彭州市2023~2024学年度上期高三期中教学质量调研
理科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名 座位号和考号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上 试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）
A. B.
C. D.
3. 已知命题，不是素数，则为（）
A. ，是素数 B. ，是素数
C. ，是素数 D. ，是素数
4. 已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知向量，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率＝（今年车流量-去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（）
A. 2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23
B. 2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17
C. 2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差
D. 2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次
7. 已知函数的部分图象如图所示，则（）
A. B. C. 1 D.
8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033 B. 1053
C. 1073 D. 1093
9. 已知双曲线的左 右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（）
A. B. C. 2 D. 3
10. 已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
11. 已知，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
12. 已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是（）
A. B. C. D.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 展开式中的常数项为__________．
14. 已知数列满足，且，则__________.
15. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则______________．
16. 已知正数满足（e为自然对数的底数），有下列四个关系式：
①②③④
其中正确的是__________（填序号）.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
18. 如图，在四棱锥中，底面，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角余弦值．
19. 某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．
（1）根据所给数据，完成下面2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好
A学科不够良好
合计
（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.15
2.072 2.706 3841 5.024 6.635 7.879 10.828 2.072
20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
21. 已知函数，其中．
（1）若，证明：；
（2）设函数，若为极大值点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线分别交于两点（异于极点），求的长度.
23. 已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
(
2
)彭州市2023~2024学年度上期高三期中教学质量调研
理科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名 座位号和考号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上 试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求，再求补集可得答案.
【详解】集合，
则.
故选：A.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义确定复数z，再根据共轭复数的概念以及复数的运算，即可得答案.
【详解】由题意知复数对应的点的坐标是，故，
所以，
故选：A
3. 已知命题，不是素数，则为（）
A. ，是素数 B. ，是素数
C. ，是素数 D. ，是素数
【答案】D
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为，是素数.
故选：D.
4. 已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式求解即得.
【详解】设等差数列的公差为，则，即有，
因此，
所以数列的公差为2.
故选：B
5. 已知向量，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先找出的充要条件“或”，然后由必要不充分条件的定义即可求解.
【详解】由题意，
所以，
所以，
即当且仅当，当且仅当或，
而“或”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率＝（今年车流量-去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（）
A. 2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23
B. 2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17
C. 2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差
D. 2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次
【答案】C
【解析】
【分析】通过计算得到选项AB正确；观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则，解得，故D正确.
【详解】对于A：由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为，故A正确；
对于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17，故B正确；
对于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，故C错误；
对于D：2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%，设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则，解得，故D正确.
故选：C．
7. 已知函数的部分图象如图所示，则（）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象求得的解析式，进而求得.
【详解】由图可知，所以，
，
由于，所以，
所以
.
故选：D
8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033 B. 1053
C. 1073 D. 1093
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
9. 已知双曲线的左 右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】求得点坐标，根据直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点，
所以，由解得，
则，而，所以，
，
两边除以得，解得或（舍去）.
故选：D
10. 已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.
【详解】由得是一个周期为2的奇函数，
当时，，因此，
因为是奇函数，所以，，
且的周期为，且，，，，
求的零点，即是与的交点，如图：
为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，
因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，
若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，
第11个零点坐标为，因此.
故选：A
【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.
11. 已知，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】探讨函数的对称性及在的单调性，再借助函数性质求解不等式即得.
【详解】函数的定义域为，
显然，则函数的图象关于直线对称，
当时，，显然，，于是，即函数在上递增，
则不等式等价于，即，整理得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
12. 已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，即，，可得，，将存在任意的，，都存在，，使得成立，转化为，，又由，可得，，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．
【详解】解：，，
，，
，，
都存在，，使得成立，
，，
，
，，
在上单调递减，
当时，，
，故A选项错误，
当时，，
，
，故B选项正确，
当时，，
，故C选项错误，
当时，，
，故D选项错误.
故选：B.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 展开式中的常数项为__________．
【答案】24
【解析】
【详解】分析：由题意，求得二项式的展开式的通项为，即可求解答案.
详解：由题意，二项式的展开式的通项为，
令，则.
点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
14. 已知数列满足，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接由等比数列的定义判断并直接写出通项公式即可.
【详解】因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
故答案为：.
15. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则______________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出B点坐标，继而求出直线BC的方程，联立抛物线方程，求得点C坐标，即可求得答案.
【详解】如图，由题意可知轴，，
将代入中得，即,
又，则，故的方程为，联立，
可得，解得，或（此时C与B关于x轴对称，不合题意），
则，故，
故答案为：.
16. 已知正数满足（e为自然对数的底数），有下列四个关系式：
①②③④
其中正确的是__________（填序号）.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】构造，由函数单调性得到，通过变换可得到①②③④正确.
【详解】由题意得，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，
故，
所以，②正确，
，①正确，
，④正确，
，
，
又在上单调递增，，
故，从而，
设，
，又恒成立，
上单调递增.从而
故答案为：①②③④
【点睛】常见的不等式放缩有，，，，，等，常用来比较大小.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，得到，即可求解；
（2）解法1：由正弦定理得到，，结合题意，求得，进而求得的面积．
解法2：根据题意，求得，得到，令余弦定理列出方程求得，进而求得的面积．
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，即．
因为，所以．
【小问2详解】
解法1：由正弦定理，所以，
可得，，
因为，，所以，
所以的面积为．
解法2：因为，且，
所以，
可得
，
所以，
因为，所以，可得，所以，
因此，所以，
因为，由余弦定理得，即，
解得，即，
所以的面积为．
18. 如图，在四棱锥中，底面，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】方法一方法二，先构造并证明面面平行，继而利用面面平行的性质定理证明结论；
方法三，连结延长交的延长线于，连结，证明，根据线面平行的判定即可证明结论；
方法四，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明结论.
（2）方法一，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面和平面的法向量，利用空间角的向量求法即可求得答案；
方法二，作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案.
【小问1详解】
证明：
方法一：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如下图）
由分别为的中点及中位线定理得，
平面平面，
平面平面，
又平面，
故平面平面，
平面，
平面；
方法二：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如下图）
由分别为的中点及中位线定理得，
平面平面，
平面，
，，
平面平面,
平面，
又平面，
平面平面，
平面，
平面.
方法三：综合法——直线与平面平行的判定
连结延长交的延长线于，连结，
，即，又，
，
又，，
平面平面，
平面．
方法四：空间向量方法
底面平面，
，
又，
故两两垂直，
以A为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图:
由知：
，，
设平面的一个法向量为
由得，取得，
平面，
平面.
【小问2详解】
方法一
由（1）方法四可得：，
，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
，
由几何体的空间结构知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
方法二
连结，由得：，
，
，
在中，，由余弦定理得：，
则，，
底面平面，
，
平面，
平面．
又平面，，
为二面角的平面角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得：，
二面角的余弦值为．
19. 某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好
A学科不够良好
合计
（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.15
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2.072
【答案】（1）填表见解析，有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关
（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得出A学科良好的人数，进而即可得出2×2列联表.根据公式计算得出的值，比较即可根据独立性检验得出答案；
（2）根据（1）得出AB学科均良好的概率，可知.然后计算得出取不同值的概率，列出分布列，根据期望公式即可得出答案.
【小问1详解】
由直方图可得A学科良好的人数为，
所以2×2列联表如下：
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好 40 30 70
A学科不够良好 10 20 30
合计 50 50 100
假设：A学科良好与B学科良好无关，
，
所以有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关．
【小问2详解】
AB学科均良好的概率，
X的可能取值为0，1，2，3，且．
所以，，
，．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为，所以．
20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用点在椭圆上及数量积的坐标运算列方程求解即可；
（2）设直线联立方程，韦达定理，方法一：求出弦长及三角形的高即可求出面积，方法二：利用面积分割法求解面积即可.
【小问1详解】
由题意知，
又，则，
，解得(负值舍去)，
由在椭圆上及得，解得，
椭圆的方程为；
【小问2详解】
由（1）知，右焦点为，
据题意设直线的方程为，
则，
于是由得，化简得（*）
由消去整理得，
，
由根与系数的关系得：，
代入（*）式得：，解得，
直线的方程为，
方法一：，
由求根公式与弦长公式得：，
设点到直线的距离为，则，
.
方法二：由题意可知，
代入消去得，
，
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 已知函数，其中．
（1）若，证明：；
（2）设函数，若为的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导确定函数的单调性即可得最值，从而证得结论；
（2）求导，分类讨论确定函数的单调性从而验证极值，即可得a的取值范围．
【小问1详解】
证明：若，则，且，则，
令，得．
在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
故．
【小问2详解】
，．
当时，易得，所以由（1）可得，
若，则，
所以在上单调递增，
这与为函数的极大值点相矛盾．
若，令，则，
又令，则对恒成立，
所以在上单调递增．
又，，
因为，所以，
因此存在唯一，使得，
所以，在上，，单调递减．
又，所以
在上，，故单调递增；
在上，，故单调递减．
所以为函数的极大值点，满足题意．
综上，a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
（1）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线分别交于两点（异于极点），求的长度.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用普通方程和极坐标方程之间的转化公式即可；
（2）利用极坐标方程的几何意义即可.
【小问1详解】
曲线，
所以曲线的极坐标方程为：，
曲线的参数方程为
所以曲线的普通方程为：，
所以曲线的极坐标方程为；
小问2详解】
曲线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为，
射线与曲线分别交于两点，联立解得：
点的极坐标为，点的极坐标为，
.
23. 已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：运用绝对值的含义，分，，讨论解不等式，再求并集即可得到解集；方法二：利用绝对值的几何意义解绝对值不等式即可；
（2）把绝对值不等式恒成立问题转化，利用一次不等式恒成立法则列不等关系求解即可.
【小问1详解】
方法一：当时，，
①，无解；
②，解得；
③，解得；
综上：原不等式的解集为；
方法二：原不等式等价于：，
由绝对值的几何意义知的几何意义为：
数轴上实数对应的点到-2所对点的距离与其到原点的距离之差大于1，
又的解为，
原不等式的解集为；
【小问2详解】
当时，，
原不等式等价于：，即，则，
，故，解得，
的取值范围为.
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