绝密★考试结束前
2023 学年第一学期温州十校联合体高一高二期中联考
高二年级数学学科 答案
命题：塘下中学 徐玲华 联系电话：13587578858
徐秀岳 联系电话：13967796767
审题：乐清三中 李忆飞 联系电话：13868731125
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B A D A C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11 12
答案 ABD BC ACD BD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
12 10 1 29
13、 ． 14、 ．15、 ．16、 ．
5 3 4 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤.
2 2
17、（1）解 1：圆O : (x 2) + ( y 1) = 5
①斜率不存在时， x = 0 满足题意； …………………1分
②斜率存在时，设直线 l : y = kx + 2 …………………2分
2k +1
则圆心O到直线 l 的距离为 2 即 d = = 2 …………………3 分
1+ k 2
3
∴ k = …………………4分
4
3
∴ l : x = 0或y = x + 2 …………………5分
4
（斜率不存在没有讨论，扣 1分）
2
解 2：点 (0,2)在圆上，故令圆上点 (x , y 20 0 )，则弦长为 x0 + ( y0 2) = 2 ……①
又 x 2 + y 2 4x 2y = 0 ……② ①-②得 y0 = 2x0 0 0 0 0 ……③
8 16
③式代入到①式得 5x 20 8x0 = 0 ∴ x0 = y x = 0 y = 00 = 或 0 0
5 5
高二数学学科 答案 第1页(共 9 页)
16
2
3
∴ k = 5 = 或斜率不存在（不算斜率，直接代入算出直线方程，同样给分）……4 分
8 4
0
5
3
∴ l : x = 0或y = x + 2 …………………5分
4
（斜率不存在没有讨论，扣 2分）
2
解 3：以 (0,2)为圆心，以 2为半径的圆为 x2 + ( y 2) = 22 ……①
O : x2 + y2 4x 2y = 0 ……②
① -②得 y0 = 2x0 ……③
后面做法同解 2，给分标准也同解 2
解 4：①斜率不存在时， x = 0 满足题意； …………………2分
② 斜率存在时，设直线 l : y = kx + 2
y = kx + 2
2
x + y
2 4x 2y = 0
2 2 x + (kx + 2) 4x 2(kx + 2) = 0
(1+ k 2 ) x2 + (2k 4) x = 0
∴ (1+ k 2 ) x2 + (2k 4) x = 0
2 2 4 2k∴弦长： 1+ k x1 x2 = 1+ k = 2
1+ k 2
3
∴ k = …………………4分
4
3
∴ l : x = 0或y = x + 2 …………………5分
4
（2）易知劣弧所对圆心角为90
10
∴圆心O到直线 l 的距离为 即
2
2k +1 10
d = = …………………7 分
1+ k 2 2
1
∴3k 2 + 8k 3 = 0 ∴ k = 或-3 …………………9分
3
1
∴ l : y = x + 2 或 y = 3x + 2 …………………10分
3
18、（1）取 PA 中点G ，连GE ,GB .
高二数学学科 答案 第2页(共 9 页)
1
∵ E 为 PD中点 ∴GE∥ AD …………………1 分
2
1
∵ BAD = ABC = 90 , BC = AD
2
1
∴ BC∥ AD ∴GE∥BC
2 P
∴四边形 BCGE 为平行四边形 ……………… 2 分
∴CE∥GB ,GB 面PAB ,CE 面PAB (未写扣 1 分)
E
∴GE∥GB …………………………………… 5分
M
(取 AD中点为O ,证面 EOC∥面PAB ,再证CE∥面PAB .同样
给分)
D
(2) 解 1：取 AD 中点O，连 PO ,OC . A
∵△PAD为正三角形, ∴ PO ⊥ AD
B C
∵面PAD ⊥面ABCD , 面PAD 面ABCD = AD
∴ PO ⊥面ABCD …………………6分
由平面知识 易知CO ⊥ AD .
如图以O为原点建立空间直角坐标系
1 3
A(0, 1,0) B (1, 1,0) P (0,0, 3) D (0,1,0) C (1,0,0) M ,0,
2 2
1 3
则 AB = (1,0,0) AP = (0,1, 3) AM = ,1, ………………8 分
2 2
设面PAB的一个法向量为 n = (x, y, z)
AB n = x = 0
P
则 ∴
AP n = y + 3z = 0
E
n = (0, 3, 1) …………………10分 M
设 AM 与平面 PAB 所成角为 O
A
3 D
AM n 6
则 sin = cos(AM ,n) = = 2 = B C
AM n 2 2 8
6
故直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值为 …………………… 12 分
8
说明：（1）第（1）（2）题都用向量来求解
没证明 PO ⊥面ABCD再第（1）扣 1分
没证明 PO ⊥面ABCD且法向量求错,其他想法都对的，第（1）扣 3分,第（2）也扣 3分
高二数学学科 答案 第3页(共 9 页)
1 3
第（1）小题用向量解时，可求出CE = 1, ,
2 2
（2）其他建系方式给分标准一样
3
解 2：等体积法 算出△PAB面积为 1 给 1 分；算出 AM = 2 给 2 分；算出M 到面 PAB 的高为
4
给 3 分；答案算对给 2 分；用等积法算，但是都没算对的，给 2分.
解 3:用传统方法作出高,并作对的给 3 分；算出 AM = 2 给 2 分;答案算对给 2 分;做高但是没有算
对给 2分,做错高给 1分.
19、（1）设 P (x, y)
2 2
∴ PB = x2 + ( y + 2) PA = x2 + ( y 1) …………………2分
∵ PB = 2 PA
∴ x2
2 2
+ ( y + 2) = 4(x2 + ( y 1) ) …………………4分
（式子对给 4 分，式子错了但有这个意识给 2 分）
∴ x2 + y2 4y = 0 …………………6分
（2）解 1：∵ MB 2 MA ∴ x2 + y2 4y 0（M 在圆上及圆的内部）…………………8 分
1 3m
∴ d = 2
1+m2
∴5m2 6m 3 0 …………………10 分
3 2 6 3+ 2 6
∴ m …………………12分
5 5
3 2 6
∴mmin = （算到上式就给满分，没写出最小值不扣分）
5
y = mx + 3m +1
解 2： …………………8分
x
2 + y2 4y = 0
2
x2 + ( mx + 3m +1) 4( mx + 3m +1) = 0
(1+ m2 ) x2 (6m2 2m) x + 9m2 6m 3 = 0
∴△ 0 得5m2 6m 3 0 …………………10 分（有算△= 0，也给分）
3 2 6 3+ 2 6
∴ m …………………12分
5 5
高二数学学科 答案 第4页(共 9 页)
3 2 6
∴mmin = （算到上式就给满分，没写出最小值不扣分）
5
20、（1）由椭圆定义知 a = 2 ………………… 2 分
算出b = 3 ………………… 4分
x2 y2
从而椭圆方程为 + =1 ………………… 5分
4 3
（没检验也给分）
x 2 y 2
(2)解 1:设M 的坐标为 (x0 , y0 ) ,且满足
0 + 0 =1
4 3
1
则直线MA : y y0 = (x x0 ) ; 直线 l : y = 2(x +1)
2
x + 2y 2(x + 2y +1)
联立得: A 0 0
4 0 0
,
5 5
x
∴ 0
+ 2y0 +1
F1A = ………………… 8分
5
(算对 F1A 的表达式的就给 3 分)
x0 = 2cos
计算法 1:设 则 x0 + 2y0 +1= 2 3sin + 2cos +1= 4sin( + ) +1
y = 3 sin 60
当 = 时, ∴ F1A = 5 …………………11分
3 max
3
此时M 1, …………………12分
2
2 2
x 2 y 2 x 2 (2y0 ) (x + 2y )计算法 0 02: 1= 0 + 0 = 0 +
4 3 4 12 16
∴ 4 x0 + 2y0 4 ………………… 10分
∴ x + 2y +1 = 5 ∴ F1A = 50 0 …………………11max max
分
3
此时M 1, …………………12分
2
(计算过程给 2 分,结果一个给一分)
2
2 2 2 (x0 + 2y +1)解 2: 0F d M l1A = MF1 d = (其中 为点 到直线 的距离) ………………… 8分
5
高二数学学科 答案 第5页(共 9 页)
(计算过程给 2 分,结果一个给一分)
解 3:转化为直线 l ' ⊥ l ,当 l '与椭圆相切时, l '与 l 的交点为 A ,切点为M ,
此时 F A 最大.………………… 8 分 1
1
设 l '方程为: y = x + m
2
1
y = x + m 2
△= 0 ;
x
2 y2
+ =1
4 3
∴m = 2 ………………… 10分
∴ F1A = 5 …………………11分 max
3
此时M 1, …………………12分
2
解 4:转化为过 F1 且垂直 l 的直线为 l ' ,
则 F A 为M1 到 l '的距离
1
设 l ' : y = (x +1),
2
问题就转化为切线问题或点到直线距离问题………………… 8 分
(计算过程给 2 分,结果一个给一分)
说明：无论用什么方法,转化对就给 3 分；
计算过程给 2 分,结果一个一分
E
21、（1）∵CD∥EF
CD 面ABEF F
EF 面ABEF
∴CD∥面ABEF …………………2分 C G B
又面ABCD 面ABEF = AB
D
CD 面ABCD
∴CD∥AB …………………4 分
A
（2）解 1：点G 为△ABE 的重心，作 EG 的延长线交 AB 于H
E
∴点H 为 AB 中点 又∵ 2CD = AB
∴CD∥AH ∴四边形 AHCD为平行四边形
F
∴ AD∥CH …………………5分
又∵CG ⊥面ABE ∴CG ⊥ AB ∴CG ⊥ CD
C B
又∵CD ⊥ CE CG CE =C G
∴CD ⊥面CHE …………………6分 D
∴CD ⊥ CH 又 AD∥CH ∴ AD ⊥ CD …………………7 分 H
∴ AD ⊥面EFDC …………………8分
A
解 2：以D 为原点，以DC 为 y 轴，DF 为 z 轴建立直角坐标系
高二数学学科 答案 第6页(共 9 页)
设 A(a,b,0) B (a,b + 2,0)
2 2b + 3 1
C (0,1,0) E (0,1,1) F (0,0,1) G a, , z E
3 3 3
2a 2b 1 F
AB = (0,2,0) AE = ( a,1 b,1) CG = , ,
3 3 3 y
4 2 2 1 C G B
AB CG = b = 0 又 AE CG = a a + b (1 b) + = 0
3 3 3 3 D（O)
2
a = 2
∴ 2 ∴ A ,0,0 …………………6分 2 A b = 0
x
2
∴ DA = ,0,0 DC = (0,1,0)
2
DA DC = 0 ∴ DA ⊥ DC 又 DA⊥ DF
∴ DA⊥面EFDC …………………8 分
（3）解 1：以D 为原点，以DA为 x轴， DC 为 y 轴，DF 为 z 轴建立直角坐标系
A(a,0,0) B (a,2,0) C (0,1,0) E (0,1,1) …………………9分
2a 1 2 1
AE = ( a,1,1) CG = ,0, ∴ AE CG = a
2 + = 0
3 3 3 3
2
∴ a = …………………10 分
2
1 2 1 1 2 2
∴五面体的体积V =V +V = 12 + 2 1= …………………12分 A CDEF E ABC
3 2 3 2 2 3
(其他建系方式也同样给分：点坐标 1 分，解出坐标 1分，体积 2 分)
解 2：在△HCE中，GC2 = EC2 EG2 = HC2 HG2
2 2
2 1 2
令 HC = x ∴12 x
2 +1 2 = x x
2 +1 ∴ x = …………………10分
3 3 2
1 2 1 1 2 2
∴五面体的体积V =V +V = 1 1+ 1 1= ……………12分
三棱柱ADF HCE B HCE
2 2 3 2 2 3
2
x2
y
=1
22、（1）联立方程 2 2 2 3 ； 得： (3 k )x 2kmx m 3 = 0
y = kx + m(k 3)
△= 4k 2m2 + 4(3 k 2 )(m2 + 3) = 4(3m2 + 9 3k 2 ) = 0 ；…………………2分
∴ k 2 = m2 + 3 ； 又∵3 = 2k + m …………………3分
k = 2
∴ 即 l : y = 2x 1 …………………4分
m = 1
（2）①P 为△AF1F2 的内切圆与 x轴的切点，由定义知：
高二数学学科 答案 第7页(共 9 页)
F1A F2 A = F1P F2P = c + xP (c xP ) = 2x = 2a …………………6分 P
∴ xP = a ∴ P与E 重合 ∴ xM = xP = a =1…………………8分
同理： xN = xP = a =1
②解 1：设 MF2E = , NF2E =
2
1
∴ kMF + kNF = tan ( ) + tan = tan + …………………9分 2 2
2 tan
下求 的范围时，有多种方法，求对都给 2 分
3
法 1：由渐近线与相交弦的关系知 , ，∴ tan , 3 …………………11分
6 3 3
法 2：直线 AB 斜率不存在时，满足
斜率存在时，设为 y = kx +m ∴0 = 2k + m 即m = 2k 代入（1）中求的
(3 k 2 )x2 2kmx m2 3 = 0
△= 4k 2m2 + 4(3 k 2 )(m2 + 3) = 4(3m2 + 9 3k 2 ) = 9k 2 + 9 0
2k 2k
∴ x1 + x2 = 0
3 k
2
(4k 2 + 3)
x1x2 = 0
3 k
2
2 3 ∴ k 3 ∴ k 3或k 3 ∴ , ， tan , 3 …………………11分
6 3 3
1 2 3 2 3
∴ kMF + k2 NF = tan + , …………………12分 2 tan 3 3
解 2：也可设直线 AB 的倾斜角为 ； MF2E = ， NF2E =
2 2
给分标准同解法 1：斜率之和用角表示对的给 1分， 求 的范围时，有多种方法，求对都给 2分，
最后结果给 1 分.
3 3
解 3：设直线 AB : x = my + 2( m )；…………………9 分
3 3
12m
y + y =
x = my + 2 1 2 2
∴ (3m2
3m 1
1)y
2 +12my + 9 = 0 ∴ 2 2
3x y 3 = 0 9y1 y2 = 3m
2 1
高二数学学科 答案 第8页(共 9 页)
1 1 1 1
S△AF F = 4 y1 = (4x 同理1 + 4) r1 S△ = 4 y = (4x + 4) r （等面积） 1 2 BF F 2 2 22 2 1 2 2 2
4y1 y y∴ r1 = =
1 ； r 2 2 =
4x1 + 4 y1 +1 y2 +1
r1 r 2 y1 y ∴ k 2MF + kNF = + = (r1 + r2 ) = + 2 2 1 1 my1 + 3 my2 + 3
2my1y2 + 3( y1 + y2 )
= = 2m …………………11分
m2 y1y2 + 3m( y1 + y2 ) + 9
2 3 2 3
∴ k + k …………………12 分 MF2 NF = 2m , 2
3 3
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2023学年第一学期温州十校联合体高一高二期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2、平行六面体中，化简（ ）
A． B． C． D．
3、若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
4、若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
5、如图，是棱长为1的正方体中，点在正方体的内部且满足，则到面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6、细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂。“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“。团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善。花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为，若其中一片花瓣所在圆圆心记为，两个花瓣端点记为，切点记为，则不正确的是（ ）
A． 在同一直线上 B．12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上
C． D．弧形所在圆的半径变化时，存在
7、已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别
为，当直线与平行时，（ ）
A． B． C． D．4
8、已知曲线的方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．无论取何值，曲线都关于原点成中心对称
B．无论取何值，曲线关于直线和对称
C．存在唯一的实数使得曲线表示两条直线
D．当时，曲线上任意两点间的距离的最大值为
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、已知，，三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点，，，共面的是（ ）
A． B．
C． D．
10、已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若椭圆的离心率为，则
11、已知过点的直线与圆交于两点，在处的切线为，在处的切线为，直线与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆相交弦长最短为 B．中点的轨迹方程为
C．四点共圆 D．点恒在直线上
12、已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A． 二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为 ．
14、已知椭圆，为椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点，且,延长交椭圆于，则 ．
15、把正方形沿对角线折成的二面角，、分别是、的中点，是原正方形的中心，则的余弦值为 ．
16、双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，,为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤.
17、（本题满分10分）已知圆，过点.
（1）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程；
（2）若直线被圆截得的优弧和劣弧的弧长之比为，求直线的方程．
18、（本小题满分12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．
（1）证明：；
（2）当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值．
19、（本小题满分12分）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线方程；
（2）若直线上存在点满足，求实数的最小值．
20、（本小题满分12分）已知点，，动点满足关系式．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）是过点且斜率为2的直线，是轨迹上（不在直线上）的动点，点在直线上，且，求的最大值及此时点的坐标．
21、（本小题满分12分）如图，在以,,,,,为顶点的五面体中，面为正方形，，，点在面上的射影恰为的重心．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）求该五面体的体积．
22、（本小题满分12分）已知双曲线与直线有唯一的公共点．
（1）点在直线上，求直线的方程；
（2）设点，分别为双曲线的左右焦点，为右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心．
①点的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由；
②求的取值范围．
高二数学学科 试题 第1页(共4页)
