河南省郑州经济技术开发区第四中学2023-2024学年九年级上学期数学第一次学习比赛（月考）试卷
1．（2023九上·郑州经济技术开发月考）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·郑州经济技术开发月考）下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．有一个角是直角
3．（2023九上·郑州经济技术开发月考）要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ）
A．测量四边形画框的两个角是否为
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
4．（2023九上·郑州经济技术开发月考）已知关于的一元二次方程有一个根是-2，则另一个根是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
5．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形 为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·郑州经济技术开发月考）若方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
7．（2023九上·郑州经济技术开发月考）根据下表：
-3 -2 -1 … 4 5 6
13 5 -1 … -1 5 13
确定方程的解的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2023九上·郑州经济技术开发月考）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.计划安排28场比赛，应邀请多少个队参赛（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，在平行四边形中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
10．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿做匀速运动，到达点后停止运动，动点从点出发，沿以同样的速度做匀速运动，到达点后也停止运动，已知点同时开始运动，连接，设，，其中关于的函数图象如图2所示，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023九上·郑州经济技术开发月考）方程的根为 .
12．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如果三角形两边的长分别是一元二次方程的两根，则第三边的长能否是10，答 （填“能”或“不能”）
13．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的度数是 .
14．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．
15．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点， ，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点 ， 处，当点 落在直线BC上时，线段AE的长为 .
16．（2023九上·郑州经济技术开发月考）解下列一元二次方程：
（1）；
（2）.
17．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，连接，添加条件 ▲ ，能使四边形DBCE成为矩形，并说明理由.
18．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙.要使围成养鸡场的面积为，求养鸡场的长和宽各为多少
19．（2023九上·郑州经济技术开发月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根和.
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在的值使得成立 若存在，求出的值；若不存在，说明理由
20．（2023九上·郑州经济技术开发月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为．
（1）求月增长率r；
（2）经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
21．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，矩形ABCD中，，点M，N分别为AB，CD上一点，且，连接MN，DM，BN.
（1）当时，求证：四边形DMBN是菱形；
（2）填空：①当AM= 时，四边形DAMN是矩形；
②当AM= 时，以为对角线的正方形的面积为.
22．（2023九上·郑州经济技术开发月考）阅读材料，解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第个三角数可以用且为整数）来表示.
（1）若三角数是55，则n= ；
（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为，，请用含的式子表示前行所有点数的和；
（3）在（2）中的三角点阵中前行的点数的和能为120吗 如果能，求出，如果不能，请说明理由.
23．（2023九上·郑州经济技术开发月考）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
（1）操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，得到折痕，把纸片展平；根据以上操作，直接写出图1中的度数： .
（2）拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长交于点，连接交于点（如图2）.判断的形状，并说明理由.
（3）迁移探究
如图3，已知正方形的边长为，当点是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点，请直接写出的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、是一元三次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，也可能不是方程，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的表达式：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，即要求即可判断.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此一 一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，能判断四边形是菱形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，据此一 一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2+kx-2=0有一个根是-2，
∴（-2）2-2k-2=0，
解得k=1.
故答案为：A.
【分析】根据方程根的概念，将x=-2代入一元二次方程x2+kx-2=0即可得到关于字母k的方程，求解即可得出k的值.
5．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
当 或 时，均可判定四边形 是菱形；
当 时，可判定四边形 是矩形；
当 时，
由 得： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形。
故答案为：C。
【分析】由题干所给的对角线互相平分可以判断出 四边形 是平行四边形，在此基础上要判断该图形是菱形，只需要添加对角线互相垂直或一组邻边相等即可，从而即可一一判断得出答案。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程x2+2x+m+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即22-4×1×（m+1）＞0，
解得m＜0，故只有A选项符合题意，B、C、D三个选项都不符合题意.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式求解可得m取值范围，进而再判断即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格给出的信息可得：当x=-2时，x2-bx-5=5，当x=-1时，x2-bx-5=-1；
当x=4时，x2-bx-5=-1，当x=5时，x2-bx-5=5，
∴方程x2-bx-5=0的解的取值范围为：-2＜x＜-1或4＜x＜5.
故答案为：A.
【分析】观察表格，根据代数式值的变化可确定出方程x2-bx-5=0的解的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，
由题意得x（x-1）=28，
解得x1=8，x2=-7（舍），
所以应邀请8个球队参加比赛.
故答案为：C.
【分析】设应邀请x个球队参加比赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场，所以每一个球队比赛（x-1）场，比赛的总场次为x（x-1）场，从而根据计划安排28场比赛可列出方程，求解并检验即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=10，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=90°，
∵EF⊥BD，∠ADB=90°，
∴EF∥AD，又EF是BD的垂直平分线，
∴点M是AB的中点，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，点M是斜边AB的中点，
∴DM=BM=AM，
∴DM+BM=AM+BM=AB=10，
同理DN+BN=CD=10，
∴四边形DMBN的周长为DM+BM+BN+DN=20.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质得AB=CD=10，AD∥BC，∠DBC=∠ADB=90°，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AD，然后利用三角形中位线定理得点M是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DM=BM=AM，则DM+BM=AM+BM=AB=10，同理DN+BN=CD=10，据此就很容易求出四边形DMBN的中点了.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据函数图象起点坐标可得AB-AD=，
∵点P、Q的速度相同，
∴当DQ=时，点P与点C重合，此时BC=DQ=，AP-AQ=m，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=，AB=CD，
∴AB=CD=AD+=，
点x=时，在Rt△ABP中，AP=，
在Rt△ADQ中，AQ=，
∴m=AP-AQ=.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象起点坐标可得AB-AD=，由点P、Q的速度相同，结合图象可得当DQ=时，点P与点C重合，此时BC=DQ=，AP-AQ=m，由矩形的性质得AB=CD=AD+=，然后分别利用勾股定理算出AP与AQ，即可求出m的值.
11．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：9x2=4x，
移项，得9x2-4x=0，
∴x(9x-4)=0，
∴x=0或9x-4=0，
解得x1=0，x2=.
故答案为：x1=0，x2=.
【分析】将方程移项整理成一般形式，发现方程缺常数项，故此方程利用因式分解法较简单；将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
12．【答案】不能
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2-9x+14=0，
(x-2)(x-7)=0，
∴x-2=0或x-7=0，
解得x1=2，x2=7，
∵一个三角形的两边长分别是x2-9x+14=0的两根，
设三角形第三边长为x，
则该三角形第三边的长的取值范围为5＜x＜9，
∴三角形第三边的长不能为10.
故答案为：不能.
【分析】先利用因式分解法求出方程的两根，进而根据三角形三边关系判断出第三边的取值范围，从而即可判断得出答案.
13．【答案】22.5°
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，∠BAD=90°，
∴∠OAD=∠ODA，
设∠OAD=∠ODA=x，则∠EAC=2x，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AED=90°，
∴∠EAC+∠CAD+∠ADO=90°，
即4x=90°，
∴x=22.5°，
∴∠EAD=3x=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：22.5°.
【分析】由矩形的性质得OA=OD，∠BAD=90°，由等边对等角得∠OAD=∠ODA，设∠OAD=∠ODA=x，则∠EAC=2x，根据直角三角形两锐角互余建立方程求出x的值，从而可求出∠EAD及∠BAE的度数.
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AQ⊥PE，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=30°，
∴AC=AB=BC=CD，∠ABC=∠D=30°，
∴，
∵将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
∴∠E=∠D=30°，
∴∠EPA=∠DAC-∠E=45°，
∵AQ⊥PE，AP=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质求出AC=AB=BC=CD，∠ABC=∠D=30°，再根据折叠的性质求出∠E=∠D=30°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
15．【答案】4或16
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD CF＝10，
∴CD′＝ ＝6，
∴BD'＝BC CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋122，
∴182＋x2＝（18 x）2＋122，
解得：x＝4，即AE＝4；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD CF＝10，CD'＝ ＝6，
∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋242，
∴182＋x2＝（18 x）2＋242，
解得：x＝16，即AE＝16；
综上所述，线段AE的长为4或16；
故答案为：4或16.
【分析】分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长.
16．【答案】（1）解：
，
∴x-2=0或x+4=0，
∴；
（2）解：，
∴
∴.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将方程左边利用平方差公式分解因式，同时将方程右边整体移到方程的左边，然后将方程左边再利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
17．【答案】解：添加AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE，能使四边形DBCE成为矩形，理由如下：
四边形ABCD为平行四边形，
又，
，且，
四边形BCED为平行四边形，
添加AB=BE，∵AD=DE，
∴平行四边形DBCE为矩形；
添加，
，
∴平行四边形DBCE为矩形；
添加，
，
∴平行四边形DBCE为矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】添加AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE，能使四边形DBCE成为矩形，理由如下：由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，结合已知可推出DE∥BC，且DE=BC，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BCED为平行四边形；如果添加AB=BE，根据等腰三角形的三线合一可得BD⊥AE，从而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出平行四边形DBCE为矩形；同理如果添加∠ADB=90°或CE⊥DE，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出平行四边形DBCE为矩形.
18．【答案】解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
，
解得：，
当时，，
当时，，（舍去），
∴养鸡场的宽是10m，长为15m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（33-2x+2）m，根据矩形的面积计算公式建立方程，求解并检验即可求出答案.
19．【答案】（1）解：，
（2）解：不存在m的值，使x1x2+x1+x2=0成立，理由如下：
∵关于的一元二次方程的两实数根为，
∴m=1，
又∵m≤，
∴不存在m的值使x1x2+x1+x2=0成立.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，列出关于字母m的不等式，求解可得m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2=-（2m-1），x1×x2=m2，然后根据x1x2+x1+x2=0建立出关于字母m的方程，求解得出m的值，进而根据m的取值范围进行判断即可得出答案.
20．【答案】（1）解：由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，则月销售量为（个），
由题意得：，
解得或，
要尽可能让顾客得到实惠，
，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题是一元二次方程的实际应用：增长率与销售问题，增长率问题的模型是a(x+1)n=b，其中a为始量，b为终量，x为增长率，n为次数；销售问题需要记住的有销售总额=售价×销售数量，总利润=单件利润×销售数量等.
21．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，，
，
，
，
，
，
四边形DMBN为平行四边形，
，
，
四边形DMBN为菱形；
（2）DN；或
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解（2）①当AM=DN时，四边形DAMN是矩形，理由如下：
如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
又∵DN=AM，
∴四边形DAMN是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴平行四边形DAMN是矩形；
故答案为：AM=DN；
②如图，当AM=或AM=时，以MN为对角线的正方形的面积为，理由如下：
以MN为对角线的正方形是正方形MFNG，连接FG，
∵FG=MN，FG⊥MN，
∴S正方形MFNG=FG×MN=MN2=，
∴MN=5，
过点N作NE⊥AB于点E，则∠AEN=∠A=∠ADN=90°，
∴四边形ADNE是矩形，
∴AE=DN=BM=8-AM，EN=AD=4，
∴EM=AM-AE=AM-(8-AM)=2AM-8，
∵∠MEN=90°，
∴EM2+EN2=MN2，
∴（2AM）2+42=52，
解得AM=或AM=，
∴当AM=或AM=时，以MN为对角线的正方形的面积为.
故答案为：或.
【分析】（1）由矩形性质得AB=CD=8，AB∥CD，∠A=90°，结合AM=CN=3推出BM=DN=5，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DMBN为平行四边形，在Rt△ADM中，利用勾股定理算出DM=5，从而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）①当AM=DN时，四边形DAMN是矩形，理由如下：由矩形的性质得AB∥CD，∠A=90°，结合DN=AM，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DAMN是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论；
②以MN为对角线的正方形是正方形MFNG，连接FG，根据正方形的面积等于两对对角线乘积的一半可求出MN的长，过点N作NE⊥AB于点E，易得四边形ADNE是矩形，则AE=DN=BM=8-AM，EN=AD=4，EM=AM-AE=AM-(8-AM)=2AM-8，在Rt△MNE中利用勾股定理建立方程可求出AM的长，从而即得出答案.
22．【答案】（1）10
（2）解：由题意得：前行所有点数的和为（
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则n（n+1）=120.
即，
解得：.
为正整数，
前行的点数和不能为120.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
即n2+n-110=0，
∴（n+11）（n-10）=0，
解得n1=-11（舍去），n2=10，
故答案为：10；
【分析】（1）直接令等于55，建立方程，求解并检验即可；
（2）根据题意列出前n行所有点数的和，然后提取出各项的公因式2变形后根据题干给出的信息即可解决此题；
（3）令（2）所得结果的式子等于120，建立方程，求解并检验即可.
23．【答案】（1）75°
（2）解：为等边三角形.理由如下：
四边形ABCD为正方形，
.
根据折叠的性质可得，，
.
为CD中点.
为的中位线.
，
在Rt中，.
，
在Rt和Rt中.
.
Rt，
，即，
，
.
，
为等边三角形；
（3）或.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCF=90°，
由折叠得DF=CF=CD，∠CFG=∠DFE=90°，BC=CG，∠B=∠CGH=90°，∠HCG=∠HCB=∠GCB，
∴CF=CG，EF∥BC，
∴∠FGC=∠GCB=30°，
∴∠HCB=15°，
∠CHB=90°-∠HCB=75°；
故答案为：75°；
（3）∵点H是边AB的三等分点，∴BH=2cm或AH=2cm，
①当BH=2cm时，如图，连接CM，
则AH=AB-BH=4cm，
∵四边形ABCD是边长为6cm的正方形，
∴BC=CD=6cm，∠B=90°，
由折叠得BC=CG=6cm，BH=GH=2cm，∠B=∠HGC=90°，
∴CG=CD=6cm，
在Rt△CGM与Rt△CDM中，
∵CG=CD，CM=CM，
∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），
∴GM=DM，
设GM=DM=xcm，则AM=(6-x）cm，HM=GH+GM=(2+x)cm，
在Rt△AHM中，AM2+AH2=HM2，
∴（6-x）2+42=（2+x）2，
解得x=3，
∴AM=6-x=3cm；
②当AH=2cm时，如图，连接CM，
则BH=AB-AH=4cm，
∵四边形ABCD是边长为6cm的正方形，
∴BC=CD=6cm，∠B=90°，
由折叠得BC=CG=6cm，BH=GH=4cm，∠B=∠HGC=90°，
∴CG=CD=6cm
，在Rt△CGM与Rt△CDM中，
∵CG=CD，CM=CM，
∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），
∴GM=DM，
设GM=DM=acm，则AM=(6-a）cm，HM=GH+GM=(4+a)cm，
在Rt△AHM中，AM2+AH2=HM2，
∴（6-a）2+22=（4+a）2，
解得a=1.2，
∴AM=6-a=4.8cm，
综上AM的长为3cm或4.8cm.
【分析】（1）根据正方形性质的四条边相等，四个角都是直角可得BC=CD，∠B=∠BCF=90°，根据折叠性质可得DF=CF=CD，∠CFG=∠DFE=90°，BC=CG，∠B=∠CGH=90°，∠HCG=∠HCB=∠GCB，进而根据平行线的判定方法可得EF∥BC，再根据含30°角直角三角形的性质得∠FGC=∠GCB=30°，则可得∠HCB=15°，最后根据直角三角形两锐角互余可得∠CHB的度数；
（2）△MGN是等边三角形，理由如下：正方形性质的四条边相等，四个角都是直角可得BC=CD，∠B=90°，由折叠得DF=CF=CD，∠CFG=∠DFE=90°，BC=CG，∠B=∠CGH=90°，易证NF是△CDM中位线，得CN=MN，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得MN=GN，用HL证Rt△CGM≌Rt△CDM，得∠CMG=∠CMD，由平行线性质得∠NMD=∠GNM，从而可推出∠NMG=∠MGN=∠GNM=60°，进而根据三个角相等的三角形是等边三角形可得结论；
（3）分情况讨论：①当BH=2cm时，如图，连接CM，则AH=AB-BH=4cm，由正方形性质得BC=CD=6cm，∠B=90°，由折叠性质得BC=CG=6cm，BH=GH=2cm，∠B=∠HGC=90°，用HL判断出Rt△CGM≌Rt△CDM，得GM=DM，设GM=DM=xcm，则AM=(6-x）cm，HM=GH+GM=(2+x)cm，在Rt△AHM中，利用勾股定理建立方程求出x的值，从而可算出AM的长；
②当AH=2cm时，如图，连接CM，则BH=AB-AH=4cm，由正方形的性质可得BC=CD=6cm，∠B=90°，由折叠的性质可得BC=CG=6cm，BH=GH=4cm，∠B=∠HGC=90°，用HL判断出Rt△CGM≌Rt△CDM，得GM=DM，设GM=DM=acm，则AM=(6-a）cm，HM=GH+GM=(4+a)cm，在Rt△AHM中，利用勾股定理建立方程求出a的值，从而可算出AM的长，综上即可得出答案.
1 / 1河南省郑州经济技术开发区第四中学2023-2024学年九年级上学期数学第一次学习比赛（月考）试卷
1．（2023九上·郑州经济技术开发月考）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、是一元三次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，也可能不是方程，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的表达式：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，即要求即可判断.
2．（2023九上·郑州经济技术开发月考）下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．有一个角是直角
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此一 一判断得出答案.
3．（2023九上·郑州经济技术开发月考）要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ）
A．测量四边形画框的两个角是否为
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，能判断四边形是菱形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，据此一 一判断得出答案.
4．（2023九上·郑州经济技术开发月考）已知关于的一元二次方程有一个根是-2，则另一个根是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2+kx-2=0有一个根是-2，
∴（-2）2-2k-2=0，
解得k=1.
故答案为：A.
【分析】根据方程根的概念，将x=-2代入一元二次方程x2+kx-2=0即可得到关于字母k的方程，求解即可得出k的值.
5．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形 为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
当 或 时，均可判定四边形 是菱形；
当 时，可判定四边形 是矩形；
当 时，
由 得： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形。
故答案为：C。
【分析】由题干所给的对角线互相平分可以判断出 四边形 是平行四边形，在此基础上要判断该图形是菱形，只需要添加对角线互相垂直或一组邻边相等即可，从而即可一一判断得出答案。
6．（2023九上·郑州经济技术开发月考）若方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程x2+2x+m+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即22-4×1×（m+1）＞0，
解得m＜0，故只有A选项符合题意，B、C、D三个选项都不符合题意.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式求解可得m取值范围，进而再判断即可得出答案.
7．（2023九上·郑州经济技术开发月考）根据下表：
-3 -2 -1 … 4 5 6
13 5 -1 … -1 5 13
确定方程的解的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格给出的信息可得：当x=-2时，x2-bx-5=5，当x=-1时，x2-bx-5=-1；
当x=4时，x2-bx-5=-1，当x=5时，x2-bx-5=5，
∴方程x2-bx-5=0的解的取值范围为：-2＜x＜-1或4＜x＜5.
故答案为：A.
【分析】观察表格，根据代数式值的变化可确定出方程x2-bx-5=0的解的取值范围.
8．（2023九上·郑州经济技术开发月考）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.计划安排28场比赛，应邀请多少个队参赛（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，
由题意得x（x-1）=28，
解得x1=8，x2=-7（舍），
所以应邀请8个球队参加比赛.
故答案为：C.
【分析】设应邀请x个球队参加比赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场，所以每一个球队比赛（x-1）场，比赛的总场次为x（x-1）场，从而根据计划安排28场比赛可列出方程，求解并检验即可得出答案.
9．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，在平行四边形中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=10，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=90°，
∵EF⊥BD，∠ADB=90°，
∴EF∥AD，又EF是BD的垂直平分线，
∴点M是AB的中点，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，点M是斜边AB的中点，
∴DM=BM=AM，
∴DM+BM=AM+BM=AB=10，
同理DN+BN=CD=10，
∴四边形DMBN的周长为DM+BM+BN+DN=20.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质得AB=CD=10，AD∥BC，∠DBC=∠ADB=90°，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AD，然后利用三角形中位线定理得点M是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DM=BM=AM，则DM+BM=AM+BM=AB=10，同理DN+BN=CD=10，据此就很容易求出四边形DMBN的中点了.
10．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿做匀速运动，到达点后停止运动，动点从点出发，沿以同样的速度做匀速运动，到达点后也停止运动，已知点同时开始运动，连接，设，，其中关于的函数图象如图2所示，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据函数图象起点坐标可得AB-AD=，
∵点P、Q的速度相同，
∴当DQ=时，点P与点C重合，此时BC=DQ=，AP-AQ=m，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=，AB=CD，
∴AB=CD=AD+=，
点x=时，在Rt△ABP中，AP=，
在Rt△ADQ中，AQ=，
∴m=AP-AQ=.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象起点坐标可得AB-AD=，由点P、Q的速度相同，结合图象可得当DQ=时，点P与点C重合，此时BC=DQ=，AP-AQ=m，由矩形的性质得AB=CD=AD+=，然后分别利用勾股定理算出AP与AQ，即可求出m的值.
11．（2023九上·郑州经济技术开发月考）方程的根为 .
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：9x2=4x，
移项，得9x2-4x=0，
∴x(9x-4)=0，
∴x=0或9x-4=0，
解得x1=0，x2=.
故答案为：x1=0，x2=.
【分析】将方程移项整理成一般形式，发现方程缺常数项，故此方程利用因式分解法较简单；将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
12．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如果三角形两边的长分别是一元二次方程的两根，则第三边的长能否是10，答 （填“能”或“不能”）
【答案】不能
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2-9x+14=0，
(x-2)(x-7)=0，
∴x-2=0或x-7=0，
解得x1=2，x2=7，
∵一个三角形的两边长分别是x2-9x+14=0的两根，
设三角形第三边长为x，
则该三角形第三边的长的取值范围为5＜x＜9，
∴三角形第三边的长不能为10.
故答案为：不能.
【分析】先利用因式分解法求出方程的两根，进而根据三角形三边关系判断出第三边的取值范围，从而即可判断得出答案.
13．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的度数是 .
【答案】22.5°
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，∠BAD=90°，
∴∠OAD=∠ODA，
设∠OAD=∠ODA=x，则∠EAC=2x，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AED=90°，
∴∠EAC+∠CAD+∠ADO=90°，
即4x=90°，
∴x=22.5°，
∴∠EAD=3x=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：22.5°.
【分析】由矩形的性质得OA=OD，∠BAD=90°，由等边对等角得∠OAD=∠ODA，设∠OAD=∠ODA=x，则∠EAC=2x，根据直角三角形两锐角互余建立方程求出x的值，从而可求出∠EAD及∠BAE的度数.
14．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AQ⊥PE，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=30°，
∴AC=AB=BC=CD，∠ABC=∠D=30°，
∴，
∵将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
∴∠E=∠D=30°，
∴∠EPA=∠DAC-∠E=45°，
∵AQ⊥PE，AP=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质求出AC=AB=BC=CD，∠ABC=∠D=30°，再根据折叠的性质求出∠E=∠D=30°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
15．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点， ，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点 ， 处，当点 落在直线BC上时，线段AE的长为 .
【答案】4或16
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD CF＝10，
∴CD′＝ ＝6，
∴BD'＝BC CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋122，
∴182＋x2＝（18 x）2＋122，
解得：x＝4，即AE＝4；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD CF＝10，CD'＝ ＝6，
∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋242，
∴182＋x2＝（18 x）2＋242，
解得：x＝16，即AE＝16；
综上所述，线段AE的长为4或16；
故答案为：4或16.
【分析】分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长.
16．（2023九上·郑州经济技术开发月考）解下列一元二次方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
，
∴x-2=0或x+4=0，
∴；
（2）解：，
∴
∴.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将方程左边利用平方差公式分解因式，同时将方程右边整体移到方程的左边，然后将方程左边再利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
17．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，连接，添加条件 ▲ ，能使四边形DBCE成为矩形，并说明理由.
【答案】解：添加AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE，能使四边形DBCE成为矩形，理由如下：
四边形ABCD为平行四边形，
又，
，且，
四边形BCED为平行四边形，
添加AB=BE，∵AD=DE，
∴平行四边形DBCE为矩形；
添加，
，
∴平行四边形DBCE为矩形；
添加，
，
∴平行四边形DBCE为矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】添加AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE，能使四边形DBCE成为矩形，理由如下：由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，结合已知可推出DE∥BC，且DE=BC，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BCED为平行四边形；如果添加AB=BE，根据等腰三角形的三线合一可得BD⊥AE，从而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出平行四边形DBCE为矩形；同理如果添加∠ADB=90°或CE⊥DE，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出平行四边形DBCE为矩形.
18．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙.要使围成养鸡场的面积为，求养鸡场的长和宽各为多少
【答案】解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
，
解得：，
当时，，
当时，，（舍去），
∴养鸡场的宽是10m，长为15m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（33-2x+2）m，根据矩形的面积计算公式建立方程，求解并检验即可求出答案.
19．（2023九上·郑州经济技术开发月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根和.
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在的值使得成立 若存在，求出的值；若不存在，说明理由
【答案】（1）解：，
（2）解：不存在m的值，使x1x2+x1+x2=0成立，理由如下：
∵关于的一元二次方程的两实数根为，
∴m=1，
又∵m≤，
∴不存在m的值使x1x2+x1+x2=0成立.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，列出关于字母m的不等式，求解可得m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2=-（2m-1），x1×x2=m2，然后根据x1x2+x1+x2=0建立出关于字母m的方程，求解得出m的值，进而根据m的取值范围进行判断即可得出答案.
20．（2023九上·郑州经济技术开发月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为．
（1）求月增长率r；
（2）经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，则月销售量为（个），
由题意得：，
解得或，
要尽可能让顾客得到实惠，
，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题是一元二次方程的实际应用：增长率与销售问题，增长率问题的模型是a(x+1)n=b，其中a为始量，b为终量，x为增长率，n为次数；销售问题需要记住的有销售总额=售价×销售数量，总利润=单件利润×销售数量等.
21．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，矩形ABCD中，，点M，N分别为AB，CD上一点，且，连接MN，DM，BN.
（1）当时，求证：四边形DMBN是菱形；
（2）填空：①当AM= 时，四边形DAMN是矩形；
②当AM= 时，以为对角线的正方形的面积为.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，，
，
，
，
，
，
四边形DMBN为平行四边形，
，
，
四边形DMBN为菱形；
（2）DN；或
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解（2）①当AM=DN时，四边形DAMN是矩形，理由如下：
如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
又∵DN=AM，
∴四边形DAMN是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴平行四边形DAMN是矩形；
故答案为：AM=DN；
②如图，当AM=或AM=时，以MN为对角线的正方形的面积为，理由如下：
以MN为对角线的正方形是正方形MFNG，连接FG，
∵FG=MN，FG⊥MN，
∴S正方形MFNG=FG×MN=MN2=，
∴MN=5，
过点N作NE⊥AB于点E，则∠AEN=∠A=∠ADN=90°，
∴四边形ADNE是矩形，
∴AE=DN=BM=8-AM，EN=AD=4，
∴EM=AM-AE=AM-(8-AM)=2AM-8，
∵∠MEN=90°，
∴EM2+EN2=MN2，
∴（2AM）2+42=52，
解得AM=或AM=，
∴当AM=或AM=时，以MN为对角线的正方形的面积为.
故答案为：或.
【分析】（1）由矩形性质得AB=CD=8，AB∥CD，∠A=90°，结合AM=CN=3推出BM=DN=5，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DMBN为平行四边形，在Rt△ADM中，利用勾股定理算出DM=5，从而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）①当AM=DN时，四边形DAMN是矩形，理由如下：由矩形的性质得AB∥CD，∠A=90°，结合DN=AM，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DAMN是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论；
②以MN为对角线的正方形是正方形MFNG，连接FG，根据正方形的面积等于两对对角线乘积的一半可求出MN的长，过点N作NE⊥AB于点E，易得四边形ADNE是矩形，则AE=DN=BM=8-AM，EN=AD=4，EM=AM-AE=AM-(8-AM)=2AM-8，在Rt△MNE中利用勾股定理建立方程可求出AM的长，从而即得出答案.
22．（2023九上·郑州经济技术开发月考）阅读材料，解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第个三角数可以用且为整数）来表示.
（1）若三角数是55，则n= ；
（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为，，请用含的式子表示前行所有点数的和；
（3）在（2）中的三角点阵中前行的点数的和能为120吗 如果能，求出，如果不能，请说明理由.
【答案】（1）10
（2）解：由题意得：前行所有点数的和为（
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则n（n+1）=120.
即，
解得：.
为正整数，
前行的点数和不能为120.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
即n2+n-110=0，
∴（n+11）（n-10）=0，
解得n1=-11（舍去），n2=10，
故答案为：10；
【分析】（1）直接令等于55，建立方程，求解并检验即可；
（2）根据题意列出前n行所有点数的和，然后提取出各项的公因式2变形后根据题干给出的信息即可解决此题；
（3）令（2）所得结果的式子等于120，建立方程，求解并检验即可.
23．（2023九上·郑州经济技术开发月考）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
（1）操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，得到折痕，把纸片展平；根据以上操作，直接写出图1中的度数： .
（2）拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长交于点，连接交于点（如图2）.判断的形状，并说明理由.
（3）迁移探究
如图3，已知正方形的边长为，当点是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点，请直接写出的长.
【答案】（1）75°
（2）解：为等边三角形.理由如下：
四边形ABCD为正方形，
.
根据折叠的性质可得，，
.
为CD中点.
为的中位线.
，
在Rt中，.
，
在Rt和Rt中.
.
Rt，
，即，
，
.
，
为等边三角形；
（3）或.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCF=90°，
由折叠得DF=CF=CD，∠CFG=∠DFE=90°，BC=CG，∠B=∠CGH=90°，∠HCG=∠HCB=∠GCB，
∴CF=CG，EF∥BC，
∴∠FGC=∠GCB=30°，
∴∠HCB=15°，
∠CHB=90°-∠HCB=75°；
故答案为：75°；
（3）∵点H是边AB的三等分点，∴BH=2cm或AH=2cm，
①当BH=2cm时，如图，连接CM，
则AH=AB-BH=4cm，
∵四边形ABCD是边长为6cm的正方形，
∴BC=CD=6cm，∠B=90°，
由折叠得BC=CG=6cm，BH=GH=2cm，∠B=∠HGC=90°，
∴CG=CD=6cm，
在Rt△CGM与Rt△CDM中，
∵CG=CD，CM=CM，
∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），
∴GM=DM，
设GM=DM=xcm，则AM=(6-x）cm，HM=GH+GM=(2+x)cm，
在Rt△AHM中，AM2+AH2=HM2，
∴（6-x）2+42=（2+x）2，
解得x=3，
∴AM=6-x=3cm；
②当AH=2cm时，如图，连接CM，
则BH=AB-AH=4cm，
∵四边形ABCD是边长为6cm的正方形，
∴BC=CD=6cm，∠B=90°，
由折叠得BC=CG=6cm，BH=GH=4cm，∠B=∠HGC=90°，
∴CG=CD=6cm
，在Rt△CGM与Rt△CDM中，
∵CG=CD，CM=CM，
∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），
∴GM=DM，
设GM=DM=acm，则AM=(6-a）cm，HM=GH+GM=(4+a)cm，
在Rt△AHM中，AM2+AH2=HM2，
∴（6-a）2+22=（4+a）2，
解得a=1.2，
∴AM=6-a=4.8cm，
综上AM的长为3cm或4.8cm.
【分析】（1）根据正方形性质的四条边相等，四个角都是直角可得BC=CD，∠B=∠BCF=90°，根据折叠性质可得DF=CF=CD，∠CFG=∠DFE=90°，BC=CG，∠B=∠CGH=90°，∠HCG=∠HCB=∠GCB，进而根据平行线的判定方法可得EF∥BC，再根据含30°角直角三角形的性质得∠FGC=∠GCB=30°，则可得∠HCB=15°，最后根据直角三角形两锐角互余可得∠CHB的度数；
（2）△MGN是等边三角形，理由如下：正方形性质的四条边相等，四个角都是直角可得BC=CD，∠B=90°，由折叠得DF=CF=CD，∠CFG=∠DFE=90°，BC=CG，∠B=∠CGH=90°，易证NF是△CDM中位线，得CN=MN，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得MN=GN，用HL证Rt△CGM≌Rt△CDM，得∠CMG=∠CMD，由平行线性质得∠NMD=∠GNM，从而可推出∠NMG=∠MGN=∠GNM=60°，进而根据三个角相等的三角形是等边三角形可得结论；
（3）分情况讨论：①当BH=2cm时，如图，连接CM，则AH=AB-BH=4cm，由正方形性质得BC=CD=6cm，∠B=90°，由折叠性质得BC=CG=6cm，BH=GH=2cm，∠B=∠HGC=90°，用HL判断出Rt△CGM≌Rt△CDM，得GM=DM，设GM=DM=xcm，则AM=(6-x）cm，HM=GH+GM=(2+x)cm，在Rt△AHM中，利用勾股定理建立方程求出x的值，从而可算出AM的长；
②当AH=2cm时，如图，连接CM，则BH=AB-AH=4cm，由正方形的性质可得BC=CD=6cm，∠B=90°，由折叠的性质可得BC=CG=6cm，BH=GH=4cm，∠B=∠HGC=90°，用HL判断出Rt△CGM≌Rt△CDM，得GM=DM，设GM=DM=acm，则AM=(6-a）cm，HM=GH+GM=(4+a)cm，在Rt△AHM中，利用勾股定理建立方程求出a的值，从而可算出AM的长，综上即可得出答案.
1 / 1
