新人教A版选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试（含解析）

第一章 空间向量与立体几何 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C． D．与相交但不垂直
2．如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．设抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，点P(2,2).已知以点F,P为焦点的椭圆C2与抛物线C1有公共点，则该椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．设，向量，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是棱长为的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，为棱上的一动点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．
D．异面直线与所成角的余弦值为
10．已知空间四点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面
11．在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与平面所成的角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
12．如图，棱长为的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）

A．当时，平面
B．当时，若平面，则的最大值为
C．当时，若，则点的轨迹长度为
D．过、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
三、填空题（20分）
13．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 .

14．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为 .
15．如下图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则的长为 .
16．在△OAC中，B为AC的中点，若，则x- y = ．
四、解答题（70分）
17．如图，且且且平面．
(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的正弦值；
(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求点到平面的距离．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的位置关系可判断直线与平面的位置关系可得.
【详解】因为且
所以与不平行，也不垂直，
所以与相交但不垂直.
故选：D
2．B
【分析】先将写为,再根据平面向量基本定理,将写为,代入中,利用向量的加减,化为的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.
【详解】由题知，
四点共面,
根据平面向量基本定理,
不妨设,，
则
,
，
,
.
故选:B
3．C
【分析】根据向量共线和垂直的知识确定正确选项.
【详解】依题意，，.
故选：C
4．A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值，从而求得所求.
【详解】根据题意易知两两相互垂直，
由此以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则
故，，
设所成角为，，
则，
所以，即与所成角的正弦值是.
故选：A
5．C
【分析】求出椭圆长轴长的最小值，利用离心率定义可得解.
【详解】由题意，抛物线方程为，准线方程为，椭圆焦距，
由抛物线的定义可得抛物线上的点到的距离和的最小值为点到抛物线准线的距离，即椭圆长轴的最小值为，所以椭圆的离心率的最大值为.
故选：C.
6．B
【分析】根据向量垂直，结合数量积公式，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，解得.
故选：B
7．D
【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量线性运算可求得，根据向量夹角公式可得，进而求得，由可求得结果.
【详解】以A为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，
，
且为锐角，，
点到的距离.
故选：D.
8．D
【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.
故选：D
9．ABD
【分析】根据图形特点取的中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的线线关系计算可判断A,C,D选项；利用线面关系及三棱锥体积即可判断B选项.
【详解】解：直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，取的中点为，
由于，所以，如图以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设,，则，所以
则，又，所以，所以，
对于A，，设，
则，所以，则，故A正确；
对于B，因为，分别为，的中点，所以，又，则
又平面，平面，所以平面，故到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，由A选项得，，
所以，故C不正确；
对于D，由于，所以，所以，
故异面直线与所成角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
10．ABC
【解析】计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D．
【详解】，
，A正确；
，B正确；
，，所以，，所以点O到直线的距离为，C正确；
，
假设若O，A，B，C四点共面，则共面，设，
则，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错．
故选：ABC．
11．AC
【分析】设，则，由余弦定理求出的长，可得，由底面可得，由线面垂直的判断定理和性质定理即可判断选项A；计算即可判断选项B；计算即可判断选项C；建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，面的一个法向量，计算再结合图形可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】设，则，
对于选项A：在中，由余弦定理可得：
，所以，
所以，所以，因为底面，面，
所以，因为，所以面，因为面，所以，故选项A正确；
对于选项B：因为底面，所以即为与平面所成的角，
在中，，所以，故选项B不正确；
对于选项C：因为为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成角，在中，，，所以，
所以，故选项C正确；
对于选项D：如图建立空间直角坐标系：则，，，
，
可得，，，
设面的一个法向量，
由，令，则，，所以，
设面的一个法向量，
由，，令，，所以，
所以，
由图知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为，故选项D不正确，
故选：AC.
12．AC
【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；分别取、中点、，连接、、、、，找出点的轨迹，结合图形求出的最大值，可判断B选项；作出截面，分析截面的形状，可判断D选项.
【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、，、、，
对于A选项，当时，
，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，则，
因为平面，故当时，平面，A对；
对于B选项，当时，为中点，

分别取、中点、，连接、、、、，
因为、分别为、的中点，所以，，
又因为且，所以，四边形为平行四边形，则，
所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为且，、分别为、的中点，
所以，且，所以，四边形为平行四边形，可得且，
又因为且，所以，且，
故四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，则平面，
因为，、平面平面，
当点为的边上一点（异于点）时，则平面，则平面，
故点的轨迹为的边（除去点），
因为，同理可得，
结合图形可得，B错；
当时，、分别为、的中点，如下图所示：

此时点、、，，
当点在平面内运动时，设点，其中，，
则，
因为，则，解得，
设点的轨迹分别交棱、于点、，则、，
当点在平面内运动时，设点，其中，，
，则，
设点的轨迹交棱于点，则，设点的轨迹交棱于点，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，同理可得，
所以，四边形为平行四边形，且，，
因此，点的轨迹的长度即为平行四边形的周长，C对；
对于D选项，设截面交棱于点，连接、，

题意可知，截面与平面重合，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，同理可得，
所以，四边形为平行四边形，
易知，其中，所以，，，
所以，，故与不可能垂直，
故平行四边形不可能为矩形，故过、、三点的截面不可能是矩形，D错.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：利用平面的性质确定截面形状的依据如下：
（1）平面的四个公理及推论; .
（2）直线与平面平行的判定与性质;
（3）两个平面平行的性质.
13．
【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解.
【详解】解：

如上图，取的中点为.连接 、、.
∵，点是的中点，∴.
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴ 平面.又∵平面∴.
又∵底面是矩形，、是、中点，∴.
∴以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系如图所示，由，，，
得，.
∴，，，则，，
设，则，，
，
∵，
∴向量的单位方向向量，
则，
因此点到直线的距离，
当时，取最小值，
∴线段上的动点到直线的距离的最小值为.
故答案为：.
【点睛】向量法求点到直线距离的步骤：
1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量.
2.在直线上任取一点（可选择特殊便于计算的点），计算点与直线外的点的方向向量点.
3.点到直线的距离.
14．
【分析】把三个向量看作是基向量，由向量的线性运算将用三个基向量表示出来，由此能求出结果.
【详解】解：由题意三棱柱中， 分别是B 上的点，
且，，
则
，
，
.
故答案为：.
15．
【分析】采用向量法，将用表示，计算，然后根据所给长度与数量积公式，可得结果.
【详解】由
所以 ①
由
所以
①化简可得
又二面角的平面角为60°，所以
与的夹角为，所以
所以
所以的长为
故答案为：
【点睛】本题考查立体几何中利用向量的方法求解长度，灵活转换思路，学会知识的交叉，属中档题.
16．
【分析】利用三角形的中线对应的向量等于两邻边对应向量和的一半，将等式变形表示出，与已知等式结合，利用平面向量的基本定理，列出方程，求出x，y，求出x﹣y．
【详解】∵B为AC的中点，OB为三角形的中线
∴
∵
∴x=﹣1，y=2 故x﹣y=﹣3
故答案为﹣3．
【点睛】本题考查三角形中中线对应的向量等于两邻边对应向量和的一半和平面向量基本定理的应用．
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）取GD中点为Q，连接NQ，MQ，通过证明平面平面，可得平面；（2）如图，建立以D为原点的空间直角坐标系，分别求出平面和平面夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设，直线与平面所成的角为可得点P坐标，可得点到平面的距离.
【详解】（1）取GD中点为Q，连接NQ，MQ.
因为的中点，为的中点，Q为GD中点，
由三角形及梯形中位线定理，可得.
又注意到，平面EDC，平面EDC，
平面MNQ，，则平面平面.
又平面MQN，则平面.
（2）因平面ABCD，平面ABCD，
则，又，则如图建立以D为原点的空间坐标系.
则.
.
设平面和平面的法向量分别为.
则，取；
，取.
设平面和平面夹角为，则.
则平面和平面夹角的正弦值为.
（3）由（2），设，其中，则
又由题可得，平面的一个法向量可取.
结合直线与平面所成的角为，
则.
则，.
设平面法向量为，则.
取，则点到平面的距离.
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