第22章相似形单元复习题 （含答案）2023—2024学年沪科版九年级数学上册

沪科版九年级数学上册第22章相似形单元复习题
一、选择题
1．用复印机把一张印有多边形图案的纸放大2倍，那么复印得到的多边形图案的面积是原来的（　　）．
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
2．如图所示，是的边AC上一点，连结BP.下列条件中，不能判定的是（　　）.
A． B． C． D．
3．已知△ABC∽△A'B'C' ，BC=3，B'C'=1.8，则△ABC与△A'B'C'的相似比为（　　）．
A．2：3 B．3：2 C．5：3 D．3：5
4．如图所示，五边形ABCDE和五边形是位似图形.若.则的值为（　　）.
A． B． C． D．
5．若=，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
6．已知甲、乙两幅地图的比例尺为1：5000和1：20000.如果甲图上A，B列地的距离与乙图上C，D两地的距离恰好相等，那么A，B两地间的实际距离与C，D两地间的实际距离之比为（　　）.
A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1
7．如图，锐角的边AB、AC上的高线BD、CE交于点F，连接ED，则图中相似的三角形有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
8．如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
10．圆桌正上方的灯泡(看成一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(如图)．已知桌面的直径为1.2m．桌面距离地面0.9m，灯泡距离地面2.7m，则地面上阴影部分的面积为（　　）．
A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．2πm2 D．3.24πm2
二、填空题
11．已知是线段AB上一点，且，则等于　 　.
12．如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么运动时间为　 　时，△PBQ与△ABC相似．
13．如图所示，点是四边形ABCD内一点，分别是OA，OB，OC，OD上的点，且，若四边形的面积为，则四边形ABCD的面积为　 　.
14．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A．已知BC=，AB=3，则BD=　 　
三、解答题
15．如图所示，E为矩形ABCD的BC边上一点，现将矩形沿AE翻折，点的对应点恰好落在AD上，且四边形FECD与原四边形相似.
（1）求证：E为BC的黄金分割点.
（2）若矩形ABCD的面积为10，则四边形FECD的面积为多少
16． 如图，在中，、分别是边、的中点，是延长线上一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求证：∽．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的顶点在格点（网格线的交点）上，以点
为原点建立平面直角坐标系，点 的坐标为（1，0）.
（ 1 ）将 向左平移5个单位长度，得到 ，画出 ；
（ 2 ）以点 为位似中心，将 放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到 ，在所给的方格纸中画出 ；
（ 3 ）若点 是 的中点，经过（1）、（2）两次变换， 的对应点 的坐标是 .
18．如图所示，在中，点在AC上，.
（1）求证：.
（2）若，求的值.
四、综合题
19．如图，中，于点E，点F是上一点，连接并延长交于点D，于点G，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求线段的长．
20．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF.
21．如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为DC右侧一点，且DE＝DC，（∠CDE＜90°）.连接AE.
（1）若∠CDE＝20°.求∠DAE的度数；
（2）过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，求证AE＝ AP；
（3）在（2）的条件下，AP与BC交于点F，当BF＝FC时，求CE的长.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵ ，∠BAP=∠CAB，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、 和∠BAP=∠CAB，不能判断△ABP与△ACB相似，故此选项符合题意；
C、∵∠ABP=∠C，∠BAP=∠CAB，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、∵∠APB=∠ABC，∠BAP=∠CAB，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两边对应成比例及其夹角对应相等的两个三角形相似可判断A、B选项；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断C、D选项.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C' ，BC=3，B'C'=1.8，
∴相似比=.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的相似比等于相似三角形对应边的比可求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，
∴
故答案为：B.
【分析】由已知易得，进而根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比可得答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵=，
∴==．
故选D．
【分析】根据合分比性质求解．
6．【答案】C
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠AEC=∠BDC=∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=∠A+∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD∽△ACE∽△BFE∽△CFD，有6对相似三角形，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∠DFE=∠BOC，
∴△BFC∽△EFD，
∴共有8对相似三角形.
故答案为：D.
【分析】由∠BEC=∠AEC=∠BDC=∠ADB=90°，∠ABD=∠ACE，可证△ABD∽△ACE∽△BFE∽△CFD，有6对相似三角形，由相似三角形的判定方法可证△ADE∽△ABC，△BFC∽△EFD，共有8对相似三角形.可得结论．
8．【答案】A
9．【答案】D
【解析】【解答】∵ ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴=
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴=．
故选：D
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可.
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】0.8s或2s
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵OA'∶AA'=OB'∶B'B=OC'∶C'C=OD'∶D'D=2∶1，
∴OA'∶OA=OB'∶OB=OC'∶OC=OD'∶OD=2∶3，
又∵ 点O是四边形ABCD内一点，A'，B'，C'，D'分别是OA，OB，OC，OD上的点 ，
∴四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，且位似比为2∶3，
∴四边形A'B'C'D'与四边形ABCD的面积比为4∶9，
∵四边形A'B'C'D'的面积为12cm2，
∴四边形ABCD的面积为27cm2.
故答案为：27cm2.
【分析】根据位似图形的定义判断出四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，且位似比为2∶3，进而根据位似图形的面积之比等于位似比的平方可得出答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△BAC∽△BCD，
∴，
∵BC=，AB=3，
∴，解得：BD=.
故答案为：.
【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BAC∽△BCD，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
15．【答案】（1）证明：设.∵四边形FECD与四边形ABCD相似，为BC的黄金分割点(
（2）解：
16．【答案】（1）解：、分别是、的中点，
，，
，
，而，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
，
∽．
17．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求. （2）如图，△A2B2C2即为所求.
（3）（6，-2）
【解析】【解答】解：（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标为（6，-2），
故答案为：（6，-2）.
【分析】（1）根据平移的规律：向左平移5个单位，点的横坐标减5，纵坐标不变，分别找出△A1B1C1的各顶点的坐标，连接即可得到所求三角形；
（2）根据位似变换中对应点的坐标的变化规律分别找出相应的顶点坐标，再连接即可得到图形△A2B2C2；
（3）根据平移和位似变换中的坐标变换规律写出点M2的坐标，即可得出答案.
18．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠C，
∵DF∥AB，
∴∠FDC=∠A，
∴△DFC∽△AED；
（2）解：∵，
∴AD=2CD，
∵△DFC∽△AED，
∴.
【解析】【分析】（1）由二直线平行同位角相等得∠ADE=∠C，∠FDC=∠A，进而根据由有两组角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）由已知可得AD=2CD，进而相似三角形面积的比等于相似比可得答案.
19．【答案】（1）证明：如图1，过点E作，交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点E作，垂足为M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点A、C、G、E四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB.
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE.
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H.且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH.
（2）证明：∵BE2=AB AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF.
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，结合DF=BE可证明△CDF≌△CBE，得到∠DCF=∠BCE，由平行线的性质可得∠H=∠DCF，则∠BCE=∠H，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）由已知条件可得，由平行线分线段成比例的性质可得，则，结合DF=BE，BC=AB可得BE=AG=DF，据此证明.
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC， ，
∵DE=DC，
∴DE=DA，
∵∠CDE＝20°，
∴ ，
∴
（2）解：设 ， ，
在正方形ABCD中，且过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，
，
∴ ，
∵∠AFP=∠CFP，
∴∠FCP=∠BAF=y，∠2= ，
∵DC=DE，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
即 ，
∴ ，
∴∠PAE=∠PEA，
∴PA=PE，
在 中， ，
∴ AE＝ AP
（3）解：过点D作 ，垂足为点K，
则 ，
，
由（2）得： ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形ABCD中，AB＝2，
∴DC=BC=AB=2，
∵BF＝FC，
∴BF=1，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵DC=DE，
∴
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得DA=DC，∠ADC=90°，同时可推出DE=DA，求出∠ADE的度数，然后根据三角形的内角和定理求出∠DAE的度数.
（2）设∠DAE=∠DEA=x，∠BAF=y，在正方形ABCD中，且过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，利用正方形的性质可得到四个角是直角，同时可证得∠2+∠FCP=90°，再表示出∠BAF，∠2，利用等腰三角形的性质可表示出∠DEC，再利用三角形的外角性质，建立方程，可得到∠DAE+∠BAF=45°，从而可求出∠PAE=45°；然后证明∠PAE=∠PEA，利用等角对等边，可证得PA=PE，利用勾股定理可得到AE与AP之间的数量关系.
（3）过点D作DK⊥EP于点K，利用余角的性质可得∠AFB=∠PFC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△DKC；再利用正方形的性质及勾股定理求出AF的长，代入比列式，可求出CK的长；然后根据等腰三角形的性质，可证得CE=2CK，即可求出CE的长.