24.2.2 第5课时 三角形的内切圆 课件（共17张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

三角形的内切圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
| 24.2.2 直线和圆的位置关系 第5课时 |
课堂导航
掌握用尺规作三角形内切圆的方法。
三角形内切圆的相关计算
知识回顾
切线长定理
切线长
辅助线
分别连接圆心和切点
连接圆心和圆外一点
定理
作用
连接两切点
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
证线段和角相等
探究新知
活动一 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积最大？
圆与三边相切
如图，已知△ABC.
求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I.
A
B
C
O
D
知识要点1
内切圆相关定义
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
A
B
C
O
D
内心 三个内角的平分线的交点
圆心到三边距离相等
{8799B23B-EC83-4686-B30A-512413B5E67A}名称
图形
确定方法
性质
外心
内心
三角形三边中垂线的交点
1.外心到三顶点的距离相等；2.外心不一定在三角形的内部
三角形三条角平分线的交点
1.内心到三边的距离相等；
2.内心在三角形内部．
三角形内心与外心区别与联系
典例讲解
例1 如图，△ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 9，BC = 14，CA = 13，求 AF、BD、CE 的长.
解：
设 AF = x ，则 AE = x .
∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x，
BF = BD = AB - AF = 13 - x.
由 BD + CD = BC，可得
(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 ，BD = 9 ，CE = 5 .
解得 x = 4.
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。
A
F
O
E
B
D
C
方法一 设AF长为x
则BC=BD+DC
(9-x) + (13-x)=14
解得，x=4
则AE=4,BD=5,CE=9
方法二 设AF长为x,BD长为y，EC长为z
x+z =13
y+z =14
x+y = 9
解得x=4，y=5，z=9
则AE=4，BD=5，CE=9
A
F
O
E
B
D
C
例3 求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
知识小结
切线长定理
辅助线
分别连接圆心和切点
连接圆心和圆外一点
定理
连接两切点
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
三角形的内接圆
内接圆
内心
半径
三个内角的平分线的交点
圆心到三边距离相等
课堂练习
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度.
（2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度.
130
20
如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____.
A
B
C
I
（4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
120°
设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h、r、R，则下列结论不正确的是 ( )
A. h = R + r B.R = 2r
C. r =?34???? D.R = 33????
?
C
如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为______.
11
如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．
A
B
C
O
D
E
F
解： 连接OE，OF，在△ABC中，
∠A=180°－ (∠B+∠C)=180°－ (60°+70°)=50°
∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AB⊥OF，AC⊥OE.
在四边形AFOE中，
∠EOF=360°－(∠A+∠AFO+∠AEO)
=360°－(50°+90°+90°)
=130°
∴∠EDF= 12∠EOF=65°
?
如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．