24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共22张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

(共22张PPT)
垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质
课堂导航
理解圆的轴对称性及垂径定理的推导
能初步应用垂径定理进行计算和证明
新知探究
O
活动一：思考圆是轴对称图形吗？你怎样得出这个结论？你还发现了什么呢？
知识要点1
圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴
O
圆的对称轴是任意一条过圆心的直线
A
试证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴
O
A′
M
·
O
A
A′
C
D
连接AA′，作CD⊥AA′，连接OA，OA′；
证明：在△OAA′ 中，
∵ OA = OA′，
∴△OAA′ 是等腰三角形.
又 AA′⊥CD，
∴ AM = MA′，
即 CD 是 AA′ 的垂直平分线.
知识要点2
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
·
O
A
A′
C
D
M
∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AA′，(条件)
∴AM = A′M，
(结论)
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
O
A
B
C
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
A
B
O
C
D
E
A
B
O
D
E
A
B
O
C
E
E
A
B
O
D
知识要点3
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ AM = A′M，CD 是⊙O 的直径
∴CD⊥AA′，
·
O
A
A′
C
D
M
·
O
A
B
C
D
(1)一条直线过圆心
(2)这条直线垂直于弦
(3)这条直线平分弦 (不是直径)
(4)这条直线平分 (不是直径)弦所对的优弧
(5)这条直线平分 (不是直径)弦所对的劣弧
活动三：垂径定理及推论的规律
任意两条件
其余三结论
知二得三
·
O
A
A′
C
D
M
典例讲解
例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，求 AB的长
·
O
A
B
E
解析：连接 OA.
∴ AB = 2AE = 16 (cm).
∵ OE⊥AB，
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 ，
设⊙O 的半径为 R m.
在 Rt△AOD 中，
AO = R，OD = R - 7.23，AD = 18.5.
由勾股定理，得AO2=OD2+DB2
解得 R ≈ 27.3.
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.
∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52，
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23.
知识要点4
垂径定理的应用
垂径定理转化直角三角形中应用勾股定理来解决
·
·
O
A
B
E
C
半径、弦长、弦心距、弓形高
(知二求二)
例3 求下列圆弧的圆心
A
B
课堂小结
轴对称图形
垂径定理
定理
推论
方法
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对两条的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理，建立方程.
思路
(1)直线过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦；
(4)平分优弧；(5)平分劣弧 (弦不是直径)
·
O
A
B
E
C
对称
知二得三
方程思想
构造
对折
课堂练习
1.如图，在 O中，AB=8，OA=5，则OE= ，ED= ．
2.如图，在 O中，OA=5，ED=2，则OE= ，AB= .
3.如图，在 O中，AB=8，ED=2，则OA= ，OE= .
3
2
3
8
3
5
5.已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm.
14 或 2
4. 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.
C
图 b
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图 a
2 或 12
5.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是 .
·
O
A
B
M
C
D
x
y
6.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面AB宽度
【详解】连接OA，
∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，
∵CD=8m，∴OD=8 5=3(m)，
∴AD= (m)
∴AB=2AD=2×4=8(m),故选D.
圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度.
解：如图，作 OC⊥AB 于点 C，连接 OA，
∴∠ACO = 90°， AC = AB.
∵ AB = 0.8 m，
∴ AC = 0.4 m.
∵ 直径为 1 m，∴ OA = 0.5 m.
在 Rt△AOC 中，根据勾股定理，得
∴ 0.3 + 0.5 = 0.8 (m).
∴ 水深的最大深度为 0.8 m.