新高考高一上期中复习题型总结（含解析）
文档属性
| 名称 | 新高考高一上期中复习题型总结（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-08 17:27:05 | ||
图片预览
文档简介
新高考高一上期中复习题型总结
第一章 集合与常用逻辑用语
题型一：集合关系
1.集合，，，，，之间的关系是
A． B． C． D．
2.，．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
题型二：子集个数
3.已知集合恰有两个非空真子集，则实数的取值范围是 ．
4.含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如，6，的交替和是；而的交替和是5，则集合，2，3，4，5，的所有非空子集的交替和的总和为
A．32 B．64 C．80 D．192
题型三：集合运算
5.已知集合，集合，则
A．或 B．
C．或 D．
题型四：容斥原理
6. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有57人，参加唱歌课外活动的有82人，参加体育课外活动的有53人，三种课外活动都参加的有20人，只选择两种课外活动参加的有36人，不参加其中任何一种课外活动的有10人，问接受调查的小学生共有多少人？
A．116 B．126 C．146 D．160
题型五：充要条件——知范围求条件、知条件求范围
7.“”是“不等式对任意的恒成立”的 条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8.知集合，，．
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的_____，求的取值范围．
从“①充分不必要条件；②必要不充分条件；③既不充分又不必要条件”中任选一个，补充在上面横线处，并进行作答．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
题型六：根的分布
9.于的方程的两根都大于2，则的取值范围是
A． B．
C． D．
题型七：解二次不等式
10.于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
11.（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
题型八：不等式性质
12.若，，，，下列不等式一定成立的有
A． B． C． D．
题型九：基本不等式使用要求——一正二定三相等
13.下列结论正确的是
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最大值是1
D．设，，且，则的最小值是
题型10：方算几调
14.若，，且，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
题型11：权方和不等式
15.若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
题型12：整体法
16.已知实数，满足，则
A． B． C． D．
题型13：因式分解
17.已知正实数，满足，则的最小值为 ．
题型14：分式的齐次化
18.已知，，是正实数，且，则最小值为 ．
题型15：差值换元
19.已知实数，则的最小值是
A．6 B． C． D．
题型16：齐次式同除减元
20.若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．
题型17：穷途末路——消元
21.若，则的最小值是_______
题型18：基本不等式应用题
22.为了提高某商品的销售额，某厂商采取了“量大价优”“广告促销”的方法．市场调查发现，某件产品的月销售量（万件）与广告促销费用（万元）满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为万元．
（1）求与的函数关系式；（利润销售额成本广告促销费用）
（2）当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？
第三章 函数的概念与性质
题型19：定义域
23.已知函数的定义域为，，则函数的定义域是
A．，， B．，， C．， D．，，
题型20：求解析式——换元法
24.已知．（1）求函数的解析式；
题型21：求解析式——方程组法
25．已知定义在上的函数满足：．（1）求函数的表达式；
题型22：二次（复合）函数值域
26. 的值域是
A．， B．， C．， D．，
题型23：分式函数值域—— 变反比例 （对称中心（-b,a））
27.函数的值域为 ．
题型24：分式函数值域—— 变
28.已知函数，．
（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围；
题型25：分式函数值域—— 变
29.函数的值域为 ．
题型26：分式函数值域——
30.已知x，，且满足.（2）求的取值范围.
题型27：双变量问题
31.已知函数．
（1）若对任意，，，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若存在，对任意，，总存在唯一，，使得成立，求的取值范围．
题型28：单调性的定义
32.下列命题正确的是
A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数
B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数
C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数
D．若函数，都是上的增函数，则函数在上也是增函数
题型29：定义法证明具体函数单调性
33.已知函数．
（1）用单调性定义证明在，上单调递减，并求出其最大值与最小值；
题型30：定义法证明抽象函数单调性——赋值
34.已知定义在上的函数满足：
①（3）；
②，，；
③当时，．
求；（2）求证：函数在上单调递增；
题型31：分段函数单调性
35.已知函数满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是 ．
题型32：复合函数单调性——同增异减
36.函数的单调增区间为
A． B．
C．和 D．
题型33：奇偶性的定义与判断
37.（多选）若函数同时满足：
（1）对于定义域内的任意，有；
（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．
下列四个函数是“理想函数”的是
A． B．
C． D．
题型34：用奇偶性求值
38．设函数，若函数在上的最大值为，最小值为，则 ．
题型35：利用奇偶性求解析式——知一半求一半
39.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是
A． B． C． D．
题型36：奇函数+单调性综合
40.已知函数为定义在，上的奇函数，则的解集为
A．， B．， C．， D．，
题型37：偶函数+单调性综合
41.定义域为的奇函数在，上单调递减．设，若对于任意，，都有，则实数的取值范围为 ．
题型38：抽象函数奇偶性
42．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意、都有，且当时，，（2）．
（1）判断的奇偶性与单调性，并证明你的结论；
期中复习资料
参考答案与解析
1．集合，，，，，之间的关系是
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，，
，，，1，4，7，10，13，
，，，1，4，7，
，7，13，19，25，
故，
故选：．
2．，．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，或，
则；
（2）因为，且，又，
当时，，符合题意，
当时，即，则，即，
当时，即，则，即，
综上，的取值范围为．
3．已知集合恰有两个非空真子集，则实数的取值范围是 且 ．
【解答】解：集合恰有两个非空真子集，
关于的方程有两个不等实数根，
，且，
实数的取值范围是且．
故答案为：且．
4．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如，6，的交替和是；而的交替和是5，则集合，2，3，4，5，的所有非空子集的交替和的总和为
A．32 B．64 C．80 D．192
【解答】解：设集合，2，3，，的所有非空子集的交替和的总和为，
则集合的所有非空子集的交替和的总和为，
集合，的非空子集为，，，；
其交替和的总和为；
集合，2，的非空子集为，，，，，，，，，，2，；
其交替和的总和为；
集合，2，3，的非空子集为，，，，，，，，，，2，，
，，，，，，2，，，，，3，，，3，，，2，3，；
其交替和的总和为；
集合，2，3，4，5，的所有非空子集的交替和的总和为；
故选：．
5．已知集合，集合，则
A．或 B．
C．或 D．
【解答】解：，且，
或．
故选：．
6．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有57人，参加唱歌课外活动的有82人，参加体育课外活动的有53人，三种课外活动都参加的有20人，只选择两种课外活动参加的有36人，不参加其中任何一种课外活动的有10人，问接受调查的小学生共有多少人？
A．116 B．126 C．146 D．160
【解答】解：设选择舞蹈和体育两项课外活动的有人，参加舞蹈和唱歌两项课外活动的人人，
作出韦恩图：
接受调查的小学生共有：．
故选：．
7．“”是“不等式对任意的恒成立”的 条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对任意的恒成立，
①当时，，恒成立；
②当时，，解得，
综上所述，，
，
“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件．
故选：．
8．已知集合，，．
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的_____，求的取值范围．
从“①充分不必要条件；②必要不充分条件；③既不充分又不必要条件”中任选一个，补充在上面横线处，并进行作答．
【解答】解：（1）若，则集合，，
又集合，，所以，；
（2）因为，则集合，，
若选①：则，，，所以，且等号不能同时成立，解得，即为，；
若选②：则，，，所以，且等号不能同时成立，解得，即为，；
若选③：由题意可得，解得，即为．
9．关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：关于的方程的两根都大于2，令，
可得，即，求得，
故选：．
10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【解答】解：关于的不等式的解集为或，
二次函数的开口方向上，即，选项正确；
方程的两个实数根为，4，
，解得，则等价于，
又，，选项错误；
不等式等价于，即，解得或，
所以不等式的解集为或，选项正确；
因为，选项错误．
故选：．
11．（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【解答】解：（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，
即对任意实数，恒成立，
①当时，恒成立，符合题意，
②当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为，．
（2），
①当时，，即，
②当时，不等式可化为，
令得，，，
当时，，开口向上，
此时不等式的解集为，
当时，，开口向下，
此时不等式的解集为，
当时，，开口向下，
此时不等式的解集为或，
当时，，开口向下，
此时不等式的解集为或，
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；时，解集为或；时，解集为；当时，解集为或．
12．若，，，，下列不等式一定成立的有
A． B． C． D．
【解答】解：对于，因为，所以，又，所以，故正确；
对于，因为，所以，故错；
对于，因为，所以①，可得②，，可得，所以，故正确；
对于，，分母符合不确定，故错；
故选：．
13．下列结论正确的是
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最大值是1
D．设，，且，则的最小值是
【解答】解：选项，，当且仅当，即时，等号成立，故选项正确；
选项，在上单调递增，，即选项错误；
选项，设，
令，则，当且仅当，即时，等号成立，
的最大值为1，即选项正确；
选项，，
当且仅当，即，时，等号成立，
的最小值为，即选项错误．
故选：．
14．若，，且，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于，，，且，，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，故正确，
对于，，，且，，当且仅当时，等号成立，故错误，
对于，，，，且，，当且仅当时，等号成立，
，
，当且仅当时，等号成立，故正确，
对于，，，且，
，当且仅当，即时，等号成立，故错误，
故选：．
15．若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：因为，，，
即，
所以，
当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值，
因为不等式恒成立，
所以，
解得，，
故答案为：为．
16．已知实数，满足，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为，且，
当且仅当时取“”，
所以，所以，选项错误；
因为，
所以，选项、错误；
因为，
当且仅当时取“”，所以选项正确．
故选：．
17．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【解答】解：因为正实数，满足，
可得，
则，
当且仅当且时取等号，此时取得最小值．
故答案为：．
18．已知，，是正实数，且，则最小值为 ．
【解答】解：，
其中，
当且仅当时取等号，
故．
当且仅当时取等号．
故答案为：．
19．已知实数，则的最小值是
A．6 B． C． D．
【解答】解：，可得，
则
，
当且仅当，，即时，上式取得等号，
所以的最小值为．
故选：．
20．若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：对任意实数，，不等式可化为，
，
令，，
令，
函数取得最大值为，
，
实数的最小值为，
故选：．
21．下列说法正确的有
A．若，则的最大值是
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若，则的最小值是4
【解答】解：对于，若，则，所以，故的最大值是，故正确；
对于，若，，都是正数，且，则，当且仅当，即时等号成立，故正确；
对于，若，，，所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，故错误；
对于，若，所以，
则，当且仅当，即时取等号，故正确．
故选：．
22．为了提高某商品的销售额，某厂商采取了“量大价优”“广告促销”的方法．市场调查发现，某件产品的月销售量（万件）与广告促销费用（万元）满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为万元．
（1）求与的函数关系式；（利润销售额成本广告促销费用）
（2）当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？
【解答】解：（1）因为销售额销售量单价，
又因为，
所以销售额，
成本，
所以；
（2）因为．
当，即时，等号成立．
所以当广告促销费用定为万元的时候，该产品的利润最大，最大利润为万元．
23．已知函数的定义域为，，则函数的定义域是
A．，， B．，， C．， D．，，
【解答】解：函数的定义域为，，
由，解得且．
函数的定义域是，，．
故选：．
24．已知．
（1）求函数的解析式；
（2）若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式；
（3）求关于的不等式．
【解答】解：（1）因为，
设，则，；
所以函数的解析式，，，；
（2）若是定义在上的奇函数，
时，，
时，，，所以，
函数的解析式为；
（3）不等式可化为，
因为是定义域上的减函数，所以，
即，
所以，解得或；
所以不等式的解集为，，．
25．已知定义在上的函数满足：．
（1）求函数的表达式；
（2）若不等式在，上恒成立．求实数的取值范围．
【解答】解：（1）已知定义在上的函数满足：，
将的替换为得，
联立，
解得；
（2）不等式为，化简得，
要使其在，上恒成立，则，解得．
所以实数的取值范围为，．
26．的值域是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：令，，则，
则，，图象开口向下，对称轴，
所以当时，函数取得最大值为2，
所以函数的值域是，．
故选：．
27．函数的值域为 ， ．
【解答】解：由，
又，则，则，所以，
故函数的值域为，．
故答案为：，．
28．已知函数，．
（1）若不等式的解集为，，求不等式的解集；
（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知，若方程在有解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）若不等式的解集为，，
即1，2是方程的两个根，
则，即，
则，由得，
即得，得或，
即不等式的解集为，，．
（2）不等式恒成立，
即在，恒成立，
令，，，
则，
令，解得：，
故在，递增，在，递减，
故（1）或，
而（1），，
故．
（3）由得，
，即，
若方程在，有解，等价为有解，
设，
，，，，
即，即，则，
即实数的取值范围是，．
29．函数的值域为 ， ．
【解答】解：函数，
令，
当时，可得，
当时，
可得：．
当时，可得，当且仅当时取等号．
则．
当时，可得，当且仅当时取等号．
则．
故得函数的值域为，．
故答案为，．
30．已知，，且满足．
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，解得，当且仅当，即时取到最大值，时取到最小值．
所以的取值范围是．
（2）①当时，，所以；
②当时，，
令，，
令，．
（Ⅰ）当时，，
当且仅当，即时，取等号，所以；
（Ⅱ）当时，；
（Ⅲ）当时，，当且仅当，
即时，等号成立，所以；
综上，的取值范围是．
31．已知函数．
（1）若对任意，，，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若存在，对任意，，总存在唯一，，使得成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，所以，，
所以，
要使，，不等式恒成立，只需，
所以，即，
记（a），因为，，
所以只需，即，
解得或或．
（2）当时，，当时，，，
所以函数的值域为，．
其次，由题意知，，，
且对任意，，总存在唯一，，使得．
以下分三种情况讨论：
①当时，则，解得；
②当时，则，解得；
③当时，则或，解得．
综上，或．
32．下列命题正确的是
A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数
B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数
C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数
D．若函数，都是上的增函数，则函数在上也是增函数
【解答】解：对，等价于，
设，则，根据单调性的定义可知，函数在上是增函数，正确；
对，设，原不等式等价于，根据单调性的定义可知，
函数在上是增函数，正确；
对，若，满足对于，都有成立，
但是函数在上不是增函数，错误；
对，设，都是上的增函数，
但是在上不是增函数，错误．
故选：．
33．已知函数．
（1）用单调性定义证明在，上单调递减，并求出其最大值与最小值；
（2）若在，上的最大值为，且，求的最小值．
【解答】解：（1）证明：因为，
任取，，使，
则，
即有，
所以在，上单调递减，
所以（1），；
（2）由（1）可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
34．已知定义在上的函数满足：
①（3）；
②，，；
③当时，．
（1）求；
（2）求证：函数在上单调递增；
（3）若实数，在上恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）取得，（9）（3），
取得，（1）（1），（1），
取得，，．
（2）证明：任取，令，得：，
因为，所以，
所以，故函数在上单调递增．
（3）方法一：（9），所以，
所以，
由（2）知单调递增，则，
定义域，，此时也为正，
由题，在上有定义，则，
令，，，则，
所以，，
式可化为即在恒成立，
设，只需，解得，
综上，．
方法二：，
★在恒成立即可，
由题，在上有定义，则，，
下证：当时，★式在区间上均成立，
，
，
又，且单调递增，
，即时，★式成立．
综上，．
35．已知函数满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：由题，对任意都有成立，可得函数在上为增函数．
，解得，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
36．函数的单调增区间为
A． B．
C．和 D．
【解答】解：设，则有且；，，，
所以函数的定义域为：且，
由二次函数的性质可知的单调递增区间为，，；单调递减区间为：，，；
又因为在和，上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：，和．
故选：．
37．若函数同时满足：
（1）对于定义域内的任意，有；
（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．
下列四个函数是“理想函数”的是
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得“理想函数”既是奇函数，又是增函数．
对于选项既是奇函数又是增函数，所以正确，
对于选项，是奇函数，但不是增函数，所以选项错误．
故选：．
38．设函数，若函数在上的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：函数，定义域为，
令，
则，所以是奇函数，
因为函数在上的最大值为，最小值为，
所以在上的最大值为，最小值为，
由奇函数的性质可得，所以．
故答案为：2．
39．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是
A． B． C． D．
【解答】解：当时，则，
则，
是奇函数，
，
即，
则，
故选：．
40．已知函数为定义在，上的奇函数，则的解集为
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函数为定义在，上的奇函数，
，得到，
函数为奇函数，满足，
则，，，
，即函数的定义域为，，
则等价于，，
，
函数在，上单调递增，
，解得，
原不等式的解集为．
故选：．
41．定义域为的奇函数在，上单调递减．设，若对于任意，，都有，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：由题意得，
所以，即为偶函数，
因为奇函数在，上单调递减且，
根据奇函数对称性可知，恒成立，
当时，，
故在上单调递增，
根据偶函数对称性可知，在上单调递减，
因为对于任意，，都有，
所以在，上恒成立，
所以，
所以在，上恒成立，
所以．
故答案为：，．
42．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意、都有，且当时，，（2）．
（1）判断的奇偶性与单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：．
【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意，都有，
令，，代入上式得（1），解得（1），
令，，得，（1），解得，
令，代入上式，，
是偶函数．
在上单调递增，上单调递减，
证明：设，是任意两个变量，且，设，，
则
当时，；
，即，
，
即在上的单调递增，又因为偶函数的图象关于轴对称，故在上单调递减．
（2）（2），（4）（2）．
，
（4），
又是偶函数，且在上是增函数，
，
解得或且．
不等式的解集是：或且．
第一章 集合与常用逻辑用语
题型一：集合关系
1.集合，，，，，之间的关系是
A． B． C． D．
2.，．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
题型二：子集个数
3.已知集合恰有两个非空真子集，则实数的取值范围是 ．
4.含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如，6，的交替和是；而的交替和是5，则集合，2，3，4，5，的所有非空子集的交替和的总和为
A．32 B．64 C．80 D．192
题型三：集合运算
5.已知集合，集合，则
A．或 B．
C．或 D．
题型四：容斥原理
6. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有57人，参加唱歌课外活动的有82人，参加体育课外活动的有53人，三种课外活动都参加的有20人，只选择两种课外活动参加的有36人，不参加其中任何一种课外活动的有10人，问接受调查的小学生共有多少人？
A．116 B．126 C．146 D．160
题型五：充要条件——知范围求条件、知条件求范围
7.“”是“不等式对任意的恒成立”的 条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8.知集合，，．
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的_____，求的取值范围．
从“①充分不必要条件；②必要不充分条件；③既不充分又不必要条件”中任选一个，补充在上面横线处，并进行作答．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
题型六：根的分布
9.于的方程的两根都大于2，则的取值范围是
A． B．
C． D．
题型七：解二次不等式
10.于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
11.（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
题型八：不等式性质
12.若，，，，下列不等式一定成立的有
A． B． C． D．
题型九：基本不等式使用要求——一正二定三相等
13.下列结论正确的是
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最大值是1
D．设，，且，则的最小值是
题型10：方算几调
14.若，，且，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
题型11：权方和不等式
15.若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
题型12：整体法
16.已知实数，满足，则
A． B． C． D．
题型13：因式分解
17.已知正实数，满足，则的最小值为 ．
题型14：分式的齐次化
18.已知，，是正实数，且，则最小值为 ．
题型15：差值换元
19.已知实数，则的最小值是
A．6 B． C． D．
题型16：齐次式同除减元
20.若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．
题型17：穷途末路——消元
21.若，则的最小值是_______
题型18：基本不等式应用题
22.为了提高某商品的销售额，某厂商采取了“量大价优”“广告促销”的方法．市场调查发现，某件产品的月销售量（万件）与广告促销费用（万元）满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为万元．
（1）求与的函数关系式；（利润销售额成本广告促销费用）
（2）当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？
第三章 函数的概念与性质
题型19：定义域
23.已知函数的定义域为，，则函数的定义域是
A．，， B．，， C．， D．，，
题型20：求解析式——换元法
24.已知．（1）求函数的解析式；
题型21：求解析式——方程组法
25．已知定义在上的函数满足：．（1）求函数的表达式；
题型22：二次（复合）函数值域
26. 的值域是
A．， B．， C．， D．，
题型23：分式函数值域—— 变反比例 （对称中心（-b,a））
27.函数的值域为 ．
题型24：分式函数值域—— 变
28.已知函数，．
（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围；
题型25：分式函数值域—— 变
29.函数的值域为 ．
题型26：分式函数值域——
30.已知x，，且满足.（2）求的取值范围.
题型27：双变量问题
31.已知函数．
（1）若对任意，，，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若存在，对任意，，总存在唯一，，使得成立，求的取值范围．
题型28：单调性的定义
32.下列命题正确的是
A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数
B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数
C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数
D．若函数，都是上的增函数，则函数在上也是增函数
题型29：定义法证明具体函数单调性
33.已知函数．
（1）用单调性定义证明在，上单调递减，并求出其最大值与最小值；
题型30：定义法证明抽象函数单调性——赋值
34.已知定义在上的函数满足：
①（3）；
②，，；
③当时，．
求；（2）求证：函数在上单调递增；
题型31：分段函数单调性
35.已知函数满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是 ．
题型32：复合函数单调性——同增异减
36.函数的单调增区间为
A． B．
C．和 D．
题型33：奇偶性的定义与判断
37.（多选）若函数同时满足：
（1）对于定义域内的任意，有；
（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．
下列四个函数是“理想函数”的是
A． B．
C． D．
题型34：用奇偶性求值
38．设函数，若函数在上的最大值为，最小值为，则 ．
题型35：利用奇偶性求解析式——知一半求一半
39.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是
A． B． C． D．
题型36：奇函数+单调性综合
40.已知函数为定义在，上的奇函数，则的解集为
A．， B．， C．， D．，
题型37：偶函数+单调性综合
41.定义域为的奇函数在，上单调递减．设，若对于任意，，都有，则实数的取值范围为 ．
题型38：抽象函数奇偶性
42．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意、都有，且当时，，（2）．
（1）判断的奇偶性与单调性，并证明你的结论；
期中复习资料
参考答案与解析
1．集合，，，，，之间的关系是
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，，
，，，1，4，7，10，13，
，，，1，4，7，
，7，13，19，25，
故，
故选：．
2．，．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，或，
则；
（2）因为，且，又，
当时，，符合题意，
当时，即，则，即，
当时，即，则，即，
综上，的取值范围为．
3．已知集合恰有两个非空真子集，则实数的取值范围是 且 ．
【解答】解：集合恰有两个非空真子集，
关于的方程有两个不等实数根，
，且，
实数的取值范围是且．
故答案为：且．
4．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如，6，的交替和是；而的交替和是5，则集合，2，3，4，5，的所有非空子集的交替和的总和为
A．32 B．64 C．80 D．192
【解答】解：设集合，2，3，，的所有非空子集的交替和的总和为，
则集合的所有非空子集的交替和的总和为，
集合，的非空子集为，，，；
其交替和的总和为；
集合，2，的非空子集为，，，，，，，，，，2，；
其交替和的总和为；
集合，2，3，的非空子集为，，，，，，，，，，2，，
，，，，，，2，，，，，3，，，3，，，2，3，；
其交替和的总和为；
集合，2，3，4，5，的所有非空子集的交替和的总和为；
故选：．
5．已知集合，集合，则
A．或 B．
C．或 D．
【解答】解：，且，
或．
故选：．
6．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有57人，参加唱歌课外活动的有82人，参加体育课外活动的有53人，三种课外活动都参加的有20人，只选择两种课外活动参加的有36人，不参加其中任何一种课外活动的有10人，问接受调查的小学生共有多少人？
A．116 B．126 C．146 D．160
【解答】解：设选择舞蹈和体育两项课外活动的有人，参加舞蹈和唱歌两项课外活动的人人，
作出韦恩图：
接受调查的小学生共有：．
故选：．
7．“”是“不等式对任意的恒成立”的 条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对任意的恒成立，
①当时，，恒成立；
②当时，，解得，
综上所述，，
，
“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件．
故选：．
8．已知集合，，．
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的_____，求的取值范围．
从“①充分不必要条件；②必要不充分条件；③既不充分又不必要条件”中任选一个，补充在上面横线处，并进行作答．
【解答】解：（1）若，则集合，，
又集合，，所以，；
（2）因为，则集合，，
若选①：则，，，所以，且等号不能同时成立，解得，即为，；
若选②：则，，，所以，且等号不能同时成立，解得，即为，；
若选③：由题意可得，解得，即为．
9．关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：关于的方程的两根都大于2，令，
可得，即，求得，
故选：．
10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【解答】解：关于的不等式的解集为或，
二次函数的开口方向上，即，选项正确；
方程的两个实数根为，4，
，解得，则等价于，
又，，选项错误；
不等式等价于，即，解得或，
所以不等式的解集为或，选项正确；
因为，选项错误．
故选：．
11．（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【解答】解：（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，
即对任意实数，恒成立，
①当时，恒成立，符合题意，
②当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为，．
（2），
①当时，，即，
②当时，不等式可化为，
令得，，，
当时，，开口向上，
此时不等式的解集为，
当时，，开口向下，
此时不等式的解集为，
当时，，开口向下，
此时不等式的解集为或，
当时，，开口向下，
此时不等式的解集为或，
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；时，解集为或；时，解集为；当时，解集为或．
12．若，，，，下列不等式一定成立的有
A． B． C． D．
【解答】解：对于，因为，所以，又，所以，故正确；
对于，因为，所以，故错；
对于，因为，所以①，可得②，，可得，所以，故正确；
对于，，分母符合不确定，故错；
故选：．
13．下列结论正确的是
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最大值是1
D．设，，且，则的最小值是
【解答】解：选项，，当且仅当，即时，等号成立，故选项正确；
选项，在上单调递增，，即选项错误；
选项，设，
令，则，当且仅当，即时，等号成立，
的最大值为1，即选项正确；
选项，，
当且仅当，即，时，等号成立，
的最小值为，即选项错误．
故选：．
14．若，，且，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于，，，且，，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，故正确，
对于，，，且，，当且仅当时，等号成立，故错误，
对于，，，，且，，当且仅当时，等号成立，
，
，当且仅当时，等号成立，故正确，
对于，，，且，
，当且仅当，即时，等号成立，故错误，
故选：．
15．若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：因为，，，
即，
所以，
当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值，
因为不等式恒成立，
所以，
解得，，
故答案为：为．
16．已知实数，满足，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为，且，
当且仅当时取“”，
所以，所以，选项错误；
因为，
所以，选项、错误；
因为，
当且仅当时取“”，所以选项正确．
故选：．
17．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【解答】解：因为正实数，满足，
可得，
则，
当且仅当且时取等号，此时取得最小值．
故答案为：．
18．已知，，是正实数，且，则最小值为 ．
【解答】解：，
其中，
当且仅当时取等号，
故．
当且仅当时取等号．
故答案为：．
19．已知实数，则的最小值是
A．6 B． C． D．
【解答】解：，可得，
则
，
当且仅当，，即时，上式取得等号，
所以的最小值为．
故选：．
20．若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：对任意实数，，不等式可化为，
，
令，，
令，
函数取得最大值为，
，
实数的最小值为，
故选：．
21．下列说法正确的有
A．若，则的最大值是
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若，则的最小值是4
【解答】解：对于，若，则，所以，故的最大值是，故正确；
对于，若，，都是正数，且，则，当且仅当，即时等号成立，故正确；
对于，若，，，所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，故错误；
对于，若，所以，
则，当且仅当，即时取等号，故正确．
故选：．
22．为了提高某商品的销售额，某厂商采取了“量大价优”“广告促销”的方法．市场调查发现，某件产品的月销售量（万件）与广告促销费用（万元）满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为万元．
（1）求与的函数关系式；（利润销售额成本广告促销费用）
（2）当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？
【解答】解：（1）因为销售额销售量单价，
又因为，
所以销售额，
成本，
所以；
（2）因为．
当，即时，等号成立．
所以当广告促销费用定为万元的时候，该产品的利润最大，最大利润为万元．
23．已知函数的定义域为，，则函数的定义域是
A．，， B．，， C．， D．，，
【解答】解：函数的定义域为，，
由，解得且．
函数的定义域是，，．
故选：．
24．已知．
（1）求函数的解析式；
（2）若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式；
（3）求关于的不等式．
【解答】解：（1）因为，
设，则，；
所以函数的解析式，，，；
（2）若是定义在上的奇函数，
时，，
时，，，所以，
函数的解析式为；
（3）不等式可化为，
因为是定义域上的减函数，所以，
即，
所以，解得或；
所以不等式的解集为，，．
25．已知定义在上的函数满足：．
（1）求函数的表达式；
（2）若不等式在，上恒成立．求实数的取值范围．
【解答】解：（1）已知定义在上的函数满足：，
将的替换为得，
联立，
解得；
（2）不等式为，化简得，
要使其在，上恒成立，则，解得．
所以实数的取值范围为，．
26．的值域是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：令，，则，
则，，图象开口向下，对称轴，
所以当时，函数取得最大值为2，
所以函数的值域是，．
故选：．
27．函数的值域为 ， ．
【解答】解：由，
又，则，则，所以，
故函数的值域为，．
故答案为：，．
28．已知函数，．
（1）若不等式的解集为，，求不等式的解集；
（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知，若方程在有解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）若不等式的解集为，，
即1，2是方程的两个根，
则，即，
则，由得，
即得，得或，
即不等式的解集为，，．
（2）不等式恒成立，
即在，恒成立，
令，，，
则，
令，解得：，
故在，递增，在，递减，
故（1）或，
而（1），，
故．
（3）由得，
，即，
若方程在，有解，等价为有解，
设，
，，，，
即，即，则，
即实数的取值范围是，．
29．函数的值域为 ， ．
【解答】解：函数，
令，
当时，可得，
当时，
可得：．
当时，可得，当且仅当时取等号．
则．
当时，可得，当且仅当时取等号．
则．
故得函数的值域为，．
故答案为，．
30．已知，，且满足．
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，解得，当且仅当，即时取到最大值，时取到最小值．
所以的取值范围是．
（2）①当时，，所以；
②当时，，
令，，
令，．
（Ⅰ）当时，，
当且仅当，即时，取等号，所以；
（Ⅱ）当时，；
（Ⅲ）当时，，当且仅当，
即时，等号成立，所以；
综上，的取值范围是．
31．已知函数．
（1）若对任意，，，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若存在，对任意，，总存在唯一，，使得成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，所以，，
所以，
要使，，不等式恒成立，只需，
所以，即，
记（a），因为，，
所以只需，即，
解得或或．
（2）当时，，当时，，，
所以函数的值域为，．
其次，由题意知，，，
且对任意，，总存在唯一，，使得．
以下分三种情况讨论：
①当时，则，解得；
②当时，则，解得；
③当时，则或，解得．
综上，或．
32．下列命题正确的是
A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数
B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数
C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数
D．若函数，都是上的增函数，则函数在上也是增函数
【解答】解：对，等价于，
设，则，根据单调性的定义可知，函数在上是增函数，正确；
对，设，原不等式等价于，根据单调性的定义可知，
函数在上是增函数，正确；
对，若，满足对于，都有成立，
但是函数在上不是增函数，错误；
对，设，都是上的增函数，
但是在上不是增函数，错误．
故选：．
33．已知函数．
（1）用单调性定义证明在，上单调递减，并求出其最大值与最小值；
（2）若在，上的最大值为，且，求的最小值．
【解答】解：（1）证明：因为，
任取，，使，
则，
即有，
所以在，上单调递减，
所以（1），；
（2）由（1）可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
34．已知定义在上的函数满足：
①（3）；
②，，；
③当时，．
（1）求；
（2）求证：函数在上单调递增；
（3）若实数，在上恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）取得，（9）（3），
取得，（1）（1），（1），
取得，，．
（2）证明：任取，令，得：，
因为，所以，
所以，故函数在上单调递增．
（3）方法一：（9），所以，
所以，
由（2）知单调递增，则，
定义域，，此时也为正，
由题，在上有定义，则，
令，，，则，
所以，，
式可化为即在恒成立，
设，只需，解得，
综上，．
方法二：，
★在恒成立即可，
由题，在上有定义，则，，
下证：当时，★式在区间上均成立，
，
，
又，且单调递增，
，即时，★式成立．
综上，．
35．已知函数满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：由题，对任意都有成立，可得函数在上为增函数．
，解得，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
36．函数的单调增区间为
A． B．
C．和 D．
【解答】解：设，则有且；，，，
所以函数的定义域为：且，
由二次函数的性质可知的单调递增区间为，，；单调递减区间为：，，；
又因为在和，上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：，和．
故选：．
37．若函数同时满足：
（1）对于定义域内的任意，有；
（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．
下列四个函数是“理想函数”的是
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得“理想函数”既是奇函数，又是增函数．
对于选项既是奇函数又是增函数，所以正确，
对于选项，是奇函数，但不是增函数，所以选项错误．
故选：．
38．设函数，若函数在上的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：函数，定义域为，
令，
则，所以是奇函数，
因为函数在上的最大值为，最小值为，
所以在上的最大值为，最小值为，
由奇函数的性质可得，所以．
故答案为：2．
39．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是
A． B． C． D．
【解答】解：当时，则，
则，
是奇函数，
，
即，
则，
故选：．
40．已知函数为定义在，上的奇函数，则的解集为
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函数为定义在，上的奇函数，
，得到，
函数为奇函数，满足，
则，，，
，即函数的定义域为，，
则等价于，，
，
函数在，上单调递增，
，解得，
原不等式的解集为．
故选：．
41．定义域为的奇函数在，上单调递减．设，若对于任意，，都有，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：由题意得，
所以，即为偶函数，
因为奇函数在，上单调递减且，
根据奇函数对称性可知，恒成立，
当时，，
故在上单调递增，
根据偶函数对称性可知，在上单调递减，
因为对于任意，，都有，
所以在，上恒成立，
所以，
所以在，上恒成立，
所以．
故答案为：，．
42．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意、都有，且当时，，（2）．
（1）判断的奇偶性与单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：．
【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意，都有，
令，，代入上式得（1），解得（1），
令，，得，（1），解得，
令，代入上式，，
是偶函数．
在上单调递增，上单调递减，
证明：设，是任意两个变量，且，设，，
则
当时，；
，即，
，
即在上的单调递增，又因为偶函数的图象关于轴对称，故在上单调递减．
（2）（2），（4）（2）．
，
（4），
又是偶函数，且在上是增函数，
，
解得或且．
不等式的解集是：或且．