第21章二次根式单元复习题（含解析）2023-2024学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版九年级数学上册第21章二次根式单元复习题
一、选择题
1．要使二次根式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．＝（　　）
A． B．- C． D．-
3．下列运算正确的是（　　）
A．2a3 a4=a12 B．2×=4
C．（2a4）3=8a7 D．a8÷a2=a4
4．下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知实数a满足，那么a﹣20002的值是（　　）
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
6．估算：的值应在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
7．已知 ，则 的关系是（　　）
A． B． C． D．
8．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．若，.则代数式的值是（　　）
A． B．3 C． D．
10．某小区有一块矩形的草地，这块草地的宽为 ，为美化小区环境，打算为这块矩形草地围上低矮栅栏.若所需栅栏的总长为 ，那么这块草地的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．化简的结果是　 　．
12． 已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，此三角形的周长是　 　．
13．已知x＝ ，则x﹣ ＝　 　．
14．已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 　 　．
三、计算题
15．计算：
（1）；
（2）．
四、解答题
16．已知 ， ，求 的值
17．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
18．若实数 满足 ，求 的平方根．
五、综合题
19．已知a，b，c满足(a－ )2＋ ＋ ＝0.
（1）求a，b，c的值．
（2）以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成，求出该三角形的周长；若不能，请说明理由．
20．阅读下列运算过程：
①，
②
数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题：
（1）
（2）
21．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式.比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较 和 的大小.可以先将它们分子有理化.如下：
因为 ，所以
再例如：求 的最大值.做法如下：
解：由 ， 可知 ，而
当 时，分母 有最小值 ，所以y的最大值是 .
解决下述问题：
（1）比较 和 的大小；
（2）求 的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴6x+12≥0，
解得：x≥-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件求出6x+12≥0，再计算求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：原式＝＝-.
故答案为：B.
【分析】直接根据二次根式的乘法法则（根指数不变，把被开方数相乘）进行计算.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、2a3 a4=2a7，原式计算错误，故本选项错误；
B、2×=4，原式计算正确，故本选项正确；
C、（2a4）3=8a12，原式计算错误，故本选项错误；
D、a8÷a2=a6，原式计算错误，故本选项错误．
故选B．
【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、二次根式的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等运算，然后选择正确选项．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：
化简各选项中的根式：
在上述根式中与是同类根式的是。
故答案为：B.
【分析】先化简各根式，再与对照可得结果。
5．【答案】C
6．【答案】C
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴估算的值应在2到3之间，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的乘法法则可得，然后由估算无理数大小的方法进行解答.
7．【答案】D
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】将a进行分母有理化，比较a与b即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A．，计算错误，选项不符合题意；
B．，计算错误，选项不符合题意；
C．，计算错误，选项不符合题意；
D．，计算正确，选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加减法、二次根式的乘法和二次根式的性质逐项判断即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式计算出ab的值，由二次根式的加减法法则可得a+b、a-b的值，然后将待求式变形为ab(a+b)(a-b)，再代入计算即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：这块草地的长为： ，
所以这块草地的面积为： .
故答案为：B.
【分析】根据题意可得这块草地的长为，对其进行化简，然后根据矩形的面积公式结合二次根式的混合运算法则进行计算.
11．【答案】
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】根据二次根式的除法法则计算求解即可。
12．【答案】10或11
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
则a=3，b=4
当a为腰时，周长为：3+3+4=10
当b为腰时，周长为：4+4+3=11
故答案为：10或11
【分析】根据二次根式有意义的条件可求出a，b值，再根据等腰三角形性质即可求出答案。
13．【答案】4
【解析】【解答】解：由题意可得：
=4
故答案为：4
【分析】根据分式的四则运算法则即可求出答案.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：
因为最简二次根式 与 可以合并 ，
所以 与 是同类根式，
所以4a+3=2a-b+6，且b+1=2
所以b=1，a=1
所以a+b=2
故答案为：2.
【分析】两个二次根式可以合并，那么它们一定是同类二次根式，根据同类根式的特点列式进行求出a、b再计算它们的和。
15．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可；
（2）利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
16．【答案】解： ， ，
原式=
=
=
= ．
【解析】【分析】先将a、b分母有理化，再对代数式进行变形求解．
17．【答案】解：根据题意得： ，
解得：．
∴m=±2，n=±．
【解析】【分析】由同类二次根式的定义，可得方程组：，解此方程组即可求得答案．
18．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入上式得 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
【解析】【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答．
19．【答案】（1）解：∵(a－ )2≥0， ， ≥0，
且(a－ )2＋ ＋ ＝0，
∴a－ ＝0，b－5＝0，c－3 ＝0，
∴a＝2 ，b＝5，c＝3
（2）解：∵a＋c＝2 ＋3 ＝5 ，5 ＞5，
∴a＋c＞b，
∴以a，b，c为边能构成三角形，其周长为a＋b＋c＝2 ＋5＋3 ＝5＋5
【解析】【分析】（1）根据平方、二次根式和绝对值的非负性即可求解；
（2）求出（1）中的任意两边之和，由三角形三边关系定理即可判断。
20．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式
＝
＝
=9．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法（两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变），可分母有理化；
（2）将各个加数分别分母有理化，再进行二次根式的加减法即可得出答案.
21．【答案】（1）解： ，
，
而 ， ，
，
；
（2）解：由 ， ，可知x≥0，
，
当 时， 有最小值1，则 有最大值 ，
所以y的最大值为 .
【解析】【分析】（1）根据分母有理化的逆用可把两个无理数化为同分子分数，比较分母大小即可；
（2）根据二次根式有意义可得x的取值范围，进而根据分子有理化把分子化为常数1，可得当x=0时，y有最大值.