学生工作单
一、课堂练习
已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为点E、F
求证：（1）DE=DF（2）EB=FC
二、课后练习
1、已知：如图，EC⊥AB，FD⊥AB，垂足分别为点C、D，AF=BE，FD=EC
求证：AC=BD
2、已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，垂足分别为点B、E，AB=AE，∠1=∠2
求证：BC=DE
3、已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC=DF
求证：AD=FC
三、课后探索
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC= A′C′，
AB=A′B′，这两个三角形是否全等？
（尝试利用拼图的方法找到合理的证法。）
19.7 直角三角形全等的判定
松江区张泽学校 沈琦
【教学目标】
1、经历探索斜边直角边定理的过程，体会演绎思想和化归思想。
2、掌握斜边直角边定理，并学会运用它来判定两个直角三角形全等。
3、通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，正确把握一般与特殊之间的辩证关系。
【教学重点】
会用“斜边直角边”判定两个直角三角形全等。
【教学难点】
斜边直角边定理的探索。
【教学过程】
一、复习引入
㈠复习
1、全等三角形的判定方法有哪几种？
2、如图，若要判定△ABC和△DEF全等，可以添加哪些全等条件？分别运用了哪条判定定理？
3、如果已知AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，是否可以判定这两个三角形全等？
（通过对全等三角形四种方法的复习，为之后的学习建立基础。）
㈡引入
1、如图1，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，这两个三角形是否全等？
2、如图2，若使∠B=∠E=90°，其它条件不变，此时这两个三角形又是否全等？
3、猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
4、探索“斜边直角边定理”
⑴证明前首先要做什么？
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC= A′C′，AB= A′B′，这两个三角形是否全等？
⑵小组讨论，探索及交流不同的拼法及证法。
⑶多媒体演示证法。
（教师先引导学生用拼图法进行证明，然后学生小组讨论，交流不同的拼法及证法，教师多媒体演示其中的一种证法。）
5、概括“斜边、直角边”判定定理
定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。（简称为H.L）
（教师板书，简单介绍H.L的含义，师生共同书写几何语言。强调这条定理的使用前提，使学生体会到它的特殊性和局限性。）
㈢巩固训练
如图，把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或依据补充完整。（口答）
⑴_________，∠A=∠D(ASA)
⑵AC=DF，_________(SAS)
⑶BC=EF，AB=DE(_____)
⑷AC=DF，_________(HL)
⑸∠A=∠D，BC=EF(_____)
⑹_________，AC=DF(AAS)
（通过及时的巩固，帮助学生完善对直角三角形全等的判定方法的认识。）
二、例题分析
例1：
已知：如图，在△ABC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE
求证：△ABC是等腰三角形
（学生先独立思考，然后口述证题思路，教师板书。教学中，引导学生一题多解，发散思维，同时注意不同方法间的对比。）
例2：
求证：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（师生共同分析，画出图形，写出已知和求证，分析证题思路，多媒体展示证明过程。）
三、课堂练习
1、已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为点E、F
求证：（1）DE=DF（2）EB=FC
（学生独立完成，教师利用投影仪讲评。）
四、课后小结
1、本节课学习了什么知识？
2、通过本节课的学习，你有怎样的体会？
（通过对所学知识的回顾，养成善于及时总结学习经验的良好习惯，同时，引导学生将一般三角形与直角三角形进行对比，认识一般与特殊的辨证关系。）
五、课后练习
1、已知：如图，EC⊥AB，FD⊥AB，垂足分别为点C、D，AF=BE，FD=EC
求证：AC=BD
2、已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，垂足分别为点B、E，AB=AE，∠1=∠2
求证：BC=DE
3、已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC=DF
求证：AD=FC
【教学设计说明】
本节课既是对三角形全等的完善，也为接下来直角三角形的学习建立基础。教学中，先复习了学生已经学习的三角形全等的四种方法，然后由普通三角形的“边边角”过渡到了在直角三角形中的情况，引出猜想“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？”在验证的过程中，尝试让学生自主探究，通过合理的拼图得出证明全等的正确方法，培养学生的动手能力及对图形的观察能力，最后自主归纳出斜边和直角边定理。整个定理的探索过程，让学生再一次体会“猜想—验证—归纳”的过程，养成正确的解决科学问题的习惯。在例题及练习的处理中，首先是引导学生正确把握“斜边直角边定理”的使用前提，其次是要求学生做到前后知识之间的融会贯通，体会一般与特殊之间的辨证关系。
课堂实录
师：上课！同学们好！
师：请坐！同学们，今天开始我们进入直角三角形的学习。我们复习一下，全等三角形的判定方法有哪些？
师：很好！那么，图中，若要使△ABC全等于△DEF，需要添加什么条件？分别用了哪条判定定理？
师：非常好！那么，若已知AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，是否可以判定这两个三角形全等呢？
师：为什么？
师：“边边角”的含义是什么？
师：为什么已知“两条边及其中一条边的对角对应相等”，不能判定两个三角形全等呢？
师：我们来看一下。如图1，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，这是一个典型的边边角的情况，此时，这两个三角形全等吗？
师：那么，如果，将上面∠B和∠E的度数改成90°，我们再观察一下，此时形成了两个怎样的三角形？
师：很好！那么，在直角三角形中，AB、AC、DE、DF都有专门的名称，同学们都能说得出来吗？
师：那么，此时，这两个三角形全等吗？
师：由此，我们得出了这样一个疑问，“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等呢”？我们来尝试证明这个结论！
师：在证明之前，先要做什么？
师：非常好！那么如何证明这个结论呢？
师：以前我们遇到的几何问题，通常都是在一个图形中的，现在是两个图形，那么，我们可以怎么办？
师：很好！那么现在，请同学们拿出事先剪好的直角三角形，自己动手来拼拼看，思考一下，将这两个直角三角形拼成一个什么样的图形，我们就可以进行证明了。
师：老师想问一下，将△A’B’C’和△ABC沿AC和A’C’拼在一起后，B、C、B’是否在一条直线上？为什么？
师：非常好！然后怎么证明？
师：很好！我们来看一下证明的过程。
师：刚才xxx还用到了另一种拼法，我们也请他来说说看。
师：非常好！两位同学通过不同的拼法，得出了不同的证法，那么，经过严格的证明，我们可以确定，这个结论是正确的，我们把它作为直角三角形全等的判定定理。
师：由于条件是斜边和一条直角边对应相等，因此我们称这条定理是“斜边、直角边定理”，同时，利用斜边和直角边的英文单词的开头字母，我们将这条定理简称为“HL”。
师：为了便于今后的使用，我们来书写几何语言。
师：那么现在，对于直角三角形的全等来讲，我们有几条判定定理了？分别是什么？
师：在应用“HL“时，我们需要注意什么问题？
师：我们来做个练习，请大家口答！
师：好！刚才我们通过口答的形式，初步巩固了直角三角形全等的判定方法，下面，请大家思考一道证明题。
师：请一位同学来念一下！
师：好！现在我们要证明△ABC是等腰三角形，那么实际上，我们只要证明什么就可以了？
师：很好！如何证明AB=AC/∠ACB=∠ABC？
师：非常好！请一位同学来口答，老师来写。
师：那么，刚才，也有同学提出了其他的办法，我们也来听听它们的意见！
师：很好！利用了另外一条判定定理。大家比较一下，哪种方法更简洁些？
师：对！所以大家在解题时，应该尽可能地考虑更多的解题思路，努力锻炼自己对图形的观察和理解能力。
师：下面我们来看一个命题。这个命题我们学过吗？
师：现在我们来进行补充证明！首先我们应该怎么做？
师：很好！现在要证明点Q在∠AOB的平分线上，首先应该作什么？
师：接下来只要证明什么？
师：很好！请一位同学来说一说证明的思路！
师：非常好！我们看一下证明的过程。
师：刚才我们通过两道例题，我们初步巩固了直角三角形全等的判定。下面，我们检验一下大家今天的学习成果，请完成课堂练习一。
师：好！同学们，今天我们主要学习了直角三角形全等的判定，请大家说说学习的体会。
师：希望大家明确，“斜边、直角边”定理，只能用于直角三角形全等的判定，有它的局限性，它是一种特殊的方法，我们应该正确把握特殊与一般之间的辨证关系。
师：今天的课就上到这里，下课！
