1.1 锐角三角函数第1课时 课件（共29张PPT）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册
第1课时
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
学习目标
1. 理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等.（重点）
3.能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算.（难点）
小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小，再往塔的方向前进50m到B处又测得∠2的大小，根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗?
一、创设情境，引入新知
本章我们将借助生活中的实例，探索直角三角形边角之间的关系，并利用三角函数解决生活中一些简单的实际问题。
在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他边和角吗?
梯子是我们日常生活中常用的工具，在使用梯子的时候，有时需要放得陡一些，有时需要放得缓一些，那么我们该如何刻画梯子的倾斜程度呢？
一、创设情境，引入新知
如图，梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角.
A
C
B
倾斜角大，梯子就陡；倾斜角小，梯子就缓．
一、创设情境，引入新知
我们可以借助直角三角形的边角关系来研究。
铅直高度
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度.
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.
A
C
B
水平宽度
但在实际问题中，有时我们不方便测量倾斜角，有时不容易准确测量倾斜角，那么我们又该如何刻画梯子的倾斜程度呢？
问题1：如图①，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
图①
二、自主合作，探究新知
通过度量法或叠合法即可比较出倾斜角∠ABC＞∠EFD.
探究一：正切的定义
根据倾斜角越大，梯子就越陡，可以得到梯子AB更陡．
图②
问题2：直接比较倾斜角可以知道哪个更陡，还有没有其他判断方法呢？
图①
二、自主合作，探究新知
如图①，当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡.因此梯子AB更陡.
如图②，当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡.因此梯子EF更陡.
问题3:如图③，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
图③
二、自主合作，探究新知
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.
当铅直高度与水平宽度都不相等时，可以比较它们的比.
∵????????????????=????????.????=????????≈????.????????，????????????????=????.????????.????=????????????????≈????.????????.
?
∴梯子EF更陡.
想一想：如图,B1，B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，B2C2⊥AC，垂足为点C2.小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.
二、自主合作，探究新知
A
B1
C2
C1
B2
(1) Rt?AB1C1和Rt?AB2C2有什么关系？
两个直角三角形相似.
(2) 有什么关系?
A
B1
C2
C1
B2
二、自主合作，探究新知
(3)如果改变B2在梯子AB上的位置(如B3C3 )，上述结论还成立吗？
C3
B3
思考：由此你得出什么结论?
仍然成立，????????????????????????????=????????????????????????????.
?
∵Rt?AB1C1~Rt?AB2C2
∴????????????????????????????????=????????????????????????
∴????????????????????????????=????????????????????????????
?
.
知识要点
二、自主合作，探究新知
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即
tan A＝∠????的对边∠????的邻边.
?
正切的定义
当锐角A变化时，tanA的值也随之变化.
=????????????????
?
二、自主合作，探究新知
定义的几点说明：
1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2） tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1.
3） tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）.
4） tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
二、自主合作，探究新知
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
A
B
C
┌
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
议一议
判断对错：
(1).如图 (1)
( ).
(2).如图 (2)
( ).
(3).如图 (2)
( ).
(4).如图 (2)
( ).
(6).如图 (2)
( ).
(5).如图 (2)
( ).
A
7
.
0
tan
=
┍
A
B
C
7m
10m
(1)
(2)
A
C
B
┌
二、自主合作，探究新知
×
×
×
√
√
×
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则tan A＝ ．
由正切定义可知tan A＝
因为 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得tan A＝
二、自主合作，探究新知
典型例题
议一议：如图,梯子的倾斜程度与tanA有怎样的关系?
二、自主合作，探究新知
探究二：梯子的倾斜程度与tan A的关系
2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
1.当梯子与地面所成的角为锐角A时，
tanA＝梯子的铅直高度水平宽度， tanA的值越大，梯子越陡．
?
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度．
二、自主合作，探究新知
典型例题
∵ tanα> tanβ，∴甲梯更陡.
例2.下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
4 m
┐
8 m
α
甲
甲梯
A
B
C
β
乙
5 m
┌
13 m
乙梯
D
E
F
解:甲梯中,tanα=????????=????????.
?
乙梯中,????????????β=?????????????????????????=????????????.
?
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
100m
60m
┌
α
i
二、自主合作，探究新知
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角。
2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切。
3.坡度越大,坡面越陡。
探究三：坡度、坡角
例3 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　)
二、自主合作，探究新知
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
B
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
典型例题
三、即学即练，应用知识
2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么所得的直角三角形中，∠B的正切值(　　)A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的3倍 C.扩大为原来的6倍 D.大小不变
A
D
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝____．
三、即学即练，应用知识
D
三、即学即练，应用知识
5.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
A
B
C
┌
解：
6.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA=????????,求AC和BC.
?
┌
A
C
B
15
三、即学即练，应用知识
4k
3k
∴设BC=3k,AC=4k.
四、课堂小结
锐角三角函数（正切）
正切的定义
梯子的倾斜程度与tan A的关系
坡度(或坡比)的定义
数学思想方法
tan A的值越大，梯子越陡．
数形结合的方法；构造直角三角形的意识.
2.一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值(　　)
A．都没有变化 　　 B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是(　　)
A. B．3 C. D．
五、当堂达标检测
D
A
4.如图,P是∠α的边 OA 上一点，点 P的坐标为（12，5），则tanα=__________.
五、当堂达标检测
3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(　 )
A．2 B. C. D.
D
五、当堂达标检测
5.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝13，BC＝5．求tan A，tan B和tan∠BCD的值．
解：根据勾股定理可知，AC＝12．∴tan A＝????????????????＝????????????，tan B＝????????????????＝????????????，tan∠BCD＝tan A＝????????????．
?
6.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
A
C
B
┌
D
五、当堂达标检测
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
易知BD=5，AD=12.
教材习题1.1.　　　　
六、布置作业