第十三章 轴对称 单元检测 （含答案） 2023--2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第十三章 轴对称 单元检测 （含答案） 2023--2024学年人教版八年级数学上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 352.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-06 00:00:00 | ||
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文档简介
第十三章 轴对称 单元检测 人教版数学八年级上册
一、单选题
1．平面直角坐标系内的点A(－1，2)与点B(－1，－2)的位置关系是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．无法确定
2．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．点 M(3，-2)关于 y 轴对称的点的坐标为（ ）
A．(﹣3，2) B．(3，﹣2) C．(﹣3，﹣2) D．(3，2)
4．下列四个图形中是轴对称图形的是（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图所示，图中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知等腰三角形，，若以点B为圆心，长为半径画弧，交腰于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 的（ ）
A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
8．已知点与点关于轴对称，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
10．如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC=2，点E是AC边上的动点，则BE+ED的和最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
11．若点M（﹣3，a）与点N（b，4）关于x轴对称，则a+b＝ .
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝ cm.
13．如图，在等边△ABC中，BC=10，BD⊥AC于D，则∠ABD= ，AD= ．
14．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
15．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值 cm．
三、解答题
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=2．求斜边AB的长．
17．如图， ，点 、 在 上，点 在 上， 的平分线 交 于点 ，且 ，若 ，求 的度数.
18．如图，已知△ABC≌△BAD，AC与BD相交于点O，求证：OC=OD．
19．如图，在正方形网格上有一个△DEF．
①作△DEF关于直线HG的轴对称图形；
②作△DEF的EF边上的高；
③若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．
20．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长.
四、作图题
21．如图，10×10的网格中，A，B，C均在格点上，诮用无刻度的直尺作直线MN，使得直线MN平分△ABC的周长（留作图痕迹，不写作法）
（1）请在图1中作出符合要求的一条直线MN；
（2）如图2，点M为BC上一点，BM＝5.请在AB上作出点N的位置.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】点A(－1，2)与点B(－1，－2)的横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以它们关于x轴对称，
故答案为B.
【分析】根据题意可知，两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可知两个点的坐标关于x轴成轴对称。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故答案为：B．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】点 M(3，-2)关于 y 轴对称的点的坐标为(-3，-2)
故答案为：C.
【分析】关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数.
4．【答案】B
【解析】【解答】将某一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两边的图形能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，根据定义可知①和②是轴对称图形，
故答案为：B．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】轴对称图形沿着对称轴折叠后重合，因此C是轴对称图形
故选：C
【分析】根据轴对称图形性质判定。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵等腰三角形，，
∴，
∵点B为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】由等腰三角形的性质可得，由作图知BC=BE，可得，即得，由角的和差及三角形外角的性质可得，可得，据此判断即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点．
故答案为：A．
【分析】为使游戏公平，则凳子到三个人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
8．【答案】A
【解析】【解答】解∵，关于y轴对称，
∴，
∴，
∴H在第一象限，
故答案为：A.
【分析】因为点P与点Q关于y轴对称，则两点横坐标相反，纵坐标相等，即可列出关于m，n的方程组，求出m，n的值，即可得出H所在象限.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作 ，
如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
，
，
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥BC，DG⊥AB，由角平分线的性质可得DG=DH，证明△FDG≌△EDH，△BDG≌△BDH，得到GF=EH，BG=BH，进而推出BF=BE，证明△BDE≌△BDF，得到∠DFB=∠DEB，由平行线的性质可得∠DEB=140°，则∠DFB=140°；当点F位于点F′处时，DF=DF′，由等腰三角形的性质可得∠DF′B的度数.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD= ，BD=CD=1，BB′=2AD=2 ，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G=AD= ，
在Rt△B′BG中，
BG= =3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，BD= ．
故BE+ED的最小值为 ．
故选B．
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．
11．【答案】﹣7
【解析】【解答】解：∵点M（-3，a）与点N（b，4）关于x轴对称，
∴b=-3，a=-4，
∴a+b=-7.
故答案为：-7.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数”可求解.
12．【答案】4
【解析】【解答】解：根据含30°角的直角三角形的性质可知：BC＝ AB＝4cm.
故答案为：4.
【分析】根据直角三角形中，含30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案.
13．【答案】30°；5
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BC=10，
∴∠ABC=60°，AC=BC=10，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD= ∠ABC= ×60°=30°，AD= AC= ×10=5．
故答案为：30°，5．
【分析】根据△ABC是等边三角形可知∠ABC=60°，AC=BC，再由BD⊥AC可知∠ABD= ∠ABC，AD= AC，由此即可得出结论．
14．【答案】19
【解析】【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，AE=CE= AC=3cm，
∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①
则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②
把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm
故答案为：19．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．
15．【答案】8
【解析】【解答】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=8cm．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=8cm．
故答案为：8．
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
16．【答案】解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，所以有∠B=45°
所以BC=AC=2，故AB=
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的勾股定理，可得出AB的长度。
17．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠GFD，
∵∠EFD的平分线FM，
∴∠EFG=∠GFD= ∠EFD=34°，
∴∠EFG=∠EGF=34°，
∴∠MGN=34°，
∵GM=GN，
∴∠M=∠GNM=73°.
【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的定义得出∠EFG=∠EGF=34°，进而得出答案.
18．【答案】证明：∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，AC=BD，
∴OA=OB，
∴AC﹣OA=BD﹣OB，
即：OC=OD
【解析】【分析】由△ABC≌△BAD，根据全等三角形的性质得出∠CAB=∠DBA，AC=BD，利用等角对等边得到OA=OB，那么AC﹣OA=BD﹣OB，即：OC=OD．
19．【答案】【解答】①如图所示，△D′E′F′即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形；②如图所示，DH为EF边上的高线；③△DEF的面积 ．
【解析】【分析①根据网格结构找出点D、E、F关于直线HG的对称点D′、E′、F′的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构以及EF的位置，过点D作小正方形的对角线，与FE的延长线相交于H，DH即为所求作的高线；
③DE为底边，点F到DE的距离为高，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
20．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACD，
∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD=BE，∠DAC=∠ABE，
∵∠BPQ=∠PAB+∠PBA，
∴∠BPQ=∠PAB+∠DAC=∠PAC=60°，
∴∠PBQ=180°-∠PQB-∠BPQ=180°-90°-60°=30°，
∴BP=2PQ=6，
∴BE=BP+PE=6+1=7.
∴AD=BE=7.
【解析】【分析】先利用边角边定理证明△ABE和△ADC全等，则对应边AD和AE相等，对应角∠DAC和∠ABE相等，于是利用三角形外角的性质可求∠BPQ为90°，再结合30°所对的直角边等于斜边的一半求得PB的长，则BE的长可得，从而求出AD的长.
21．【答案】（1）解：如图，直线MN即为所求.
（2）解：如图，点N即为所求.
理由：由题意：BA＝BM＝5，NG∥AM，
∴ ，
∴BN＝BG，
∴AN＝GN，
∵AB＝AC，BG＝CG，
∴BN+BM＝CM+AC+AN，
∴直线MN平分△ABC的周长，
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的中线的性质解决问题即可.（2）作△ABC的中线AG，连接AM，作GN∥AM，交AB于点N，点N即为所求.
一、单选题
1．平面直角坐标系内的点A(－1，2)与点B(－1，－2)的位置关系是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．无法确定
2．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．点 M(3，-2)关于 y 轴对称的点的坐标为（ ）
A．(﹣3，2) B．(3，﹣2) C．(﹣3，﹣2) D．(3，2)
4．下列四个图形中是轴对称图形的是（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图所示，图中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知等腰三角形，，若以点B为圆心，长为半径画弧，交腰于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 的（ ）
A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
8．已知点与点关于轴对称，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
10．如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC=2，点E是AC边上的动点，则BE+ED的和最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
11．若点M（﹣3，a）与点N（b，4）关于x轴对称，则a+b＝ .
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝ cm.
13．如图，在等边△ABC中，BC=10，BD⊥AC于D，则∠ABD= ，AD= ．
14．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
15．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值 cm．
三、解答题
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=2．求斜边AB的长．
17．如图， ，点 、 在 上，点 在 上， 的平分线 交 于点 ，且 ，若 ，求 的度数.
18．如图，已知△ABC≌△BAD，AC与BD相交于点O，求证：OC=OD．
19．如图，在正方形网格上有一个△DEF．
①作△DEF关于直线HG的轴对称图形；
②作△DEF的EF边上的高；
③若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．
20．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长.
四、作图题
21．如图，10×10的网格中，A，B，C均在格点上，诮用无刻度的直尺作直线MN，使得直线MN平分△ABC的周长（留作图痕迹，不写作法）
（1）请在图1中作出符合要求的一条直线MN；
（2）如图2，点M为BC上一点，BM＝5.请在AB上作出点N的位置.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】点A(－1，2)与点B(－1，－2)的横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以它们关于x轴对称，
故答案为B.
【分析】根据题意可知，两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可知两个点的坐标关于x轴成轴对称。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故答案为：B．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】点 M(3，-2)关于 y 轴对称的点的坐标为(-3，-2)
故答案为：C.
【分析】关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数.
4．【答案】B
【解析】【解答】将某一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两边的图形能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，根据定义可知①和②是轴对称图形，
故答案为：B．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】轴对称图形沿着对称轴折叠后重合，因此C是轴对称图形
故选：C
【分析】根据轴对称图形性质判定。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵等腰三角形，，
∴，
∵点B为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】由等腰三角形的性质可得，由作图知BC=BE，可得，即得，由角的和差及三角形外角的性质可得，可得，据此判断即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点．
故答案为：A．
【分析】为使游戏公平，则凳子到三个人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
8．【答案】A
【解析】【解答】解∵，关于y轴对称，
∴，
∴，
∴H在第一象限，
故答案为：A.
【分析】因为点P与点Q关于y轴对称，则两点横坐标相反，纵坐标相等，即可列出关于m，n的方程组，求出m，n的值，即可得出H所在象限.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作 ，
如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
，
，
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥BC，DG⊥AB，由角平分线的性质可得DG=DH，证明△FDG≌△EDH，△BDG≌△BDH，得到GF=EH，BG=BH，进而推出BF=BE，证明△BDE≌△BDF，得到∠DFB=∠DEB，由平行线的性质可得∠DEB=140°，则∠DFB=140°；当点F位于点F′处时，DF=DF′，由等腰三角形的性质可得∠DF′B的度数.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD= ，BD=CD=1，BB′=2AD=2 ，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G=AD= ，
在Rt△B′BG中，
BG= =3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，BD= ．
故BE+ED的最小值为 ．
故选B．
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．
11．【答案】﹣7
【解析】【解答】解：∵点M（-3，a）与点N（b，4）关于x轴对称，
∴b=-3，a=-4，
∴a+b=-7.
故答案为：-7.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数”可求解.
12．【答案】4
【解析】【解答】解：根据含30°角的直角三角形的性质可知：BC＝ AB＝4cm.
故答案为：4.
【分析】根据直角三角形中，含30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案.
13．【答案】30°；5
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BC=10，
∴∠ABC=60°，AC=BC=10，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD= ∠ABC= ×60°=30°，AD= AC= ×10=5．
故答案为：30°，5．
【分析】根据△ABC是等边三角形可知∠ABC=60°，AC=BC，再由BD⊥AC可知∠ABD= ∠ABC，AD= AC，由此即可得出结论．
14．【答案】19
【解析】【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，AE=CE= AC=3cm，
∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①
则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②
把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm
故答案为：19．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．
15．【答案】8
【解析】【解答】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=8cm．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=8cm．
故答案为：8．
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
16．【答案】解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，所以有∠B=45°
所以BC=AC=2，故AB=
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的勾股定理，可得出AB的长度。
17．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠GFD，
∵∠EFD的平分线FM，
∴∠EFG=∠GFD= ∠EFD=34°，
∴∠EFG=∠EGF=34°，
∴∠MGN=34°，
∵GM=GN，
∴∠M=∠GNM=73°.
【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的定义得出∠EFG=∠EGF=34°，进而得出答案.
18．【答案】证明：∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，AC=BD，
∴OA=OB，
∴AC﹣OA=BD﹣OB，
即：OC=OD
【解析】【分析】由△ABC≌△BAD，根据全等三角形的性质得出∠CAB=∠DBA，AC=BD，利用等角对等边得到OA=OB，那么AC﹣OA=BD﹣OB，即：OC=OD．
19．【答案】【解答】①如图所示，△D′E′F′即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形；②如图所示，DH为EF边上的高线；③△DEF的面积 ．
【解析】【分析①根据网格结构找出点D、E、F关于直线HG的对称点D′、E′、F′的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构以及EF的位置，过点D作小正方形的对角线，与FE的延长线相交于H，DH即为所求作的高线；
③DE为底边，点F到DE的距离为高，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
20．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACD，
∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD=BE，∠DAC=∠ABE，
∵∠BPQ=∠PAB+∠PBA，
∴∠BPQ=∠PAB+∠DAC=∠PAC=60°，
∴∠PBQ=180°-∠PQB-∠BPQ=180°-90°-60°=30°，
∴BP=2PQ=6，
∴BE=BP+PE=6+1=7.
∴AD=BE=7.
【解析】【分析】先利用边角边定理证明△ABE和△ADC全等，则对应边AD和AE相等，对应角∠DAC和∠ABE相等，于是利用三角形外角的性质可求∠BPQ为90°，再结合30°所对的直角边等于斜边的一半求得PB的长，则BE的长可得，从而求出AD的长.
21．【答案】（1）解：如图，直线MN即为所求.
（2）解：如图，点N即为所求.
理由：由题意：BA＝BM＝5，NG∥AM，
∴ ，
∴BN＝BG，
∴AN＝GN，
∵AB＝AC，BG＝CG，
∴BN+BM＝CM+AC+AN，
∴直线MN平分△ABC的周长，
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的中线的性质解决问题即可.（2）作△ABC的中线AG，连接AM，作GN∥AM，交AB于点N，点N即为所求.