新人教A版必修第二册 第六章 平面向量及其应用 单元测试（含解析）

第六章 平面向量及其应用 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．P是所在平面内一点，D为BC的中点，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．的内角所对的边分别为.已知，则的面积的最大值（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．如图，在中，是边上的中线，是上的一点，且，连接并延长交于，则等于( )
A． B．
C． D．
5．已知向量，且与的夹角，则（ ）
A． B．13 C． D．10
6．设向量满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）
A．若向量，向量，(xy≠0)，则
B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是.
C．中，和的夹角等于
D．点G是的重心，则
8．已知，，则把向量按向量平移后得到的向量是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知对任意平面向量，把绕其起点沿顺时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点.已知平面内为坐标原点，点，点，，且.若点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．
10．已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与向量平行的单位向量是 D．向量在向量上的投影向量为
12．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与夹角的余弦值为 B．在上的投影向量为
C．若与的夹角为钝角，则 D．若与的夹角为锐角，则
三、填空题（20分）
13．已知向量，且，则 .
14．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知内接于单位圆，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，.若，则的面积最大值为 .
15．已知，与的夹角为.若为钝角，则k的取值范围是 .
16．如图，在中，，，若，则 .
四、解答题（70分）
17．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且，，米，如图所示：
(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；
(2)若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球．已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段上的点处截住足球，求此时线段的长．
18．微型无人机航空摄影测量系统具有运行成本低、执行任务灵活等优点，正逐渐成为航空摄影测量系统的有益补充.为了测量一高层地标建筑AB的高度，无人机在空中适当高度的水平平面DEC内测得相关数据如下：在D位置测得顶端A的仰角和底端B的俯角分别为、，建筑上的点C的方位角为；在E位置测得A的仰角和B的俯角分别为、，建筑上的点C的方位角为.D、E间相距220米.求建筑AB的高度.
（说明：本题中将建筑AB看作与地面所在水平平面垂直于底端B的线段.方位角是水平面内从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的角.）
19．如图，公园有一块边长为2的等边的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设（），，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由．
20．某赛事公路自行车比赛赛道平面设计图为五边形（如图所示），为赛道，根据比赛需要，在赛道设计时需设计两条服务通道（不考虑宽度），现测得：，，千米，千米．
(1)求服务通道的长；
(2)如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大？并求出最大值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【详解】结合题干条件，可转化为，两边平方化简可得，分析即得解
【分析】由，D为BC的中点
可得，
即，
将两边平方，得
化简得，
∴与的夹角为，
故选：C．
2．C
【分析】由投影向量的公式，代入计算即可．
【详解】向量在向量上的投影向量为：，
故选：C．
3．B
【分析】利用余弦定理求出和，利用面积公式和基本不等式求出的面积的最大值.
【详解】在中，由余弦定理，可化为.
因为,所以.
由余弦定理，可化为：，解得：（a=0舍去）.
因为，所以，即（当且仅当时取等号）.
所以的面积.
故选：B
4．D
【分析】本题利用基底法，设，，运用向量基本定理和共线定理解出比值即可.
【详解】设，，，
，
.
，，.
故选：D.
5．A
【分析】求出，再利用向量的模的公式求解.
【详解】解：由题得，
所以．
故选：A
6．B
【解析】两边平方，得出关于的二次函数，从而得出最小值.
【详解】解：
∴当时，取得最小值.
故选：B.
【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.
7．D
【分析】A. 利用平面向量的数量积运算判断B.利用平面向量几何意义结合运算判断；C. 利用平面向量的夹角定义判断；D.根据G是的重心，则判断.
【详解】A. 因为，所以，故正确；
B.平行.若四边形ABCD是菱形则，即，
若，则，平行四边形ABCD是菱形，故正确；
C. 由平面向量的夹角定义知， 和的夹角等于，故正确；
D. 如图：设G是的重心，则，
即，故错误；
故选：D
【点睛】平面向量的数量积运算，加法运算的几何意义，还考查数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
8．C
【解析】根据向量平移时不改变大小和方向，得出平移后的向量与向量相等，进而可得出结果.
【详解】当向量平移（起点和终点同时平移）时，不改变向量的大小和方向，所以所求的向量就是.
故选：C.
【点睛】本题考查向量平移的应用，考查向量坐标的计算，考查计算能力，属于基础题.
9．ABD
【分析】根据已知信息求出t，即得点B的坐标，再用给定的定义逐项计算判断作答.
【详解】由点，，，得，解得或，
，当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，因此，，，C错误；
，于是点，A正确；
，B正确；
，D正确.
故选：ABD
10．AB
【分析】在△ABD中，根据AE是中线可得，再根据D是AC中点即可表示出，从而判断A；设，得到，根据，，三点在一条直线上及三点共线定理的推论可得k的值，从而可判断B；用表示出，根据向量数量积运算方法即可计算，从而判断C；根据E是BD中点及D是AC中点可得，，从而可判断D．
【详解】如图，

，故A正确；
设，则，
又，，三点在一条直线上，故，故，
即，，
故，故B正确；
，故，故C错误；
，
，
故，故D错误.
故选：AB.
11．AD
【分析】利用向量的坐标表示逐一判断即可.
【详解】选项A：，，所以，A正确；
选项B：，所以，B错误；
选项C：，所以与向量平行的单位向量是或，C错误；
选项D：向量在向量上的投影向量为，D正确；
故选：AD
12．ABD
【分析】已知向量 的坐标表示，由向量的投影向量以及数量积公式可分别判断各选项，从而得出结论.
【详解】与夹角的余弦值为，A正确.
在上的投影向量为，B正确.
若与的夹角为钝角，则得，且，C错误.
若与的夹角为锐角，则得，D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】由垂直向量的坐标表示列出方程求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示，属于基础题.
14．
【分析】设，求出，从而可得，在中，设，由正弦定理用表示出，这样就表示为的函数，然后由降幂公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值，从而得面积最大值．
【详解】解：设，由题意以边向外作等边三角形，其外接圆圆心分别为，
连接并延长分别交于，
则，同理，
都是等边三角形，则，又，则，所以，
是正三角形，所以其面积为，
内接于单位圆，即其外接圆半径为，则，同理，设，则，
，
，，
所以当时，取得最大值，
所以的面积最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数在几何中的应用，解题关键是设设，用表示出（说明即可得），等边面积就可能用表示，然后用正弦定理把用角表示，利用三角函数的恒等变换及正弦函数性质求得最大值．
15．
【分析】根据给定条件，利用夹角公式结合余弦值为负建立不等式，再利用向量不共线求解作答.
【详解】因为与的夹角为钝角，则有且与不共线，
即，解得，当与共线时，，则由与不共线，得，
所以k的取值范围是.
故答案为：
16．
【分析】根据平面向量基本定理，结合向量加法、减法法则，将向量、作为基向量,把向量表示出来，即可求出.
【详解】
即：
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用问题，解题时根据向量加法与减法法则将所求向量用题目选定的基向量表示出来，是基础题目.
17．(1)米
(2)7米
【分析】（1）直接由正弦定理即可得结果；
（2）设米，由题意米，利用余弦定求解即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
即，米.
故1号机器人和2号机器人之间的距离为米.
（2）如图，
设米．由题意，米．米.
在中，由余弦定理得，
整理得．解得，．
所以米，或米（不合题意，舍去）
所以线段的长为7米．
18．
【分析】在中利用余弦定理可求得，在中可求得，由此可求得结果.
【详解】由平面知：，
在，中，，，
，，
在中，，
由余弦定理得：，
化简得：，，
在中，，
则，即，
.
即建筑的高度为.
19．（1）；（2）DE为AB中线或AC中线，理由见解析．
【分析】（1）在中，利用余弦定理有，依题意，即，，由此求得；（2）如果DE是水管，利用基本不等式可求得最小值为，此时，即，且时，DE最短．如果DE是参观线路，注意到在时值相等，根据对钩函数的性质可知最大值为.
【详解】（1）在中，，即，①
又，即，所以，②
②代入①得：（），所以（）．
（2）如果DE是水管，，
当且仅当，即时“=”成立，故，
即，且时，最短；
如果是参观线路，记，由对勾函数的性质可知：函数在上递减，在上递增，
故，所以.
即DE为中线或中线时，DE最长．
20．(1)千米
(2)当时，折线赛道长度最大，最大值千米
【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得；
（2）方法一：在中，利用余弦定理构造方程，结合基本不等式可求得的最大值，由此可得结果；
方法二：在中，设，，，利用正弦定理可表示出，利用三角恒等变换知识化简为关于的正弦型函数的形式，利用正弦型函数的最大值可求得结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：；
在中，由余弦定理得：，
即，解得：，
服务通道的长为千米．
（2）方法一：在中，由余弦定理得：，
即，；
（当且仅当时取等号），
，即，
（当且仅当时取等号），
当时，折线赛道的长度最大，最大值千米．
方法二：在中，设，，，
，，，
，
，，
当，即时，取得最大值，此时，
时，折线赛道的长度最大值为千米．
答案第1页，共2页
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