2023—2024学年人教版数学九年级上册第二十二章 二次函数单元检测（含解析）

第二十二章 二次函数 单元检测 2023-2024学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的表达式是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣1）经过变换后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
4．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是（　　）
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3中（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数y＝ax2＋bx＋3中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 3 4 …
y＝ax2＋bx＋3 … 8 　 0 0 　 …
下列结论正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴是x＝1
B．当x＝2时，y有最大值－1
C．当x＜2时，y随x的增大而增大
D．点A的坐标是（0，3）点B的坐标是（4，3）
6．抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为y=x2-2x-3,则b、c的值为（　　）
A．b=2,c=2 B．b=2,c=0 C．b=﹣2,c=﹣1 D．b=﹣3,c=2
7．点(－2， y1 )、(-3， y2 )是抛物线 上的两点，则下列正确的是（　　）
A．y1>y2 B．y2>y1 C．y1=y2 D．不确定
8．点 均在二次函数 的图象上，则 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数y＝ ，当a≤x≤b时，﹣ ≤y≤ ，则b﹣a的最大值为（　　）
A．1 B． +1 C． D．
10．已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．若二次函数y=2x2经过平移后顶点的坐标为（﹣2，3），则平移后的解析式为　 　．
12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x 轴交于A(-1，0)，B(5，0)，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根是 　 　.
13．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于4－n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝mx2+x+1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则m的取值范围是　 　．
14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过　 　秒，四边形APQC的面积最小．
15．已知抛物线（a，b，c是常数，），且，．下列四个结论：
①对于任意实数，恒成立；
②若，则不等式的解集是；
③一元二次方程有一个根；
④点，在抛物线上，若，则当时，总有．其中正确的是　 　．（填写序号）
三、解答题
16．若二次函数图像经过，两点，求b、c的值.
17．春节期间，物价局规定花生油的最低价格为4.1元/kg，最高价格为4.5元/kg，小王按4.1元/kg购入，若原价出售，则每天平均可卖出200kg，若价格每上涨0.1元，则每天少卖出20kg，若油价定为X元，每天获利W元，求W与X满足怎样的关系式？
18．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.
19．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
20． 如图，抛物线与轴交于，两点点为抛物线上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．
（1）求，的值；
（2）当点在抛物线上时，求的值；
（3）当线段与抛物线有两个公共点时，直接写出的取值范围；
（4）过点作轴，点的纵坐标为，且点与点不重合连接，当抛物线在内的部分对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】∵抛物线的解析式为：y=2（x+3）2-4，
∴其顶点坐标为：（-3，-4）．
故答案为：D．
【分析】根据抛物线 y = a ( x -h ) 2 +k 的顶点坐标是(h,k)进行计算即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：；
故答案为：C.
【分析】将抛物线y=ax2向左平移m个单位所得抛物线的解析式为y=a(x+m)2，据此解答.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：y＝（x+3）（x﹣1）＝（x+1）2﹣4，顶点坐标是（﹣1，﹣4），
y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标是（1，﹣4），
所以将抛物线y＝（x+3（x﹣1）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），
故答案为：B．
【分析】分别配方变换前后两个解析式，得出顶点坐标，进而根据顶点坐标找变换规律可得答案．
4．【答案】B
【解析】【解答】第一次降价a%后，售价为168(1－a%)，第二次降价后为168(1－a%)(1－a%)＝168(1－a%)2，即168(1－a%)2＝128.
【分析】根据题意可知，用a表示两次降价后的售价，再根据已知条件得到a的方程。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵当x=1和3时，y=0，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，故A选项不符合题意；
又∵x=-1时，y=8，
∴x<2时，y随x增大而减小；x>2时，y随x增大而大，故C选项不符合题意；
∴x=2时，y有最小值，故B选项不符合题意；
∵x=0时，y=3，则点A（0，3），
∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴B点坐标（4，3），
∴A、B、C不符合题意，D符合题意．
故答案为：D ．
【分析】根据表中数据求出二次函数的解析式，再逐项判断即可。
6．【答案】B
【解析】【分析】把抛物线y=x2-2x-3的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位,得到抛物线y=x2+bx+c．先把y=x2-2x-3配成顶点式得y=（x-1）2-4,所以抛物线y=x2-2x-3的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位,所得抛物线的顶点坐标为（1,-1）,然后利用顶点式直接写出其解析式y=（x+1）2-1=x2+2x,所以b=2,c=0．
故选B．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a=-1<0, ∴当x＜-1时，y随x的增大而增大，∵-3<-2<-1,
∴ y2y2 .
故答案为：A.
【分析】二次函数，当a<0时，在对称轴左边y随x的增大而增大，随x的减小而减小；在对称轴右边y随x的增大而减小，随x的减小而增大，据此分析即可判断。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
∴对称轴为x=1，
∵a＜0，
∴x＞1时，y随x增大而减小，
∵P2(2，y2)、P3(4，y3)，
∴y2＞y3，
∵P1(-2，y1)，P3(4，y3)关于抛物线的对称轴x=1对称，
∴y1=y3，
∴y2＞y1=y3，
故答案为：B．
【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x=1，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：函数的图象如下图所示，
当x≥0，y＝﹣ 时， ，解得：x＝ ，当y＝ 时，x＝ （负值已舍去），
故顶点A的坐标为（ ，﹣ ），点B（ ， ）；
同理点C（ ，﹣ ）；
则b﹣a的最大值为： ﹣ ＝1+ ，
故答案为：B．
【分析】根据题意画出函数的图象如下图所示，根据图象求出当x≥0，y＝ 时，点B的坐标，再求出当x＜0时点C的坐标，然后计算点B的横坐标与点C的横坐标的差即为所求．
10．【答案】B
【解析】【解答】如下图所示，补全函数图象，
∵抛物线图像开口向下，过点（-1，0），其对称轴为直线x=2，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
由图像增减性可知，当x=3时，对应的抛物线y值大于0，
∴
点 在图像上的位置如图所示，易知 ，即④若点
在该函数图象上，则 ，错误，
当抛物线y值为-3时，即 ，易知 ，即 ⑤若方程的两根为和，且，则 ，正确。
综上所述，结论中正确的有：①、②、⑤，共3个结论正确，
故答案为：B。
【分析】此题考察二次函数图象的性质及图像与系数、常数项的关系，灵活掌握二次函数几种形式的等量变换是解题的关键；一般情况下，二次函数图象的残图都需要根据题意补全才能正确解题；此种题型是中考常考题型，综合性较强，难度较大。
11．【答案】y=2x2+8x+11
【解析】【解答】解：抛物线y=2x2经过平移后顶点的坐标为（﹣2，3），
则平移后的解析式为y=2（x+2）2+3=2x2+8x+11．
故答案为y=2x2+8x+11．
【分析】由于平移后抛物线的开口方向和形状没改变，即a的值不变，则可根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
12．【答案】 ，
【解析】【解答】解： 抛物线 与x轴交于 ， ，
即自变量为 和5时，函数值为0，
方程 的两根为 ， .
故答案为： ， .
【分析】求一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根就是求函数 y＝ax2＋bx＋c 与x 轴 交点的横坐标.
13．【答案】﹣ ＜m＜0或m＞1
【解析】【解答】根据题意得：
整理得:
∵有两个相异的二合点
∴
得:
① 当m>0时，根据x1＜x2＜1，由求根公式得:
解得:m>l，m<0(舍去)
② 当m<0时，根据x1＜x2＜1,由求根公式得:.
解得:m<0，m>1(舍去)
综上所述:﹣ ＜m＜0或m＞1
故答案是：﹣ ＜m＜0或m＞1
【分析】题目中，有两个相异的二合点，根据一元二次方程的判别式△= ，得到 ，再分别讨论当m＞0时，m＜0时，用求根公式表示出方程两根，利用x1＜x2＜1求出m的范围.
14．【答案】3
【解析】【解答】解：设P、Q同时出发后经过的时间为t秒，四边形APQC的面积为S平方毫米，
则有：S=S△ABC-S△PBQ
=
=4t2-24t+144
=4（t-3）2+108．
∵4＞0
∴当t=3s时，S取得最小值
【分析】设P、Q同时出发后经过的时间为t秒，四边形APQC的面积为S平方毫米，由题意可得S=S△ABC-S△PBQ，PB=12 2t，BQ=4t，将AB、BC、PB、BQ代入整理并配成顶点式即可求解。
15．【答案】②④
【解析】【解答】解：①由不等式a(m2-1)+b(m-1)≥0，可得am2+bm+c-(a+b+c)≥0，
∵当x =m时，y =am2+bm+c，
当x =1时，y=a+b+c，
∴不等式am2+bm+c-(a+b+c)≥0是抛物线x=m与x=1时函数值的差，
∵根据已知条件不能判断当c=1时，函数有最小值，
∴am2+bm+c-(a+b+c)≥0不正确，
∴结论①不正确，
②∵a-b+c=0，
∴抛物线y=ax2+bx 十c与x轴交于点(-1，0)点，
∵a+b=0，
∴a=-b，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2，0)，
∵a> 0，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的部分x的取值范围为-1∴不等式ax2+bx+c<0的解集是-1∴结论②正确；
③把x=1代入一元二次方程得：-a+b=2b+c，整理得：a+b+c=0；
对于函数y =ax2+bx +c，当x = 1时，y=a+b+c，
若a+b+c=0，则抛物线过点(1，0)，
根据题意知：抛物线y=ax2+bx +c不一定过(1，0)点，
∴一元二次方程 有一个根x =1不正确，
∴结论③错误；
④∵c>a，a>0，
∴抛物线y=ax2+bx +c与y轴正半轴相交
∴抛物线过点(-1，0)点，
∴抛物线的对称轴直线x=m在直线x=-1的左侧，
∴m<-1，
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，且-1∴A，B两点在对称轴右侧的抛物线上，
∵抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1 < y2，
∴结论④正确，
综上所述：正确的是②④，
故答案为：②④.
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
16．【答案】解：将，代入中得，
解得：
∴b=-3，c=-4.
【解析】【分析】将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可。
17．【答案】解：定价为x元/kg，每千克获利（x﹣4.1）元，
则每天的销售量为：200﹣20（x﹣4.1）×10=﹣200+1020，
每天获利W=（﹣200x+1020）（x﹣4.1）=﹣200x2+1840x﹣4182．
【解析】【分析】根据题意得出定价为x元/kg，每千克获利（x﹣4.1）元，进而得出每天的销售量，即可利用销量×每千克获利=总获利得出答案．
18．【答案】解：建立平面直角坐标系，如图，于是抛物线的表达式可以设为 ，根据题意，得出A，P两点的坐标分别为A（0，2），P（1，3.6），∵点P为抛物线顶点，∴ ，∵点A在抛物线上，∴ ， ，∴它的表达式为 ，当点C的纵坐标y=0时，有 ， （舍去）， ，∴BC=2.5，∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m
【解析】【分析】将实际问题转化为数学问题，根据喷水口A距地面2m，可得出点A的坐标为（0,2），根据水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，得出抛物线的顶点P的坐标为（1,3.6），因此设函数解析式为顶点式，再将点A的坐标代入即可求出函数解析式，然后由y=0建立方程求出x的值，根据实际情况取值即可。
19．【答案】解：设矩形的长为x, 面积为y, 则宽为,
由题意得：y=x(0y=-(x-15)2+112.5 ,
∴当x=15时，y最大=112.5.
故最大面积为：112.5平方米.
【解析】【分析】设矩形的长为x, 面积为y, 根据总长为30m, 把宽用含x的代数式表示, 再列函数关系式，因为a=-<0有最大值，配方求出最大值即可.
20．【答案】（1）解：把，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式；
（2）解：抛物线的对称轴是：
，
轴，且点在抛物上，
点和点关于抛物线对称轴对称，
，
解得：；
的值为；
（3）或
（4）或
【解析】【解答】解：（3）点的横坐标为，
点关于对称轴的对称点的横坐标为；
当时，
，
解得：，
；
当时，只有一个交点，显然不符合题意；
当时，
，
解得：，
；
或；
（4）当时，点在轴下方，
由可知：当时，线段与抛物线有两个交点，
抛物线在内有两部分，对称轴右侧的部分不符合题意；
当时，与重合，不符合题意；
当时，抛物线在内只有对称轴左侧的部分，符合题意，
；
当时，点在轴上方，同理可求；
的取值范围为或．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式求出函数解析式即可；
（2）先求出函数解析式，再结合“点和点关于抛物线对称轴对称”，可得，再求出m的值即可；
（3）先表示出点P和点P'的横坐标，再分类讨论：当时，当时，当时，再分别列出不等式求解即可；
（4）分类讨论：①当时，点在轴下方，②当时，与重合，③当时，点在轴上方，再分别求解即可.