山东省济南市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·济南）下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A.主视图是三角形，符合题意；
B.主视图是圆，不符合题意；
C.主视图是正方形，不符合题意；
D.主视图是正方形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据主视图的定义对每个选项逐一判断即可。
2．（2023·济南）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 686530000=6.8653×108，
故答案为：B。
【分析】把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这样的记数法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．（2023·济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可得：DE//BC，
∵，
∴∠ABC=∠1=70°，
∵∠ABF=90°，
∴∠2=180°-∠ABF-∠ABC=20°，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=∠1=70°，再根据∠ABF=90°计算求解即可。
4．（2023·济南）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由数轴可得：b＜-2，a=2，
∴ab＜0，a+b＜0，a+3＞b+3，-3a＜-3b，
故答案为：D.
【分析】根据所给的数轴求出b＜-2，a=2，再对每个选项逐一判断求解即可。
5．（2023·济南）下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
6．（2023·济南）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，运算错误；
B：，运算错误；
C：，运算错误；
D：，运算正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方，合并同类项法则计算求解即可。
7．（2023·济南）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 ，k＜0，
∴函数图象的两个分支在第二、四象限内，y随x的增大而增大，
∵点，，，
∴，，，
∵-4＜-2，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质求出函数图象的两个分支在第二、四象限内，y随x的增大而增大，再求出，，，最后比较大小求解即可。
8．（2023·济南）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
∴被抽到的2名同学都是男生的概率为，
故答案为：B。
【分析】先画树状图，再求出一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，最后求概率即可。
9．（2023·济南）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：BC=DC，CE平分∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC）÷2=72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=36°，
∴选项A结论正确；
∵CE平分∠ACB，∠ACB=72°，
∴∠ACE=∠A=36°，
∴AE=CE，
∵∠ABC=72°，∠BCE=36°，
∴∠BEC=∠B=72°，
∴CE=BC，
∴BC=AE，
∴选项B结论正确；
∵∠A=∠BCE，∠ABC=∠CBE，
∴，
∴，
设AB=AC=1，BC=m，则BE=1-m，
∴，
解得：，
经检验m的值符合题意；
∴，
∴，
∴选项C结论错误；
过点E作EG⊥BC于G，EH⊥AC于H，
∵CE平分∠ACB，EG⊥BC，EH⊥AC，
∴EG=EH，
∴，
∴选项D结论正确；
故答案为：C.
【分析】结合图片，根据角平分线，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和以及三角形的面积公式等计算求解即可。
10．（2023·济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；线段上的两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，
∴，
∴点是点的“倍增点”；
∵， ，
∴，，
∴，
∴点 是点的“倍增点”；
∴结论①正确；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：a=0，
∴A（0，2）；
∴结论②错误；
③设点是的“倍增点”，
∴，
∴，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线上存在两个点是点的“倍增点”，
∴结论③正确；
④设点B（m，n），
∵点是点的“倍增点”，
∴2（m+1)=n，
∵B（m，n）， ，
∴，
∵5＞0，
∴的最小值是，
∴的最小值是，
∴结论④正确；
综上所述：正确结论的个数是①③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据所给的定义，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式等对每个结论逐一判断求解即可。
二、填空题
11．（2020·绿园模拟）因式分解: .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
12．（2023·济南）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴盒子中棋子的总个数是12个，
故答案为：12.
【分析】根据简单随机事件概率的计算方法求解即可。
13．（2023·济南）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴a的值可以是2，
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出，再求出，最后求解即可。
14．（2023·济南）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：正五边形的内角和是：，
∴∠A=540°÷5=108°，
∴，
故答案为： .
【分析】根据正多边形的内角和的计算方法求出正五边形的内角和是，再求出∠A=540°÷5=108°，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
15．（2023·济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发 h后两人相遇．
【答案】0.35
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：设 的函数解析式为：，
由题意可得：，
解得：，
∴的函数解析式为：，
设 的函数解析式为：，
∴0.4m=6，
解得：m=15，
∴的函数解析式为：，
令得：，
解得：x=0.35，
∴出发0.35小时后两人相遇，
故答案为：0.35.
【分析】利用待定系数法求出和的函数解析式，再求出，最后计算求解即可。
16．（2023·济南）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AQ⊥PE，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=30°，
∴AC=AB=BC=CD，∠ABC=∠D=30°，
∴，
∵将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
∴∠E=∠D=30°，
∴∠EPA=∠DAC-∠E=45°，
∵AQ⊥PE，AP=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质求出AC=AB=BC=CD，∠ABC=∠D=30°，再根据折叠的性质求出∠E=∠D=30°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
三、解答题
17．（2023·济南）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】利用绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的锐角三角函数值，二次根式的加减法则等计算求解即可。
18．（2023·济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质求出不等式组的解集是，再求整数解即可。
19．（2023·济南）已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出 ，， 再根据平行线的性质求出 ，， 最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
20．（2023·济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，作，垂足为点
在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）解：没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
21．（2023·济南）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：
A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．
下面给出了部分信息：
a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是 百万；
（4）各组“五一”假期的平均出游人数如下表：
组别 A B C D E
平均出游人数（百万） 5.5 16 32.5 42 50
求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．
【答案】（1）36
（2）解：D组个数：（个)，
C组个数：(个)，
补全频数分布直方图如下：
（3）15.5
（4）解：（百万），
答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：，
即统计图中E组对应扇形的圆心角为36°，
故答案为：36；
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是：15.5（百万），
故答案为：15.5.
【分析】（1）结合题意，利用求扇形的圆心角的方法计算求解即可；
（2）先求出 D组个数，再求出C组个数 ，最后补全频数分布直方图即可；
（3）根据中位数的定义计算求解即可；
（4）根据加权平均数的定义计算求解即可。
22．（2023·济南）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点F．
（1）求的度数；
（2）若，求直径的长．
【答案】（1）解：∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴的直径的长为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（2）根据题意求出 ， 再利用锐角三角函数求出 ， 最后计算求解即可。
23．（2023·济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）解：设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可；
（2）根据题意求出w的函数解析式： ， 再根据一次函数的性质计算求解即可。
24．（2023·济南）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 m， m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
（2）【类比探究】
若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
（3）【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
（4）【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2
（2）解：不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）解：如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；
（4）解：根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；
把代入得：，
解得：，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立可得方程组：，
解得：，，
∴反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 （4，2）；
∴木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 4m，BC=2m，
故答案为：（4，2）；4；2.
【分析】（1）根据题意先求出方程组：，再求出，，最后求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再根据 与函数图象没有交点， 计算求解即可；
（3）将点代入，求出， 最后作图求解即可；
（4）利用一元二次方程根的判别式求出 ， 再利用待定系数法求出 反比例函数图象经过点， 最后列方程计算求解即可。
25．（2023·济南）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．
（1）如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
（3）若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线过点，
，解得：，
抛物线表达式为，
当时，，
解得：（舍去），，
；
（2）解：设直线的表达式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的表达式为：，
点在抛物线上，
设点，
，，且由平移得到，
点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，
点在直线上，
将代入，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，
点坐标为；
（3）解：四边形是正方形，，
，，
，
点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2，
将代入，得：，
，
顶点坐标为，
①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
，解得：；
②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，
，解得：，
综上所述，的取值范围为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线表达式为，再求出， 最后求点的坐标即可；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式为：，再列方程求出，（舍去）， 最后求点的坐标即可；
（3）根据正方形的性质求出 ，， 再求出顶点坐标为，最后分类讨论，列不等式组计算求解即可。
26．（2023·济南）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．
（1）如图1，连接，求的度数和的值；
（2）如图2，当点在射线上时，求线段的长；
（3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．
【答案】（1）解：∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
由矩形和矩形可得，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如答案图1，过点作于点，
由矩形和矩形可得，，
，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如答案图2，连接，
∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，
∴，，，
∴，
∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质求出 ，，， 再利用锐角三角函数求出 ， 最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再根据全等三角形的性质求出，， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据题意先求出 是等边三角形，， 再根据旋转的性质求出 ，，， 最后计算求解即可。
1 / 1山东省济南市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·济南）下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·济南）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·济南）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·济南）下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·济南）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·济南）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·济南）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·济南）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2020·绿园模拟）因式分解: .
12．（2023·济南）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ．
13．（2023·济南）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
14．（2023·济南）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
15．（2023·济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发 h后两人相遇．
16．（2023·济南）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．
三、解答题
17．（2023·济南）计算：．
18．（2023·济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（2023·济南）已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．
20．（2023·济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
21．（2023·济南）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：
A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．
下面给出了部分信息：
a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是 百万；
（4）各组“五一”假期的平均出游人数如下表：
组别 A B C D E
平均出游人数（百万） 5.5 16 32.5 42 50
求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．
22．（2023·济南）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点F．
（1）求的度数；
（2）若，求直径的长．
23．（2023·济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
24．（2023·济南）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 m， m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
（2）【类比探究】
若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
（3）【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
（4）【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
25．（2023·济南）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．
（1）如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
（3）若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
26．（2023·济南）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．
（1）如图1，连接，求的度数和的值；
（2）如图2，当点在射线上时，求线段的长；
（3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A.主视图是三角形，符合题意；
B.主视图是圆，不符合题意；
C.主视图是正方形，不符合题意；
D.主视图是正方形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据主视图的定义对每个选项逐一判断即可。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 686530000=6.8653×108，
故答案为：B。
【分析】把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这样的记数法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可得：DE//BC，
∵，
∴∠ABC=∠1=70°，
∵∠ABF=90°，
∴∠2=180°-∠ABF-∠ABC=20°，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=∠1=70°，再根据∠ABF=90°计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由数轴可得：b＜-2，a=2，
∴ab＜0，a+b＜0，a+3＞b+3，-3a＜-3b，
故答案为：D.
【分析】根据所给的数轴求出b＜-2，a=2，再对每个选项逐一判断求解即可。
5．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，运算错误；
B：，运算错误；
C：，运算错误；
D：，运算正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方，合并同类项法则计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 ，k＜0，
∴函数图象的两个分支在第二、四象限内，y随x的增大而增大，
∵点，，，
∴，，，
∵-4＜-2，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质求出函数图象的两个分支在第二、四象限内，y随x的增大而增大，再求出，，，最后比较大小求解即可。
8．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
∴被抽到的2名同学都是男生的概率为，
故答案为：B。
【分析】先画树状图，再求出一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，最后求概率即可。
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：BC=DC，CE平分∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC）÷2=72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=36°，
∴选项A结论正确；
∵CE平分∠ACB，∠ACB=72°，
∴∠ACE=∠A=36°，
∴AE=CE，
∵∠ABC=72°，∠BCE=36°，
∴∠BEC=∠B=72°，
∴CE=BC，
∴BC=AE，
∴选项B结论正确；
∵∠A=∠BCE，∠ABC=∠CBE，
∴，
∴，
设AB=AC=1，BC=m，则BE=1-m，
∴，
解得：，
经检验m的值符合题意；
∴，
∴，
∴选项C结论错误；
过点E作EG⊥BC于G，EH⊥AC于H，
∵CE平分∠ACB，EG⊥BC，EH⊥AC，
∴EG=EH，
∴，
∴选项D结论正确；
故答案为：C.
【分析】结合图片，根据角平分线，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和以及三角形的面积公式等计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；线段上的两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，
∴，
∴点是点的“倍增点”；
∵， ，
∴，，
∴，
∴点 是点的“倍增点”；
∴结论①正确；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：a=0，
∴A（0，2）；
∴结论②错误；
③设点是的“倍增点”，
∴，
∴，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线上存在两个点是点的“倍增点”，
∴结论③正确；
④设点B（m，n），
∵点是点的“倍增点”，
∴2（m+1)=n，
∵B（m，n）， ，
∴，
∵5＞0，
∴的最小值是，
∴的最小值是，
∴结论④正确；
综上所述：正确结论的个数是①③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据所给的定义，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式等对每个结论逐一判断求解即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴盒子中棋子的总个数是12个，
故答案为：12.
【分析】根据简单随机事件概率的计算方法求解即可。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴a的值可以是2，
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出，再求出，最后求解即可。
14．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：正五边形的内角和是：，
∴∠A=540°÷5=108°，
∴，
故答案为： .
【分析】根据正多边形的内角和的计算方法求出正五边形的内角和是，再求出∠A=540°÷5=108°，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
15．【答案】0.35
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：设 的函数解析式为：，
由题意可得：，
解得：，
∴的函数解析式为：，
设 的函数解析式为：，
∴0.4m=6，
解得：m=15，
∴的函数解析式为：，
令得：，
解得：x=0.35，
∴出发0.35小时后两人相遇，
故答案为：0.35.
【分析】利用待定系数法求出和的函数解析式，再求出，最后计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AQ⊥PE，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=30°，
∴AC=AB=BC=CD，∠ABC=∠D=30°，
∴，
∵将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
∴∠E=∠D=30°，
∴∠EPA=∠DAC-∠E=45°，
∵AQ⊥PE，AP=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质求出AC=AB=BC=CD，∠ABC=∠D=30°，再根据折叠的性质求出∠E=∠D=30°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】利用绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的锐角三角函数值，二次根式的加减法则等计算求解即可。
18．【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质求出不等式组的解集是，再求整数解即可。
19．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出 ，， 再根据平行线的性质求出 ，， 最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
20．【答案】（1）解：如图，作，垂足为点
在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）解：没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
21．【答案】（1）36
（2）解：D组个数：（个)，
C组个数：(个)，
补全频数分布直方图如下：
（3）15.5
（4）解：（百万），
答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：，
即统计图中E组对应扇形的圆心角为36°，
故答案为：36；
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是：15.5（百万），
故答案为：15.5.
【分析】（1）结合题意，利用求扇形的圆心角的方法计算求解即可；
（2）先求出 D组个数，再求出C组个数 ，最后补全频数分布直方图即可；
（3）根据中位数的定义计算求解即可；
（4）根据加权平均数的定义计算求解即可。
22．【答案】（1）解：∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴的直径的长为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（2）根据题意求出 ， 再利用锐角三角函数求出 ， 最后计算求解即可。
23．【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）解：设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可；
（2）根据题意求出w的函数解析式： ， 再根据一次函数的性质计算求解即可。
24．【答案】（1）；4；2
（2）解：不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）解：如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；
（4）解：根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；
把代入得：，
解得：，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立可得方程组：，
解得：，，
∴反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 （4，2）；
∴木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 4m，BC=2m，
故答案为：（4，2）；4；2.
【分析】（1）根据题意先求出方程组：，再求出，，最后求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再根据 与函数图象没有交点， 计算求解即可；
（3）将点代入，求出， 最后作图求解即可；
（4）利用一元二次方程根的判别式求出 ， 再利用待定系数法求出 反比例函数图象经过点， 最后列方程计算求解即可。
25．【答案】（1）解：抛物线过点，
，解得：，
抛物线表达式为，
当时，，
解得：（舍去），，
；
（2）解：设直线的表达式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的表达式为：，
点在抛物线上，
设点，
，，且由平移得到，
点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，
点在直线上，
将代入，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，
点坐标为；
（3）解：四边形是正方形，，
，，
，
点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2，
将代入，得：，
，
顶点坐标为，
①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
，解得：；
②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，
，解得：，
综上所述，的取值范围为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线表达式为，再求出， 最后求点的坐标即可；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式为：，再列方程求出，（舍去）， 最后求点的坐标即可；
（3）根据正方形的性质求出 ，， 再求出顶点坐标为，最后分类讨论，列不等式组计算求解即可。
26．【答案】（1）解：∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
由矩形和矩形可得，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如答案图1，过点作于点，
由矩形和矩形可得，，
，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如答案图2，连接，
∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，
∴，，，
∴，
∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质求出 ，，， 再利用锐角三角函数求出 ， 最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再根据全等三角形的性质求出，， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据题意先求出 是等边三角形，， 再根据旋转的性质求出 ，，， 最后计算求解即可。
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