第13章三角形中的边角关系 命题与证明单元复习题 （含答案） 2023—2024学年沪科版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第13章三角形中的边角关系 命题与证明单元复习题 （含答案） 2023—2024学年沪科版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 340.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-07 12:46:54 | ||
图片预览
文档简介
沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系 命题与证明单元复习题
一、选择题
1．下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，11 D．6，3，3
2．如图，在中，，，是的平分线，则（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
3．下列是命题的是（ ）
A．作两条相交直线 B．∠α和∠β相等吗？
C．全等三角形的对应边相等 D．若，求a的值
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．画一条长3cm的射线 B．直线、线段、射线中直线最长
C．延长线段BA到C，使AC=BA D．延长射线OC到C
5．如图，BE是△ABC的中线，AD⊥BC交BE于点F，且BD=AE，∠EAD＝50°，则∠EBC的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
6．如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABD的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．20
7．一个三角形三个内角的度数比是1：2：3，其中最大的一个角是（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
8．如图所示，是的中线，，，的周长和的周长差为（ ）
A． B． C． D．不确定
9．“等角的余角相等”的逆命题是（ ）
A．等角的补角相等
B．如果两个角相等，那么它们的余角也相等
C．如果两个角的余角相等，那么这两个角相等
D．同角的余角相等
10．下列说法正确的个数有（ ）
①若，则点C是线段的中点；②两点确定一条直线；③射线与射线是同一条射线；④线段就是点A到点B之间的距离；⑤两点之间线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝29°，则∠E＝ ．
12．把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为 ．
13．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为，，的中点．且，则图中的面积= .
14．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
三、解答题
15．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
16．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α，∠B＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数 ．
17．请将下列证明过程补充完整：已知：如图，，直线分别直线相交于点G，H，．
求证： ．
证明：∵（已知）
（ ），
∴（ ），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（ ），
∴（等量代换）．
四、综合题
18．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
19．探究问题：已知 ，画一个角 ，使 ，且 交 于点 . 与 有怎样的数量关系？
（1）我们发现 与 有两种位置关系：如图1与图2所示.
①图1中 与 数量关系为 ；图2中 与 数量关系为 .请选择其中一种情况说明理由.
②由①得出一个真命题（用文字叙述）: .
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数.
20．已知，E是平面内一点，连接，．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，平分，连接，，若，，的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A.1+2=3，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
B.5-3＜4＜5+3，满足三角形的三边关系，符合题意；
C.4+5＜11，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
D.3+3=6，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，
∵是的平分线，
∴∠BCD=∠ACB=30°，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=70°，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，再根据角平分线求出∠BCD=∠ACB=30°，最后利用三角形的外角计算求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、“作两条相交直线”，它不是命题，所以A选项错误；
B、“∠α和∠β相等吗？”，它不是命题，所以A选项错误；
C、全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确；
D、“若a2＝4，求a的值”，它不是命题，所以D选项错误．
故答案为：D.
【分析】根据命题的定义即：判断一件事情的语句叫做命题，逐个判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】A、∵射线没有长度，∴A不正确，不符合题意；
B、∵射线和直线没有长度，∴B不正确，不符合题意；
C、∵延长线段BA到C，使得AC=BA，∴C正确，不符合题意；
D、∵射线没有长度，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：连接DE，
∵BE是△ABC的中线，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°， DE=AE=CE，
∴∠ADE=∠EAD=50°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=40°，
∵BD= AE，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠EBC，
∵∠CDE = ∠EBC+∠BED，
∴2∠BED= 40°，
∴∠BED = 20°，
∴∠EBC=20°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中线和垂线求出∠ADC=90°， DE=AE=CE，再求出∠BED=∠EBC，最后计算求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ BD是△ABC的边AC上的中线，
∴，
∵ AE是△ABD的边BD上的中线，
∴，
∵BF是△ABE的边AE上的中线，
∴CF是△ACE的边AE上的中线，，
∴，
∴，
即阴影部分的面积是12，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积计算求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵一个三角形三个内角的度数比是1：2：3，
∴设三角形的三个内角的度数分别为x，2x，3x，
由题意可得：x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴3x=90°，
即最大的一个角是90°，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和求出x+2x+3x=180°，再解方程求出x=30°，最后计算求解即可。
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】C
【解析】【解答】①∵，∴点C在线段的垂直平分线上，∴①不正确；
②∵两点确定一条直线，∴②正确；
③∵射线MN和射线NM的端点不一样，∴③不正确；
④∵线段就是点A到点B之间的距离，∴④正确；
⑤∵两点之间线段最短，∴⑤正确；
∴正确的结论是②④⑤三个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可.
11．【答案】16°
12．【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【解析】【解答】解：由题意可得：
把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【分析】根据命题的概念即可求出答案。
13．【答案】
14．【答案】180°
15．【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴AD BC＝AB AC，
∴AD＝＝（cm）；
（2）解：∵CE是AB边上的中线，
∴S△BCE＝S△ABC＝××12×16＝48（cm2）．
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）根据三角形的中线以及三角形的面积公式计算求解即可。
16．【答案】（1）解：由题意得：∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴．
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝20°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝35°﹣20°＝15°．
（2）
【解析】【解答】解：（2）由题意得：∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β），
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°﹣（α+β），
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝90°﹣（α+β）﹣（90°﹣α）＝．
故答案为：．
【分析】（1）根据角平分线求出 ，再根据三角形的高求出 ∠ADC＝90°， 最后计算求解即可；
（2）利用三角形的内角和等于180°求出∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β），再根据角平分线求出∠ACE＝∠ACB＝90°﹣（α+β），最后计算求解即可。
17．【答案】证明：∵（已知）
（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理过程求解即可。
18．【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0)
∵直线 AB 过点 A(1，0)、点 B(0，-2）
∴
解得
∴直线 AB 的解析式为 y=2x-2
（2）解：设点 C（x，2x-2）
∵B（0， -2）
∴OB=2
且
解得x=2
∴2x-2=2×2-2=2
∴点C的坐标是(2，2).
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出直线AB的解析式；
(2)设点 C（x，2x-2），先求出OB长，根据，建立关于x的方程求解，即可解答.
19．【答案】（1）；；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补 理由：如图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DPB=∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠DPB=180°， ∴∠ABC+∠DEF=180°． 如图2中，∵BC∥EF， ∴∠DPC=∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DPC，
∴∠ABC=∠DEF．
（2）解：设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【解析】【分析】（1）①利用平行线的性质逐一进行推导即可得出答案；②根据①中的结论即可得；（2）设两个角分别为x和2x-30°，由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，解方程即可解决问题．
20．【答案】（1）解：过点E作，如图，
，
，，
，，
，，
；
（2）解：，理由如下：
延长交于点F，如图，
，
，
，
；
（3）解：如图，
是的外角，
，
，
，
平分，
，
由（2）可得：，
，
，
，
即：
，，
．
【解析】【分析】解：（1） 过点E作，，根据平行线的性质可求得∠AEF和∠CEF，再求得这两角的和即可；
（2） 。根据平行线的性质可得：∠CFE=∠A， 再根据三角形外角的性质可得∠DCE=∠CFE+∠E，然后等量代换为；
（3）首先得出∠BAE=2∠FCD+2∠F， 由（2）可得：， 结合已知∠ECD=6∠FCD，所以可以代换为：6∠FCD=2∠FCD+2∠F+∠E，可求得∠FCD=27.5°。
一、选择题
1．下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，11 D．6，3，3
2．如图，在中，，，是的平分线，则（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
3．下列是命题的是（ ）
A．作两条相交直线 B．∠α和∠β相等吗？
C．全等三角形的对应边相等 D．若，求a的值
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．画一条长3cm的射线 B．直线、线段、射线中直线最长
C．延长线段BA到C，使AC=BA D．延长射线OC到C
5．如图，BE是△ABC的中线，AD⊥BC交BE于点F，且BD=AE，∠EAD＝50°，则∠EBC的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
6．如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABD的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．20
7．一个三角形三个内角的度数比是1：2：3，其中最大的一个角是（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
8．如图所示，是的中线，，，的周长和的周长差为（ ）
A． B． C． D．不确定
9．“等角的余角相等”的逆命题是（ ）
A．等角的补角相等
B．如果两个角相等，那么它们的余角也相等
C．如果两个角的余角相等，那么这两个角相等
D．同角的余角相等
10．下列说法正确的个数有（ ）
①若，则点C是线段的中点；②两点确定一条直线；③射线与射线是同一条射线；④线段就是点A到点B之间的距离；⑤两点之间线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝29°，则∠E＝ ．
12．把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为 ．
13．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为，，的中点．且，则图中的面积= .
14．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
三、解答题
15．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
16．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α，∠B＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数 ．
17．请将下列证明过程补充完整：已知：如图，，直线分别直线相交于点G，H，．
求证： ．
证明：∵（已知）
（ ），
∴（ ），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（ ），
∴（等量代换）．
四、综合题
18．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
19．探究问题：已知 ，画一个角 ，使 ，且 交 于点 . 与 有怎样的数量关系？
（1）我们发现 与 有两种位置关系：如图1与图2所示.
①图1中 与 数量关系为 ；图2中 与 数量关系为 .请选择其中一种情况说明理由.
②由①得出一个真命题（用文字叙述）: .
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数.
20．已知，E是平面内一点，连接，．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，平分，连接，，若，，的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A.1+2=3，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
B.5-3＜4＜5+3，满足三角形的三边关系，符合题意；
C.4+5＜11，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
D.3+3=6，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，
∵是的平分线，
∴∠BCD=∠ACB=30°，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=70°，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，再根据角平分线求出∠BCD=∠ACB=30°，最后利用三角形的外角计算求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、“作两条相交直线”，它不是命题，所以A选项错误；
B、“∠α和∠β相等吗？”，它不是命题，所以A选项错误；
C、全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确；
D、“若a2＝4，求a的值”，它不是命题，所以D选项错误．
故答案为：D.
【分析】根据命题的定义即：判断一件事情的语句叫做命题，逐个判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】A、∵射线没有长度，∴A不正确，不符合题意；
B、∵射线和直线没有长度，∴B不正确，不符合题意；
C、∵延长线段BA到C，使得AC=BA，∴C正确，不符合题意；
D、∵射线没有长度，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：连接DE，
∵BE是△ABC的中线，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°， DE=AE=CE，
∴∠ADE=∠EAD=50°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=40°，
∵BD= AE，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠EBC，
∵∠CDE = ∠EBC+∠BED，
∴2∠BED= 40°，
∴∠BED = 20°，
∴∠EBC=20°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中线和垂线求出∠ADC=90°， DE=AE=CE，再求出∠BED=∠EBC，最后计算求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ BD是△ABC的边AC上的中线，
∴，
∵ AE是△ABD的边BD上的中线，
∴，
∵BF是△ABE的边AE上的中线，
∴CF是△ACE的边AE上的中线，，
∴，
∴，
即阴影部分的面积是12，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积计算求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵一个三角形三个内角的度数比是1：2：3，
∴设三角形的三个内角的度数分别为x，2x，3x，
由题意可得：x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴3x=90°，
即最大的一个角是90°，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和求出x+2x+3x=180°，再解方程求出x=30°，最后计算求解即可。
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】C
【解析】【解答】①∵，∴点C在线段的垂直平分线上，∴①不正确；
②∵两点确定一条直线，∴②正确；
③∵射线MN和射线NM的端点不一样，∴③不正确；
④∵线段就是点A到点B之间的距离，∴④正确；
⑤∵两点之间线段最短，∴⑤正确；
∴正确的结论是②④⑤三个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可.
11．【答案】16°
12．【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【解析】【解答】解：由题意可得：
把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【分析】根据命题的概念即可求出答案。
13．【答案】
14．【答案】180°
15．【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴AD BC＝AB AC，
∴AD＝＝（cm）；
（2）解：∵CE是AB边上的中线，
∴S△BCE＝S△ABC＝××12×16＝48（cm2）．
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）根据三角形的中线以及三角形的面积公式计算求解即可。
16．【答案】（1）解：由题意得：∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴．
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝20°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝35°﹣20°＝15°．
（2）
【解析】【解答】解：（2）由题意得：∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β），
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°﹣（α+β），
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝90°﹣（α+β）﹣（90°﹣α）＝．
故答案为：．
【分析】（1）根据角平分线求出 ，再根据三角形的高求出 ∠ADC＝90°， 最后计算求解即可；
（2）利用三角形的内角和等于180°求出∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β），再根据角平分线求出∠ACE＝∠ACB＝90°﹣（α+β），最后计算求解即可。
17．【答案】证明：∵（已知）
（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理过程求解即可。
18．【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0)
∵直线 AB 过点 A(1，0)、点 B(0，-2）
∴
解得
∴直线 AB 的解析式为 y=2x-2
（2）解：设点 C（x，2x-2）
∵B（0， -2）
∴OB=2
且
解得x=2
∴2x-2=2×2-2=2
∴点C的坐标是(2，2).
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出直线AB的解析式；
(2)设点 C（x，2x-2），先求出OB长，根据，建立关于x的方程求解，即可解答.
19．【答案】（1）；；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补 理由：如图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DPB=∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠DPB=180°， ∴∠ABC+∠DEF=180°． 如图2中，∵BC∥EF， ∴∠DPC=∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DPC，
∴∠ABC=∠DEF．
（2）解：设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【解析】【分析】（1）①利用平行线的性质逐一进行推导即可得出答案；②根据①中的结论即可得；（2）设两个角分别为x和2x-30°，由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，解方程即可解决问题．
20．【答案】（1）解：过点E作，如图，
，
，，
，，
，，
；
（2）解：，理由如下：
延长交于点F，如图，
，
，
，
；
（3）解：如图，
是的外角，
，
，
，
平分，
，
由（2）可得：，
，
，
，
即：
，，
．
【解析】【分析】解：（1） 过点E作，，根据平行线的性质可求得∠AEF和∠CEF，再求得这两角的和即可；
（2） 。根据平行线的性质可得：∠CFE=∠A， 再根据三角形外角的性质可得∠DCE=∠CFE+∠E，然后等量代换为；
（3）首先得出∠BAE=2∠FCD+2∠F， 由（2）可得：， 结合已知∠ECD=6∠FCD，所以可以代换为：6∠FCD=2∠FCD+2∠F+∠E，可求得∠FCD=27.5°。