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联盟2023一2024学年高二秋季期中检测
数
学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码帮
贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效，
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1.已知向量a=(1,1,2),b=(0,1,-1),则a在b方向上的投影向量为
a(信名司
B0,-22)
C.222
6’6,3
2.已知直线1过点(2,3)和(-2,1)，则原点到直线1的距离为
A鲁
B
C4⑤
5
D.3
3.“a=4”是“直线11：(a+2)x+ay+2=0和直线2：(a-1)x+(a-2)y-1=0平行”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，M,N分别是棱AB,PC的中点，则二店+
成+号+财
A.BA
B.MB
C.
D.MN
椭圆C:号+名=1(a>b>0)的离心率e=,左右焦点分别为F,F2,P为
且△PF,F2的周长为12，则C的方程为
+号=1
B花+
y
16+4=1
数学试题第1页（共4页）
6.已知双曲线C:-1(a>0,6>0),4为C的上顶点，B(0,5a.若在C的渐近线上存在
一点P,使得∠APB=90°，则C的离心率的取值范围为
a,3￥2
B,32]
c1,35
D,351
7.已知圆C:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4,其中a,b∈R若两圆外切，则
6-3的取值范围为
a+3
-4
-号
c.21
.o.
8.已知正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为2，点P在正方形ABCD内，点P,在正方形
A1B,C,D1内，且直线PP,⊥平面ABCD.若三棱柱ABP-A1B1P1的侧面积为12，则∠APB的
最大值为
A.120°
B.90
C.0°
D.30
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.已知直线2x-y-3=0过圆C1:x2+y2-2x+y+1=0(k∈R)的圆心，若点A在圆C,上，
点B在圆C2:x2+y+4x-6y-12=0上，则
A.k=1
B圆C1与圆C2相交
C.1B1的最大值为11
D.两个圆的相交弦所在直线的方程为3x-4y-6=0
10.若关于x,y的方程x2+y2+(1-A2)y+x-y-2=0表示的曲线为C,则
A.当入=-1时，C表示双曲线
B当入=0时，C表示两条直线
C当入=1时，C表示圆
D.当入=2时，C表示关于坐标轴对称的椭圆
山.已知椭圆C:名+1(@>b>0)的左、右焦点分别为R,F,过3的直线1交椭圆C于
a
A,B两点(A在B的上方)，AF,·AF=0,且IAF,I=3IBF2I,则
A.么AF,F2是等腰三角形
R△ABR,的面积为子
C.1的斜率为-1
DC的离心率为号
数学试题第2页（共4页）联盟2023-2024学年高二秋季期中检测数学答案
2023.11
、单项选择题(共8题，共40分) 四、解答题(共6题，共70分)
1. 【正确答案】 17. 【正确答案】
B. (0，﹣ 1 1， ) 解：（Ⅰ）因为l与直线2x－4y＋3 = 0垂直，
2 2 所以可设l：4x+2y+c=0，
2. 【正确答案】
令x=0，得 c cy = ﹣ ，令y=0，得x = ﹣ ，
C. 4√5 2 4
5 所以 ﹣ c c 9－ = ，所以c=－3，
3. 【正确答案】 4 2 4
充要条件 故所求直线l的 程为4x＋2y－3 = 0。C.
4. 【正确答案】 （Ⅱ）当l⊥AB时，符合要求。
3－1 1
A. → 因为kAB = = 2 ，所以l的斜率为－2，2＋2
BM
. 【正确答案】 所以l的 程为y－1 = －2(x＋2)，即2x+y+3=0。5
B. 2 2 故所求直线l的 程为2x+y+3=0。x y
＋ = 1 18. 【正确答案】
16 12
6. 【正确答案】 x2＋(y－2)2
D. 3√5 解：(Ⅰ)由题可得
|PA| √ 1= = ，
(1， ] 2 2 2
5 |PB| (x－3) ＋(y－2)
7. 【正确答案】 化简得(x＋1)2 ＋ (y－2)2 = 4，即为E的 程。
A. ﹣ 24[ ，0] (Ⅱ)由题可知l的斜率存在，设l:y－1=k(x－2)，
7
. 【正确答案】 即kx－y－2k+1=0。8
60 由(Ⅰ)可知曲线E是以(－1，2)为圆 ，2为半径的圆，C.
因为|MN|= 2√3，
、多项选择题(共4题，共20分)
所以圆 到直线l的距离为√22 － (√3)29. 【正确答案】 = 1，
B. 圆C1与圆C2相交 |3k＋1| 3所以 = 1，解得k=0或k = ﹣
| 4
。
C. AB|的最 值为11 √k2＋1
10. 【正确答案】 所以l的 程为y=1或3x+4y－10=0。
A. 当λ=－1时，C表 双曲线 19. 【正确答案】
B. 当λ=0时，C表 两条直线 解：(Ⅰ)如图，作EF∥CD，与PD交于点F，连接AF。
C. 当λ=1时，C表 圆
11. 【正确答案】
A. △AF1F2是等腰三 形
C. l的斜率为－1
D. √2
C的离 率为
2
12. 【正确答案】
A. MA＋MC1的最 值为√6＋√2
B. 存在 点M，使得AM与平 BB D D所成 为45 1 1
D. 当 1λ = 时，三棱锥M －ACD1的外接球的表 积为2 ∵AB∥CD，EF∥CD，∴EF∥AB，
11π
∵EC = 2PE，∴ 1EF = CD = 1 = AB，
三、填空题(共4题，共 320分)
∴四边形ABEF是平 四边形，∴BE∥AF，
13. 【正确答案】 又∵BE 平 PAD，AF 平 PAD，∴BE∥平 PAD.
第1空. 6 (Ⅱ)以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为
14. 【正确答案】
x轴、y轴、轴建 空间直 坐标系，如图所
第1空. 1 由图可知B(0，1，0)，D(2，0，0)，C(2，3，0)，
6
. 【正确答案】 2 415 P(0，0，2)，E( 3 , 1, 3 )
第1空. 2 6( ， ) 设平 PBD的法向量为n=(x，y，z)，
5 5
16. 【正确答案】 →易知BD = (2，－1，0),
第1空. 3＋2√2
第1页(共3页)
{#{QQABSYAAggigQhBAAQgCQwXwCgCQkACCAIoOBBAAIAABQQFABAA=}#}
→ →
P D = (2，0，－2)， 3√13 |n BC| 3所以 13 = = → |n| 3－6λBD n = 2x－ y = 0， √ 3＋9＋( )2则 2－2λ → 1 5PD n = 2x－2z = 0， 解得λ = 或λ = (舍去)，4 8可得n=(1，2，1)， 1同理可得平 EBD的 个法向量为 ( ， ，﹣ 故λ =m= 2 4 1)。 4m n 9 3√14 21. 【正确答案】∴cos ＜m，n ＞= = = ,.| || | √21×√6 14 解：(Ⅰ)因为C的中 在坐标原点，焦点在x轴上，m n 23√ x2 y∴ - 14P BD-E的余弦值为 。 所以设椭圆C的 程为 ＋ = 1(a ＞b ＞0)，14 a2 b220. 【正确答案】 半焦距为c(c＞0)。解：(Ⅰ)在题图2中，AD⊥BD，AD⊥CD， 由题可得a=2，c = √3，b2 = a2 － c2 = 1，∠BDC为 B－AD－C的平 ，即∠BDC = 60 x2又CD∩ 2BD=D，所以AD⊥平 BCD， 所以C的 程为 ＋ y = 1。4所以AD⊥BC (Ⅱ)由题可设直线MN的 程为x = my＋n (m ≠0)，→ →因为题图1中DC = 2BD及BC=3，所以BD=1，CD=2， M (x1，y1)， N (x2，y2)，在△ x = my＋n,BCD中，由余弦定理可得BC = √3，又因为BD2 联 { 2＋BC 2 = 1＋ (√3)2 = 4 = CD2， x ＋ y2 = 1,所以BC⊥BD。又AD∩BD=D，所以BC⊥平 ABD。 42 2(Ⅱ)以 为坐标原点，以 所在的直线为 轴， 得(m ＋4)y ＋2mny＋n2 －4 = 0，B BC xBD所在的直线为y轴，过B且平 于 2AD的直线为x轴， 则 －2mn n －4y ＋ y = ，y y = ，（*）建 如图所 的空间直 坐标系。 1 2 1 2m2＋4 m2＋4y y所以 1 2kQM＋k QN = ＋ = 0,x1＋4 x2＋4化简得y1 (x2 ＋4)＋ y2 (x1＋4) = 0,即2my1y2＋ (n＋4) (y1＋ y2) = 0,－8m(n＋1)将(*)代 得 = 0，m2＋4因为m≠0，所以n=－1，所以直线MN的 程为x=my－1，恒过定点(－1，0)在Rt△ACD中，∠ACD = 45 ，所以AD=CD=2。所以B(0，0，0)，C(√3，0，0)，D(0，1，0)，√A(0，1， )， 3 12 M( ， ，0)，2 2所以P(√3λ，1－ λ，2－2λ)，→BP = (√3λ，1－ λ，2－2λ)， → √ 22. 【正确答案】3 1BM = ( 2 ， 2，0) 解：（Ⅰ）因为C的 条渐近线 程为y=2x，设平 PBM的法向量为n=(x，y，z)，则有 所以 ba = 2，即b=2a， → √ 2 2n BP = √3λx＋ (1－ λ)y＋ (2－2λ)z = 0 又右焦点坐标为( 5，0)，所以a ＋ b = 5， → 解得a=1，b=2， √3 1n BM = x＋ y = 0， y22 2 所以C的 程为x2 － = 1。4取 √ ， 3－6λx = 3 y = －3，z = ， （Ⅱ）设l: x = ty－2 ， A(x1，y1)， B(x2，y2) ，2－2λ x = ty－2所以n = (√ 3－6λ3，－3， )， 由{ y22－2λ x2 － = 1→ 4BC = (√3，0，0)， 可得(4t2 －1)y2 －16ty＋12 = 0,则Δ = (－16t)2 －4(4 2t －1) × 12 = 64 2t ＋48 ＞0第2页(共3页){#{QQABSYAAggigQhBAAQgCQwXwCgCQkACCAIoOBBAAIAABQQFABAA=}#}
16t
所以 ， 12y1 ＋ y2 = y1y2 = ，
4t2－1 4t2－1
因为直线l与双曲线C交于x轴上 的A，B两点，
16t ＞0
y1 ＋ y2 ＞0 2所以{ ，即{ 4t －1 ，
y y ＞0 121 2 ＞0
4t2－1
解得 ＞ 1t 2 。
y1＋y所以 2 8tyM = = ，2
4t2－1
2
xM = tyM－2 = ，
4t2－1
2 8t y所以M( ， )，所以 Mk1 = x = 4t。
4t2
M
－1 4t2－1
由| | | |AN| |AP|AN BP|=|AP| |BN|，得 = ，
|BN| |BP|
yN－y1 y可得 1= ，
y2－y
y
N 2
24
2y1y解得 2 4t
2－1 3
yN = = = ，y1＋y2 16t 2t
4t2－1
3
所以 1 1xN = tyN－2 = ﹣ 2 ，所以N( ﹣ 2， 2 )，t
y
所以 N 3k2 = ﹣x =N t
于是 3k1k2 = 4t ( ﹣ ) = －12，为定值。t
第3页(共3页)
{#{QQABSYAAggigQhBAAQgCQwXwCgCQkACCAIoOBBAAIAABQQFABAA=}#}
