题目 《二元一次方程与一次函数》
教材解析 函数与方程都是人们刻画现实世界的重要数学模型，这节课不仅涉及函数与方程两大知识体系，而且在两大知识有机融合过程中很好地应用了数形结合的思想，这种渗透与融合可以较好地发展学生数学思维。学生在本章已经学习了二元一次方程（组）的概念及其解法，在第四章学习了一次函数及其图象，本节课是在学生对这两部分内容的基础上的进一步探索。也是为今后学习其他函数，方程与不等式等许多知识奠定基础 ，所以这一课时在初中数学所占地位极为重要。
教学目标 1.体会一次函数和二元一次方程的关系； 2.能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，发展几何直观； 3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法。
教学重点难点 重点： 二元一次方程和一次函数的关系，能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组。 难点： 数形结合和数学转化的思想意识。
预设过程 教学内容 师生活动 设计意图
第一环节 创设情境 呈现一幅图片，观察后，图像顺时针旋转90°，再观察。 学生观察后得到的结论引出：同一事物从不同的角度观察得到的结果不同。 通过设置问题情景，让学生初步体会角度不同，看到同一事物的结果不同。为后面新授课“方程与函数表示的关系一样，却是两个不同的知识体系，原因是角度不同”做好铺垫。
第二环节 启发探索 活动一、 探究二元一次方程与一次函数的关系 1.x+y=5是我们学过的什么知识？ 2.y=-x+5是什么？ 3.老师的数学兴趣小组里面有两个学生，小程对x+y=5进行了研究，发现有适合方程的解。它的解都有哪些？方程的解有多少个？ 4.小函对y=-x+5进行了研究，发现函数中的两个变量也有适合的有序数对。你能找到吗？ 函数有多少个这样的有序数对？ 5.我们来探究二元一次方程与一次函数的关系。想一想，它们两个之间存在怎样的联系？ 总结： x+y=5与y=-x+5表示的关系相同，可以互相转化。角度不同，同一个式子可以看作方程，也可以看作函数。二元一次方程的解和一次函数的有序数对是一一对应的关系。 练习一、 内容： 若方程x－y＝1有一个解为 则一次函数y＝x－1 的图像上必有点______________. 2.若一次函数y＝2x－4上有一点的坐标是（3，2）．则方程2x－y－4＝0必有一个解为_____________ . 活动二、 探索二元一次方程的解和相应的两条直线的关系1 内容：1．解方程组 2．上述方程移项变形为两个一次函数y=和，在直角坐标系中作一次函数y=2x-1的图象,观察函数y=2x-1和y=-x+5的图象有交点吗 由此得到本节课的第2个知识点：二元一次方程的解和相应的两条直线的关系1： 二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标是对应关系。 练习二、 内容： 1.若二元一次方程组 的解为 则一次函数y＝－x＋12与y＝－2x＋20的图象的交点坐标为_____________. 2.一次函数y=2x＋3和的图象交于点A(－3，－3)， 则方程组的解是_______________. 活动三、 探索二元一次方程的解和相应的两条直线的关系2 内容： 1．解方程组 2．上述方程移项变形为两个一次函数y=和,在直角坐标系中作出一次函数y=-x-1的图象，观察函数y=-x-1和y=-x+5的图像有怎样的位置关系？ 观察发现直线平行无交点、思考后发现方程组无解，从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成立。得出结论：方程组无解的几何意义是对应的两个一次函数的图像是平行的。 练习三、 内容： 若方程组 没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图象必定 ( ). 重合 B.平行 C.相交 D.无法判断 学生独立思考回答问题 （学生回答可能会让x=1、2、3等顺下去，要提示只有正数吗？只有整数吗？让解出现整数、分数、小数、正数、负数。提醒x取值的任意性，y是x确定后计算得出的。） （板书课题）。 教师巡视课堂，指导学生画y=-x+5的图像，并思考一次方程的解和一次函数图像上的点的对应的关系。 教师用GGB软件直观的呈现出此关系。 小组讨论，组织语言，得出结论。 独立思考，回答问题 1.学生猜想二元一次方程的解和相应的两条直线的关系。 2.解方程组，画函数图像，验证自己的猜想。 3.小组讨论，得出结论。 独立思考，回答问题 1.学生猜想二元一次方程的解和相应的两条直线的关系。 2.解方程组，画函数图像，验证自己的猜想。 3.小组讨论，得出结论。 独立思考，回答问题 由情景引入方程和函数的相关知识，使学生不抵触。后面才引入课题，设置一个悬念，抓住学生的好奇心。方程和函数、解和有序数对分别呈现在黑板上，左右对照。给学生明确的引导方向去思考方程与函数的关系。独立思考、小组讨论、教师帮助规范语言。再由GGB软件直观呈现解和图像上的点坐标的对应关系。使学生无论是感性还是理性都可以体会到二元一次方程的解和一次函数图像上的点的坐标是一一对应的关系。使学生初步体会“数”（二元一次方程组）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础。突出重点，并从中体会数学的转化思想和数形结合思想。 通过两个题目的练习，来巩固二元一次方程的解与一次函数点的坐标之间的关系。让学生体会数学可以由“数”解“形”，也可以由“形”解“数”。体会数形结合思想。 通过思考，初步猜想，再由学生自主计算、画图、验证猜想。培养了学生的变式能力。 通过两个题目的练习，来巩固二元一次方程的解与一次函数点的坐标之间的关系。让学生体会数学可以由“数”解“形”，也可以由“形”解“数”。体会数形结合思想。 通过思考，初步猜想，再由学生自主计算、画图、验证猜想。培养了学生的变式能力。 进一步揭示“数”与“形”转化关系．通过活动三，将两直线的另一种位置关系：平行与方程组无解相结合，这是对活动二的有益补充。体现了从一般到特殊的的思想方法，有利于培养学生全面考虑问题的习惯。 通过练习，来巩固二元一次方程组无解与相应两个一次函数平行之间的关系。
第三环节 课堂小结 关于本节课的学习，你获得的知识、方法和思想有什么呢？ 今天的学习对你后续的学习有什么借鉴呢？ 学生交流讨论，总结收获 学生分享收获与解题思路，提出疑惑。全班同学探讨交流。 小结既是回顾，也是提升，将学生置于“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”的小结氛围中，画龙点睛强化数学思想和核心素养。
预设过程 第四环节 当堂检测 内容：(1)如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？ (2)怎样求两条直线的交点坐标？ 学生独立思考，回答问题。教师进行点评、引导。 通过练习，及时检测学生对本节知识的掌握情况．
作业设计 基础题：习题5.7的1,2,3题 能力题：求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和x轴所围成的三角形的面积. 拓展题: 1.课本125页4题，课本134页20题。 2.思考：x+5=x+3无解的原因(至少说出两种)。
板书设计
方法与策略 创设情境：让学生初步体会角度不同，看到同一事物的结果不同。为新授课做铺垫，激发学习兴趣。 启发探究：教师问题串引导，学生思考发现结论，GGB软件展示验证结论。使学生无论是感性还是理性都可以体会“数”与“形”之间的关系。 尝试学习：猜想-验证-得出结论。 讲练结合：落到实处。 采用学生自主学习，小组合作，讨论交流，观察发现，归纳总结，师生互动，自主练习的学习方式。教师从旁引导，精讲多练，真正达到教学目标和攻克重难点。(共15张PPT)
第五章 二元一次方程组
5.6 二元一次方程与一次函数
北师大版八年级上册
1.x+y=5是什么？
活动一
5.我们来探究二元一次方程与一次函数的关系。想一想，它们两个之间存在怎样的联系？
2.y=-x+5是什么？
二元一次方程
一次函数
3.老师的数学兴趣小组里面有两个学生，小程对x+y=5进行了研究，发现有适合方程的解。它的解都有哪些？
4.小函对y=-x+5进行了研究，发现函数中的两个变量也有适合的有序数对。你能找到吗？
方程有多少个解？
函数有多少个这样的有序数对？
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.
你发现了什么？说说看
二元一次方程与一次函数的关系：
一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解.
思考： 以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象是什么样子的？
小结一
二元一次方程的（ )
相应一次函数图象的（ )
一 一 对应
解
点的坐标
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。
1．若方程x－y＝1有一个解为
则一次函数y＝x－1的图象上必有点 .
x＝2，
y＝1．
2．若一次函数y＝2x－4上有一点的坐标是（3，2）．
则方程2x－y－4＝0必有一个解为 .
练习一
（2, 1）
x＝3，
y＝2．
1．解方程组
2. 上述方程移项变形为两个一次函数y=-x+5和y=2x-1，在同一直角坐标系中作一次函数y=-x+5和y=2x-1的图象,观察函数y=-x+5和y=2x-1的图象有交点吗
活动二
图象的交点坐标是（2，3）
x=2；
y=3。
｛
方程组的解是
二元一次
方程组的（ ）
相应两个一次函数图象的（ ）
二元一次方程组与一次函数的关系1：
对应
小结二
解
交点坐标
1．若二元一次方程组 的解为 则一次函数y＝－x＋12与y＝－2x＋20的图象的交点坐标为 .
x＋y＝12，
2x＋y＝20
x＝8，
y＝4,
练习二
2．一次函数y=2x＋3和y= x- 的图象交于点A(－3，－3)，
则方程组 的解是 .
2x－y＋3＝0，
x－y－ ＝0
（8, 4）
x=－3，
y=－3．
1.在同一直角坐标系中，一次函数y=-x+5和y=-x-1的图象有什么样的位置关系
2.方程组 的解的情况如何？
活动三
你发现了什么？
此方程组无解
1
y
0
x
4
6
5
3
2
1
2
3
5
-1
-2
6
4
7
-1
-2
-3
两直线平行
y=-x+5
y=-x-1
二元一次
方程组无解
相应的两个一次函数的图象（ ）
对应
小结三
二元一次方程组与一次函数的关系2：
平行
若方程组 没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图象必定 ( ).
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断
B
练习三
课堂小结
关于本节课的学习，你获得的知识、方法和思想有什么呢？
今天的学习对你后续的学习有什么借鉴呢？
1.如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
x
y
0
课堂检测
怎样求两条直线的交点坐标？
3.已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为（1,a），试确定方程组 的解和a,b的值。
课堂检测
y
O
x
3
2
P
基础题：习题5.7的1,3题
能力题：求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和x轴所围成的三角形的面积.
拓展题:1.课本125页4题，课本134页20题。
2.思考：x+5=x+3无解的原因(至少说出两种)。
作业
