10.5 可以化成一元一次方程的分式方程 课件（共23张PPT）-2023-2024学年七年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

(共23张PPT)
第九章 整式
第2节 分式的运算
10.5 可以化成一元一次方程的分式方程
1 了解分式方程的概念，并能判别分式方程；（重点）
2 会根据条件列分式方程.（难点）
问题
上海至南京的铁路路程约300 千米如果行驶在这路段的高铁动车与普通快客的车速之比为5:3,高铁动车比普通快客快1小时到达,那么上海至南京的高铁动车与普通快客的速度各是多少
因为 路程 = 时间×速度，所以
设高铁动车的速度为5x千米/时,普通快客的速度为3x千米/时,根据题意可列出以下等量关系：
可以设法去掉方程中分式的分母,转化为以前学过的方程来求解
这个方程的分母中含有未知数与以前学过的方程不同,如何解这个方程呢
方程两边同时乘以15x,得
300×5-300×3=15x.
解得x=40
于是,得5x=200,3x =120.
所以高铁动车的速度为200千米/时，普通快客的速度
为120千米/时.
以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含未知数的方程叫做整式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)．
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
方程的最简公分母是：2(3x +1 )
解：方程两边同乘 2(3x +1 )，得
2(2x－1 ) = 3x +1，
解得 x = 3.
x = 3 是原分式方程的解吗？
检验：将 x = 3 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 x = 3 是原分式方程的解.
例题1：解方程
教材第83页
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
归纳
一元方程的解也叫做方程的根(root).
例题2 解方程：
教材第83页
解：
方程两边乘最简公分母 x -1，得x+x-1=1,
移项,化简得x=1.
检验,将x=1代入原方程,
结果使方程中分式的分母为零,分式无意义.
所以x=1不是原方程的解.原方程无解.
在分式方程变形时，有时可能产生不适合原分式方程的根这种根叫做原分式方程的增根(extraneous root).
x=1就是分式方程 的增根.
例题3 一小包柠檬茶冲剂，用235克开水可冲泡成浓度为6%的饮料,这包柠檬茶冲剂有多少克
分析 根据 可以列出方程。
解 设这包柠檬茶冲剂有x克.根据题意,得
方程两边同时乘以100(x+235)得100x=6(x+235)
解方程,得x=15经检验,x=15是原方程的根,并符合题意
答:这包柠檬茶冲剂有15克.
教材第84页
1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
2. 解这个整式方程；
3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；
4. 写出原方程的解.
简记为：“一化二解三检验”.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤
用图框的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
x = a 不是
分式方程的解
当 x = a 时
最简公分母是
否为零？
否
是
例题4 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是______________．
解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1.
∵ 关于 x 的方程 的解是正数，
∴ x＞0 且 x≠1.
∴ -a -1＞0 且 -a -1≠1，解得 a＜-1 且 a≠-2.
∴ a 的取值范围是 a＜-1 且 a≠-2.
a＜-1 且 a≠-2
例题5 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值．
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与或其解使分式方程的最简公分母为零．
解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10.
① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1；
② 整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即
x＝2 或 x＝－2.
当 x＝2 时，(m－1)×2＝－10，解得 m＝－4；
当 x＝－2 时，(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6.
∴ m 的值是 1，－4 或 6.
方法总结：
分式方程无解，不但包括分式方程化为整式方程后，所得整式方程无解的情况，还包括整式方程有解但其解使最简公分母为 0 的情况．
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘 ( )
D
A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 )
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　)
A. B.
C. D.
D
3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( )
A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8
C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8
A
4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5 或 2 D．－0.5 或 －1.5
D
5. 解方程：
解：去分母，得
解得
检验：把 代入最简公分母，得
所以原方程的解为
分式
方程
误区
(1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘
步骤
(去分母法)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零)
(2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)
(3) 忘记检验
定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程