函数的基本性质

一、选择题
1．函数y＝x2－6x＋10在区间（2，4）上是（　　）
　A．递减函数 B．递增函数 C．先递减再递增 D．选递增再递减．
2．函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（　　）
　　 A．a≥5 B．a≥3 C．a≤3 D．a≤－5
3．y＝f（x）（x∈R）是奇函数，则它的图象必经过点（　　）
　A．（－a，－f（－a）） B．（a，－f（a）） C．（a，f（）） D．（－a，－f（a））
4．设定义在R上的函数f（x）＝｜x｜，则f（x）（　　）
　A．既是奇函数，又是增函数 B．既是偶函数，又是增函数
　C．既是奇函数，又是减函数 D．既是偶函数，又是减函数
5．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则（　　）
A．f（－x1）＞f（－x2） B．f（－x1）＝f（－x2）
C．f（－x1）＜f（－x2） D．f（－x1）与f（－x2）大小不确定
二、填空题
1．函数y＝的单调区间为___________．
2．函数f（x）＝2x2－3｜x｜的单调减区间是___________．
3．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，f（－2）＝10，则f（2）：____．
4．若f（x）是偶函数，其定义域为R且在[0，＋∞）上是减函数，则f（－）与f（a2－a＋1）的大小关系是____．
　　三、解答题
1．确定函数y＝x＋（x＞0）的单调区间，并用定义证明．
2．快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如右图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AC＝150千米，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
3．设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求解不等式f（x）＋f（x－2）＞1．
4．已知函数f（x）＝x＋m，且f（1）＝2．
（1）求m；（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数还是减函数?并证明．
函数的基本性质
一、选择题：
1、解析：本题可以作出函数y＝x2－6x＋10的图象，根据图象可知函数在（2，4）上是先递减再递增．答案：C
2、解析：本题作出函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2的图象，可知此函数图象的对称轴是x＝a－1，由图象可知，当a－1≥4，即当a≥5时，函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数．答案：A
二、填空题：
1、答案：（－∞，－1），（－1，＋∞）
2、答案：［0，］，（－∞，－）
3、解析：f（－2）＝（－2）5＋a（－2）3－2b－8＝10，∴（－2）5＋a（－2）3－2b＝18，f（2）＝25＋23a＋2b－8＝－18－8＝－26．
　　答案：－26
4、解析：a2－a＋1≥，∵f（x）在[0，＋∞]上是减函数，
　　∴f（a2－a＋1）≤f（）．又f（x）是偶函数，．f（－）＝f（）．
　　∴f（a2－a＋1）≤f（－）．
　　答案：f（a2一a+1）≤f（）
三、解答题：
1、解：本题可利用计算机作出该函数的图象，通过图象求得单调区间，最后用单调性的定义证明．
　　答案：增区间（1，＋∞），减区间（0，1）．
2、解：设经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设为y，
　　，
　　可求得当x＝3时，y有最小值．
　　答案：3小时．
　3、解：由条件可得f（x）＋f（x－2）＝f［x（x－2）］，1＝f（3）．
　　所以f［x（x－2）］＞f（3），又f（x）是定义在R上的增函数，所以有x（x－2）＞3，可解得x＞3或x＜－1．
　　答案：x＞3或x＜－1．
4、解：（1）f（1）：1＋m＝2，m＝1．
　　（2）f（x）＝x＋，f（－x）＝－x－＝－f（x），∴f（x）是奇函数．
　　（3）设x1、x2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则
　　f（x1）－f（x2）＝x1＋－（x2＋）＝x1－x2＋（－）
　　＝x1－x2－＝（x1－x2）．
　　当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2－1＞0，从而f（x1）－f（x2）＜0，
　　即f（x1）＜f（x2）．
　　∴函数f（x）＝＋x在（1，＋∞）上为增函数