新人教A版必修第一册 第三章 函数概念与性质 单元测试（含解析）

第三章 函数概念与性质 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．3
2．若，且恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．函数在区间附近的图象大致形状是（　　　　）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，在定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．设是R上的偶函数，且在上单调递减，若且，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
6．已知函数是定义在实数集上的偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知函数的定义域为，求实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．若为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
E．
10．（多选）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图像关于对称 D．
11．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于x的最大整数，如，称函数叫做高斯函数．下列关于高斯函数的说法正确的有（ ）
A． B．若，则
C．函数的值域是 D．函数在上单调递增
12．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数在为增函数 B．若，则
C．函数为奇函数 D．函数在为减函数
三、填空题（20分）
13．已知函数为偶函数,且，若函数，则 .
14．已知函数，且，则a＝ ．
15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
16．定义在R上的函数满足当时， ， ．
四、解答题（70分）
17．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
18．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
19．某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润万元.现在从甲项目中调出人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润万元（），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高%.
(1)若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？
(2)在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.
20．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据分段函数的定义先计算，再计算．
【详解】由题意，．
故选：A．
2．B
【分析】转化为在恒成立，令，分、、讨论，再结合对称轴的位置和特殊点的函数值可得答案.
【详解】因为，所以，
即在恒成立，
令，
时，
由，方程无解；

由，解得由；

由，方程组无解；

时，只须即可，解得；

时，，时单调递减，，满足题意；
综上所述，.
故选：B.
3．B
【解析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论.
【详解】过点，可排除选项A，D.又，排除C.
故选:B
【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.
4．C
【解析】分析每个函数在定义域内是否是增函数和奇偶性，得到正确答案.
【详解】A. 在上是减函数，并且不是奇函数，故不正确；
B.在定义域上是增函数，但不是奇函数，故不正确；
C.在定义域上是增函数，并且满足，是奇函数，故正确；
D.在定义域不是增函数，是奇函数，故不正确.
故选：C
【点睛】本题考查根据函数的性质判断满足条件的函数解析式，意在考查灵活掌握函数性质，属于基础题型.
5．A
【分析】由已知结合函数的单调性得到，再结合函数的奇偶性可求解.
【详解】由，，得，又∵在上递减，
∴，是偶函数，，
∴.
故选：A.
6．C
【分析】由偶函数的性质即可对A，B，C，D四个选项逐一判断，即可得到答案．
【详解】函数是定义在实数集上的偶函数，
，
对于A，，都使，故A错误；
对于B，若，则不存在，，故B错误；
对于C，，，正确；
对于D，若，则不存在，，故D错误；
故选：C．
7．A
【详解】试题分析：在上恒成立，当不等式恒成立；当时满足
．综上，，故选A．
考点：函数的定义域；二次函数．
8．C
【分析】结合分段函数的性质，两段函数在对应定义域上分别单调递减，再控制衔接点处的大小关系，求解即可.
【详解】由题意，在单调递减，即；
在单调递减，函数为开口向上的二次函数，故对称轴，即；
又时，，，故，即；
综上：.
故选：C
9．CDE
【解析】当时，化简函数解析式，转化为一次函数、常数函数、反比例函数、二次函数，根据这些函数的单调性，即可得出结论.
【详解】在A中，当时，在上为减函数；
在B中，当时，在上既不是增函数，
也不是减函数；
在C中，当时，在上是增函数；
在D中，当时，在上是增函数；
在E中，当时，在上为增函数.
故选:CDE.
【点睛】本题考查一次函数，反比例函数和二次函数的单调性判断，属于基础题.
10．BCD
【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性，比较函数值大小.
【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
因为，，所以，D正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可.
【详解】解：对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确；
对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确；
对C，函数，当时，，故C错误；
对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
12．ABC
【分析】先求出，根据性质分别讨论选项ABC,对选项D，利用单调性的定义进行证明.
【详解】因为函数图象经过点，
所以，所以，所以.
对于A：因为，所以在为增函数.故A正确；
对于B：若，则.故B正确；
对于C：的定义域为R，所以，所以函数为奇函数.故C正确；
对于D：任取，且，
则.
因为，所以，所以，所以，所以.所以函数在为增函数.故D错误.
故选：ABC
13．2016
【分析】由偶函数的性质求解，
【详解】设则，
有，得，
故，
故答案为：2016
14．16
【分析】根据函数值列出方程求出自变量的值.
【详解】因为，，
所以，解得：a＝16．
故答案为：16
15．
【分析】根据求抽象函数的定义域步骤即可求解.
【详解】因为函数的定义域为，则，
所以，则有，解得：，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
16．338
【分析】确定函数是的周期函数，计算一个周期的函数值和为1，再计算得到答案.
【详解】故函数是的周期函数.
故
故答案为
【点睛】本题考查了周期函数的计算，确定一个周期的函数和值是解题的关键.
17．(1)该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元；
(2)该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
【分析】（1）由已知可得，根据二次函数的性质，即可得出答案；
（2），然后用基本不等式即可得出该式的最值.
【详解】（1）该单位每月的月处理成本：
，
因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而得当时，函数取得最小值，即.
所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.
（2）由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
当且仅当，即时，等号成立.
所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
18．(1)
(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
【分析】（1）每台售价200万，销售收入是，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；
（2）观察利润的函数解析式，发现对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润.
【详解】（1）当时，；
当时，，
.
（2）若，，当时，万元；
若，，
当且仅当时，即时，万元．
则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
19．(1)250
(2)
【分析】（1）根据已知条件列不等式，由此求得最多调出的人数；
（2）根据“甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润”列不等式，分离常数，根据函数的单调性求得的取值范围.
【详解】（1）设从甲项目调出人参加乙项目工作，
由题意得：，
即，又，所以.
即最多调出250人参加乙项目工作.
（2）由题知，
乙项目工作的工人创造的年总利润为万元，
甲项目余下工人创造的年总利润为万元，
则，
所以，
即恒成立，
因为，函数在上单调递减，
所以.
又，所以，
20．(1);
(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
答案第1页，共2页
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