5.8 三元一次方程组 课件（共23张PPT）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 八年级上册
第五章 二元一次方程组
?8 三元一次方程组
学习目标
1.理解三元一次方程(组)的定义，会判断一个方程组是不是三元一次方程组。
2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会消元思想.（重难点）
复习回顾
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
消元法：代入消元法和加减消元法.
③
一、创设情境，引入新知
问题：已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
我们知道当问题中有两个未知数，两个等量关系时,可以列二元一次方程组解决.
但上述问题中有几个未知数，几个等量关系，该如何设未知数呢？
有三个未知数，三个等量关系，因此可以设三个未知数.
①
②
在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：
二、自主合作，探究新知
探究一：三元一次方程（组）的概念
????+????+????=????????,?????????=????,????????+?????????=????????.
?
问题：观察列出的三个方程，你有什么发现？
未知数的次数都是1
含两个未知数
?????????=????
?
二元一次方程
如何命名呢？
未知数的次数都是1
含三个未知数
????+????+????=????????
?
????????+?????????=????????
?
二、自主合作，探究新知
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
在这个方程组中，????+????+????=????????和????????+?????????=????????都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
?
知识要点
1.下列方程组中，是三元一次方程的是（ ）
A.????????+????=???? B.????+????????+????????=????
C.????????+????+????=???? D.????????????+?????????????=????
?
2.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A.????+????+????=????????+????+????????=????????+????+????=???? B.????+????+????=????????+????????????=?????????????????????=????????
C. ????+????+????=?????????????+????=????????=????+???? D.????+????=????????+????????=????????+????=????
?
二、自主合作，探究新知
跟踪练习
D
C
二、自主合作，探究新知
探究二：求解三元一次方程组
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
思考：怎样解三元一次方程组呢？
????+????+????=????????,?????????=????,????????+?????????=????????.
?
我们会解二元一次方程组，能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
用代入消元法试一试！
例1：解方程组
?
?
?
二、自主合作，探究新知
典型例题
解:由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③，得2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
把y=8代入④，得x=9.
经检验，x=9，y=8，z=6适合原方程.
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得????=????,????=????.
?
所以原方程组的解是????=????,????=??,????=????.
?
消去了未知数x，变成二元一次方程组了！
检验可以口算或在草稿纸上演算，以后可以不必写出.
二、自主合作，探究新知
做一做
（1）解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数y（或z），从而得到方程组的解吗？
（2）你还有其他方法吗？与同伴进行交流.
解:（1）由方程②可变形为y=x-1 ,代入①和③中，可以先消去y.
议一议:上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的解法有什么联系？解三元一次方程组的思路是什么？
（2）可以先利用加减消元，由方程①+③可消去z，得3x+2y=43
再与方程②联立即可求出x，y的值，进而求出z的值.
知识要点
二、自主合作，探究新知
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
二、自主合作，探究新知
典型例题
例2：一个三位数，各位数字之和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2，求这个三位数。
解：设个位数字是x,十位数字是y，百位数字是z.
解得
答：这个数是275.
2.三元一次方程组????+????=????????+????=????????+????=????的解是（ ）
A.????=????????=????????=???? B.????=????????=????????=???? C. ????=????????=????????=???? D.????=????????=????????=????
?
1.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A.????????=????????????+????=????????+????+????=???? B.?????????????+????=??????????????????+????=????????=?????
C. ????+?????????=????????????????=?????????????????=???? D.????+????=????????+????=????????+????=????
?
三、即学即练，应用知识
D
A
4.解方程组?????????????+????=????,①????????+?????????????=????????,②????+????+????=????,③ 时,第一次消去未知数的最佳方法是( )
A.加减法消去x，①-③×2与②-③×2
B.加减法消去y，①+③与①×3+②
C.加减法消去z，①+②与③+②
D.代入法消去x，y，z中的任何一个
?
3.已知x，y，z满足方程组????+????=????,①????+????=????,②????+????=????,③ 则x+y+z的值为（ ）
A.4 B.5 C.8 D.10
?
三、即学即练，应用知识
A
C
三、即学即练，应用知识
5.小华到学校超市买铅笔11支,作业本5本,笔芯2支，共花12.5元;小刚在这家超市买同样的铅笔10 支,同样的作业本4本,同样的笔芯1支，共花10元.则买这样的铅笔1支、作业本1本、笔芯1支共需 元.
2.5
0
6.若????=????, ????=?????,????=????, 是三元一次方程?????????(?????????)????+????????=????的一组解，则m的值为 .
?
三、即学即练，应用知识
7.解方程组：????+?????????=?????, ①????+?????????=?????, ②????+?????????=????????, ③
?
解:由①+②,得 2y=-6,解得 y =-3，
②+③,得2x= 14，解得x=7，
把x=7,y=-3代入①,得-3+z-7=-5，解得z=5，
∴原方程组的解为????=????,????=?????,????=????.
?
四、课堂小结
三元一次方程组
含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.
共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
三元一次方程（组）的概念
三元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
“消元法”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”.
三元一次方程组的解法
五、当堂达标检测
D
1.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A.????=?????????????????????+????????+????????=?????????????????????=???? B.?????????????????=????????????+????????+????????=????????????+????=????
C. ????+????=????????+????=????????+????=???? D.????+????=????????+????=????????????+????=????????
?
2.解三元一次方程组?????????+????=?????,①????+?????????????=????,②????+????=????, ③ 要使解法较为简单，首先应进行的变形为( )
A.①+② B.①-② C.①+③ D.②-③
?
A
五、当堂达标检测
3.已知????=????,????=????,????=???? 是方程组????????+????????=????,????????+????????=????,????????+????????=????的解，则a+b+c的值是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.无法确定
?
A
4.解方程组?????????????+????=????, ①????????+?????????????=????????,②????+?????????????=????, ③ 以下解法中不正确的是( )
A.由①，②消去z，再由①，③消去z
B.由①，③消去z，再由②，③消去z
C.由①，③消去y，再由①，②消去y
D.由①，②消去z，再由①，③消去y
?
D
五、当堂达标检测
5.解方程组：????+????+????=????????, ①????=????????? ,②????????+????=????+????????,③
?
?
五、当堂达标检测
解:由①+②+③,得 2x+2y+2z =90,即 x+y+z = 45 ④.
④-①,得z= 18;④-②,得x= 12;④-③,得y=15.
因此,原方程组的解为????=????????,????=????????,????=????????.
?
6.解方程组：????+????=????????, ①????+????=????????, ②????+????=????????, ③
?
五、当堂达标检测
7.某次运动会上，我国运动员顽强拼搏，获得金、银、铜牌共342枚.其中金牌枚数比银牌与铜牌枚数之和少40.铜牌枚数比金牌与银牌枚数之差多40，问金、银、铜牌各获得多少？
解:设获得金牌x枚，银牌y枚，铜牌z枚.
根据题意,得????+????+????=????????????,????+????????=????+????,?????????+????????=????,
解得????=????????????,????=????????????,????=????????.
答：获得金牌151枚，银牌108枚，铜牌83枚.
?
教材习题5.9；　　　　
六、布置作业