河南省博爱县名校2024届高三上学期期中考试数学试卷（含解析）

焦作市博爱一中2023—2024学年（上）高三年级期中考试
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．(，1] B．[，] C．(，+∞) D．[1，2]
2．已知,则的大小关系为( )
A．B．C．D．
3．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
4．赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为，且，则大正方形的面积为（ ）
A．4 B．5 C．16 D．25
5．若直线经过第四象限，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最大值为或
8．若曲线 在 处的切线的斜率为3,则该切线在 轴上的截距为（ ）
A． B．2C． 2D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．若，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递减
C．
D．的定义域为
12．已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则为正三角形
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ．
14．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为 ．
15．是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 .
16．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且.
(1)求证：
(2)求的取值范围.
18．（12分）某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量的平均数（同组数据用区间中点值代表）；
（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为千克（），利润为元．
①求关于的函数表达式；
②根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率．
19．（12分）如图，在四棱雉中，底面，底面为正方形，分别是的中点，是上一点．
(1)证明:平面．
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（12分）某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.
21．（12分）已知函数
（1）判断的单调性；
（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.
22．（12分）已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点.
(1)求的取值范围；
(2)当三点共线时，求三角形的面积.
焦作市博爱一中2023—2024学年（上）高三期中考试
数学 参考答案
一、单项选择题
1．答案：B
解析：因为函数，f(x)在R上是增函数，
所以，
解得，故选B.
2．答案：A
解析：
,
故,所以.
故选A.
3．答案：B
解析：由已知，最小正周期为，，
，，，
，
，
故选B．
4．答案：D
解析：因为，所以
由题意小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1，设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边长为,
所以，解得，所以大正方形的边长为，
故大正方形的面积为.
故选D.
5．答案：C
解析：若，则的方程为，不经过第四象限．若，则的方程为，经过第四象限．若，且，将的方程转化为，因为经过第四象限，所
6．答案：D
解析：取的中点，连接，则，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系．

设，则，易知平面，则直线与平面所成的角为，
所以，解得，则，．
则，，，，
所以，，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为．
故选D．
7．答案：D
解析：AB选项，因为，所以，
因为数列是以为公差的等差数列，所以，
故，解得，
又，所以，，AB错误；
C选项，，故C错误；
D选项，由于，，，故当时，，
当时，，故的最大值为或，D正确.
故选D
8．答案：A
解析：本题考查导数的几何意义,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
因为 ,所以 ,由 ,得 或 (舍去).
所以该切线的方程为 ,所以该切线在 轴上的截距为 .
二、多项选择题
9．答案：AC
解析：关于选项A,因为对应关系和定义域一致,所以A是同一个函数;
关于选项B,因为的定义域为,定义域为R,定义域不一致,
所以B不是同一个函数;
关于选项C,因为对应关系和定义域一致,所以C是同一个函数;
关于选项D,因为的定义域为,可得,
定义域为,
定义域不一致,所以D不是同一个函数.
故选:AC
10．答案：AB
解析：依题意，由，得，
所以，且，
即，．故选AB
11．答案：AC
解析：解：因为，
对于A：的最小正周期为，故A正确；
对于B：当时，，因为在上单调递增，
故在上单调递增，故B错误；
对于C：因为的最小正周期为，所以，故C正确；
对于D：令，，解得，，所以的定义域为，故D错误．
故选AC．
12．答案：ABD
解析：因为，，，
所以，则，
对于A，，
故
，
，
所以，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，设与的夹角为，
若，则，
即，
即，所以，
所以，即与的夹角为，故C错误；
对于D，若，则，
则，
即，由C选项可知与的夹角为，
同理与的夹角为，与的夹角为，
又，
所以，故D正确.
故选ABD.
三、填空题
13．答案：
解析：数据，，，的平均数为，方差为，
所以，，即，
则，
因为，所以，
因函数在上单调递减，
故当时，的最大值是．
故答案为：．
14．答案：
解析：如图，“切面”所在平面与底面所成的角为，设圆的半径为，

则,,,
由题意得，即，
所以，即，
所以，即.
即“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为.
故答案为：．
15．答案：3
解析：，且
.
故答案为：3
16．答案：8
解析：解：∵，且，
∴，
∴公比，
∴，，
∴，
当且仅当， 即时等号成立，
故答案为：8．
四、解答题
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为，，且，
所以，
又由余弦定理，，得，
所以，即，
由正弦定理可得，，
在△ABC中，，代入上式，
得，，
即，又因为是锐角，
所以，即.
（2）由和正弦定理可得，
，
因为△ABC是锐角三角形，
所以，所以，
所以，，令，
则，
因为对勾函数在上单调递增，所以，
所以的取值范围是.
18．答案：（1）265千克；（2）①；②0.7.
解析：(1)
50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265
故该蔬果日需求量的平均数为265千克．
(2)
① 当日需求量低于250千克时，利润=（元）；
当日需求量不低于250千克时，利润（元），
所以．
② 由，解得．
所以==++=0.7
故根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率为0.7
19．答案：见详解
解析：(1)证明:取的中点，连接．因为是的中点，所以．1分
又底面为正方形，是的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以．2分
因为平面平面，所以平面．4分
(2)解:以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，1)，．5分
设，得，则，． 6分
因为，所以，解得， 7分
从而． 8分
设平面的法向量为，则令，得，． 9分
设平面的法向量为，则令，得 10分
． 11分
故平面与平面的夹角的余弦值为． 12分
20．答案：见详解
解析：（1）7名同学中，会法语的有5人，
从7人中选派3人，共有种选法，
其中恰有2人会法语共有种选法，
选派的3人中恰有2人会法语的概率.
（2）由题意可知,X所有可能的取值为0,1,2,3.
；
，
的分布列为
X 0 1 2 3
P
21．答案：（1）见解析；（2）
解析：（1）因为，所以，令．
，即时，恒成立，此时，
所以函数在上为减函数；，即或时，有不相等的两根，设为（），则，．当或时，，此时，所以函数在和上为减函数；当时，，此时，所以函数在上为增函数．
（2）对函数求导得. 因为存在极值，
所以在上有解，即方程在上有解，
即.显然当时，无极值，不合题意，
所以方程必有两个不等正根.
设方程的两个不等正根分别为，则，
由题意知
，
由得，
22．答案：(1)；
(2).
解析：（1）解：因为，
所以，
当且仅当时取得等号，
所以；
（2）因为，
且三点共线时，有，
即，
解得
此时，，
所以，
所以.