13.3.2等边三角形 同步练习（含答案） 2023—2024学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.3.2等边三角形 同步练习（含答案） 2023—2024学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 321.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-05 21:22:13 | ||
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文档简介
13.3.2等边三角形同步练习
2023—2024学年人教版数学八年级上册
一、单选题
1．下列关于等边三角形的描述错误的是（ ）
A．三边相等的三角形是等边三角形
B．三个角相等的三角形是等边三角形
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两个角是60°的三角形是等边三角形
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，以下说法错误的是（ ）
A．AC＝2CD B．AD＝2CD C．AD＝3BD D．AB＝2BC
3．如图所示，△ABC是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则△ABC的边长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在△ABC中，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．如图，以△ABC的和为边分别向外作等边和等边，连结和交于点O，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，数学活动课上，为测量学校与河对岸农场之间的距离，在学校附近选一点，用测量仪器测得，，，则学校与农场之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．根据条件判断下列三角形是等边三角形为 ．
9．在中，角B为90°，，，则 ．
10．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为 ．
11．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为 ．
12．在△ABC中，，，，则△ABC的周长是 ．
13．如图，等边△ABC的边长为cm，、分别是、上的点，将△ADE沿直线折叠，点落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
三、解答题
14．已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，延长BC至点E使CE=AD，连接DE交AC于点F．
⑴ 求证：FD=FE；
⑵ 若∠BDE=90°，CF与CE相等吗？并说明理由．
15．如图，在△ABC中，，，，， 与相交于点．
(1)求∠BOC的度数；
(2)求证：△ABC为等边三角形．
16．如图，△ABC是等边三角形，，垂足分别为D，E，相交于点O，连接．
(1)判断△CDE的形状，并说明理由；
(2)求证： S△AOB=2S△OBE
17．数学课上，老师出示了如下题目：如图1，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小明与同桌讨论后，进行了如下解答
（1）特殊情况入手探索：
当点为的中点时，如图2，他们得到_ _（填“>”，“<”或“=”)，请你写出推理过程．
（2）一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，二人讨论后得出中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图3，过点作交于点．（请完成余下的证明过程)
（3）用结论解决问题：
在边长为的等边三角形中，点在直线上，且点在直线上，则_ _ _（直接写出结果）
18．四边形ACBD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N．交直线AB于E、F两点，
（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；
（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长．
参考答案：
1．C
2．B
3．B
4．B
5．B
6．B
7．C
8．（2）（3）（5）（6）
9．5
10．等边三角形．
11．3．
12．12
13．6
14．（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，根据全等三角形的判定证得△DGF≌△ECF （ASA）即可求证结论；
（2）根据等边三角形的性质和三角形内角和求得∠ABC=60°，∠BED=30°，根据三角形外角的性质可得∠CFE=30°，继而根据等角对等边的性质求解．
15．(1)
（2）求出，可得，即可证明△ABC为等边三角形．
16．（1）∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠C=60°，CE=BC，CD=AC；而BC=AC，
∴CD=CE，
∴△CDE是等边三角形．
（2）由（1）知：AE、BD分别是△ABC的中线，
∴∠BAE=∠DBA=30°，AE⊥CB，
∴OA=OB，
∵∠OBE=30°，
∴OB=2OE，
∴AO=2OE，
∵若△AOB以OA为底，△OBE以OE为底，则它们是同高的，
∴S△AOB:S△OBE ，
∴S△AOB=2S△OBE
17．解：（1）=
（2）如图3，
∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB；
∴∠EFC=∠DBE=120°；
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC与△DBE中，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB；
∵∠AEF=∠AFE=60°
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，
∴AE=BD．
（3）7或3．
18．（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，
则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，，
∴△MND≌△QND（SAS），
∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，
∴BM+AN=MN；
（2）MN+AN=BM．
理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，
则DN=DP，AN=BP，
∵∠DAN=∠DBP=90°，
∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，，
∴△MND≌△MPD（SAS），
∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，
∴MN+AN=BM；
（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM=MG=BG，
根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，
根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，
∴∠MND=∠MHN，
∴MN=MH，
∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，
即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，，
∴△ANE≌△GHE（AAS），
∴AE=EG=1，
∵AC=5，
∴AB=AC=5，
∴BG=AB-AE-EG=5-1-1=3，
∴BM=BG=3．
2023—2024学年人教版数学八年级上册
一、单选题
1．下列关于等边三角形的描述错误的是（ ）
A．三边相等的三角形是等边三角形
B．三个角相等的三角形是等边三角形
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两个角是60°的三角形是等边三角形
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，以下说法错误的是（ ）
A．AC＝2CD B．AD＝2CD C．AD＝3BD D．AB＝2BC
3．如图所示，△ABC是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则△ABC的边长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在△ABC中，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．如图，以△ABC的和为边分别向外作等边和等边，连结和交于点O，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，数学活动课上，为测量学校与河对岸农场之间的距离，在学校附近选一点，用测量仪器测得，，，则学校与农场之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．根据条件判断下列三角形是等边三角形为 ．
9．在中，角B为90°，，，则 ．
10．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为 ．
11．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为 ．
12．在△ABC中，，，，则△ABC的周长是 ．
13．如图，等边△ABC的边长为cm，、分别是、上的点，将△ADE沿直线折叠，点落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
三、解答题
14．已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，延长BC至点E使CE=AD，连接DE交AC于点F．
⑴ 求证：FD=FE；
⑵ 若∠BDE=90°，CF与CE相等吗？并说明理由．
15．如图，在△ABC中，，，，， 与相交于点．
(1)求∠BOC的度数；
(2)求证：△ABC为等边三角形．
16．如图，△ABC是等边三角形，，垂足分别为D，E，相交于点O，连接．
(1)判断△CDE的形状，并说明理由；
(2)求证： S△AOB=2S△OBE
17．数学课上，老师出示了如下题目：如图1，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小明与同桌讨论后，进行了如下解答
（1）特殊情况入手探索：
当点为的中点时，如图2，他们得到_ _（填“>”，“<”或“=”)，请你写出推理过程．
（2）一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，二人讨论后得出中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图3，过点作交于点．（请完成余下的证明过程)
（3）用结论解决问题：
在边长为的等边三角形中，点在直线上，且点在直线上，则_ _ _（直接写出结果）
18．四边形ACBD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N．交直线AB于E、F两点，
（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；
（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长．
参考答案：
1．C
2．B
3．B
4．B
5．B
6．B
7．C
8．（2）（3）（5）（6）
9．5
10．等边三角形．
11．3．
12．12
13．6
14．（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，根据全等三角形的判定证得△DGF≌△ECF （ASA）即可求证结论；
（2）根据等边三角形的性质和三角形内角和求得∠ABC=60°，∠BED=30°，根据三角形外角的性质可得∠CFE=30°，继而根据等角对等边的性质求解．
15．(1)
（2）求出，可得，即可证明△ABC为等边三角形．
16．（1）∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠C=60°，CE=BC，CD=AC；而BC=AC，
∴CD=CE，
∴△CDE是等边三角形．
（2）由（1）知：AE、BD分别是△ABC的中线，
∴∠BAE=∠DBA=30°，AE⊥CB，
∴OA=OB，
∵∠OBE=30°，
∴OB=2OE，
∴AO=2OE，
∵若△AOB以OA为底，△OBE以OE为底，则它们是同高的，
∴S△AOB:S△OBE ，
∴S△AOB=2S△OBE
17．解：（1）=
（2）如图3，
∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB；
∴∠EFC=∠DBE=120°；
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC与△DBE中，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB；
∵∠AEF=∠AFE=60°
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，
∴AE=BD．
（3）7或3．
18．（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，
则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，，
∴△MND≌△QND（SAS），
∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，
∴BM+AN=MN；
（2）MN+AN=BM．
理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，
则DN=DP，AN=BP，
∵∠DAN=∠DBP=90°，
∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，，
∴△MND≌△MPD（SAS），
∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，
∴MN+AN=BM；
（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM=MG=BG，
根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，
根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，
∴∠MND=∠MHN，
∴MN=MH，
∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，
即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，，
∴△ANE≌△GHE（AAS），
∴AE=EG=1，
∵AC=5，
∴AB=AC=5，
∴BG=AB-AE-EG=5-1-1=3，
∴BM=BG=3．