数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系（共35张ppt）

(共35张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系
第二章 直线和圆的方程
高二数学备课组
的圆的标准方程：
圆心C(a,b),半径r
圆的一般方程
具有
代数特征
直线方程
点斜式
斜
截
式
两
点式
截距式
具有明显几何意义
直线的一般式方程
圆的方程
研究两条直线的位置关系
类比
类比
直线与圆的位置关系
“海上生明月，天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊.在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采.
一、情景导入
（1）直线和圆两个公共点，叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点.
相交
（2）直线和圆有唯一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.
相切
（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
相离
二、直线与圆的位置关系的定义
新知生成
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有_______公共点
相切 只有_______公共点
相离 _______公共点
2
1
无
地平线
r
d
r
d
r
d
问题1 在初中，如何判断直线与圆的位置关系？
相交：
相切：
相离：
dd=r
d>r



公共点个数
圆心到直线距离d与半径r的关系
2
1
0



小结：由直线与圆的位置关系的判定方法
(1)(几何法）利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
直线l：Ax+By+C=0
圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
d >r
相离
直线与圆
相交
(2) (代数法)利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
n=0
n=1
n=2
相离
相切
相交
△<0
△=0
△>0
d＝r
d 相切
直线与圆
问题2 如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？
例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, （1）判断直线l与圆C的位置关系
例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长.
解1:(代数法)
例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长.
解2:(几何法)
x
O
y
6
2
1
B
A
d
l
C

(3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为________
相交
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为________
相切
(2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________
相离
题型一 直线与圆的位置关系的判定
导学案例1 已知直线方程 ，圆的方程 .当 为何值时，圆与直线：
（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点.
[解析] （代数法）将直线 代入圆的方程化简整理，得 .
，
（1）当 ，即 或 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点.
（2）当 ，即 或 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
（3）当 ，即 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.
题型一 直线与圆的位置关系求参数
（几何法）已知圆的方程可化为 ，即圆心为 ，半径 .
圆心 到直线 的距离
.
（1）当 ，即 或 时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点.
（2）当 ，即 或 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
（3）当 ，即 时，直线与圆相离，
即直线与圆没有公共点.
已知点 在圆 外，则直线 与圆 的位置关系是( @30@ ).
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
[解析] ∵点 在圆 外， ，
∴圆心 到直线 的距离 ，
∴直线 与圆 相交.
导学案巩固训练
直线与圆相交时弦长的求法：
(1)几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧.
由垂径定理，得
(2)代数法：计算出两交点
三、圆的弦长问题
（3）利用弦长公式，设直线 ，与圆的两交点为 ， ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 = .
例2 求直线 被圆 截得的弦长．
[解析] （法一）圆 可化为 ，
其圆心坐标为 ，半径 ．
又点 到直线 的距离 ，
则 ，所以截得的弦长为 ．
方法指导 法一:先求圆心、半径,然后解弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形即可.法二:求交点坐标,利用两点间距离公式求弦长.法三:利用弦长公式求弦长..
（法二）设直线 与圆 交于 ， 两点．
由 得交点 ， ，
所以 ．
（法三）设直线 与圆 交于 ， 两点．
由 消去 得 ，
所以 ， ，所以 ．
解1：设圆心O(0,0)到直线的距离为d，则
x
y
O
A
B
d
r
已知直线l: y=x+1 和圆O: x2+y2=4 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.
故弦长|AB|的值为 .
解2：
故弦长|AB|的值为 .
变式：
求弦长常用的三种方法：（1）利用圆的半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 之间的关系解题.（2）先求交点坐标，再直接用两点间距离公式计算弦长.（3）利用弦长公式求解．
(1) 当l过圆心时，被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为
(2) 当l与直径垂直时，被圆截得的弦长最短，即为
四、最长弦、最短弦问题
已知直线l过圆内一点M
四、最长弦、最短弦问题
在平面直角坐标系内,已知A(3,0),B(-1,0),C为动点,若·=5.
(1)求点C的轨迹E的方程;
(2)已知直线l过点(1,2),求曲线E截直线l所得的弦长的最小值.
[解析] (1)设点C的坐标为(x,y),=(x-3,y),=(x+1,y),
∴·=(x-3)(x+1)+y2=5,∴点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=9.
(2)∵(1-1)2+22=4<9,∴点(1,2)在圆内.
当直线l垂直于点(1,2)与圆心的连线时,截得的弦长|CD|最短,|CD|min=2=2.
故曲线E截直线l所得的弦长的最小值为2.
例3 (1)过点P(2, 1)作圆C: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程.
解:

-1
x
O
y
1
1
2

P(2,1)
r
分析:如图，点P(2,1)位于圆C:x2+y2=1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方程为y-1=k(x-2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
五、直线与圆相切问题求切线方程：
例3(2)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为
A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
√
x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
五、直线与圆相切问题求切线方程：
先判断点P与圆C的位置关系
若点P在圆上，切线有一条
若点P在圆外，切线有两条
（1）点P在圆上时: 先求直线CP的斜率k，得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y=y0或 x=x0.
（2）点P在圆外时:
①斜率不存在时，x=x0，检验是否成立
②斜率存在时，设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k.
特别注意: 切线的斜率不存在的情况，不要漏解.
先定位，再定量
五、直线与圆相切问题求切线方程：
新知运用
例3 已知圆 的圆心为 ，且该圆被直线 截得的弦长为4.
（1）求该圆的方程．
（2）求过点 的该圆的切线方程.
[解析] （1）设圆 的方程是 ， 为圆心C到直线 的距离，则 ，
∴弦长为 ， ，
∴圆的方程为 .
方法指导 (1)先求出圆心到直线的距离,即可根据弦长求出半径,从而得出方程;(2)分类讨论,当斜率存在时,根据圆心到直线的距离为半径可求出斜率,当斜率不存在时,也满足.
（2）当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ,
由 ，解得 ，
∴切线方程为 ，
当切线的斜率不存在时，切线方程为 ．
综上所述,所求圆的切线方程为 或 ．
过圆外一点的切线必有两条,当几何法或代数法求得的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出另一条切线的方程.
已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点M(3,5)的圆C的切线方程; (2)若点N(2,1)为圆C的弦AB的中点,求直线AB的方程.
[解析] (1)由题意知,圆心C的坐标为(1,2),半径r=2,
当过点M的直线的斜率不存在时,方程为x=3.
由圆心C(1,2)到直线x=3的距离为3-1=2=r知,此时直线与圆相切.
当过点M的切线的斜率存在时,设方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0.
由题意知=2,解得k=,∴方程为5x-12y+45=0.
故过点M的圆C的切线方程为x=3或5x-12y+45=0.
(2)∵圆心C(1,2),N(2,1),即kNC==-1,
又kNC·kAB=-1,∴kAB=1,则直线AB的方程为x-y-1=0.
如图，在圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点分别为A，B，则
六、求切线长
六、求切线长
1.从圆 外一点 向圆引切线，则切线长为____.
[解析] 点 到圆心 的距离为 ，
则切线长为 .
2
2.由直线y=x+1上任一点向圆(x－3)2+y2=1引切线，则该切线长的最小值为( )
A.1 B. C. D.3
C
2.已知点 在圆 上，点 在直线 上，则 的最小值是( @45@ ).
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，圆心 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，所以 的最小值为
< ．
七、由直线和圆的位置关系求距离的最值问题
A
判断直线和圆的位置关系的方法
弦长的求法
直线和圆的位置关系
定义
弦长公式法
几何法
代数法
几何法
代数法
直线与圆相切问题
相交
相切
相离
代数法
数形结合转化化归等
思想方法