新人教A版选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教A版选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-07 11:32:02 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．过抛物线：的焦点作直线，且直线与及其准线分别相交于，，三点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C． D．
2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆，其中、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点．过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点、，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．设拋物线的焦点是，直线与抛物线相交于两点，且，线段的中点到拋物线的准线的距离为，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，已知椭圆的左 右焦点分别为，为椭圆上一点，，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．定义：的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线（，）（ ）
A．可能是“黄金双曲线” B．可能不是“黄金双曲线”
C．不可能是“黄金双曲线” D．不可能不是“黄金双曲线”
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于A、两点，若，则( )
A．
B．双曲线的离心率
C．直线的斜率为
D．原点在以为圆心，为半径的圆上
11．已知，令，则取到的值可以有（ ）
A． B． C． D．
12．已知为坐标原点，双曲线的左焦点关于的一条渐近线的对称点恰好在上，若直线交的左半支于点，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．的面积为
C． D．是等腰三角形
三、填空题（20分）
13．设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，且，，，则的面积为 .
14．已知椭圆：的短轴长为6，，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，若的最大值为16，则椭圆C的离心率为 .
15．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为 .
16．双曲线的渐近线方程是 .
四、解答题（70分）
17．如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．
18．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
19．外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.
（1）求最小直径圆面的面积；
（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】当直线的斜率为正数时，准线与轴交于点，过，两点分别作，垂直于准线，根据，得到，设，则，，，通过求得斜率，再由，得到，求得弦长.
【详解】当直线的斜率为正数时，准线与轴交于点，过，两点分别作，垂直于准线，如图所示，
则，即，设，
所以，，，.
所以直线的斜率为，，解得，即.
由对称性可知直线的斜率为，.
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合的思想和运算求解能力，属于中档题.
2．A
【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可
【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆
则有：
解得：
故选：A
3．A
【分析】根据椭圆的定义、三角形的中位线、线段的中垂线对转化，用点的坐标表示，通过点在第一象限的范围即可求得.
【详解】如图所示，因为点在轴右边，
因为是的垂直平分线，所以,
由中位线定理可得,
设点,
由两点间的距离公式得，
，
同理可得，又是的垂直平分线，所以,
即,
且中是中位线，所以，
在椭圆中，所以.
故选：A
4．C
【解析】利用椭圆的简单几何性质求解．
【详解】解：椭圆的一个焦点为，
，，
，
椭圆方程为．
故选：．
5．C
【分析】结合椭圆定义与已知条件即可求得的值．
【详解】解：由，得，，如图：
，且，
，
故选：C.
6．B
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，
设抛物线的方程为，其焦点为，
碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为，
设，过中点作轴，
由抛物线的定义可得，解得，
所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.
故选：B.
7．C
【分析】设出线段的长度，用余弦定理求得的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而转化为的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.
【详解】设，，
过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：
则，，
因为点为线段的中点，根据梯形中位线定理可得，点到抛物线的准线的距离为，
因为，所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，（显然存在），
所以，则的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用。
8．B
【解析】由题可得，代入点P的横坐标可得，则有，解得，即可由此求出离心率.
【详解】设的坐标为，由，可得，
代入点P的横坐标，有，可得，
则有，得，
则椭圆C的离心率为.
故选：B.
9．AB
【分析】利用双曲线的简单性质判断离心率，再利用黄金双曲线的定义求解.
【详解】解：定义：的双曲线为“黄金双曲线”，
对于双曲线，如果，，此时，
则双曲线是“黄金双曲线”，所以A正确；
当，时，曲线不是“黄金双曲线”，所以B正确；
故选：AB.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
10．ABC
【分析】结合边长关系和双曲线定义可判断A选项；
在和△中运用余弦定理可得离心率e；
在△中利用余弦定理求，再求，由可得AB斜率；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，分析是否与已知边长关系是否符合，即可判断D选项﹒
【详解】如图：
设，则，
由双曲线的定义知，，即；，
即，
∴，即有，故选项A正确；
由余弦定理知，在中，，
在△中，，
化简整理得，，
∴离心率，故选项B正确；
在△中，，
，∴，
∴根据双曲线的对称性可知，直线的斜率为，故选项C正确；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项D错误．
故选：ABC．
11．BCD
【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错.
【详解】由，得点为直线上的点，
由得点为曲线上的点,
则可以看作点到点的距离，
由得，
所以点为椭圆且在轴上方的点，
如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
联立，消得，
则，解得（舍去）
则，
所以直线与直线的距离，
所以,
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
12．AC
【分析】设与渐近线交于点，为右焦点，分析可知为线段的中点，求出、，利用勾股定理可得出、的等量关系，可判断A选项；计算出的面积，可判断B选项；设，则，，在直角中，利用勾股定理求出，可求得、，可判断C选项；利用大角对大边定理可判断D选项.
【详解】如图，设与渐近线交于点，为双曲线的右焦点，则为线段的中点，
又因为为的中点，所以，，
双曲线的左焦点为，则点到直线的距离为，
即，则，由双曲线的定义可得，则，
在中，由勾股定理可得，
即，整理可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，A对；
，，
所以，，B错；
设，则，，
在直角中有，，即，
解得，则，，所以，C对；
设双曲线的半焦距为，则，
因为，为的中点，所以，，，
因为，为线段上一点（不与线段端点重合），则为锐角，
故为钝角，则在中，，所以，，
所以，不是等腰三角形，D错.
故选：AC.
13．
【分析】根据双曲线的定义可得到|BF1|=3，再根据是直角三角形求得sinB，直接利用三角形面积公式即可得到结论．
【详解】∵|AF2|=3，|BF2|=5，
又|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，
|AF2|+|BF2|－|AB|=4a=3+5－4=4，，|BF1|=3
又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，
则∠F2AB=90°，
,，
=.
故答案为：．
14．
【分析】根据基本不等式，结合椭圆的定义，得，再根据条件，求出，即可求椭圆的离心率.
【详解】因为，所以（当且仅当时，等号成立）.由题可知，所以，又，解得，所以.
故答案为：
15．
【分析】由给定条件求出抛物线的准线l的方程，再求出准线与双曲线的两条渐近线的交点即可作答.
【详解】依题意，抛物线准线：，由抛物线定义知，解得，则准线：，
双曲线的两条渐近线为，于是得准线与二渐近线交点为，
原点为O，则面积，解得，
双曲线的半焦距为c，离心率为e，则有，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
16．
【分析】根据双曲线的焦点位置和的值即可求解.
【详解】由题得，所以双曲线的焦点在轴上，
所以，
所以渐近线方程为，
故答案为：.
17．万元．
【分析】由，结合双曲线的定义可判断点M的轨迹是双曲线的右支，进而根据可求解.
【详解】如图所示，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直坐标系xOy，则，，．连接AM，AC．因为，
所以点M的轨迹是双曲线的右支．
因为，当M，A，C三点共线时等号成立，
又总费用为万元，
所以，所以修建这两条公路的最低总费用为万元．
18．(1)
(2)作图见解析，．
【分析】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程
（2）由抛物线的定义，公路总长，即可求公路总长最小值
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线．
（2）如图，设抛物线C的焦点为F，则，
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴，
根据抛物线的定义知，公路总长．
当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为．
19．（1）；（2）
【分析】由题设，则有在双曲线上，代入得解双曲线方程，得到最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面得解
（2）求得一条渐近线方程为 ，由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，求得得解
【详解】
由题设，则有在双曲线上，所以
解得
因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面
此时圆面的面积为
（2）由（1）问得：的一条渐近线方程为
如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为
【点睛】建立适当坐标系得到双曲线方程，利用直母线与渐近线其中一条平行，得到四边形是平行四边形是解题关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．过抛物线：的焦点作直线，且直线与及其准线分别相交于，，三点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C． D．
2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆，其中、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点．过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点、，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．设拋物线的焦点是，直线与抛物线相交于两点，且，线段的中点到拋物线的准线的距离为，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，已知椭圆的左 右焦点分别为，为椭圆上一点，，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．定义：的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线（，）（ ）
A．可能是“黄金双曲线” B．可能不是“黄金双曲线”
C．不可能是“黄金双曲线” D．不可能不是“黄金双曲线”
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于A、两点，若，则( )
A．
B．双曲线的离心率
C．直线的斜率为
D．原点在以为圆心，为半径的圆上
11．已知，令，则取到的值可以有（ ）
A． B． C． D．
12．已知为坐标原点，双曲线的左焦点关于的一条渐近线的对称点恰好在上，若直线交的左半支于点，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．的面积为
C． D．是等腰三角形
三、填空题（20分）
13．设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，且，，，则的面积为 .
14．已知椭圆：的短轴长为6，，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，若的最大值为16，则椭圆C的离心率为 .
15．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为 .
16．双曲线的渐近线方程是 .
四、解答题（70分）
17．如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．
18．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
19．外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.
（1）求最小直径圆面的面积；
（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】当直线的斜率为正数时，准线与轴交于点，过，两点分别作，垂直于准线，根据，得到，设，则，，，通过求得斜率，再由，得到，求得弦长.
【详解】当直线的斜率为正数时，准线与轴交于点，过，两点分别作，垂直于准线，如图所示，
则，即，设，
所以，，，.
所以直线的斜率为，，解得，即.
由对称性可知直线的斜率为，.
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合的思想和运算求解能力，属于中档题.
2．A
【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可
【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆
则有：
解得：
故选：A
3．A
【分析】根据椭圆的定义、三角形的中位线、线段的中垂线对转化，用点的坐标表示，通过点在第一象限的范围即可求得.
【详解】如图所示，因为点在轴右边，
因为是的垂直平分线，所以,
由中位线定理可得,
设点,
由两点间的距离公式得，
，
同理可得，又是的垂直平分线，所以,
即,
且中是中位线，所以，
在椭圆中，所以.
故选：A
4．C
【解析】利用椭圆的简单几何性质求解．
【详解】解：椭圆的一个焦点为，
，，
，
椭圆方程为．
故选：．
5．C
【分析】结合椭圆定义与已知条件即可求得的值．
【详解】解：由，得，，如图：
，且，
，
故选：C.
6．B
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，
设抛物线的方程为，其焦点为，
碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为，
设，过中点作轴，
由抛物线的定义可得，解得，
所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.
故选：B.
7．C
【分析】设出线段的长度，用余弦定理求得的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而转化为的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.
【详解】设，，
过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：
则，，
因为点为线段的中点，根据梯形中位线定理可得，点到抛物线的准线的距离为，
因为，所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，（显然存在），
所以，则的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用。
8．B
【解析】由题可得，代入点P的横坐标可得，则有，解得，即可由此求出离心率.
【详解】设的坐标为，由，可得，
代入点P的横坐标，有，可得，
则有，得，
则椭圆C的离心率为.
故选：B.
9．AB
【分析】利用双曲线的简单性质判断离心率，再利用黄金双曲线的定义求解.
【详解】解：定义：的双曲线为“黄金双曲线”，
对于双曲线，如果，，此时，
则双曲线是“黄金双曲线”，所以A正确；
当，时，曲线不是“黄金双曲线”，所以B正确；
故选：AB.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
10．ABC
【分析】结合边长关系和双曲线定义可判断A选项；
在和△中运用余弦定理可得离心率e；
在△中利用余弦定理求，再求，由可得AB斜率；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，分析是否与已知边长关系是否符合，即可判断D选项﹒
【详解】如图：
设，则，
由双曲线的定义知，，即；，
即，
∴，即有，故选项A正确；
由余弦定理知，在中，，
在△中，，
化简整理得，，
∴离心率，故选项B正确；
在△中，，
，∴，
∴根据双曲线的对称性可知，直线的斜率为，故选项C正确；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项D错误．
故选：ABC．
11．BCD
【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错.
【详解】由，得点为直线上的点，
由得点为曲线上的点,
则可以看作点到点的距离，
由得，
所以点为椭圆且在轴上方的点，
如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
联立，消得，
则，解得（舍去）
则，
所以直线与直线的距离，
所以,
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
12．AC
【分析】设与渐近线交于点，为右焦点，分析可知为线段的中点，求出、，利用勾股定理可得出、的等量关系，可判断A选项；计算出的面积，可判断B选项；设，则，，在直角中，利用勾股定理求出，可求得、，可判断C选项；利用大角对大边定理可判断D选项.
【详解】如图，设与渐近线交于点，为双曲线的右焦点，则为线段的中点，
又因为为的中点，所以，，
双曲线的左焦点为，则点到直线的距离为，
即，则，由双曲线的定义可得，则，
在中，由勾股定理可得，
即，整理可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，A对；
，，
所以，，B错；
设，则，，
在直角中有，，即，
解得，则，，所以，C对；
设双曲线的半焦距为，则，
因为，为的中点，所以，，，
因为，为线段上一点（不与线段端点重合），则为锐角，
故为钝角，则在中，，所以，，
所以，不是等腰三角形，D错.
故选：AC.
13．
【分析】根据双曲线的定义可得到|BF1|=3，再根据是直角三角形求得sinB，直接利用三角形面积公式即可得到结论．
【详解】∵|AF2|=3，|BF2|=5，
又|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，
|AF2|+|BF2|－|AB|=4a=3+5－4=4，，|BF1|=3
又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，
则∠F2AB=90°，
,，
=.
故答案为：．
14．
【分析】根据基本不等式，结合椭圆的定义，得，再根据条件，求出，即可求椭圆的离心率.
【详解】因为，所以（当且仅当时，等号成立）.由题可知，所以，又，解得，所以.
故答案为：
15．
【分析】由给定条件求出抛物线的准线l的方程，再求出准线与双曲线的两条渐近线的交点即可作答.
【详解】依题意，抛物线准线：，由抛物线定义知，解得，则准线：，
双曲线的两条渐近线为，于是得准线与二渐近线交点为，
原点为O，则面积，解得，
双曲线的半焦距为c，离心率为e，则有，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
16．
【分析】根据双曲线的焦点位置和的值即可求解.
【详解】由题得，所以双曲线的焦点在轴上，
所以，
所以渐近线方程为，
故答案为：.
17．万元．
【分析】由，结合双曲线的定义可判断点M的轨迹是双曲线的右支，进而根据可求解.
【详解】如图所示，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直坐标系xOy，则，，．连接AM，AC．因为，
所以点M的轨迹是双曲线的右支．
因为，当M，A，C三点共线时等号成立，
又总费用为万元，
所以，所以修建这两条公路的最低总费用为万元．
18．(1)
(2)作图见解析，．
【分析】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程
（2）由抛物线的定义，公路总长，即可求公路总长最小值
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线．
（2）如图，设抛物线C的焦点为F，则，
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴，
根据抛物线的定义知，公路总长．
当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为．
19．（1）；（2）
【分析】由题设，则有在双曲线上，代入得解双曲线方程，得到最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面得解
（2）求得一条渐近线方程为 ，由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，求得得解
【详解】
由题设，则有在双曲线上，所以
解得
因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面
此时圆面的面积为
（2）由（1）问得：的一条渐近线方程为
如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为
【点睛】建立适当坐标系得到双曲线方程，利用直母线与渐近线其中一条平行，得到四边形是平行四边形是解题关键.
答案第1页，共2页
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