新人教A版必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 单元测试（含解析）

第四章 指数函数与对数函数 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．函数的反函数是（　　）
A． B．
C． D．
2．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．.已知函数，当时，，若函数有唯一零点，则的取值范围
A． B． C． D．
7．已知函数的图象是连续的，根据如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
23 9 -7 11 -5 -12 -26
函数在区间上的零点至少有（ ）．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（ ）
A．11 B．7 C．0 D．6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．设，则下列四个等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列判断正确的是（ ）
A． B．，
C． D．
11．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题（20分）
13．下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的有 ．（填序号）
（1） （2） （3） （4）
14．设，其中a＞0且a≠1，若的值域为[1，+∞)，则实数a的取值范围是 .
15．已知，且在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
16．已知，，且，则的最大值为 .
四、解答题（70分）
17．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本(万元)与年产量(吨)之间的函数关系式近似地表示为.问：（1）每吨平均出厂价为16万元,年产量为多少吨时,可获得最大利润？并求出最大利润；
（2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本.
18．新能源汽车产业是战略性新兴产业，发展节能汽车是推动节能减排的有效举措，2020年徐州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3500万元，每生产x百辆新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求该企业2020年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本）
（2）该企业2020年产量为多少百辆时，所获利润最大？并求出最大利润．
19．年初 ，新冠肺炎疫情对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情．为降低疫情影响，我们一方面防止境外疫情输入、另一 方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某工厂生成某产品的年固定成本为万元，每生产件再需投入成本为万元，当年产量小于件时，（万元）；当年产量不小于件时，（万元）． 又已知每件产品的销售价为万元．通过市场分析，工厂每年生产的该产品能全部销售完．记该工厂在这一产品 的生产中所获年利润为万元．
(1)写出关于的函数关系式：
(2)求年利润的最大值及此时相应的年产量．
20．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利；
（2）若干年后有两种处理方案：①年平均利润最大时，以26万元出售该船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该船．问哪种方案更合算．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由反函数的性质运算即可得解.
【详解】因为，所以，，
因为，
所以，
所以函数的反函数是.
故选：C.
2．A
【分析】利用对数函数单调性以及作商法，可得答案.
【详解】由，则，，
由，且，
则，
由，则，故，，
由，，，则，
由，，，则，
综上可得.
故选：A
3．A
【分析】判定函数的奇偶性排除两个选项，再由特殊的函数值（的正负）排除一个选项，得正确结论．
【详解】的定义域是，
，为偶函数，排除CD，当时， ，排除B，选A.
故选：A．
4．C
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】∵f（x），
∴；
解得﹣1＜x＜0，或0＜x≤3，
∴f（x）的定义域是（﹣1，0）∪（0，3]．
故选C．
【点睛】本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，求出函数的定义域，是基础题．
5．D
【解析】根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
【详解】依题意有， ①
， ②
①②得，又因为，
所以，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选:D.
【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.
6．D
【详解】试题分析：根据题意，当时，，作出函数即函数的图像如图所示，
可知只有当时，函数与有唯一交点．故选D
考点：函数的零点
7．C
【分析】利用零点存在性定理即可求解.
【详解】函数的图象是连续的，；
；
，
所以在、，之间一定有零点，
即函数在区间上的零点至少有3个.
故选：C
8．B
【分析】直接利用分数指数幂的性质以及对数的性质求解即可
【详解】
故选:B
【点睛】本题主要考查分数指数幂的性质以及对数的性质，属于基础题.
9．ACD
【分析】根据指数与对数的关系可得，再利用换底公式、对数的运算法则以及指数幂的运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD
10．ABD
【解析】利用指、对数函数的单调性，计算法则，逐一分析选项即可得答案.
【详解】对于A选项：，所以，故A正确；
对于B选项：因为，所以，所以，故B正确；
对于C选项：因为在为增函数，所以，故C错误；
对于D选项：，所以，故D正确；
故选：ABD
11．AC
【分析】由指数式和对数式的运算规则，逐个判断选项.
【详解】，故选项正确；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
对于，故D选项错误.
故选：AC.
12．AB
【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项
【详解】①，正确；
②根据指数式和对数式的互化可知其正确；
③，错误；
④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误.
故选：AB
13．（1）
【分析】分析题目要求，可以把4个选项中的函数分别代入不等式分别验证是否成立即可得到答案．
【详解】解：在区间上的任意实数，分别验证下列4个函数．
对于（1），，（因为在区间上，故大于，故成立．
对于（2），，（因为故和大于0，故绝对值的差等于差的绝对值），故不成立．
对于（3），，取，．不成立．
对于（4），，，不成立．
故答案为：（1）
14．
【分析】利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解即可.
【详解】当时，，，
当时，，
若，则为减函数，又，的值域为，
所以，解得，故，
若，则为增函数，由的值域为，
当时，，即函数在区间上的值域为.
所以，解得，故.
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题.
15．
【分析】根据同增异减原理，分和两种情况讨论，同时考虑满足定义域，计算即可得解.
【详解】根据同增异减原理，
若，则为为减函数，
则函数在上为减函数，
有，无解，
若，则为增函数，
则函数在上为增函数，
有，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．
【分析】根据对数运算法则，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，，
所以，即，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
即的最大值为.
故答案为：
17．（1）(万元) ;
（2）时.
【分析】（1）先表示出利润的表达式，再利用二次函数求解最值；
（2）先求出平均成本的表达式，结合均值定理求解最值.
【详解】（1）年产量为吨时，年利润为万元，根据题意得：
当时，(万元) .
（2）年产量为吨时，年利润为万元，根据题意得：
.
在递减，在递增，
时
【点睛】本题主要考查均值定理在实际生活中的应用，合理准确的构建模型是求解这类问题的关键.
18．（1）；（2）年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.
【分析】（1）根据年利润=销售额投入的总成本固定成本，分和两种情况得到与的分段函数关系式；
（2）当时根据二次函数求最大值的方法来求的最大值，当时，利用基本不等式求的最大值，最后综合即可
【详解】解：（1）当时，
当时，
所以
（2）当时，，
当时，；
当时，，
(当且仅当，即时，“”成立)
因为，所以，当时，即年生产百辆时，
该企业获得利润最大，且最大利润为万元.
19．(1)；
(2)最大值是万元，年产量件.
【分析】（1）分、两种情况讨论，利用利润与销售收入与成本的关系可求得关于的函数关系式；
（2）分别利用二次函数的基本性质以及基本不等式可求得在、时的最大值，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：当时，，
当时，.
综上所述，.
（2）解：当时，，
当时，；
当时，，
当且仅当时，即当时，取等号，
综上所述: 年利润的最大值是万元，及此时相应的年产量件.
20．（1）三年（2）第一种方案更合算
【详解】解：由题意知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为f(n),则f(n)=50n-[12+16+……+(8+4n)]-98=40n-2n2-98
（1）由f(n)>0得 n2-20n+49<0 所以；
又因为n,所以n=3,4,5,……17.即从第三年开始获利.
（2）①年平均收入为=40-2.当且仅当n=7时，年平均收益最大.此时出售渔船总获利为（万元）；
②由f(n)=40n-2n2-98=-2（n-10）2+102可知当n=10时总收益最大.此时出售渔船总获利为102+8=110（万元）.但7<10.所以第一种方案更合算.
答案第1页，共2页
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