力后有反作用力．
4．同性质：不同性质的力不可能具有作用力和反作用力的关系．
二、“三异”
1．异向：方向相反．
2．异体：作用在不同的物体上．
3．异效果：在不同的物体上分别产生不同的作用效果，不能相互抵消，因此，不能认为作用力和反作用力的合力为零．
三、“三无关”
1．与是什么物体无关．
2．与相互作用的两物体的运动状态无关．
3．与是否与另外物体相互作用无关．
物理解题首先要进行受力分析，而牛顿第三定律研究的是两个物体之间作用力与反作用力的关系，因此在受力分析特别是转移研究对象进行受力分析时，必然用到牛顿第三定律，它是联系各力之间关系的桥梁．
对点例题 如图1所示，有两艘质量相等的有篷小船，用绳子连接(绳子的质量忽略不计)，其中一艘船内有人拉绳子，如果水的阻力不计，下列判断正确的是( )
图1
A．绳子两端的拉力不相等，有人的船连接的一端拉力较大
B．根据两船运动的快慢，运动快的船里肯定有人，因为是他用力，船才运动起来的
C．两船运动快慢情况是一样的，因为两船完全相同，又受到了大小相等的拉力
D．两船运动快慢是不一样的，运动快的船里肯定没有人，因为没有人的船质量小，而两船受到的拉力是相等的
解题指导 由牛顿第三定律知，作用在两船上的力是相等的，有人的船质量大，没人的船质量小，由牛顿第二定律F＝ma可知，没人的船运动的加速度大，经相等的时间其运动速度大，故没人的船运动快．
答案 D
特别提醒 物体运动状态的变化只取决于物体本身所受的合力；作用力与反作用力的大小、方向与物体的运动状态是否变化无关．
1．在火箭把卫星发送上天的过程中，下列关于卫星和火箭上天的情况叙述中正确的是( )
A．火箭尾部向外喷气，喷出的气体反过来对火箭产生一个作用力，从而使火箭获得向上的推力
B．火箭的推力是由于喷出的气体对空气产生一个作用力，空气的反作用力作用于火箭而产生的
C．火箭飞出大气层后，由于没有了空气，火箭虽向后喷气也不会产生推力
D．卫星进入轨道后和地球间不存在作用力和反作用力
答案 A
解析 火箭发射后仍受到地球的引力，火箭受到的推力不是空气的反作用力，而是喷出气体的反作用力，故A正确，B错误；卫星进入轨道之后也与地球之间存在相互的引力，D错误．
2.如图2所示，用弹簧测力计悬挂一个重G＝10 N的金属块，使金属块部分浸入放在台秤上的水杯中(水不会溢出)．若弹簧测力计的示数变为T′＝6 N，则台秤的示数( )
图2
A．保持不变 B．增加10 N
C．增加6 N D．增加4 N
答案 D
解析 金属块浸入水中后，水对金属块产生浮力F，由弹簧测力计的示数知，浮力的大小为F＝G－T′＝(10－6) N＝4 N．根据牛顿第三定律，金属块对水也施加一个反作用力F′，其大小F′＝F＝4 N，通过水和杯的传递，对台秤产生附加压力，所以，台秤的示数增加4 N.第4点 v、Δv和a的比较
加速度是研究变速运动的重要物理量，它反映了速度变化的快慢与方向．但它与速度的变化量不同，其本质是速度的变化率．下面列表比较速度、速度变化量和加速度的区别：
速度 速度变化量 加速度 相互关系
物理意义 描述物体运动快慢和方向的物理量 描述物体速度变化大小的物理量 描述物体速度变化快慢和方向的物理量 三者无必然联系，速度v很大，速度的变化量可能很小，甚至为0，加速度a也可大可小
定义式 v＝或v＝ Δv＝vt－v0 a＝或a＝
单位 m/s m/s m/s2
方向 物体运动的方向 由Δv＝vt－v0决定的方向 与Δv方向一致，而与v0、vt方向无关
大小 ①位移与时间的比值②s－t图像中曲线在该点切线斜率的大小 Δv＝vt－v0 ①速度变化量与所用时间的比值②速度对时间的变化率③v－t图像中曲线在该点切线斜率的大小
决定因素 vt的大小由v0、a、t决定 Δv由vt与v0决定，而且Δv＝aΔt，也可由a与Δt来决定 a不是由vt、t、Δv来决定的，而是由F与m来决定的
对点例题 有以下几种情景，根据所学知识选择对情景分析和判断正确的说法( )
①点火后即将升空的火箭 ②高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急刹车 ③运动的磁悬浮列车在轨道上高速行驶 ④太空的空间站在绕地球做匀速圆周运动
A．因火箭还没有运动，所以加速度一定为零
B．轿车紧急刹车，速度变化很快，所以加速度很大
C．高速行驶的磁悬浮列车，因速度很大，所以加速度也一定很大
D．尽管空间站匀速转动，但加速度不为零
解题指导 点火后虽然火箭速度为零，但由于时间趋于零，故具有很大的的加速度，选项A错误；判断加速度存在的依据是看速度变化的快慢，而不是看速度的大小，选项B正确；高速行驶的磁悬浮列车运动速度大，但速度不发生变化，则加速度为零，选项C错误；曲线运动的速度方向变化，速度就变化，一定有加速度，选项D正确．
答案 BD
特别提醒 加速度与速度的关系：加速度与速度无必然的联系，即速度大的物体加速度不一定大，速度小的物体加速度不一定小，物体某时刻速度为0时加速度不一定为0.
1．关于速度与加速度的关系，下列说法中正确的是( )
A．速度变化得越多，加速度就越大
B．速度变化得越快，加速度就越大
C．加速度方向保持不变，速度方向也保持不变
D．加速度大小不断变小，速度也不断变小
答案 B
解析 “速度变化得越多”是指Δv越大，但若所用时间Δt也很大，则就不一定大，故选项A错误．“速度变化得越快”是指速度的变化率越大，即加速度a越大，故选项B正确．加速度方向保持不变，速度方向可能变，也可能不变，当物体做匀减速直线运动时，v＝0以后就可能反向运动，故选项C错误．物体在运动过程中，若加速度的方向与速度方向相同，尽管加速度在变小，但物体仍在加速，直到加速度a＝0时，速度就达到最大了，故选项D错误．
2．下列关于速度、速度的变化及加速度的相互关系理解正确的是( )
A．加速度增大，速度一定增大
B．加速度越大，速度一定越大
C．速度变化得越快，加速度就越大
D．速度变化得越大，加速度就越大
答案 C
解析 加速度反映速度变化的快慢，故C对，D错．加速度的大小与速度大小没有必然关系，A、B错．第1点 洞悉“理想模型”内涵，理解质点概念
质点是我们进入高中后所学习的第一个物理概念，而质点本身是不存在的，它是一种理想化的模型．因此要准确理解质点概念，首先要明白什么是“理想模型”．
1．“理想模型”的四个要点
(1)“理想模型”是为了使研究的问题得以简化或为研究问题方便而进行的一种科学的抽象，实际并不存在．
(2)“理想模型”是以研究目的为出发点，突出问题的主要因素，忽略次要因素而建立的“物理模型”．
(3)“理想模型”是在一定程度和范围内对客观存在的复杂事物的一种近似反映，是物理学中经常采用的一种研究方法．
(4)在物理学研究中，“理想模型”的建立，具有十分重要的意义．引入“理想模型”，可以使问题的处理大为简化而又不会发生大的偏差．
2．质点
(1)定义：用来代替物体的有质量的物质点叫做质点．
(2)对质点的理解
①质点是一个理想化的物理模型，尽管不是实际存在的物体，但它是实际物体的一种近似反映，是为了研究问题的方便而进行的科学抽象，它突出了事物的主要特征，抓住了主要因素，忽略了次要因素，使所研究的复杂问题得到了简化．
②质点不同于几何学中的点，它具有质量，不占有空间；而几何学中的点只表示空间位置．
(3)物体看成质点的条件
物体的大小、形状对所研究问题的影响可以忽略不计时，可视物体为质点．如地球非常大，但地球绕太阳公转时，地球的大小与日地间距相比就变成了次要因素，我们完全可以把地球当做质点来看待；但在研究地球自转时，或者研究地球上不同区域季节的变化、昼夜长短的变化时，就不能把地球看成质点了．
对点例题 在下列选项中，能够把研究对象看做质点的是( )
A．研究导弹驱逐舰“兰州”舰以及导弹护卫舰“衡水”舰组成的远海训练编队在钓鱼岛附近海域巡航的航行速度时
B．对钓鱼岛进行遥感测绘时
C．一枚硬币用力上抛，猜测它落地时正面朝上还是反面朝上
D．正在进行花样溜冰的运动员
解题指导 研究远海训练编队在钓鱼岛附近海域巡航的速度时，编队中的舰艇的形状可以忽略，故可以看成质点，A正确．对钓鱼岛进行遥感测绘时，要研究岛的形状、大小，故钓鱼岛不能看做质点，B错误．研究抛出的硬币，落地后哪面朝上时不能看成质点，C错误．研究花样溜冰的运动员，主要是研究其肢体各部分的动作，所以此时运动员不能看成质点，D错误．
答案 A
误区警示 一个物体能否被看成质点首先决定于我们所要研究的具体问题，在所研究的问题中，如果物体的大小和形状可被忽略，则物体可视为质点，反之则不能．此外，在质点概念的判断中应注意以下四个方面的误区：
(1)关键词错误，是“在一定条件下物体可以被看成质点”而不是“物体是质点”．
(2)同一个物体在某个物理情景中可以被看成质点，而在其他的物理情景中不一定可以被看成质点．
(3)物体能否被看成质点与物体的大小无关，并不是大的物体不能被看成质点而小的物体就一定能被看成质点．
(4)“质点”不同于几何中的“点”，质点有质量而几何中的点没有质量．
1．下列情况中的物体可以看成质点的是( )
A．地面上放一只木箱，在上面的箱角处用水平力推它，研究它是否翻转时
B．研究足球能形成“香蕉球”的原因
C．对于汽车的后轮，在研究汽车牵引力的来源时
D．人造地球卫星，在研究其绕地球运动时
答案 D
解析 木箱在水平力作用下是否翻转与力的作用点有关，在这种情况下木箱是不能看成质点的．“香蕉球”的成因与足球的旋转有关，故不能把足球看成质点．汽车牵引力的来源与后轮的转动有关，在研究汽车牵引力的来源时，不能把汽车后轮看成质点．卫星绕地球运动时，自身的形状和大小可以忽略不计，因此可以把它看成质点．故正确选项为D.
2．在研究下列问题时，可以把汽车看做质点的是( )
A．研究汽车通过某一路标的时间
B．研究人在汽车上的位置
C．研究汽车在斜坡上有无翻车的危险
D．计算汽车从北京开往上海的时间
答案 D第29点 解决力学问题的三种基本功
力学问题是物理学最重要的组成部分，也是整个物理学的基础．力学问题的解决方法很多，可以迁移到电磁学、热学中，甚至是原子物理中，因此掌握力学问题的处理思想是重要且必须的．
1．受力分析
在解决各种力学实际问题时，首先要善于选择研究对象．究竟是选定某一物体，还是某一系统(整体)，要根据问题的物理情景和解题目标来定，并要能熟练掌握受力分析的“整体法”和“隔离法”．若要求解系统内物体间的“内力”，必须进行“隔离”．对隔离出的物体来说，此时系统的内力即转化为该物体的外力．一般均要作出研究对象的受力示意图．只有在正确分析研究对象受力情况的基础上，才能明确相应运动情况而选取相应规律，使问题得到解决；同时要养成受力分析时结合物体的运动状态进行分析的习惯，如静摩擦力、杆的弹力等问题的分析．
2．运动过程分析
在力学问题中，任何一个研究对象在力的作用下都会展现一个运动过程，在分析时，要区分出初态、运动过程和末态，在物体运动的整个过程中，往往因为物体受力的变化，可以把它的运动过程分为几个阶段，所以解题时一般要根据实际情况画出运动过程示意图，再结合受力情况选取相应的规律求解．
3．矢量的运算
学过的矢量主要有：位移s、速度v、加速度a、力F等，矢量运算要注意以下几点：
(1)互成角度的矢量合成与分解，遵从平行四边形定则，在进行矢量合成或分解时，应明确物体遵循力和运动的“独立性原理”，特别注意一般情况下是对瞬时矢量的合成或分解．
(2)正交分解法是平行四边形定则的特殊情景，实际中多应用于力的分解，应用时要根据物体受力情况选定坐标系，使较多的力落在坐标轴上．
(3)同一条直线上的矢量运算，要先规定正方向，然后以“＋”“－”号代表矢量方向，从而把矢量运算转化为算术运算．
对点例题 如图1所示，传送带与水平面的夹角θ＝37°，并以v＝10 m/s的速率逆时针转动，在传送带的A端轻轻地放一小物体．若已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，传送带A端到B端的距离L＝16 m，则小物体从A端运动到B端所需的时间为多少？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图1
解题指导 设小物体的质量为m，小物体被轻轻地放在传送带A端，小物体沿传送带方向速度为零，但传送带的运动速率为v＝10 m/s，二者速率不相同，它们之间必然存在相对运动．传送带对小物体有沿传送带斜向下的滑动摩擦力作用，小物体的受力情况如图所示．
设小物体的加速度为a1，则由牛顿第二定律有
mgsin θ＋f1＝ma1①
N＝mgcos θ②
f1＝μN③
联立①②③式并代入数据解得a1＝10 m/s2
小物体速度大小达到传送带速率v＝10 m/s时，所用的时间t1＝＝1 s
在1 s内小物体沿传送带的位移s1＝a1t＝5 m
小物体的速度大小与传送带速率相同的时刻，若要跟随传送带一起运动，即相对传送带静止，它必须受到沿传送带向上的摩擦力f＝mgsin θ＝6m的作用，但是此时刻它受到的摩擦力是f2＝μmgcos θ＝4m，小于f.因此，小物体与传送带仍有相对滑动，设小物体的加速度为a2，这时小物体的受力情况如图所示．由牛顿第二定律有
mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，解得a2＝2 m/s2.
设小物体速度大小达到10 m/s后又运动时间t2才到达B端，则有s2＝L－s1＝vt2＋a2t
代入数据解得t2＝1 s，t2′＝－11 s(舍去)
小物体从A端运动到B端所需的时间t＝t1＋t2＝2 s.
答案 2 s
思维规范 物体在传送带上的运动综合考查了受力分析和运动过程分析．传送带倾斜时，要注意分析摩擦力的大小、方向随运动状态的变化情况．本题中物体在前后两段运动中所受滑动摩擦力的方向相反，从而造成两段运动的加速度不同；另外，分析出滑动摩擦力与物体的下滑分力之间的大小关系，在解题中也十分关键．
1．一辆质量为100 t的机车，从停车场出发经225 m后速度达到54 km/h.此时，司机关闭发动机，让机车进站．机车又行驶了125 m才停在站上，设机车所受的阻力保持不变，求机车关闭发动机前所受的牵引力．
答案 1.4×105 N
解析 54 km/h＝15 m/s，设机车加速阶段的加速度为a1，减速阶段的加速度为a2，则：v2＝2a1s1，v2＝2a2s2
解得a1＝0.5 m/s2，a2＝0.9 m/s2.由牛顿第二定律得F－f＝ma1，f＝ma2，解得：F＝1.4×105 N
2．如图2甲所示，先将物体A固定在斜面上，给A施加沿斜面向上的拉力F＝30 N，物体开始运动，2 s后再撤去拉力F，物体的v－t关系图像如图乙所示(取沿斜面向上为正方向，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，取物体开始运动时为计时起点)，试求：物体A的质量、物体A与斜面间的动摩擦因数以及斜面的倾角．(g取10 m/s2)
图2
答案 2 kg 0.5 37°
解析 由题图乙可知，0～2 s，物体的加速度为a1＝＝5 m/s2,2 s～3 s，a2＝－10 m/s2,3 s～5 s，a3＝－2 m/s2；由题图乙可知，前3 s内物体沿斜面向上运动，受到的滑动摩擦力沿斜面向下，3 s后物体沿斜面向下运动，则受到的滑动摩擦力变为沿斜面向上，由牛顿运动定律：
0～2 s：F－μmgcos θ－mgsin θ＝ma1
2 s～3 s：－μmgcos θ－mgsin θ＝ma2
3 s～5 s：μmgcos θ－mgsin θ＝ma3
联立解得：m＝2 kg，μ＝0.5，θ＝37°第12点 “你追我赶”话相遇
追及和相遇问题的实质是讨论两物体是否同时到达同一位置，求解此类问题有下列三种方法．
1．物理方法：通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，抓住两个关系列方程求解．
(1)临界条件：即二者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或二者相距最远、最近的临界条件，也是分析判断的突破口．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可以通过画草图得到．
2．判别式法：由于匀变速运动的位移表达式是时间t的一元二次方程，我们可利用判别式进行讨论：在追及问题的位移关系式中，若Δ>0，即有两个解并且两个解都符合题意，说明相遇两次；Δ＝0有一个解，说明刚好追上或相遇；Δ<0无解，说明不能够追上或相遇．
3．图像法：当两物体速度相等时，比较图像的面积差(即两物体的位移差)与两物体初始距离的关系，可以快速求解问题．
对点例题 火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一列火车沿同方向以速度v2(对地、且v1＞ v2)做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车．要使两车不相撞，a应满足什么条件？
解题指导 方法一：物理方法
两车运动情况如图所示，
当两车速度相等时，两车距离最近，此时不相撞，以后就不会相撞．设火车的加速度至少是a0，则
v1t－a0t2＝v2t＋s①
v1－a0t＝v2②
联立①②，可得a0＝
所以当a>时，两车便不会相撞．
方法二：判别式法
设经过时间t两车不相撞，则有v1t－at2即at2－(v1－v2)t＋s>0
当Δ<0时两车不相撞，即有(v1－v2)2－4××s<0
所以a>
方法三：图像法
作出两车的v－t图像(如图)
当两车速度相等时，图像的阴影面积小于s，则两车不相撞，即(v1－v2)所以a>
答案 a>
规律总结 在追及和相遇问题中，速度相等往往是临界条件，也往往成为解题的突破口．
某人骑自行车以v2＝4 m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面s0＝7 m处有一速度为v1＝10 m/s同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以a＝2 m/s2的加速度匀减速前进，则此人需经过多长时间才能追上汽车？
答案 8 s
解析 汽车停下的时间t1＝＝5 s，在这段时间里行驶的位移为s1＝＝25 m.
在这段时间内自行车的位移为s2＝v2t1＝20 m<(25＋7) m，所以自行车要在汽车停下后才追上，故自行车追上汽车的时间t2＝＝ s＝8 s.第7点 匀变速直线运动的五个公式及其选用原则
时间(t)、位移(s)、速度(v0、vt)、加速度(a)是描述运动的几个重要物理量，它们可以组成许多运动学公式．在匀变速直线运动中，以下这五个公式是最基本的，记好、理解好这几个公式，对于学好物理学是至关重要的！
一、两个基本公式
1．位移公式：s＝v0t＋at2
2．速度公式：vt＝v0＋at
二、三个推导公式
1．速度位移公式：v－v＝2as
2．平均速度公式：＝＝v
3．位移差公式：Δs＝aT2
三、公式的选用原则
1．能用推导公式求解的物理量，用基本公式肯定可以求解，但有些问题往往用推导公式更方便些．
2．这五个公式适用于匀变速直线运动，不仅适用于单方向的匀加速或匀减速(末速度为零)直线运动，也适用于先做匀减速直线运动再反方向做匀加速直线运动而整个过程是匀变速直线运动(如竖直上抛运动)的运动．
3．使用公式时注意矢量(v0、vt、a、s)的方向性，通常选v0的方向为正方向，与v0相反的方向为负方向．
对点例题 一个滑雪运动员，从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度为1.8 m/s，末速度为5.0 m/s，他通过这段山坡需要多长时间？
解题指导 解法一：利用公式vt＝v0＋at和s＝v0t＋at2求解．
由公式vt＝v0＋at，得at＝vt－v0，代入s＝v0t＋at2有：s＝v0t＋，故t＝＝ s＝25 s
解法二：利用公式v－v＝2as和vt＝v0＋at求解．
由公式v－v＝2as得，加速度
a＝＝ m/s2＝0.128 m/s2.
由公式vt＝v0＋at得，需要的时间t＝＝ s＝25 s
解法三：利用平均速度公式＝及＝求解．
由＝得＝ m/s＝3.4 m/s
再由＝得t＝＝ s＝25 s
答案 25 s
从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，行驶了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，总共历时20 s，行进了50 m，求汽车的最大速度．
答案 5 m/s
解析 解法一：(基本公式法)设最大速度为vmax，由题意得，
s＝s1＋s2＝a1t＋vmaxt2－a2t，t＝t1＋t2，
vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2，解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
解法二：(平均速度法)由于汽车在前后两段均做匀变速直线运动，故前后段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即＝＝，s＝t得vmax＝＝5 m/s.第22点 解决共点力平衡问题的三个方法
1．分解法
物体受到几个力的作用，则根据情况把某一个力按力的作用效果进行分解，则其分力和其他力在所分解的方向上满足平衡条件．
2．合成法
物体受到几个力的作用，通过合成的方法将它们简化成两个力，这两个力满足二力平衡条件．
3．正交分解法
将处于平衡状态的物体所受的力分解为相互正交的两组，每一组的力都满足二力平衡条件．
对点例题 如图1所示，质量分别为m、M的两个物体系在一根通过定滑轮(质量忽略不计)的轻绳两端，M放在水平地板上，m被悬挂在空中，若将M沿水平地板向右缓慢移动少许后M仍静止，则( )
图1
A．绳中张力变大
B．M对地面的压力变大
C．M所受的静摩擦力变大
D．悬挂滑轮的绳的张力变大
解题指导 因m处于静止状态，故绳子的拉力等于m的重力，即F＝mg，绳中张力不变，故A选项错误．对M受力分析如图甲所示，把F进行正交分解可得关系式N＋Fsin θ＝Mg，Fcos θ＝f.当M向右移动少许后，θ变大，故N减小，f减小，故B、C选项错误．对滑轮受力分析如图乙所示，把拉物体的绳子的拉力合成得F合＝T.因F不变，两绳的夹角变小，则F合变大，故悬挂滑轮的绳的张力变大，D选项正确．
答案 D
规律总结 处理共点力平衡问题的三种方法，要视具体问题灵活地选用，解决问题才更便捷．
1．如图2所示，在天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直，杆的下端有一个轻滑轮O.另一根细线b上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮O，下端系一个重为G的物体．BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°.系统保持静止，不计一切摩擦．下列说法中正确的是( )
图2
A．细线BO对天花板的拉力大小是
B．细线对滑轮的作用力大小是G
C．a杆和细线对滑轮的合力大小是G
D．a杆对滑轮的作用力大小是G
答案 BD
解析 细线对天花板的拉力等于物体的重力G，选项A错误；以滑轮为研究对象，两段细线的拉力都是G，互为120°，因此合力大小是G，故选项B正确；根据共点力平衡，a杆对滑轮的作用力大小也是G(方向与竖直方向成60°斜向右上方)，选项D正确；a杆和细线对滑轮的合力大小为零，故选项C错误．
2.如图3所示，作用于O点的三个力平衡，设其中一个力大小为F1、沿y轴负方向，一个大小未知的力F2与x轴正方向的夹角为θ.下列说法正确的是( )
图3
A．力F3只能在第二象限
B．力F3可能在第三象限的任意方向上
C．力F3与F2夹角越小，则F3与F2的合力越小
D．F3的最小值为F1cos θ
答案 D
解析 根据平行四边形定则可知，力F3在从y轴正方向沿逆时针转过(90°＋θ)的范围内，如图所示，故选项A、B错；由于三力平衡，力F3与 F2的合力大小始终等于F1，故选项C错；由三个力平衡可知，F3的最小值为F1cos θ，选项D正确．第15点 重力的三要素
一、重力的大小：G＝mg
1．重力和质量的关系式：G＝mg，其中 g是自由落体加速度(重力加速度，通常取g＝9.8 m/s2)．重力加速度随纬度的改变而改变，纬度越高的地方，重力加速度越大；同一纬度，离地面越高的地方，重力加速度越小．
2．重力在数值上等于物体静止时对水平支持物的压力或者对悬挂物的拉力．
3．测量：可用弹簧测力计测量其大小，测量的原理是二力平衡．测量时需注意，只有物体静止或做匀速直线运动时，重力才等于弹簧测力计的示数．
二、重力的方向：竖直向下，但不一定指向地心
1．重力的方向总是与当地的水平面垂直，不同地方水平面不同，其垂直水平面向下的方向也就不同．
2．重力的方向不一定指向地心，只有在赤道和两极处重力的方向才指向地心．
三、重力的作用点：重心
1．重心是物体各部分所受重力的等效作用点，物体的重心不一定在物体上．
2．重心的位置与形状及质量分布有关，与物体的位置、放置状态及运动状态无关．
3．质量分布均匀且有规则几何形状的物体，其重心的位置在它的几何中心；质量分布不均匀的物体，重心的位置既与形状有关，也与质量分布有关．
对点例题 关于重力，下列说法正确的是( )
A．只有静止的物体才受重力
B．重力的大小等于物体静止时对水平支持物的压力或者对悬挂物的拉力
C．绕地球运转的人造地球卫星不受重力作用
D．重力的方向一定竖直向下
解题指导 地球上的物体以及在地球附近的物体都受重力的作用，而且与物体的运动状态无关，则A、C错误．重力的大小等于物体静止时对水平支持物的压力或者对悬挂物的拉力，B正确；物体受的重力方向竖直向下，故D正确．
答案 BD
1．一个物体重为5 N，在下列哪些情况下，它受到的重力还是 5 N( )
A．将它水平抛出
B．将它放到水里让它浮在水面上
C．将它放到月球上或 木星上
D．将它放到高速行驶的列车上
答案 ABD
解析 重力的大小与物体的运动状态无关，但与物体所处的位置有关，故选项A、B、D正确．
2．如图1所示的ABC是木匠用的曲尺，它是用粗细不同、质量分布均匀、AB和BC质量相等的木料做成的．D是AC连线的中点，E是AB的中点F和BC的中点G连线的中点，则曲尺的重心在( )
图1
A．B点 B．D点
C．E点 D．G点
答案 C
解析 把曲尺看成由两部分形状规则的物体组成，则其各自的重心在其中点F、G上，故公共重心应在FG连线的中点上．第8点 两种运动图像的比较
在物理学中，图像法是一种十分重要的思想方法，既可以用图像来描述物理问题，也可以用图像来解决物理问题，而且用图像法分析和解决物理问题往往比用解析法更简洁直观．运动学中，位移—时间图像和速度—时间图像是两种最典型的图像，下面列表比较它们的区别和共同点.
s－t图像 v－t图像
图像
交点 与横轴的交点表示质点回到出发点两条图线的交点表示两个质点相遇 与横轴的交点表示质点速度为零两条图线的交点表示两个质点速度相等
点 表示物体的状态，即表示质点在某时刻相对于基准点(位移为零)的位置 表示物体的状态，即表示某时刻质点的速度
线 表示物体的运动过程，即表示质点在某段时间内发生的位移横轴上方的图线表示位移大于零斜向上的图线表示速度大于零 表示物体的运动过程，即表示质点在某段时间内速度的改变量横轴上方的图线表示速度大于零
斜率 表示速度 表示加速度
面积 无意义 表示质点通过的位移，如果是速率—时间图像，则面积表示质点通过的路程
共同点 s－t图像、v－t图像都是抽象的，都不能表示质点的运动轨迹
对点例题 如图1所示的位移—时间图像和速度—时间图像中，给出的四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是( )
图1
A．图线1表示物体做曲线运动
B．s—t图像中，t1时刻v1>v2
C．v—t图像中0至t3时间内物体3和4的平均速度大小相等
D．两图像中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动
解题指导 图线1是位移图像，表示物体做变速直线运动，选项A错；s－t图线上某点斜率的绝对值表示速度的大小，选项B正确；v－t图像中0至t3时间内物体3和4位移不同，所以平均速度大小不相等，选项C错；t2时刻2开始反向运动，t4时刻4的方向不变，选项D错．
答案 B
1．如图2所示是甲、乙两物体从同一点出发的位移(s－t)图像，由图像可以看出在0～4 s这段时间内( )
图2
A．甲、乙两物体始终同向运动
B．4 s时甲、乙两物体之间的距离最大
C．甲的平均速度大于乙的平均速度
D．甲、乙两物体之间的最大距离为3 m
答案 D
解析 由位移图像可知，在0～2 s时间内，甲物体沿x轴正方向做速度大小为v1＝2 m/s的匀速直线运动，在2 s时运动方向改变，在2 s～6 s时间内，甲沿x轴负方向做速度大小为v2＝1 m/s的匀速直线运动．乙在整个时间内沿s轴正方向做速度为v＝0.5 m/s的匀速直线运动．所以选项A错误；2 s末，甲运动到s1＝4 m处，乙运动到s2＝1 m处，甲、乙之间距离最大，最大距离为Δs＝s1－s2＝3 m．4 s时甲、乙都处在s＝2 m处，甲、乙相遇，所以选项B错误，D正确；在0～4 s这段时间内甲、乙位移相等，根据平均速度的定义可知平均速度相等，所以选项C错误．
2．如图3所示，Ⅰ、Ⅱ分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v－t图线，根据图线可以判断( )
图3
A．甲、乙两小球做的是初速度方向相反的匀变速直线运动，加速度大小相同，方向相同
B．两球在t＝8 s时相距最远
C．两球在t＝2 s时速率相等
D．两球在t＝8 s时相遇
答案 CD
解析 由速度图像可知，甲做初速度为40 m/s，加速度为－10 m/s2的匀减速直线运动；乙做初速度为－20 m/s，加速度为 m/s2的匀变速直线运动．所以甲、乙两小球做的是初速度方向相反的匀变速直线运动，加速度大小不相同，方向不相同，选项A错误．在t＝8 s时，甲的位移为零，乙的位移为零，所以两球在t＝8 s时相遇，选项B错误，D正确．在t＝2 s时，甲球速度为20 m/s，乙球速度为－20 m/s，两球在t＝2 s时速率相等，选项C正确．