新人教A版必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试（含解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．若，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．设，且，则
A． B．
C． D．
5．二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，如图所示，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
6．已知，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知都是正数，若，则的最小值是（ ）
A．5 B．4 C． D．
8．设，，则M，N的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．大小关系不确定
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值 B．可以取到0
C．有最大值 D．有最小值2
10．若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
12．设a，b均为正数，则下列结论正确的是（ ）
A．若则有最大值 B．若则有最大值8
C．若则 D．若则
三、填空题（20分）
13．若，，则的取值范围是 .
14．已知x，y∈，且x＋y＝4，则＋的最小值是 .
15．已知命题“存在”是假命题，则实数的取值范围 .
16．已知正数，满足：，则的最小值为 .
四、解答题（70分）
17．设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值 (万元)与总支出 (万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额.
(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少
18．月饼是中华传统特色节日糕点.某食品工坊推出冰流酥月饼和青红丝月饼两款新品，已知冰流酥月饼每个售价为x元，青红丝月饼每个售价为y元，销售数量为a个或b个，且，.销售结果如下：
一，冰流酥月饼销售数量为a个，青红丝月饼销售数量为b个；
二，冰流酥月饼销售数量为b个，青红丝月饼销售数量为a个
试问：哪一种销售结果，销售收入更好？请说明理由.
19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
20．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销量就减少10个，为了争取最大利益，此商品的售价应定为多少元 并求最大利润.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据题意可得，则有，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】方程有两个不等的实数根，
，
，即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C
2．C
【解析】由题意可转化为，使成立，求的最大值即可.
【详解】因为，使得不等式成立，
所以，使得不等式成立，
令，，
因为对称轴为，
所以，
所以，
故选：C
【点睛】本题主要考查了存在性命题的应用，考查了函数最值的求法，转化思想，属于中档题.
3．B
【分析】讨论和两种情况，即可求解.
【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，
等价于．
综上，实数的取值范围为．
故选：B．
4．C
【解析】由已知可得，根据不等式的性质，即可得出结论.
【详解】，且，
.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式基本性质的应用，解此类型题目直接取特值代入验证亦可，属于基础题.
5．B
【分析】根据题意和图形可知，只需要满足且即可，解不等式即可求解.
【详解】由图可得，即，解得，
又，所以.
故选：.
6．A
【分析】把所求用已知条件表示出来，再把其取值范围整体带入即可求解.
【详解】设，
则，
所以，解得，
所以.
因为，所以；
因为，所以，
因此，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，属于常考题型.
7．C
【分析】利用将化为积为定值的形式后，由基本不等式可求得结果.
【详解】∵，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．A
【分析】运用作差比较法、结合配方法进行判断即可.
【详解】
∴
故选：A
9．AD
【分析】根据“1”的技巧及均值不等式判断A，由均值不等式可得判断B，由均值不等式等号成立的条件判断C，由重要不等式判断D.
【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
因为时，，而，得出，时等号成立，故不成立，故B错误；
因为，当且仅当
，即时等号成立，而，故等号不成立，故C错误；
由知，，当且仅当时，即时等号成立，故D正确.
故选：AD
10．BC
【分析】根据不等式的性质，作差与0比较大小即可得出结果.
【详解】对于A，因为，所以，则，则故选项A错误；
对于B，因为，所以，
则，则选项B正确；
对于C，因为，所以，则，
故选项C正确；
对于D，因为，所以，则，故选项D错误，
故选：BC.
11．BC
【分析】对A，可将转化为关于的二次函数求解；对B，利用常数代换，将化为，再利用基本不等式求解；对C，与乘积为定值，可以直接运用基本不等式；对D，只需运用基本不等式求出最值即可.
【详解】对A，，
当时，最小为.故A错误.
对B，
，
等号成立时，.故B正确.
对C，，
等号成立时，.故C正确.
对D，，所以，
等号成立时，.
故.故D错误.
故选：BC.
12．AD
【分析】利用基本不等式可判断A,B，利用不等式的性质可判断C,D.
【详解】因为所以，
又因为，当且仅当时取得等号，
所以，
则有，A正确；
由可得，所以，则，
当且仅当时取得等号，
又由可得
又因为，
因为，所以当时，有最小值8，B错误；
因为所以，所以，C错误；
等价于，等价于，也等价于成立，
所以成立，D正确，
故选:AD.
13．
【分析】利用不等式的性质求的取值范围即可．
【详解】解：，，
，
，
即，
故的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式的性质．
14．/1.125
【分析】利用乘“1”法即求.
【详解】由，得
，
当且仅当时，即时等号成立，
∴＋的最小值为.
故答案为：.
15．
【分析】先写出特称命题的否定，即，为真命题，对分为与两种情况，列出所要满足的条件，求出实数的取值范围.
【详解】存在是假命题，则，为真命题，当时，，满足题意，当时，要满足： ，解得：，综上：实数的取值范围是：
故答案为：
16．.
【分析】根据题意，分析可得，结合和基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】解：根据题意，，
当且仅当时等号成立，
又由，则，当且仅当时等号成立，
又由、，必有，
故答案为：．
17．(1)4台电机
(2)当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元.
【分析】（1）通过解不等式，计算即得结论；
（2）通过（1）可知当时企业亏损，通过配方可知亏损额，进而计算可得结论．
【详解】（1）解：依题意，，即，
整理得，解得或（舍，
企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；
（2）解：由（1）可知当时企业亏损，
亏损额，
当时，取最大值，
此时，
即当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
18．第一种，理由见解析
【分析】列出两种销售结果的收入，利用作差法比较即可.
【详解】第一种销售结果的收入为（元），
第二种销售结果的收入为（元），
则，
因为，，所以，即，
所以第一种销售结果，销售收入更好.
19．(1)名
(2)
【分析】（1）根据题意列出不等式，即可求解；
（2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得，即，
又因为，解得，
所以最多调整名员工从事第三产业.
（2）解：从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，
所以，
所以，即在上恒成立，
因为，
当且仅当时，即时等号成立，所以，
又因为，所以，即实数的取值范围是.
20．售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元
【分析】设售价定为元时，每天的销售利润为元，列出函数的解析式，利用二次函数的最值求解即可．
【详解】设售价定为元时，每天的销售利润为元，依题意，得:
当时，取得最大值，且最大值为．
即售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元
答案第1页，共2页
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