新人教A版必修第二册 第十章 概率 单元测试（含解析）

第十章 概率 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来广州旅游的概率分别是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来广州旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一 周三 周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是

A．0．729 B．0．8829 C．0．864 D．0．9891
4．从A，B，C，D，E这五个景点中选择两个景点游玩，则A，B景点都没被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子为1的分数，因此这种分子为1的分数往往被称为埃及分数，现有5个埃及分数，，，，，，从中随机抽取2个进行加法运算，则所得结果超过这5个埃及分数中最大数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是
A． B． C． D．
7．如果事件A与B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
8．甲、乙、丙、丁四人到电影院看电影，只剩下编号为1，2，3的三个座位，于是四人抽签决定谁坐几号座位（抽到空签的人离开），则甲抽到2号座位的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．甲、乙两位同学从这4种课外读物中各自选读2种，设事件“甲、乙两人所选的课外读物恰有1种相同”，事件“甲、乙两人所选的课外读物完全不同”，事件“甲、乙两人均未选择课外读物”，则（ ）
A．与互斥 B． C．与互斥 D．与相互独立
10．如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（ ）
A． B．
C．事件与互斥 D．事件与相互独立
11．已知一个盒子中装有10个乒乓球，其中有7个新球，3个旧球（使用过的球都称旧球）.在第一次比赛时任意抽取出2个使用，比赛后放回原盒；在第二次比赛时同样任意取出2个球使用.记为第一次取出的2个球中恰有i个新球（，1，2），B为第二次取出的球均为新球.则下列结论中正确的有（ ）
A．事件，，两两互斥 B．
C． D．事件B与事件相互独立
12．已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号相同”，事件B＝“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C＝“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（ ）.
A．事件A与事件B是互斥事件
B．事件A与事件B是对立事件
C．
D．
三、填空题（20分）
13．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为 ．
14．小明同时掷3个骰子，在掷完后，小明有一次重掷的机会，即可以选择三个骰子中的任意多个进行重掷（可以是0个），并保留剩下骰子的点数，若最后点数之和为7则取得胜利．为了取得胜利，则小明会选择2个骰子进行重掷的概率为 ．
15．一个袋子中有4个红球，6个绿球，从中随机地取出1个球，则取到红球的概率是 ．
16．在100件产品中，有93件一级品，7件二级品，则下列事件：
①在这100件产品中任意选出8件，全部是一级品．
②在这100件产品中任意选出8件，全部是二级品．
③在这100件产品中任意选出8件，不全是二级品．
④在这100件产品中任意选出8件，其中不是一级品的件数小于8．
其中 是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件．（填序号）
四、应用题
17．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求；
(2)求事件“且甲获胜”的概率．
18．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛,约定:随机选择两人打第一局,获胜者与第三人进行下一局的比赛,先获胜两局者为优胜者,比赛结束.已知每局比赛均无平局,且甲赢乙的概率为,甲赢丙的概率为,乙赢丙的概率为.
(1)若甲、乙两人打第一局,求丙成为优胜者的概率;
(2)求恰好打完2局结束比赛的概率.
19．企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元．
收入（千万元）
频率 0.3 0.5 0.12 0.06 0.02
（1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量；
（2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量；
注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税．
20．年月至月百货公司某商品的销量（万件）与利润（万元）的统计数据如下表：
月份
销量（万件）
利润（万元）
（1）从这个月中任选两个月，记利润分别为万元，万元，求事件“、都小于”的概率；
（2）从这个月中任选两个月，若选取的是月和月这两组数据，请根据这个月中另月的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过万元，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）所得到的线性回归方程是否可靠？
参考公式：，.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来广州旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可.
【详解】依题意，3人中没有人来广州旅游的概率为，
所以这段时间内至少有1人来广州旅游的概率为：.
故选：D
2．A
【分析】由题意得7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的6节课中的两节课，由此能求出7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率．
【详解】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率.
故选：A.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．B
【详解】试题分析：电流能通过的概率为，电流能通过的概率为，故电流不能通过也不能通过的概率为，所以电流能通过系统的概率为，而电流能通过的概率为，所以电流能在之间通过的概率为，故选B．
考点：相互独立事件的概率乘法公式．
【方法点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式．所求事件的概率与它的对立事件之间概率的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．求出电流不能通过也不能通过的概率，用减去此概率即得到电流能通过系统的概率，再根据电流能通过的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求得电流在之间通过的概率．
4．D
【分析】根据古典概型的概率公式，采用列举法，可得答案.
【详解】从A，B，C，D，E这五个景点中选择两个游玩，不同的情况有，，，，，，，，，，共10种，其中A，B景点都没被选中的情况有，，，共3种，故所求概率.
故选：D.
5．A
【分析】利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件所包含基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解
【详解】解：依题意可得，则随机抽取2个的所有情况有，共10种；
其中两数之和超过的情况有 ，共5种；
故所求概率为，
故选：A．
6．B
【详解】,故选B.
7．C
【解析】根据互斥事件概率的加法公式即可求解.
【详解】因为事件A与B是互斥事件，所以，
又因为，所以.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件概率加法公式的应用，属于简单题目.
8．C
【分析】根据题意列出样本空间即可求解.
【详解】设用表示获得编号为1，2，3签号的人分别为，第四个人抽到空签，
对甲、乙、丙、丁四人编号为，
则样本空间为
，
共24个，甲抽到2号座位的有6个，
所以甲抽到2号座位的概率为，
故选:C.
9．ACD
【分析】根据互斥事件和独立事件的定义求解，利用古典概率可求.
【详解】因为“甲、乙两人所选的课外读物恰有1种相同”与“甲、乙两人所选的课外读物完全不同”不能同时发生，所以与互斥，A正确.
，B不正确.
“甲、乙两人所选的课外读物完全不同”与“甲、乙两人均未选择课外读物”不能同时发生，所以与互斥，C正确.
， ，因为，所以与相互独立，D正确.
故选：ACD.
10．AD
【分析】依题意，计算出与，从而求得对应概率即可判断AB；由判断C；分别计算的值，从而判断D.
【详解】对于A，由，得，
则，所以，故A正确；
对于B，，
所以，故B错误；
对于C，与不互斥，故C错误；
对于D，，
，事件A与相互独立，故D正确.
故选：AD.
11．ABC
【分析】根据互斥事件的定义判断A选项；由已知求得，，由条件概率公式计算，判断B选项；由计算判断C选项；由，判断D选项.
【详解】解：根据互斥事件的定义，得事件，，两两互斥，故A正确；
由，，则，故B正确；
由，得，故C正确；
由，得事件B与事件相互不独立，故D错误.
故选：ABC.
12．AC
【分析】首先分别列举三个时间包含的样本点，再结合互斥，对立时间的定义，以及选项，即可判断选项.
【详解】事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个；
事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个；
事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个.
从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件.
因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；
因为，，，所以B错误；
因为事件的所有基本事件共有12个，所以，
所以，故C正确；
因为事件的所有基本事件共有6个，所以，
所以，故D错误.
故选：AC
13．
【分析】先求出基本事件总数，再求出两个数和为偶数包含基本事件个数，最后根据古典概型概率计算公式得概率．
【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
基本事件总数n==6，
两个数和为偶数包含基本事件个数m==2，
∴这两个数和为偶数的概率
故答案为．
14．
【分析】首先分析出小明选择重新投掷骰子的逻辑，投掷后，若点数和不为7，当3个骰子中，有2枚骰子的点数和小于7，则选择1个骰子进行重新投掷；当3个骰子中，任意2枚骰子的点数和大于6，则选择2枚或者3枚进行重掷，分析概率得投掷2枚骰子点数和为4，5或6的概率大于重新投掷3枚骰子使得点数和为7的概率，即可得出选择2个骰子重掷的种数，从而得出概率．
【详解】三枚骰子和为7的情况共有15种，
投掷1枚骰子得到指定点数的概率为：，
投掷3枚骰子得到点数和为7的概率为：，
抛掷2枚骰子，只需要2枚骰子的点数和为2,3,4,5,6，
则投掷2枚骰子得到的点数和与概率如下表：
表1
抛掷2枚骰子的点数和 点数和情况 出现概率
2
3
4
5
6
可知，抛掷2枚骰子得到指定点数和的概率小于抛掷1枚骰子得到指定点数的概率，
且抛掷3枚骰子得到指定点数和7的概率小于抛掷1枚骰子得到指定点数的概率，
故小明会优先选择重新投掷1枚骰子从而使得3枚骰子的点数和为7，
则小明在抛掷后，出现的点数和不为7，且有2枚骰子的点数和小于7，会选择重新抛掷1枚骰子的情况如下表：
表2
第一枚点数 第二枚点数 第三枚点数 情况种数
1 1 1,2,3,4,6 30
2 1,2,3,5,6
3 1,2,4,5,6
4 1,3,4,5,6
5 2,3,4,5,6
6 1,2,3,4,5
2 1 1,2,3,5,6 28
2 1,2,4,5,6
3 1,3,4,5,6
4 2,3,4,5,6
5 1,2,3,4
6 1,2,3,4
3 1 1,2,4,5,6 24
2 1,3,4,5,6
3 2,3,4,5,6
4 1,2,3
5 1,2,3
6 1,2,3
4 1 1，3,4,5,6 19
2 2,3,4,5,6
3 1,2,3
4 1,2
5 1,2
6 1,2
5 1 2,3,4,5,6 16
2 1,2,3,4
3 1,2,3
4 1,2
5 1
6 1
6 1 1,2,3,4,5 15
2 1,2,3,4,
3 1,2,3
4 1,2
5 1
共132种情况；
当抛掷的3枚骰子中，出现的点数和不为7，任意2枚之和都大于6时，选择重新投掷2枚或3枚骰子，所有情况如下表：
表3
第一枚点数 第二枚点数 第三枚点数 情况种数
6 6 6,5,4,3,2,1 21
5 6,5,4,3,2
4 6,5,4,3
3 6,5,4
2 6,5
1 6
5 6 6,5,4,3,2 19
5 6,5,4,3,2
4 6,5,4,3
3 6,5,4
2 6,5
4 6 6,5，4,3 15
5 6,5，4,3
4 6,5，4,3
3 6,5，4
3 6 6,5,4 9
5 6,5,4
4 6,5,4
2 6 6,5 4
5 6,5
1 6 6 1
由表1可知，选择重新投掷2枚骰子出现点数和为4，5或6的概率大于重新投掷3枚骰子使得点数和为7的概率，
故当3枚骰子中出现点数3，2或1，且任意2枚骰子的点数和大于6时，选择重新投2枚骰子，
由表3可知，共有42种情况符合条件，
所以小明会选择2个骰子进行重掷的概率为：，
故答案为：．
【点睛】方法点睛：利用古典概型求概率的方法及注意点
（1）用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，再利用公式求解，列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．
（2）事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少．
15．/0.4
【分析】根据古典概型公式求解即可.
【详解】由题，4个红球，6个绿球，则共有10个球，
则随机取一个球，是红球的概率为，
故答案为：
16． ③④ ② ①
【分析】根据二级品的件数，结合必然事件和随机事件以及不可能事件的概念，即可判断答案.
【详解】100件产品中，7件是二级品，现从中任意选出8件，当然不可能全是二级品，故②是不可能事件；
一级品至少有1件，最多就是8件，不是一级品的件数最多为7，小于8，故①是随机事件，
③④是必然事件；
故答案为：③④；②；①
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【详解】（1）就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此.
（2）“且甲获胜”，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得分，后两球均为甲得分．
因此事件“X＝4且甲获胜”的概率为：.
18．(1)
(2)
【分析】(1)根据题意分析丙成为优胜者的情况,根据独立事件的概率公式计算即可;
(2)分析三人比赛时,第一场上场的情况,再根据各种情况分析打完2局结束比赛的事件,根据独立事件的概率公式计算结果.
【详解】（1）解:由题知,根据约定,
丙成为优胜者的情形为:甲赢,丙赢,丙赢,
或乙赢,丙赢,丙赢,两种情况,
当甲赢,丙赢,丙赢时,概率,
当乙赢,丙赢,丙赢时,概率,
故丙成为优胜者的概率;
（2）若甲乙先比赛,
则甲乙能先比赛的概率为,
此时2局结束比赛的情形分为:
①甲赢,甲赢;
②乙赢,乙赢,
故;
若甲丙先比赛,
则甲丙能先比赛的概率为,
此时2局结束比赛情形分为:
①甲赢,甲赢;
②丙赢,丙赢,
故;
若乙丙先比赛,
则乙丙能先比赛的概率为,
此时2局结束比赛的情形分为:
①乙赢,乙赢;
②丙赢,丙赢,
故.
故恰好打完2局结束比赛的概率.
19．（1）4000；（2）（亿元），600.
【分析】（1）先根据表格计算收入大于等于4千万元的频率，再计算企业的数量即可；
（2）利用平均数的计算公式求出该企业去年的平均收入，先计算未逃税的企业数量，从而求出该地区逃税的企业数量.
【详解】（1）去年收入大于等于4千万元的频率为，
所以估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量为．
（2）该地区企业去年的平均收入的估计值为（千万元）．
平均缴税额为（千万元）（亿元），
所以未逃税的企业数量为，
因此逃税的企业数量为．
20．（1）；（2）；（3）（2）中所得的线性回归方程是可靠的.
【分析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“、都小于”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）计算出月、月、月这个月数据的、的值，将这个月的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程；
（3）将月、月的数据代入回归直线方程，结合题意验证即可得出结论.
【详解】（1）从这个月中任选个月所有的基本事件为、、、、、、、、、，共个.
设事件“、都小于”为事件，则事件包含的基本事件为、、，共个，
所以，；
（2）由已知表格得，月、月、月这个月的有关数据：
，，，，
所以，，，
，，
关于的线性回归方程为：；
（3）依题意得当时，，，
当时，，，
所以（2）中所得的线性回归方程是可靠的.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页