课件15张PPT。组合(二） 一般地，从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合。 从 n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所
有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号 表示。前课复习计算：观察这两个值的关系猜测：性质1当m=n时，规定：例1、有试题10道，从中选答8道共有几种选法？若10道中
有6道必答，则从中选答8道共有几种选法？例2、（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线
段有多少条？
（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有
向线段有多少条？例3、 一个口袋内有大小相同的7个白球和1个黑球
（1）从口袋中取3个球，使其中含有1个黑球，有多少
种取法？
（2）从口袋中取3个球，使其中不含有黑球，有多少
种取法？
（3）从口袋中取3个球，有多少 种取法？发现：例4、现有大小相同的n个白球和1个黑球，从中取出m个球，有几种取法？直接由组合定义知，共有若分成两类：第一类m个球中不含黑球，则从n个白球中取m个，有第二类m个球中含一个黑球，则从n个白球中取m-1个，
有结论： 从 这n+1个不同的元素
中，取出m个元素的组合数 ，这些组合可以分
成两类： 一类含 ， 一类不含 。
含 的组合是从 这n个不同元素中
取出m-1个元素的组合数为 ；不含 的组合是
从 这n个不同的元素中取出m个元
素的组合数为 ，再由加法原理，得性质2：证明：练习 计算：练习：1、化简（用 形式表示）①例5、在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这
100件产品中任意抽出3件
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3见中至少有1件是次品的抽法有多少种？或者练习：课本P115 2—6 P115 习题10.3 9，13证明:练习： 有13个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组7个队,第二组6个队.各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决出冠军、亚军,共需要比赛多少场?小结1、2、作业课本P104 习题10.3 6，8，11，12
课件15张PPT。组合(三） 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数组合与组合数复习复习组合数计算公式组合数性质1：组合数性质2：常用的组合数性质公式还有：补充课堂练习1．方程 的解集为（ ） A． B． C． D． A．1 B．2 C．3 D．43．化简： ； 4．若 ，则 的值为 ；5.已知 ，求 的值为___________； DA019028或56 6、计算例题讲解： 例1．从编号为1，2，3，…，10，11的共11
个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为
奇数，则一共有多少种不同的取法？ 解：分为三类：1奇4偶有 3奇2偶有 5奇没偶有 例題講解： 例2．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；
有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作
都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其
中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多
少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有 ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有 ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有 ∴一共有 ＝42种方法．例題講解： 例3．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值
两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种
不同的值周表 ？解法一：（排除法） 解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，
有 另一类为甲不值周一，但值周六，有 ∴一共有 + ＝42种方法．例題講解： 例4．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有
多少种不同的送书方法？解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起
看成一个元素有 种方法；解：根据a,b,c,d对应的象为2的个数分类，可分为三类： 第一类，没有一个元素的象为2，其和又为4，则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有1个 第二类，有一个元素的象为2，其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有C41C3 1C22个 第三类，有两个元素的象为2，其和又为4，则其余2个元素的象必为0，这样的映射有C42C22个根据加法原理共有 1+ C41C3 1C22 +C42 C22=19个例5、f是集合M={a,b,c,d}到N{0,1,2}的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多少个？例題講解：课堂练习： 1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个.所以，能形成四面体70-12=58（个）．2．以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对解：由上题可知以一个正方体的顶点为顶点的四面体共
有58个，每个四面体的四条棱可以组成3对异面直线，
因此以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共
有3×58＝174对. 課堂練習： 3．⑴6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书
方法？
⑵5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种
不同的送书方法？
⑶5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种
不同的送书方法？答案：⑴ ；⑵ ；⑶ ． 例题讲解： 第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办,五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？答案是： 解：可分为如下几类比赛：
⑴小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场；
⑵八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，
根据抽签规则，每第一第二两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；
⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队抽签比赛一场，可以决出4强，共有4场；
⑷半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，
可以决出2强，共有2场；
⑸决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛
1场决出第三、四名 共有2场.
综上，共有 场.小结 排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法. 课件18张PPT。组合（四） 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数组合与组合数复习复习组合数计算公式组合数性质1：组合数性质2：常用的组合数性质公式还有：补充例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；例題講解：解：（1）根据分步计数原理得到：种（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，
这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，
设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同
学有 种方法．根据分步计数原理 可得： ，所以．
因此，分为三份，每份两本一共有15种方法例題講解：点评：本题是分组中的“均匀分组”问题． 一般地：将mn个元素均匀分成n组（每
组m个元素），共有
种方法例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同
的选法： （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，
一人3本；解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有
种方法．（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
种方法．例題講解：例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同
的选法：
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有
种方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有
种方法；③“1、1、4型”，有 种方法，所以，一共有90+360+90＝540种方法．例題講解：例2、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少
一个，共有多少种不同的分配方法？
（2）10个优秀指标分配到一、二、三3个班，若名
额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可
构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，
既有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的
指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指
标，以此类推，因此共有 种分法.例題講解：（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题
转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1）
可知共有 种分法注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有 种分法. 例題講解：例3．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共
有多少种不同的放法？
（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空
盒的放法有多少种？解：（1）根据分步计数原理：一共有 种方法； （2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个
“捆绑”在一起看成一个元素有 种方法；第二步：从
四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以，
一共有 ＝144种方法 例題講解：例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路
灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯
关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在
两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的
关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间
的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数
为 种方法例題講解：1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且
票必须分完，那么不同的分法种数是 ．2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中
有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法. 3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个. 4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这
两组平行线相交，可以构成 个平行四边形 .5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，
第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，
可构成 个平行六面体9830課堂練習：6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，
使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位
不变，共有 种不同的调换方法7.某兴趣小组有4名男生，5名女生：
（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男
生，3名女生，且女生甲必须在内，有 种选派方法；
（2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人
数必须少于男生，有____种选派方法；
（3）分成三组，每组3人，有_______种不同分法. 3645280課堂練習：8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三
张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问
可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有
种方法；
②若不取6，则有 种方法，根据分类计数原理，一共有 + ＝602
种方法 課堂練習：1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；
2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；
3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；
4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题. 課堂小結5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将3个人分成3组，每组一个人，显然只有1种分法，而不是 种,一般地，将m、n个不同元素均匀分成n组，有
种分法；
