新人教A版选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 单元测试（含解析）
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| 名称 | 新人教A版选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 673.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-07 11:31:33 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l1的斜率为2，直线l2经过点，且l1∥l2，则＝（ ）
A．3 B． C．2 D．
2．直线与直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．“直线与直线相互平行”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．若直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，l2过点（4，6），则l2还过下列各点中的
A．(1,8) B．(-2,0) C．(9,2) D．(0,-8)
5．直线2x-y+3=0与圆C：x2+(y-1)2=5的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
6．过点引圆：的切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知直线：与圆交于两点，则使弦长为整数的直线共有（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
8．已知两点，以及圆：，若圆上存在点，满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ）
A．直线恒过点
B．直线的方向向量为，则
C．若，则
D．若，则
10．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆
B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为
D．当时，表示的圆与轴相切
11．已知圆C1：（x＋6）2＋（y－5）2＝4，圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．15
12．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围为
B．“c=5”是“点(2，1)到直线距离为3”的充要条件
C．直线l：恒过定点(3，0)
D．直线与直线平行，且与圆相切
三、填空题（20分）
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0).若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为 .
14．已知的顶点，AC边上的高BC所在的直线方程为，则顶点C的坐标为 .
15．求直线和直线间的距离为 ；
16．若直线和直线垂直，则 ．
四、解答题（70分）
17．如图，某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂、，同时在铁路线上建一个车站，用来运送成品油．先从车站出发铺设一段垂直于铁道方向的公共输油管线，再从分叉，分别向两个炼油厂铺设管线、.图中各小写字母表示的距离（单位：千米）分别为，，.设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，公共输油管线长为，总的输油管道长度为.
（Ⅰ）若，请确定车站的位置，使得总的输油管道长度为最小，此时输油管线铺设费用是多少？
（Ⅱ）请问从降低输油管线铺设费用的角度出发，是否需要铺设公用管线．如果需要请给出能够降低费用管线铺设方案（精度为0.1千米）．
（参考数据：，，，，，，，，，，.）
18．某棵果树前n年的总产量与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，求m的值.
19．如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系.
(1)求出建筑物的中心的坐标；
(2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为100万元/，求开通的这条路的最低造价.附：.
20．VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点.
(1)求成功点的轨迹方程；
(2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出，然后结合对数的运算性质可求．
【详解】解：因为直线l1的斜率为2，直线l2经过点，且l1∥l2，
所以，解得，
所以，
故选：D．
2．D
【分析】求平行直线的距离要先将两直线一般式的化为一样，再利用平行线间距离公式计算即可.
【详解】先由化得，
所以两直线间的距离为：.
故选：D.
3．C
【分析】先通过直线平行的判断公式求出，再根据充分性和必要性的概念得答案.
【详解】因为直线与直线相互平行，
则，解得，
又当时，两直线均不重合，
故，
所以“直线与直线相互平行”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
4．B
【分析】由题意求出得方程，将四个选项逐一代入，即可验证得到答案.
【详解】由题直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，则的倾斜角为45，斜率 由点斜式可得的方程为 即 四个选项中只有B满足方程.
即l2还过点(-2,0) .
故选B.
【点睛】本题考查直线方程的求法，属基础题.
5．A
【分析】求得圆心到直线的距离，然后和圆的半径比较大小，从而判定两者位置关系，得到答案．
【详解】由题意，可得圆心 到直线的距离为，
所以直线与圆相交．
故选A．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系判定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
6．A
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由圆切线的性质及两点距离公式可得，即可求PA的最小值.
【详解】由题设，的标准方程为，故圆心为，半径为3，
∴由切线的性质知：，
∴当时，.
故选：A
7．C
【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程，再利用圆的标准方程及垂径定理，结合两直线的垂直关系及直线的点斜式方程分析即可求解.
【详解】由，得，所以直线恒过点，
圆的圆心为，半径，则，
当直线与垂直时，为中点，此时，符合题意，此时直线有一条，
当直线过圆心C时，，满足题意，此时直线有一条，
则当时，各对应两条直线，
综上，共8条直线．
故选：C．
8．D
【分析】由题意可知：以AB为直径的圆与圆有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出的范围．
【详解】，点在以，两点为直径的圆上，
该圆方程为：，又点在圆上，两圆有公共点．
两圆的圆心距
解得：
故选D
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题．
9．BD
【分析】根据已知直线方程，逐个验证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.
【详解】把代入直线的方程，等式不成立，A选项错误；
直线的方向向量为，则直线斜率，得，B选项正确；
直线方向向量为，直线的方向向量为，若，则有，解得，当时，与重合，C选项错误；
若，则有，即，D选项正确.
故选：BD
10．BD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解．
【详解】由题意，方程，可化为，
可得圆的圆心坐标为，
A中，当时，此时，所以A错误；
B中，当时，此时，表示圆心为的圆，所以B正确；
C中，当时，表示的圆的半径为，所以C错误；
D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，
又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．
故选：BD．
11．BCD
【分析】先求P到两圆心的距离之和范围，再判断|PM|＋|PN|的取值范围
【详解】，，关于轴的对称点为
故
又两圆的半径分别为2，1
故
满足要求的值有B，C，D
故选：BCD
12．CD
【分析】利用斜截式方程求解直线的倾斜角的范围判断；利用点到直线的距离判断；直线系恒过的点的判断；直线的平行与圆的位置关系判断.
【详解】直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围为，所以不正确；
“点到直线距离为3”，可得．解得，，
所以“”是“点到直线距离为3”的充分不必要条件，所以不正确；
直线恒过定点，所以正确；
直线即与直线平行，，所以直线与圆相切，所以正确；
故选：CD．
13．或
【分析】根据题意，设点P的坐标为(a，b)，写出直线PA、PB的方程的方程，求得其在y轴上的截距，根据题意，列出等量关系式，从而求得点P在圆(x－2)2＋y2＝9上，最后转化为两圆位置关系求解.
【详解】根据题意，设点P的坐标为(a，b)，
则直线PA的方程为y＝ (x＋1)，其在y轴上的截距为，
直线PB的方程为y＝ (x－5)，其在y轴上的截距为－.
若点P满足使直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则有×＝5，
变形可得b2＋(a－2)2＝9且，
则点P在圆(x－2)2＋y2＝9上且.
若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P满足题意，
则圆M与圆(x－2)2＋y2＝9有且只有一个公共点，即两圆相切或相交，其中一个交点的横坐标为或.
当两圆相切时，又两圆的圆心距为≥2，所以两圆外切，所以4＋m2＝25，
解得m＝±；
当两圆相交，其中一个交点的横坐标为或时，.
故答案为：或.
14．
【分析】根据BC与AC垂直可得，求出直线AC的方程与联立可得答案.
【详解】由题意知BC与AC垂直，， ，
∴直线AC的方程为，即，
解方程组，
得点C的坐标为.
故答案为：.
15．3
【分析】根据两平行线间的距离公式即可求得.
【详解】由两平行线间的距离公式可得.
故答案为：3
16．
【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求解.
【详解】直线和直线垂直，则有，解得.
故答案为：
17．（Ⅰ），输油管线铺设费用为万元（Ⅱ）需要， 见详解.
【分析】（Ⅰ）当时，在上，作关于的对称点，连，则它与交于点，连、，根据图形可得，此时输油管道的总长度为，推出，代入数据，即可得出结果；
（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设.在的一侧作一条与之平行、相距为的直线，作关于的对称点，连，则它与交于点，这点是分叉点．由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为，
这是在确定的前提下最短的．以为原点，铁路线为轴建立直角坐标系．得到，分别取不同的值，计算，比较大小，进而可确定大致区间，从而可确定结果.
【详解】（Ⅰ）当时，在上，
作关于的对称点，连，则它与交于点，连、，
由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为，
这是最短的，此时，所以.
将数据代入，得，，
输油管线铺设费用是万元．
（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设.在的一侧作一条与之平行、相距为的直线，作关于的对称点，连，
则它与交于点，这点是分叉点．
由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为，
这是在确定的前提下最短的．
以为原点，铁路线为轴建立直角坐标系．
则可以得到，在这种情况下最短的管道铺设的总长度应为
.
三条管道交叉点的坐标为，.相当于不铺设公用管道的情形．
将数据代入上式有，.
对于不同的，分别计算管道的铺设长度得
0 1 1.5 2 2.5 3 4 5
19.85 19.60 19.53 19.49 19.50 19.55 19.81 20.30
5.77 5.45 5.25 5.00 4.69 4.29 3.00 0.00
由数据可知，最短铺设长度值在内，这个区间长度小于0.1千米的精度，于是，不妨取，此时铺设管道的总长度为19.49，铺设费用为万元，比较不铺设公用管道所花的费用万元要节省2.592万元．这时三条管道交叉点位于处．
【点睛】本题主要考查函数模型的综合应用，以及直线的应用，根据对称的方法求动点到两定点的距离的和即可，属于常考题型.
18．9
【分析】前年的年平均产量表示的是点与原点组成的斜率，观察图象即可得到答案.
【详解】前n年的年平均产量即前n年的总产量在上的平均变化率，即点与原点连线的斜率.连接各点与原点0，可知当时，连线的斜率最大，所以m的值为9.
故答案为：9
19．(1)
(2)112万元
【分析】（1）设出过点的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标；
（2）求出，由垂径定理得到点到的距离，从而求出开通的这条路的最低造价.
【详解】（1）由题可知，
由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，
设圆的方程为，
则，解得,
圆的方程为，即，
建筑物的中心的坐标为.
（2）因为为建筑物的中心坐标，
设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，
，圆的半径为，
点到的距离为，
开通的这条路的最低造价为（万元）.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设，，机器人运动速度为，依题意得，整理即可得解；
（2）设直线：，根据直线与点的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即可求出的取值范围，从而求出点纵坐标的取值范围.
【详解】（1）解：设，，机器人运动速度为，
由题意可得，化简得.
由于点在矩形场地内，则.
所以成功点的轨迹方程为.
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：，
直线与点的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得，解得.
则点纵坐标，
又因为，所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l1的斜率为2，直线l2经过点，且l1∥l2，则＝（ ）
A．3 B． C．2 D．
2．直线与直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．“直线与直线相互平行”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．若直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，l2过点（4，6），则l2还过下列各点中的
A．(1,8) B．(-2,0) C．(9,2) D．(0,-8)
5．直线2x-y+3=0与圆C：x2+(y-1)2=5的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
6．过点引圆：的切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知直线：与圆交于两点，则使弦长为整数的直线共有（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
8．已知两点，以及圆：，若圆上存在点，满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ）
A．直线恒过点
B．直线的方向向量为，则
C．若，则
D．若，则
10．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆
B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为
D．当时，表示的圆与轴相切
11．已知圆C1：（x＋6）2＋（y－5）2＝4，圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．15
12．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围为
B．“c=5”是“点(2，1)到直线距离为3”的充要条件
C．直线l：恒过定点(3，0)
D．直线与直线平行，且与圆相切
三、填空题（20分）
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0).若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为 .
14．已知的顶点，AC边上的高BC所在的直线方程为，则顶点C的坐标为 .
15．求直线和直线间的距离为 ；
16．若直线和直线垂直，则 ．
四、解答题（70分）
17．如图，某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂、，同时在铁路线上建一个车站，用来运送成品油．先从车站出发铺设一段垂直于铁道方向的公共输油管线，再从分叉，分别向两个炼油厂铺设管线、.图中各小写字母表示的距离（单位：千米）分别为，，.设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，公共输油管线长为，总的输油管道长度为.
（Ⅰ）若，请确定车站的位置，使得总的输油管道长度为最小，此时输油管线铺设费用是多少？
（Ⅱ）请问从降低输油管线铺设费用的角度出发，是否需要铺设公用管线．如果需要请给出能够降低费用管线铺设方案（精度为0.1千米）．
（参考数据：，，，，，，，，，，.）
18．某棵果树前n年的总产量与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，求m的值.
19．如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系.
(1)求出建筑物的中心的坐标；
(2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为100万元/，求开通的这条路的最低造价.附：.
20．VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点.
(1)求成功点的轨迹方程；
(2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出，然后结合对数的运算性质可求．
【详解】解：因为直线l1的斜率为2，直线l2经过点，且l1∥l2，
所以，解得，
所以，
故选：D．
2．D
【分析】求平行直线的距离要先将两直线一般式的化为一样，再利用平行线间距离公式计算即可.
【详解】先由化得，
所以两直线间的距离为：.
故选：D.
3．C
【分析】先通过直线平行的判断公式求出，再根据充分性和必要性的概念得答案.
【详解】因为直线与直线相互平行，
则，解得，
又当时，两直线均不重合，
故，
所以“直线与直线相互平行”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
4．B
【分析】由题意求出得方程，将四个选项逐一代入，即可验证得到答案.
【详解】由题直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，则的倾斜角为45，斜率 由点斜式可得的方程为 即 四个选项中只有B满足方程.
即l2还过点(-2,0) .
故选B.
【点睛】本题考查直线方程的求法，属基础题.
5．A
【分析】求得圆心到直线的距离，然后和圆的半径比较大小，从而判定两者位置关系，得到答案．
【详解】由题意，可得圆心 到直线的距离为，
所以直线与圆相交．
故选A．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系判定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
6．A
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由圆切线的性质及两点距离公式可得，即可求PA的最小值.
【详解】由题设，的标准方程为，故圆心为，半径为3，
∴由切线的性质知：，
∴当时，.
故选：A
7．C
【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程，再利用圆的标准方程及垂径定理，结合两直线的垂直关系及直线的点斜式方程分析即可求解.
【详解】由，得，所以直线恒过点，
圆的圆心为，半径，则，
当直线与垂直时，为中点，此时，符合题意，此时直线有一条，
当直线过圆心C时，，满足题意，此时直线有一条，
则当时，各对应两条直线，
综上，共8条直线．
故选：C．
8．D
【分析】由题意可知：以AB为直径的圆与圆有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出的范围．
【详解】，点在以，两点为直径的圆上，
该圆方程为：，又点在圆上，两圆有公共点．
两圆的圆心距
解得：
故选D
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题．
9．BD
【分析】根据已知直线方程，逐个验证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.
【详解】把代入直线的方程，等式不成立，A选项错误；
直线的方向向量为，则直线斜率，得，B选项正确；
直线方向向量为，直线的方向向量为，若，则有，解得，当时，与重合，C选项错误；
若，则有，即，D选项正确.
故选：BD
10．BD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解．
【详解】由题意，方程，可化为，
可得圆的圆心坐标为，
A中，当时，此时，所以A错误；
B中，当时，此时，表示圆心为的圆，所以B正确；
C中，当时，表示的圆的半径为，所以C错误；
D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，
又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．
故选：BD．
11．BCD
【分析】先求P到两圆心的距离之和范围，再判断|PM|＋|PN|的取值范围
【详解】，，关于轴的对称点为
故
又两圆的半径分别为2，1
故
满足要求的值有B，C，D
故选：BCD
12．CD
【分析】利用斜截式方程求解直线的倾斜角的范围判断；利用点到直线的距离判断；直线系恒过的点的判断；直线的平行与圆的位置关系判断.
【详解】直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围为，所以不正确；
“点到直线距离为3”，可得．解得，，
所以“”是“点到直线距离为3”的充分不必要条件，所以不正确；
直线恒过定点，所以正确；
直线即与直线平行，，所以直线与圆相切，所以正确；
故选：CD．
13．或
【分析】根据题意，设点P的坐标为(a，b)，写出直线PA、PB的方程的方程，求得其在y轴上的截距，根据题意，列出等量关系式，从而求得点P在圆(x－2)2＋y2＝9上，最后转化为两圆位置关系求解.
【详解】根据题意，设点P的坐标为(a，b)，
则直线PA的方程为y＝ (x＋1)，其在y轴上的截距为，
直线PB的方程为y＝ (x－5)，其在y轴上的截距为－.
若点P满足使直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则有×＝5，
变形可得b2＋(a－2)2＝9且，
则点P在圆(x－2)2＋y2＝9上且.
若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P满足题意，
则圆M与圆(x－2)2＋y2＝9有且只有一个公共点，即两圆相切或相交，其中一个交点的横坐标为或.
当两圆相切时，又两圆的圆心距为≥2，所以两圆外切，所以4＋m2＝25，
解得m＝±；
当两圆相交，其中一个交点的横坐标为或时，.
故答案为：或.
14．
【分析】根据BC与AC垂直可得，求出直线AC的方程与联立可得答案.
【详解】由题意知BC与AC垂直，， ，
∴直线AC的方程为，即，
解方程组，
得点C的坐标为.
故答案为：.
15．3
【分析】根据两平行线间的距离公式即可求得.
【详解】由两平行线间的距离公式可得.
故答案为：3
16．
【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求解.
【详解】直线和直线垂直，则有，解得.
故答案为：
17．（Ⅰ），输油管线铺设费用为万元（Ⅱ）需要， 见详解.
【分析】（Ⅰ）当时，在上，作关于的对称点，连，则它与交于点，连、，根据图形可得，此时输油管道的总长度为，推出，代入数据，即可得出结果；
（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设.在的一侧作一条与之平行、相距为的直线，作关于的对称点，连，则它与交于点，这点是分叉点．由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为，
这是在确定的前提下最短的．以为原点，铁路线为轴建立直角坐标系．得到，分别取不同的值，计算，比较大小，进而可确定大致区间，从而可确定结果.
【详解】（Ⅰ）当时，在上，
作关于的对称点，连，则它与交于点，连、，
由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为，
这是最短的，此时，所以.
将数据代入，得，，
输油管线铺设费用是万元．
（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设.在的一侧作一条与之平行、相距为的直线，作关于的对称点，连，
则它与交于点，这点是分叉点．
由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为，
这是在确定的前提下最短的．
以为原点，铁路线为轴建立直角坐标系．
则可以得到，在这种情况下最短的管道铺设的总长度应为
.
三条管道交叉点的坐标为，.相当于不铺设公用管道的情形．
将数据代入上式有，.
对于不同的，分别计算管道的铺设长度得
0 1 1.5 2 2.5 3 4 5
19.85 19.60 19.53 19.49 19.50 19.55 19.81 20.30
5.77 5.45 5.25 5.00 4.69 4.29 3.00 0.00
由数据可知，最短铺设长度值在内，这个区间长度小于0.1千米的精度，于是，不妨取，此时铺设管道的总长度为19.49，铺设费用为万元，比较不铺设公用管道所花的费用万元要节省2.592万元．这时三条管道交叉点位于处．
【点睛】本题主要考查函数模型的综合应用，以及直线的应用，根据对称的方法求动点到两定点的距离的和即可，属于常考题型.
18．9
【分析】前年的年平均产量表示的是点与原点组成的斜率，观察图象即可得到答案.
【详解】前n年的年平均产量即前n年的总产量在上的平均变化率，即点与原点连线的斜率.连接各点与原点0，可知当时，连线的斜率最大，所以m的值为9.
故答案为：9
19．(1)
(2)112万元
【分析】（1）设出过点的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标；
（2）求出，由垂径定理得到点到的距离，从而求出开通的这条路的最低造价.
【详解】（1）由题可知，
由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，
设圆的方程为，
则，解得,
圆的方程为，即，
建筑物的中心的坐标为.
（2）因为为建筑物的中心坐标，
设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，
，圆的半径为，
点到的距离为，
开通的这条路的最低造价为（万元）.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设，，机器人运动速度为，依题意得，整理即可得解；
（2）设直线：，根据直线与点的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即可求出的取值范围，从而求出点纵坐标的取值范围.
【详解】（1）解：设，，机器人运动速度为，
由题意可得，化简得.
由于点在矩形场地内，则.
所以成功点的轨迹方程为.
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：，
直线与点的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得，解得.
则点纵坐标，
又因为，所以.
答案第1页，共2页
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