24.2.2 第4课时 切线长定理 课件（共21张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

(共21张PPT)
切线长定理
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
| 24.2.2 直线和圆的位置关系 第4课时 |
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理解切线长概念。
掌握切线长定理，并能初步运用。
知识回顾
切线的判定与性质
判定
交点法、数量法、定理法
性质
有交点：连半径，证垂直
无交点：作垂直，证相等
C
A
B
O
判定方法
辅助线
性质定理
辅助线
圆的切线垂直于过切点的半径
有切点：连半径，得垂直
探究新知
活动一 在同一个平面内，有一点P和⊙O，
1.过点P能否作⊙O的切线？
2.如果能，可以作几条切线？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
l
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
活动二 已知⊙O 和⊙O 外一点 P，用尺规作图做点 P 画出 ⊙O 的切线并说明理由？
O
P
M
A
B
知识要点2
切线长定义
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长( PA 和 PB ).
活动二 若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OP，你能发现什么结论？说说你的理由？
证明：连接 OA、OB.
∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点.
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠OAP = ∠OBP = 90°.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
知识要点2
切线长定理
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，
∠OPA = ∠OPB.
切线长定理的变形
如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点，
则 PA = PB， ∠OPA = ∠OPB.
典例讲解
例1 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．求△PEF的周长
解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．
例2 如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3 如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P 的大小；
(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号).
解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°.
∵∠BAC = 30°，
∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°.
又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C，
∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形.
∴∠P = 60°.
(2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°.
在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°.
∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°.
∴ △PAC 为等边三角形.
∴ PA = AC.
∴ PA = .
知识小结
切线长定理
切线长
辅助线
分别连接圆心和切点
连接圆心和圆外一点
定理
作用
连接两切点
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
证线段和角相等
课堂练习
B
P
O
A
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= .
5
6
如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
C
如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( )
A. B.2 C.2 D.3
B
如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，
∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC．
方法二：
证明：连接BD，
∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，
∴DE⊥BD.
∴DE∥OC．