2023--2024学年人教版数学九年级上册第二十一章 一元二次方程 单元检测（含解析）

第二十一章 一元二次方程 单元检测 人教版数学九年级上册
一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）。
A． B． C． D．
2．用配方法解方程时，配方变形结果正确的是（　　）
A．(x+3)2=8 B．(x-3)2=8 C．(x+3)2=10 D．(x-3)2=10
3．关于x的一元二次方程 x2+ax-4=0 一个根是1，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．-3
4．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．a 0
B．a 3　　
C．a 1且a －1
D．a 3且b -1且c 0
5．若方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2m+5与4m+1，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．9 D．4
6．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
7．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围为（　　）
A． B．
C．且 D．且
8．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（　　）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
10．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
二、填空题
11．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c=　 　
12．设a，b是方程x2+x-9=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　．
13．某小区今年2月份绿化面积为6400m2，到了今年4月份增长到8100m2，假设绿化面积月平均增长率都相同，则增长率为　 　．
14．如图1，有甲，乙两种大小不同的正方形纸片，把正方形甲放置在正方形乙中，连结EO，FO，得到图2，再将图2这样的四个图案不重叠，无缝隙地拼成如图3所示的正方形ABCD，若正方形ABCD的阴影区域面积和为12，且FM=4，则一张正方形甲和一张正方形乙的面积和为　 　
15．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 ，据此可得，最佳利好系数k的值等于　 　 ．
三、计算题
16．解方程：
（1）x(x+4)＝﹣3(x+4).（因式分解法）
（2）x2﹣4x﹣1＝0.（配方法）
17．已知实数a满足 ，求 的值.
四、解答题
18．已知 是方程 的一个根，求方程的另一个根及c的值.
19．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+1﹣3m=0的两个实数根，且x1、x2满足不等式x1 x2+2（x1+x2）＞0，求实数m的取值范围．
20．反比例函数y= 的图象上有一点P（m，n），其中坐标是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，且P点到原点的距离为 ，求反比例函数的解析式．
21．关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数k，使得 ？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
22．阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【分析】只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
A、是一元一次方程；B、是二元二次方程；D、是分式方程，故错误；
C、，符合一元二次方程的定义，本选项正确。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元二次方程的定义，即可完成。
2．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
x2+6x=1，
x2+6x+9=1+9，
∴ (x+3)2=10 .
故答案为：C.
【分析】先将常数移到右边，然后两边同时加上9，将左式配成完全平方式即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：把 代入 可得：
，解得： ；
故答案为：C.
【分析】直接把x=1代入方程H即可得到答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3．所以选B．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
5．【答案】C
【解析】【分析】由方程ax2=b（ab＞0)的两个根分别是2m+5与4m+1，即可得2m+5与4m+1互为相反数，即可得方程2m+5+4m+1=0，解此方程即可求得m的值，继而求得2m+5的值，则可求得答案．
【解答】∵ax2=b（ab＞0)，
∴x2=，
∴x=±，
即此方程的两根互为相反数，
∵方程ax2=b（ab＞0)的两个根分别是2m+5与4m+1，
∴2m+5+4m+1=0，
解得：m=-1，
∴2m+5=3，4m+1=-3，
∴=9．
故选C．
【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程的知识．此题难度适中，注意掌握直接开平方法的解题方法，注意互为相反数的两个数的和为0的知识的应用
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程，
，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得： 且
故答案为：D．
【分析】（1）首先要注意一元二次方程的概念，即二次项系数不为0；
（2）其次由于一元二次方程有实数根，所以根的判别式是非负数。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2
。由图易得新矩形的长为(32 2x)m,宽为（20-x）m，所以可得方程( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
9．【答案】D
【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②符合题意；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③不符合题意；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，
则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
11．【答案】0
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为-1，
∴x=-1满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
∴ ，即a-b+c=0.
故答案是：0.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=-1代入关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)即可求得a-b+c的值.
12．【答案】8
【解析】【解答】首先由a、b是方程x2＋x－9＝0的两个实数根，
根据根与系数的关系得a＋b＝－1；
又∵a是方程x2＋x﹣9＝0的实数根，
∴a2＋a－9＝0，
∴a2＋a＝9，
∴a2＋2a＋b
＝（a2＋a）＋（a＋b）
＝9＋（－1）
＝8
即a2＋2a＋b的值为8．
故答案为8．
【分析】一元二次方程实数根的意义，将根代入方程原式成立，得到一个关于a的关系式。再根据根与系数的关系得到一个，然后将两关系式结合求解即可。
13．【答案】12.5%
【解析】【解答】解：设增长率为x，
根据题意得：6400（1+x）2=8100，即（1+x）2=，
开方得：1+x=，
解得：x1==12.5%，x2=（舍去），
解：增长率为12.5%．
【分析】设增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
14．【答案】10
【解析】【解答】解：设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b，
则AD=2b，AF=DM=a，FM=AD-AF-MD=2b-2a=4，
∴a=b-2，
∵ 正方形ABCD的阴影区域面积和=S正方形ABCD-4×S△FMO=（2b）2-4××4b=4b2-8b=12，
∴b2-2b=3，
∴b2-2b+1=3+1，即（b-1）2=4，
解得b=3（负值已舍），
∴a=1，
∴a2+b2=1+9=10，
即一张正方形甲和一张正方形乙的面积和为10.
故答案为：10.
【分析】设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b，则AD=2b，AF=DM=a，FM=AD-AF-MD=2b-2a=4，即a=b-2；然后根据正方形ABCD的阴影区域面积和为=S正方形ABCD-4×S△FMO建立方程，求解得出b的值，从而即可解决此题.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3 =（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k= 或 ，
又∵0≤k≤1，
∴ k= .
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3 =（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
16．【答案】（1）x(x+4)＝﹣3(x+4)
x(x+4)+3(x+4)=0
(x+4)(x+3)=0
x+4=0或x+3=0
；
（2）x2﹣4x﹣1＝0
x2﹣4x=1
x2﹣4x+4＝5
x=2
.
【解析】
【分析】（1）先将等号右边的项移到等号左边，将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）利用配方法解方程，①移项，先将-1移到等号右边，②配方，在等式两边都加上一次项系数一半的平方4，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而利用直接开平方法求解即可.
17．【答案】解：∵ ，
∴原等式可变形为： ，
∴ ，
∴ =3或 =-1
当 =-1时，即a2+a+1=0，
△=1-4＜0，方程无解，
∴ =3.
【解析】【分析】根据完全平方公式可变形得，，于是已知的方程可变形为：，将看作一个整体，解一元二次方程即可求得的值。
18．【答案】解：设方程的另一根为m，
∵ 是方程x2-4x+c=0的一个根，
∴ ，
解 得
将 代入 得 .
所以该方程的另一个根为： ，c的值为1
【解析】【分析】将代入方程求出c的值，再利用公式法求解方程即可。
19．【答案】解：∵方程2x2﹣2x+1﹣3m=0有两个实数根，
∴△=4﹣8（1﹣3m）≥0，解得m≥ ．
由根与系数的关系，得x1+x2=1，x1 x2= ．
∵x1 x2+2（x1+x2）＞0，
∴ +2＞0，解得m＜ ．
∴ ≤m＜
【解析】【分析】已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+1﹣3m=0的两个实数根，可推出△=（﹣2）2﹣4×2（1﹣3m）≥0，根据根与系数的关系可得x1 x2= ，x1+x2=1；且x1、x2满足不等式x1 x2+2（x1+x2）＞0，代入即可得到一个关于m的不等式，由此可解得m的取值范围．
20．【答案】解：将P（m，n）代入反比例函数y= 得，mn=k；
∵P（m，n）的坐标是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，
∴m+n=3，
∵P点到原点的距离为 ，根据勾股定理可得m2+n2=13，
于是由题意，得
②两边平方得m2+n2+2mn=9④，
将①③代入④得2k+13=9，
解得k=﹣2．
反比例函数解析式为y=﹣
【解析】【分析】根据点P（m，n）在反比例函数y= 的图象上，得到mn=k；根据P（m，n）的坐标是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，
得到m+n=3，根据P点到原点的距离为 ，利用勾股定理可得m2+n2=13，将所得三个式子组成方程组即可解答．
21．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，
解得：k＞
（2）解：存在，
∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，
∴将|x1|﹣|x2|= 两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，
代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：k=4
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得判别式大于零，从而可得关于k的不等式，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，然后整理条件中的等式两边平方可代入得出关于k的方程，解方程即可.
22．【答案】解：当x﹣1≥0即 x≥1时，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0， 解得x1＝0，x2＝1， ∵x≥1，∴x＝1； 当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1 ∵x＜1，∴x＝﹣2， ∴原方程的根为x1＝1，x2＝﹣2．
【解析】【分析】将方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，即为|x﹣1|的值，利用绝对值的代数意义即可求出x的值，即为原方程的解．