第二十四章 圆 复习小结第2课时(考点强化) 课件（共40张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

考点强化
第二十四章 圆
| 小结与复习 第2课时 |
考点一 圆的有关的概念
1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B
一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（? ）
A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm
A
考点二 垂径定理及推论
A
如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC = 5，CD = 8，则 AE 的长 ( )
A. 8 cm B. 5 cm C. 3 cm D. 2 cm
如图，CD 为 ⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，OE = 12，AB = 10，求直径 CD 的长.
解：如图，连接 OA.
∵AB⊥CD，CD 过圆心 O，AB = 10，
∴AE = BE = 5，∠AEO = 90°.
在 Rt△AEO 中，由勾股定理得：
∴CD = 2AO = 26.
如图，∠C = 90°，以 AC 为半径的圆 C 与 AB 交于点 D .若 AC = 3，CB = 4，求 BD 的长.
解：如图，过点 C 作 CE ⊥ AB 于 E，
则 AE = DE，在 Rt△ACB 中，
E
考点三 弧、弦、圆心角关系
如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=34°，则∠AEO的度数是( )
A．51° B．56° C．68° D．78°
?
A
考点四 圆周定理及推论
如图已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O ，∠A =100°，则 ∠BOD = ( )
A. 80° B. 50° C. 160° D. 100°
C
已知△ABC 内接于 ⊙O . AC 为 ⊙O 的直径，点 D 为优弧 BC 的中点.
(1) 如图 ①，连接 OD，求证：AB∥OD；
(2) 如图②，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E . 若 AE = 3，BC = 8，求⊙O 的半径.
(1) 证明：如图 ①，延长 DO 交 BC 于 F.
∵ 点 D 为优弧 BC 的中点，
∴ .
∴ DF⊥BC.
∵ AC 为 ⊙O 的直径，
∴ AB⊥BC.
∴ AB∥OD.
F
(2)解：如图 ②，连接 DO 并延长交 BC 于 F.
∵点 D 为优弧 BC 的中点，
∴
∴ DF⊥CB.
∵DE ⊥AC，∠DEO = ∠OFC = 90°.
∵∠DOE = ∠COF，OD = OC，
∴△DOE≌△DOE(AAS).
F
∴ OF = OE = OA - 3.
∵ OC2 = OF2 + CF2，
∴ OC2 = (OC - 3)2 + 42.
∴ OC = .
∴ ⊙O 的半径为 .
考点五 切线的判定和性质
O
C
A
B
E
D
50
如图，线段 AB 是直径，点 D 是 ☉O 上一点， ∠CDB = 20°，过点 C 作 ☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则 ∠E 等于 °.
如图，PA 与⊙O 相切于点 A，过点 A 作 AB⊥OP，垂足为 C，交⊙O 于点 B．连接 PB，AO，并延长 AO 交⊙O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E．
(1) 求证：PB 是⊙O 的切线；
(2) 若 AP = 5，PE = 13，求 DE 的长．
A
B
D
C
O
E
P
(1) 求证：PB 是⊙O 的切线；
证明：连接 OB.
∵ PO⊥AB，
∴ AC = BC.
∴ PA = PB.
∵ PO = PO，
∴△PAO≌△PBO (SSS).
∴∠OAP =∠OBP.
∵ PA 是⊙O 的切线，
∴∠OAP = 90°.
∴∠OBP = 90°.
∴ PB 是⊙O 的切线.
A
B
D
C
O
E
P
(2) 若 AP = 5，PE = 13，求 DE 的长．
解：在 Rt△APE 中，
由勾股定理易得 AE = 12．
由 (1) 知 AP = BP = 5，则 BE = 8．
∵ PB 为⊙O 的切线，∴∠OBE = 90°.
设 OB = r，则 OE = 12 - r.
在 Rt△OBE 中，由勾股定理得
r2 + 82 = (12 - r)2，
A
B
D
C
O
E
P
解得 r = .
考点六 与圆有关的计算
如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，D 均在小正方形的顶点上，且点 B，C 在 弧 AD 上，∠BAC = 22.5°，则 弧 BC 的长为____.
如图，在等腰 △ABC 中，∠BAC=120°，AD 是∠BAC 的平分线，且 AD = 6，以点 A 为圆心，AD长为半径画弧 EF，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F.
(1)求图中阴影部分的面积；
(2) 将阴影部分剪掉，余下扇形 AEF，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与 AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高 h.
解：(1) 在等腰 △ABC 中，∠BAC=120°
∴∠B = 30°.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴ AD⊥BC，BD = CD.
∴ AB = 2AD =12. ∴BD= .
(1)求图中阴影部分的面积；
(2) 将阴影部分剪掉，余下扇形 AEF，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与 AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高 h.
(2) 根据题意得：
这个圆锥的高
考点训练
矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 的延长线上，以O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点 B 交 y 轴正半轴于点E.连接 DEBE 若 A(2，0)，∠BED = 30°，则 CE 的长是____________.
1. 平面直角坐标系中，M 点坐标为 (-2，3)，以 2 为半径画⊙M，则以下结论正确的是（　　）
A．⊙M 与 x 轴相交，与 y 轴相切
B．⊙M 与 x 轴相切，与 y 轴相离
C．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相交
D．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相切
D
如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G．若∠COD=126°．则∠AGB的度数为（????）
A．99° B．108° C．110° D．117°
?
B
如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD=54°，则∠C的度数为（?? ??）
A．34° B．36° C．46° D．54°
?
B
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（　　）
A．点O在⊙C外 B．点O在⊙C上
C．点O在⊙C内 D．不能确定
B
如图，平面直角坐标系中，⊙????与????轴分别交于????、????两点，点????的坐标为3,?1，????????=23．将⊙????沿着与????轴平行的方向平移多少距离时⊙????与????轴相切 （?? ?）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
?
D
如图，在????????????????????????中，∠????=90°，????????=4，????????=3，以点????为圆心，3为半径的圆与????????所在直线的位置关系是（ ??）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
?
B
如图，等边三角形????????????的边长为8，以????????上一点????为圆心的圆分别与边????????，????????相切，则⊙????的半径为（　　）
A．23 B．3 C．4 D．4?3
?
【详解】设⊙????与????????的切点为????，连接????????，????????，
∵等边三角形????????????的边长为8，∴????????=8，∠????=∠????????????=60°，
∵圆分别与边????????，????????相切，∴∠????????????=∠????????????=12∠????????????=30°
∴∠????????????=90°∴????????=12????????=4，
∵????????⊥????????，∴????????=32????????=23，
∴⊙????的半径为23，
故选A．
?
A
如图，AB是⊙????的直径，PA与⊙????相切于点A，BC//OP交⊙????于点C．若∠????=70°，则∠????????????的度数为（???? ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
?
【详解】
如图，连接OC，因为OB=OC，所以∠OCB=∠OBC=70°，
所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，
又因为BC//OP，所以∠AOP=∠B=70°，
∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，所以在△PAO和△PCO中，????????=????????∠????????????=∠????????????????????=????????，所以△PAO≌△PCO（SAS），
所以∠OCP=∠OAP，因为PA与⊙????相切于点A，所以∠OCP=∠OAP=90°，
所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，故选：B．
?
B
若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A．2 B．22?2?????? C．2?2 D．2—1
?
【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为22，
∴它的内切圆半径为：R=12（22+22-4）=22-2．
故选：B．
?
B
如图，在?????????????????中，∠????=60°，⊙????的半径为3，则图中阴影部分的面积是（??）
A．???? B．2???? C．3???? D．6????
?
【详解】
∵在?ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，
∴∠C=120°，
∴图中阴影部分的面积是：120×????×32360=3π，
故选C．
?
某几何体的三视图及相关数据(单位:cm)如图所示，则该几何体的侧面积是（????）
A．65????2????????2 B．60????????????2 C．65????????????2 D．130????????????2
?
【详解】解：由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，
∴圆锥母线长为：????=52+122=13cm，
又∵????圆锥侧=??????????????，将R=5cm，????=13cm代入，
∴????圆锥侧=??????????????=65????(????????2)，
故选：C．
?
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（????）
A．6 B．7 C．8 D．9
【详解】解：如图，过点????作????????⊥????????,????????⊥????????，
∵????是△????????????的内心，∴????????=????????,????????=????????,????????=????????，
设????????=????????=????,????????=????????=????，
∵BD＝10，∴????????=????????=10?????，
∴????????=????????+????????=????+10?????,????????=????????+????????=????+????+4，
∵????????=????????，
∴????+10?????=????+????+4，
解得????=3，
∴????????=?????????????????=10?3=7，
故选B．
?
如图，四边形????????????????是⊙????的内接四边形．若∠????????????=121°，则∠????????????的度数为（????）
A．138° B．121° C．118° D．112°
?
【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠????+∠????=180°
∵∠????????????=121°
∴∠????=59°
∴∠????????????=2∠????=118°
故选：C
?
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形????????????????????????内接于⊙????，
∴∠COD= 3606=60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= 12∠COE=60°，
故选：D．
?
如图，正六边形????????????????????????内接于⊙????，点M在????????上，则∠????????????的度数为（????）
A．30° B．36° C．45° D．60°
?
一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．
【详解】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC= 13 cm，
所以圆形镜面的半径为132cm，
故答案为：132cm．
?
如图，在正六边形????????????????????????中，连接????????,????????，则∠????????????=____________度．
?
【详解】连接BE，交CF与点O，连接OA，
∵在正六边形????????????????????????中，
∴∠????????????=360°6=60°，
∵????????=????????
∴∠????????????=∠????????????
∵∠????????????=∠????????????+∠????????????=2∠????????????
∴∠????????????=30°，
故答案为：30．
?
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．
【详解】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE=12×3×4-270????×12360?×1×1=5-3????4．
故答案为：5-3????4．
?
如图所示，已知三角形????????????为直角三角形，∠????????????=90°，DE为⊙????切线，????为切点，CA=CD,则△????????????和△????????????面积之比为（????）
A．1:3 B．1:2 C．2:2 D．2?1:1
?
(1)证明：如图，连接 OE，OF，
过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.
∵ BC 与⊙O 相切于点 E.
∴ OE⊥BC.
∵ BO 是∠ABC 的平分线，∴ OD = OE.
∴ OD 是圆的一条半径.
∴ AB 是 ⊙O 的切线.
如图，在 Rt△ABC 中 ∠ACB = 90°，⊙O 与 BC，AC 分别相切于点 E，F，BO 平分∠ABC，连接 OA.
(1)求证：AB 是 ⊙O 的切线；
(2) 若 BE = AC = 3，⊙O 的半径是 1，求图中阴影部分的面积.
解：∵ BC、AC 与圆分别相切于点 E、 点 F.
∴ OE⊥BC，OF⊥AC.
又∵∠ACB = 90°，OE = OF，
∴ 四边形 OECF 是正方形.
∴ OE = OF = EC = FC = 1.
∴ BC = BE + EC = 4.
(2) 若 BE = AC = 3，⊙O 的半径是 1，求图中阴影部分的面积.
又∵ AC = 3.
∴