新人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 514.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-07 11:33:29 | ||
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文档简介
第四章 数列 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（ ）
A． B．
C．当为偶数时， D．当为奇数时，
2．农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（ ）
A．第3级修正 B．第4级修正 C．第5级修正 D．第6级修正
3．已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且有，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．S7与S8均为的最大值 D．
4．记等差数列与的前n项和分别为与，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代汉语叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前日的一半．现把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为，那么前四日所取木棒的总长度为（ ）
A．1 B． C． D．
6．设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．设等差数列的前项和为，若，则
A．27 B．36 C．45 D．54
8．等比数列满足，，，则数列的前10项和是
A．-35 B．-25 C．25 D．35
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，下列结论正确的是（ ）
A．第8行最右边的数为38
B．第10行从右向左第个5数为51
C．第10行所有数的和为505
D．第64行从左向右第7个数为2023
10．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（ ）
A．d＜0 B．a15 > 0
C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn＜0时n≥32
11．已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
12．设等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．最大
三、填空题（20分）
13．已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是 .
14．给定，则使乘积为整数的称为“和谐数”，则在区间内的所有“和谐数”的和为 .
15．在等差数列{}中，若=3，则++= .
16．数列满足：，则 ．
四、解答题（70分）
17．年月日至日，第二届中国国际进口博览会在上海国家会展中心举行，本届进博会延续“新时代，共享未来”的主题.某公司带来了汽车积碳清理机参展，已知汽车积碳清理机每台元.某企业购买了一台该设备，投入运营后，该清理机每年可给企业带来收益元，其维修保养费用第一年为元，以后每年增加元.
（1）积碳清理机投入运营后，该企业第几年开始盈利 (结果保留整数)参考数据:
（2）积碳清理机投入运营一段时间后，何时淘汰该设备，企业设计了两种淘汰方案:方案一:累计总利润最大时淘汰；方案二:年平均利润最大时淘汰.请计算两种方案下积碳清理机各使用多少年后被淘汰.你认为哪种方案更合理 试说明理由.
18．陈老师购买安居工程集资房92平方米，单价为1000元/平方米，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元，计算时取）
19．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1000万元．
(1)求该企业2014年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元．
20．新能源汽车环保 节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.
（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：)
（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前年的年平均利润=).
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，代入数列的具体值即可判断出各个选项．
【详解】解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，
则数列的通项公式为：，
所以，，
当为偶数时，，
当为奇数时，．
故选：B．
2．C
【分析】根据题意依次求出，再判断哪一个等于即可.
【详解】因为数列满足，，，…，其中均为正整数：
，，，，，，…，
所以，，，
，
，
所以“年共闰个月”为第5级修正，
故选：C
3．A
【分析】由可直接判断，进而对选项进行判断.
【详解】根据 ，得到
又由 ，得到
得到等差数列为 的递减数列，则 与 均为 的最大值．
所以只有答案A是错误的．
故选：A
4．C
【分析】根据等差数列前n项和与通项之间的关系，将数列的项之比化为前n项和之比，代入等式计算即可得出答案.
【详解】根据等差数列的性质，
，选项C正确.
故选：C.
5．C
【分析】根据题意可得每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式即可得出答案.
【详解】解：由题意可知，每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，
所以前四日所取木棒的总长度为.
故选：C.
6．B
【解析】根据题意两式相减可求得公比，将公比代入原式可求出首项.
【详解】，，
两式相减可得，即，故公比为3，
由得，解得.
故选：B.
7．D
【详解】由题意，可得：
∴，即
∴
故选D
8．C
【分析】依题意，根据等比数列的公式，可求得 ，代入即可求出，结合等差数列前n项和公式即可求解．
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以 ，所以，所以数列的前10项和．故选C．
【点睛】本题考查等比数列通项公式，等比数列与等差数列的转化，等差数列前n项和的求法，考查计算分析，化简求值的能力，属中档题．
9．BCD
【分析】根据三角数阵可知第行共有个数，且第行的最后一个数字是：，即为.结合等差数列前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】由三角形数阵可知，
①第行共有个数；
②第行的最后一个数字是：，即为.
A：因为，故A错误；
B：因为，
所以第行中的个数字依次为.故B正确；
C：由，故C正确；
D：由，知第行最后的一个数为；
所以第行中的数字从左到右依次为
2017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024，，第7个数为2023，故D正确.
故选：BCD.
10．ABC
【分析】通过求得的关系，进一步判断出数列是递减数列，将的关系式代入四个答案即可判断.
【详解】由，
∴
∵，∴d<0，A正确；
，B正确；
由前面分析可知：是递减数列，，，∴的最大值是，C正确；
∵，∴，而数列是递减数列，∴时，，D错误.
故选：ABC.
11．ABD
【解析】由条件可得，解出，进而可得通项公式和前n项和，再由可判断D.
【详解】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；
，选项B正确；
，所以，选项C错误；
，而，选项D正确．
故选：ABD.
12．ABC
【分析】根据等差数列的通项公式与前项和公式求解判断．
【详解】等差数列，由得，所以正确；
，故B正确；
，又，可知大于0，,故C正确，错误.
故选：ABC．
13．
【分析】构造函数，则的图像与直线至少有个公共点，确定，，得到，得到答案.
【详解】设等差数列的公差为，构造函数，
则的图像与直线至少有个公共点，
横坐标分别为，，，，，
根据绝对值函数的性质知：
当为奇数时，函数图像关于对称，时有最小值，
此时最多有个交点，不满足题意，
当为偶数时，函数图像在上是一条水平的线段，可以有个交点，
故，
且，
故，即，
，故，故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列，数列的绝对值求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数，再根据其性质得到是解题的关键.
14．2026
【解析】根据换底公式把代入并且化简，转化为为整数，即，，可求得区间内的所有“和谐数”的和.
【详解】由换底公式：，
得
为整数，
∴，，
分别可取，
最大值，则最大可取10，
故所有“和谐数”的和为.
故答案为：2026.
【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式，把化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.
15．9
【解析】由=3，得，而++，化简可得答案
【详解】解：设等差数列{}的公差为，
由=3，得，
所以++，
故答案为：9
16．512
【分析】根据题意可得，进而可得，故从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】当时，则；
当时，可得，且，
则，
可得：从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，
综上所述：.
故答案为：512.
17．（1）3年；（2）答案见解析.
【分析】（1）每年的维修保养费用是以为首项，为公差的等差数列，设第年时累计总利润为，求出，解不等式可得；
（2）根据两种方案一是求得的最大值，二是求出的最大值．哪种方案更合理，根据说明的合理理由，两种都可以（不同的方案有不同的理由）．
【详解】（1） 由题意知，每年的维修保养费用是以为首项，为公差的等差数列，设第年时累计总利润为，则
企业开始盈利即，所以，
所以
解得
所以，积碳清理机投入运营后，该企业从第年开始盈利.
（2）若选择方案一：因为累计总利润为
所以，时，有最大值，最大值为
所以，选择方案一时，积碳清理机使用年后被淘汰.
若选择方案二:因为年平均利润为
又
当且仅当即时，等号成立.
所以，时，有最大值，最大值为.
所以，选择方案二时，积碳清理机使用年后被淘汰.
“你认为哪种方案更合理 试说明理由.”这一问题，考生在表明自己的观点后，只要论述的理由合理，能够自圆其说即可得分.
我认为选择方案一更合理.因为若选择方案一，积碳清理机共可为企业盈利元;若选择方案二，积碳清理机共可为企业盈利元.所以选择方案一可为企业盈利更多一些，因此我认为选择方案一更合理.
我认为选择方案二更合理.因为若选择方案一，积碳清理机为企业赚取的年平均利润为
元；若选择方案二，积碳清理机为企业赚取的年平均利润为元.所以，考虑到时间成本，选择方案二可使得企业盈利的效率更高一些，因此我认为选择方案二更合理．
（两种方案中选一个即可）．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的应用，解题关键是求出总赢利．然后根据问题利用列式求解．列不等式，列方程，或者结合函数的性质计算求解．
18．每年应付款7100元
【分析】由题意可知每年付款以及利息构成了一个等比数列，确定其首先和公比，由此利用等比数列的前n项和公式可列出关于n的方程，解得答案.
【详解】设每年应付款x元，那么到最后一次付款时（即购房十年
后），第一年付款及所生利息之和为元，
第二年付款及所生利息之和为元，……
第九年付款及所生利息之和为元，
第十年付款为x元，
而购房余款及其利息之和为
（元），
因此有，
∴（百元）．
故每年应付款7100元．
19．(1) 8500万元 (2) 2017年
【分析】（1）依次写出该企业2011，2012，2013，2014年年底分红后的资金；
（2）由题意可得{an﹣500}是以1000为首项，2为公比的等比数列，从而可得an＝1000 2n﹣1+500；令an＞32500求得即可．
【详解】（1）该企业2011年年底分红后的资金为1000×2﹣500＝1500；
该企业2012年年底分红后的资金为1500×2﹣500＝2500；
该企业2013年年底分红后的资金为2500×2﹣500＝4500；
该企业2014年年底分红后的资金为4500×2﹣500＝8500；
即该企业2014年年底分红后的资金为8500万元；
（2）设该企业从2010年起n年后年底分红后的资金为an万元；
则an＝2an﹣1﹣500；
故an﹣500＝2（an﹣1﹣500）；
故{an﹣500}是以1000为首项，2为公比的等比数列，
故an﹣500＝1000 2n﹣1；
故an＝1000 2n﹣1+500；
令an＝1000 2n﹣1+500＞32500得，
n＞6；
2010+7＝2017；
故该企业到2017年底分红后的资金超过32500万元．
【点睛】本题考查了等比数列在实际问题中的应用，求出的通项公式是关键，属于中档题．
20．（1）3（2）8
【分析】（1）根据等差数列求和公式得年每台充电桩总维修费用，再列利润，令利润大于零，解得结果；
（2）先列年平均利润，再根据基本不等式求最值.
【详解】（1）每台充电桩第年总利润为
所以每台充电桩第3年开始获利
（2）每台充电桩前年的年平均利润
当且仅当时取等号
所以每台充电桩前8年的年平均利润最大
【点睛】本题考查等差数列实际应用、基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（ ）
A． B．
C．当为偶数时， D．当为奇数时，
2．农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（ ）
A．第3级修正 B．第4级修正 C．第5级修正 D．第6级修正
3．已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且有，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．S7与S8均为的最大值 D．
4．记等差数列与的前n项和分别为与，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代汉语叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前日的一半．现把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为，那么前四日所取木棒的总长度为（ ）
A．1 B． C． D．
6．设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．设等差数列的前项和为，若，则
A．27 B．36 C．45 D．54
8．等比数列满足，，，则数列的前10项和是
A．-35 B．-25 C．25 D．35
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，下列结论正确的是（ ）
A．第8行最右边的数为38
B．第10行从右向左第个5数为51
C．第10行所有数的和为505
D．第64行从左向右第7个数为2023
10．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（ ）
A．d＜0 B．a15 > 0
C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn＜0时n≥32
11．已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
12．设等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．最大
三、填空题（20分）
13．已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是 .
14．给定，则使乘积为整数的称为“和谐数”，则在区间内的所有“和谐数”的和为 .
15．在等差数列{}中，若=3，则++= .
16．数列满足：，则 ．
四、解答题（70分）
17．年月日至日，第二届中国国际进口博览会在上海国家会展中心举行，本届进博会延续“新时代，共享未来”的主题.某公司带来了汽车积碳清理机参展，已知汽车积碳清理机每台元.某企业购买了一台该设备，投入运营后，该清理机每年可给企业带来收益元，其维修保养费用第一年为元，以后每年增加元.
（1）积碳清理机投入运营后，该企业第几年开始盈利 (结果保留整数)参考数据:
（2）积碳清理机投入运营一段时间后，何时淘汰该设备，企业设计了两种淘汰方案:方案一:累计总利润最大时淘汰；方案二:年平均利润最大时淘汰.请计算两种方案下积碳清理机各使用多少年后被淘汰.你认为哪种方案更合理 试说明理由.
18．陈老师购买安居工程集资房92平方米，单价为1000元/平方米，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元，计算时取）
19．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1000万元．
(1)求该企业2014年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元．
20．新能源汽车环保 节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.
（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：)
（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前年的年平均利润=).
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，代入数列的具体值即可判断出各个选项．
【详解】解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，
则数列的通项公式为：，
所以，，
当为偶数时，，
当为奇数时，．
故选：B．
2．C
【分析】根据题意依次求出，再判断哪一个等于即可.
【详解】因为数列满足，，，…，其中均为正整数：
，，，，，，…，
所以，，，
，
，
所以“年共闰个月”为第5级修正，
故选：C
3．A
【分析】由可直接判断，进而对选项进行判断.
【详解】根据 ，得到
又由 ，得到
得到等差数列为 的递减数列，则 与 均为 的最大值．
所以只有答案A是错误的．
故选：A
4．C
【分析】根据等差数列前n项和与通项之间的关系，将数列的项之比化为前n项和之比，代入等式计算即可得出答案.
【详解】根据等差数列的性质，
，选项C正确.
故选：C.
5．C
【分析】根据题意可得每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式即可得出答案.
【详解】解：由题意可知，每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，
所以前四日所取木棒的总长度为.
故选：C.
6．B
【解析】根据题意两式相减可求得公比，将公比代入原式可求出首项.
【详解】，，
两式相减可得，即，故公比为3，
由得，解得.
故选：B.
7．D
【详解】由题意，可得：
∴，即
∴
故选D
8．C
【分析】依题意，根据等比数列的公式，可求得 ，代入即可求出，结合等差数列前n项和公式即可求解．
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以 ，所以，所以数列的前10项和．故选C．
【点睛】本题考查等比数列通项公式，等比数列与等差数列的转化，等差数列前n项和的求法，考查计算分析，化简求值的能力，属中档题．
9．BCD
【分析】根据三角数阵可知第行共有个数，且第行的最后一个数字是：，即为.结合等差数列前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】由三角形数阵可知，
①第行共有个数；
②第行的最后一个数字是：，即为.
A：因为，故A错误；
B：因为，
所以第行中的个数字依次为.故B正确；
C：由，故C正确；
D：由，知第行最后的一个数为；
所以第行中的数字从左到右依次为
2017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024，，第7个数为2023，故D正确.
故选：BCD.
10．ABC
【分析】通过求得的关系，进一步判断出数列是递减数列，将的关系式代入四个答案即可判断.
【详解】由，
∴
∵，∴d<0，A正确；
，B正确；
由前面分析可知：是递减数列，，，∴的最大值是，C正确；
∵，∴，而数列是递减数列，∴时，，D错误.
故选：ABC.
11．ABD
【解析】由条件可得，解出，进而可得通项公式和前n项和，再由可判断D.
【详解】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；
，选项B正确；
，所以，选项C错误；
，而，选项D正确．
故选：ABD.
12．ABC
【分析】根据等差数列的通项公式与前项和公式求解判断．
【详解】等差数列，由得，所以正确；
，故B正确；
，又，可知大于0，,故C正确，错误.
故选：ABC．
13．
【分析】构造函数，则的图像与直线至少有个公共点，确定，，得到，得到答案.
【详解】设等差数列的公差为，构造函数，
则的图像与直线至少有个公共点，
横坐标分别为，，，，，
根据绝对值函数的性质知：
当为奇数时，函数图像关于对称，时有最小值，
此时最多有个交点，不满足题意，
当为偶数时，函数图像在上是一条水平的线段，可以有个交点，
故，
且，
故，即，
，故，故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列，数列的绝对值求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数，再根据其性质得到是解题的关键.
14．2026
【解析】根据换底公式把代入并且化简，转化为为整数，即，，可求得区间内的所有“和谐数”的和.
【详解】由换底公式：，
得
为整数，
∴，，
分别可取，
最大值，则最大可取10，
故所有“和谐数”的和为.
故答案为：2026.
【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式，把化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.
15．9
【解析】由=3，得，而++，化简可得答案
【详解】解：设等差数列{}的公差为，
由=3，得，
所以++，
故答案为：9
16．512
【分析】根据题意可得，进而可得，故从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】当时，则；
当时，可得，且，
则，
可得：从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，
综上所述：.
故答案为：512.
17．（1）3年；（2）答案见解析.
【分析】（1）每年的维修保养费用是以为首项，为公差的等差数列，设第年时累计总利润为，求出，解不等式可得；
（2）根据两种方案一是求得的最大值，二是求出的最大值．哪种方案更合理，根据说明的合理理由，两种都可以（不同的方案有不同的理由）．
【详解】（1） 由题意知，每年的维修保养费用是以为首项，为公差的等差数列，设第年时累计总利润为，则
企业开始盈利即，所以，
所以
解得
所以，积碳清理机投入运营后，该企业从第年开始盈利.
（2）若选择方案一：因为累计总利润为
所以，时，有最大值，最大值为
所以，选择方案一时，积碳清理机使用年后被淘汰.
若选择方案二:因为年平均利润为
又
当且仅当即时，等号成立.
所以，时，有最大值，最大值为.
所以，选择方案二时，积碳清理机使用年后被淘汰.
“你认为哪种方案更合理 试说明理由.”这一问题，考生在表明自己的观点后，只要论述的理由合理，能够自圆其说即可得分.
我认为选择方案一更合理.因为若选择方案一，积碳清理机共可为企业盈利元;若选择方案二，积碳清理机共可为企业盈利元.所以选择方案一可为企业盈利更多一些，因此我认为选择方案一更合理.
我认为选择方案二更合理.因为若选择方案一，积碳清理机为企业赚取的年平均利润为
元；若选择方案二，积碳清理机为企业赚取的年平均利润为元.所以，考虑到时间成本，选择方案二可使得企业盈利的效率更高一些，因此我认为选择方案二更合理．
（两种方案中选一个即可）．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的应用，解题关键是求出总赢利．然后根据问题利用列式求解．列不等式，列方程，或者结合函数的性质计算求解．
18．每年应付款7100元
【分析】由题意可知每年付款以及利息构成了一个等比数列，确定其首先和公比，由此利用等比数列的前n项和公式可列出关于n的方程，解得答案.
【详解】设每年应付款x元，那么到最后一次付款时（即购房十年
后），第一年付款及所生利息之和为元，
第二年付款及所生利息之和为元，……
第九年付款及所生利息之和为元，
第十年付款为x元，
而购房余款及其利息之和为
（元），
因此有，
∴（百元）．
故每年应付款7100元．
19．(1) 8500万元 (2) 2017年
【分析】（1）依次写出该企业2011，2012，2013，2014年年底分红后的资金；
（2）由题意可得{an﹣500}是以1000为首项，2为公比的等比数列，从而可得an＝1000 2n﹣1+500；令an＞32500求得即可．
【详解】（1）该企业2011年年底分红后的资金为1000×2﹣500＝1500；
该企业2012年年底分红后的资金为1500×2﹣500＝2500；
该企业2013年年底分红后的资金为2500×2﹣500＝4500；
该企业2014年年底分红后的资金为4500×2﹣500＝8500；
即该企业2014年年底分红后的资金为8500万元；
（2）设该企业从2010年起n年后年底分红后的资金为an万元；
则an＝2an﹣1﹣500；
故an﹣500＝2（an﹣1﹣500）；
故{an﹣500}是以1000为首项，2为公比的等比数列，
故an﹣500＝1000 2n﹣1；
故an＝1000 2n﹣1+500；
令an＝1000 2n﹣1+500＞32500得，
n＞6；
2010+7＝2017；
故该企业到2017年底分红后的资金超过32500万元．
【点睛】本题考查了等比数列在实际问题中的应用，求出的通项公式是关键，属于中档题．
20．（1）3（2）8
【分析】（1）根据等差数列求和公式得年每台充电桩总维修费用，再列利润，令利润大于零，解得结果；
（2）先列年平均利润，再根据基本不等式求最值.
【详解】（1）每台充电桩第年总利润为
所以每台充电桩第3年开始获利
（2）每台充电桩前年的年平均利润
当且仅当时取等号
所以每台充电桩前8年的年平均利润最大
【点睛】本题考查等差数列实际应用、基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
答案第1页，共2页
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