4.3 角 同步练习（含答案） 2022-—2023学年上学期吉林省七年级数学期末试题选编

4.3 角 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林延边·七年级统考期末）时钟在9：00时候，时针和分针的夹角是（ ）
A．30° B．120° C．60° D．90°
2．（2022秋·吉林长春·七年级期末）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，将射线OA绕点O逆时针旋转80°得到射线OB，则OB的方位角是（　　）
A．北偏西30° B．北偏西50° C．东偏北30° D．东偏北50°
3．（2022秋·吉林·七年级统考期末）在一副三角尺中，每块都有一个角是，而其他两个角的和是（，），如果只用一副三角尺画角，不能画（ ）
A．角． B．角． C．角． D．角．
4．（2022秋·吉林四平·七年级统考期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（　　）
A．70° B．90° C．105° D．120°
6．（2022秋·吉林长春·七年级期末）如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为1，估测与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法估测
7．（2022秋·吉林长春·七年级期末）如图①，在长方形ABCD中，点E在AD上，且∠AEB＝60°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若∠AED＝10°，则∠DEC的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
二、填空题
8．（2022秋·吉林·七年级统考期末）“双减”政策实施以后，吉林市全面开展了中小学生课后服务工作．目前，吉林市市区大部分学校七、八年级的学生每天下午6：30放学，这时时针与分针所成的角为 ．
9．（2022秋·吉林白城·七年级期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上；同时，它又发现了客轮B；仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的 方向．
10．（2022秋·吉林白城·七年级统考期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为 ．
11．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）如图：小军从A点出发向北偏东60°方向速到B点，再从B点出发向南偏西15°方向速到C点，则∠ABC等于 ．
12．（2022秋·吉林·七年级统考期末）如图，已知点C在点O的北偏东方向，点D在点O的北偏西方向，那么∠COD为 度．
13．（2022春·吉林四平·七年级统考期末）如图，某人从点A沿北偏东60°的方向行走到点B，再从点B沿南偏西20°方向行走到点C，则∠ABC的度数为 ．
14．（2022秋·吉林白城·七年级统考期末）如图，OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OB的方向是 ．
15．（2022秋·吉林·七年级统考期末）＝ 度 分 秒．
16．（2022秋·吉林长春·七年级统考期末）把38°15′化成用度表示的角： 度．
17．（2022秋·吉林延边·七年级统考期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合摆放到桌面上，若，则 °．
18．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数为 °．
19．（2022秋·吉林长春·七年级期末）如图，已知是内部的一条射线，是的平分线，，且，那么的度数为 °
20．（2022秋·吉林长春·七年级期末）若∠1＝58°17'，∠2＝34°13'，则∠1+∠2＝ °．
21．（2022秋·吉林长春·七年级期末）已知与互余，且，则 ．
22．（2022秋·吉林长春·七年级期末）已知，则的补角为 ．
23．（2022秋·吉林·七年级统考期末）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是 ．
24．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）若一个角的余角为35°，则它的补角度数为 ．
三、解答题
25．（2022秋·吉林白山·七年级期末）题目：在同一平面上，若∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，OE是∠AOC的平分线，求∠AOE的度数
解：由题知，可画出图（如图）
∵∠AOB＝70°，∠BOC＝15°
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣15°＝55°
又∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠AOC＝×55°＝27.5°
以上是小明同学的解题过程，若你是老师，会判小明同学满分吗？若会，请说明理由；若不会，请指出小明同学的错误，并将解题过程补充完整
26．（2022秋·吉林长春·七年级统考期末）钟面上的数学
【基本概念】
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，∠AOB即为某一时刻的钟面角，一般地，．
【简单认识】
时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知：
（1）时针每分钟转动______°，分针每分钟转动______°；
【初步研究】
（2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻：
①当时，______；
②当时，______；
（3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角______°；
【深入思考】
（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整），假设这一时刻是2点分，请用含有的代数式表示出此时刻钟面角（直接写出结论）．
27．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是　 　；
（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
28．（2022秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
(1)若，则______；若，则______；
(2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
(3)若，求∠DCE的度数．
29．（2022秋·吉林白城·七年级统考期末）如图，是直线上的一点，为任一条射线，平分，平分．试说明与具有怎样的数量关系．
30．（2022秋·吉林·七年级统考期末）如图①，若线段cm，点C是线段AB上一动点，点M，N分别是线段AC，BC的中点．
(1)求线段MN的长度．
(2)如图①，若线段cm，点C是线段AB上一动点，点M，N分别是线段AC，BC的中点，则线段MN的长为_______cm（用含字母a的式子表示）；
(3)如图②，若，射线OC是∠AOB内部一条射线，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，求∠MON（用含字母的式子表示）．
31．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）已知是上的一点，是直角，平分．
（1）如图①，若，求的度数；
（2）将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，猜想与之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
32．（2022秋·吉林长春·七年级期末）已知直线AB和CD相交于点O，，OF平分，，求的度数．
33．（2022春·吉林四平·七年级统考期末）已知：点O为直线AB上一点，与互余，，DO平分，．

(1)与互余吗？说明理由
(2)求证：
(3)直接写出的度数为______．
参考答案：
1．D
【分析】利用钟表表盘的特征：每相邻两个大格之间的夹角为30°，当时钟在9：00时候，时针指向9，分针指向12，中间恰好有3格，据此解答即可．
【详解】解：时钟在9：00时候，时针指向9，分针指向12，
钟表12个大格，每相邻两个大格之间的夹角为30°，
因此时钟在9：00时候时针与分针的夹角正好为90°，
故选：D．
【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角，理解钟表盘上角的特点是解题关键．
2．B
【分析】根据题意可得∠AOB=80°，求出∠1的度数即可确定OB的方位角．
【详解】∵ 射线OA绕点O逆时针旋转80°
∴ ∠AOB=80°
∴ ∠1=80°-30°=50°
即OB的方位角是北偏西50°.
故选B.
【点睛】本题考查方位角，确定OB的方向是关键．
3．D
【分析】用进行加减运算，能得到可用三角尺画的角，不能得到的不能用三角尺画出．
【详解】解：由于，，，
所以用一副三角尺可以画出角、角、角，而，
所以只用一副三角尺不能画出角．
故选：D
【点睛】本题考查了角的加减，理解一副三角尺含有四种角，并能进行加减运算是解题关键．
4．A
【分析】∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=150°，
∴∠BOC=∠AOB+∠COD-∠AOD=90°+90°-150°=30°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
5．D
【分析】∠ABC等于30度角与直角的和，据此即可计算得到．
【详解】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．
故选：D．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解三角板的角的度数是关键．
6．A
【分析】将平移，让与两个角的顶点重合，即可解答．
【详解】解：将平移，使与两个角的顶点重合，
可得： 在的内部，
所以．
故选：．
【点睛】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．
7．C
【分析】由折叠可得BE平分，CE平分，再利用角的和差得到=180°-120°+10°=70°，进而可得答案．
【详解】解：由折叠可得BE平分，CE平分，
∵∠AEB=60°，
∴=2∠AEB=120°，
∵，
∴
∴∠DEC=．
故选C．
【点睛】本题考查角的和差关系，轴对称的性质，根据折叠的性质得到BE平分，CE平分
是解本题关键．
8．15°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数即可求解．
【详解】解：360°÷12＝30°，0.5×30°＝15°．
∴钟面上6点30分时，分针与时针所成的角的度数是15度．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题的关键．
9．北偏东40°/东偏北50°
【分析】根据方位角的表示方法即可得到答案．
【详解】解：仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的北偏东40°的方向上，
故答案为：北偏东40°
【点睛】此题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．
10．/141度
【分析】首先根据题意可得，再根据题意可得，然后再根据角的和差关系可得答案．
【详解】∵在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，
∴，
∴，
∵轮船B在南偏东的方向，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了方向角，关键是掌握方向角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
11．45°/45度
【分析】根据方向角的概念，画图正确表示出方向角，即可求解．
【详解】解：画出示意图，
从图中发现∠ABC+15°=60°，
∴∠ABC=45°，
故答案为：45°.
【点睛】题目主要考查方向角，解题的关键是画出示意图，注意数形结合思想在解题中的应用.
12．65
【分析】根据方位角可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：∠COD=45°+20°=65°；
故答案为65．
【点睛】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题的关键．
13．40°
【分析】根据方位角的意义以及角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：如图，由题意可知，∠DAB＝60°，∠EBC＝20°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝60°，
∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE
＝60°﹣20°
＝40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了方位角的意义，解题的关键在于能够熟练掌握方位角的意义.
14．北偏东70°
【分析】先根据角的和差得到∠AOC的度数，根据∠AOC=∠AOB得到∠AOB的度数，再根据角的和差得到OB的方向．
【详解】∵OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西40°，
∴∠AOC=15°+40°=55°，
∵∠AOC=∠AOB，
∴∠AOB=55°，
15°+55°=70°，
故OB的方向是北偏东70°．
故答案为：北偏东70°．
【点睛】本题考查了方位角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．利用角的和差得出OB与正北方的夹角是解题关键．
15． 5 8 24
【分析】根据度分秒的关系进行计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：5；8；24．
【点睛】本题考查了角的单位度分秒之间的转化，1度=60分，1分=60秒，熟知度分秒之间的单位进制是60是解题关键，注意从高级单位化为低级单位用乘，从低级单位化为高级单位用除．
16．
【分析】直接根据角度的转化计算即可．
【详解】38°15′=
故答案为38.25
【点睛】本题主要考查了角度的转化，熟练掌握角度间变换的进率是解题的关键．
17．145.55
【分析】由题意得，结合图形可得，，据此求解即可得．
【详解】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角的计算，正确利用各个角之间的关系是解题关键．
18．20
【分析】根据，利用正方形的角都是直角，即可求得和的度数从而求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
又∵，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了角度的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键．
19．20
【分析】先由题意得到，继而求得，再根据角平分线的定义得到，利用角的和差求解即可．
【详解】∵，，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了角的和差倍分以及角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．92.5
【分析】根据角度的计算直接求解即可得．
【详解】解：，，
∴，
故答案为：92.5．
【点睛】题目主要考查角度的计算，熟练掌握运算法则及单位变换是解题关键．
21．
【分析】两角互余，则和为，即，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了余角和补角，熟记两角互余和为是解决本题的关键．
22．
【分析】根据和为的两个角互为补角计算即可．
【详解】∵，
∴的补角为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了补角即和为的两个角，正确理解定义是解题的关键．
23．/度
【分析】根据补角与余角的概念列出等式，然后解方程即可．
【详解】设这个角的度数为x．
即
则．
故答案为：
【点睛】本题考查了补角与余角的概念，依据题意建立等式关系是解题的关键．
24．125°/125度
【分析】若两个角的和为 则这两个角互余，若两个角的和为 则这两个角互补，根据定义直接可得答案.
【详解】解： 一个角的余角为35°，
这个角为：
则它的补角度数为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是余角与补角的计算，掌握“余角与补角的含义”是解本题的关键.
25．不会，过程见解析
【分析】由于此题没有给出图形，所以应考虑两种情况：OC在∠AOB内部或OC在∠AOB外部．根据角平分线的定义和角的和、差关系进行计算．
【详解】解：不会，因为题中没有附图，应分两种情况讨论，即OE在∠AOB内部或OE在∠AOB外部，小明同学只给出了第一种情况正确的解法，
本题有两种情况：
情况一：同小明同学的解法．
情况二：如图，当OC在∠AOB外部时，
因为∠AOC=∠AOB+∠BOC，
所以∠AOC=70°+15°=85°．
又因为OE是∠AOC的平分线，
所以∠AOE=∠AOC=42.5°．
所以∠AOE的度数为27.5°或42.5°．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是意识到在同一平面内，要考虑当OC在∠AOB的内部或OC在∠AOB的外部两种情况．
26．（1）0.5；6；
（2）①3：00；②6：00；
（3）
（4）当时，分针与时针夹角为：度；
当时，分针与时针夹角为：度；
当时，分针与时针夹角为：；
当时，分针与时针夹角为：度．
【分析】（1）根据1小时=60分解答即可；
（2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解；
【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．
∴时针每分钟转动，分针每分钟转动，
故答案为：0.5；6；
（2）①某个时刻的钟面角为，可为3：00，②某个时刻的钟面角为，可为6：00，
故答案为：①3：00；②6：00；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，
则时针转动的角度是，分针转动的角度是，
此时钟面角，
∵，
∴，
故答案为：；
（4）假设这一时刻是2点分，
由题意知：时针转动的角度是度，
分针转动的角度是度，
当时，即：，
此时分针与时针夹角为，
则：当时，分针与时针夹角为：度，
亦即：当时，分针与时针夹角为：度，
当时，分针与时针夹角为：度，；
当时，分针与时针夹角为：；
当时，分针与时针夹角为：度．
综上：当时，分针与时针夹角为：度；
当时，分针与时针夹角为：度；
当时，分针与时针夹角为：；
当时，分针与时针夹角为：度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
27．(1) 北偏东70°；(2) ∠AOE＝90°
【分析】（1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向；
（2）根据，，得出，进而求出的度数，根据射线平分，即可求出再利用求出答案即可．
【详解】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD＝180°．
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，
∴∠COE＝35°．
∵∠AOC＝55°．
∴∠AOE＝90°．
【点睛】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．
28．(1)145°，30°
(2)
(3)
【分析】（1）根据求解即可；
（2）（3）方法同（1）
【详解】（1）解：∵，
∴
故答案为：；
（2），理由如下，
，
（3），，
【点睛】本题考查了三角尺中角度的计算，找到关系式是解题的关键．
29．
【分析】根据角平分线的性质可得，，根据平角的定义可得，进而即可求解．
【详解】∵平分，
∴，
同理，
∵，
∴ ，
即．
【点睛】本题考查角平分线的性质、平角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质、平角的定义．
30．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由点、分别是线段、的中点，可得，，因为，代入计算即可得出答案；
（2）解法同（1）；
（3）由射线、分别平分、，可得，，因为，代入即可得出答案；
【详解】（1）解：、分别是线段、的中点，
，，
；
（2）解：、分别是线段、的中点，
，，
．
故答案为：；
（3）解：射线、分别平分、，
，，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线和线段的中点的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中点的概念．
31．（1）15°；（2），理由详见解析．
【分析】（1）求出∠BOC，根据角平分线定义求出∠COE，即可求出答案；
（2）求出∠AOC=180°-∠BOC，∠DOE=90°-∠COE，即可得出答案．
【详解】（1），
，
平分，
，
，
；
（2）．
理由是：，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线定义和对顶角、邻补角等知识点，能灵活运用邻补角互补进行计算是解此题的关键．
32．22°
【分析】直接利用角平分线的定义得出∠AOE的度数，进而得出∠BOE的度数，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确利用角平分线的定义分析是解题关键．
33．(1)互余，理由见解析
(2)见解析
(3)55°
【分析】（1）利用，即可求解；
（2）利用同角的余角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可证；
（3）根据可得 ，再利用角平分线的定义求得，最后利用＋＝90°即可求解．
【详解】（1）解：互余 .理由如下：
∵，
∴，
∴＋＝90°，
即与互余
（2）证明：∵与互余，与互余
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵DO平分，
∴，
∵＋＝90°，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，互余的概念和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．