新人教A版选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教A版选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 707.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-07 11:34:29 | ||
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文档简介
第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．曲线的图像在处切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，比较的大小关系（ ）
A． B．b
C． D．
4．已知，且满足，为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．设，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．若方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知，函数的导函数为，下列说法正确的是（ ）
A． B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
10．（多选）设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含（ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数
C．的最大值为 D．若，则
12．曲线的一条切线平行于直线，则切点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（20分）
13．已知函数，则的值为 .
14．函数在点处的切线方程为 .
15．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝ .
16．若函数f (x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为 .
四、解答题（70分）
17．甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间获利10万元，乙用5个月时间获利2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
18．如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，.原有观光道路OC，且.为便于游客观赏，景点管理部门决定新建两条道路PQ、PA，其中P在原道路OC（不含端点O、C）上，Q在景点边界OB上，且，同时维修原道路的OP段，因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米费用分别是万元、万元，维修OP段的每千米费用是万元.
（1）设，求所需总费用，并给出的取值范围；
（2）当P距离O处多远时，总费用最小.
19．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方的生产需要占用甲方资源，因此乙方必须向甲方补偿一定的经济损失．设乙方每生产一吨产品必须支付甲方s（元）（以下称为补偿价格）．在乙方不补偿甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足的函数关系为．
(1)将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在补偿中获得最大净收入，应向乙方要求的补偿价格s是多少？
20．如图，某生态农庄内有一三角形区域，，百米，百米．现要修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点）．
(1)若，求的长度；
(2)现计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路的成本为每百米1万元，求三项费用总和的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角.
【详解】因为，所以，所以，
所以函数在处的切线的斜率，则倾斜角为.
故选：D.
2．C
【分析】根据题意构建，，利用导数判断其单调性，并利用单调性分析判断.
【详解】因为，不妨设，，
则，所以在上单调递增，
因为与1的大小不确定，所以无法比较的大小关系，故A、B无法判断；
则，即，
且，则，故D错误；
由，即，
且，则，C正确；
故选：C．
3．C
【分析】由，构造、且，利用导数研究单调性比较大小关系.
【详解】由，
令且，则，
所以递减，则，故，则，
令且，则，
所以递减，则，故，则，
综上，.
故选：C
4．B
【分析】构造函数，利用导函数研究函数的单调性判断即可.
【详解】解：因为在上单调增，，所以，故A、D错误；
构造函数，则，，
当时，，单调增，
当时，，单调减，
因为，，即，又，
所以，，，，
所以，
所以，，，即，
所以，故B正确.
故选：B.
5．C
【分析】分、两种情况求解即可.
【详解】若，则单调递减，图像可知，，
若，则单调递增，由图像可知，
故不等式的解集为．
故选：C
6．D
【分析】求出，由题意在上有解，再转化为求新函数的最小值．
【详解】由已知在上有解，
即在上有解，
设，则在上恒成立，因此在上是增函数，
，
所以，
故选：D．
7．D
【解析】根据导数的定义，结合导数的运算法则进行求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
【点睛】本题考查了导数的定义，考查导数的运算法则，属于基础题.
8．B
【分析】分离参数为，构建新函数，再求新函数的值域即可作答.
【详解】因，则有，，
令，则，时时，
在上递增，在上递减，时，，即值域为，
方程有解，即有解，必有，
所以实数的取值范围是.
故选：B
9．AC
【分析】求出，则可知，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为；方程等价于,易知函数与函数有且只有一个交点，由此即可选出答案.
【详解】由题意知：，
所以，A正确；
当时；，单调递增，
当时；，单调递减，B错误;
的极大值为，C正确；
方程等价于,
易知函数与函数有且只有一个交点，即方程有且只由一个解，D错误;
故选：AC.
10．CD
【分析】切线倾斜角的正切就是曲线的导数，只要判断导函数的取值范围即可.
【详解】，，
依题意：，，
∵倾斜角的取值范围是，∴，
故选：CD.
11．BCD
【分析】利用对称性定义推理判断A；由与在上单调性判断B；借助导数求出在周期长的区间上的最大值判断C；由在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.
【详解】对于A，因，则的图象关于对称，不关于对称，A错误；
对于B，因与在上都是增函数，则在上是增函数，B正确；
对于C，因，即是奇函数，
又与的最小正周期分别为与，则的正周期为，
当时，，令，得，即，
当时，，当时，，则在上递增，在上递减，
因此，在上的最大值为，由是奇函数得在上的最大值为，
由的正周期为，则在R上的最大值为，C正确；
对于D，由选项C得，，，，
又，则，
所以当时，，D正确．
故选：BCD
12．AB
【分析】设点，结合题意利用导数的几何意义即可求解.
【详解】设点，因为，则，
由题意可知：，解得，
当时，，此时点的坐标为；
当时，，此时点的坐标为；
故选：AB.
13．1
【分析】根据导函数公式，先求得，代入即可求解.
【详解】函数，
根据三角函数诱导公式可知，
所以
故答案为：1.
【点睛】本题考查了导数的简单应用，导数值的求法，属于基础题.
14．（写成亦可）
【分析】利用导数求得的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】，，则，
因此，函数在点处的切线方程为即.
故答案为：（写成亦可）.
15．－120
【详解】f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
16．
【详解】由f (x)在区间[a，a＋1]上单调递增，得f ′(x)＝ex(－x2＋a＋2)≥0，x∈[a，a＋1]恒成立，即(－x2＋a＋2)min≥0，x∈[a，a＋1].
当a≤时，－a2＋a＋2≥0，则－1≤a≤；
当a>时，－(a＋1)2＋a＋2≥0，则所以实数a的取值范围是－1≤a≤，a的最大值是.填．
【点睛】当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递增，当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递减．
当f(x)在区间D上单调递增时，导函数在区间D上，且要检验不恒恒成立．当f(x)在区间D上单调递减时，导函数在区间D上，且要检验不恒成立．
17．乙的经营成果好
【分析】根据题意分别求得甲乙平均每月的获利，比较即可得到结论.
【详解】由题意，甲的平均每月的获利为万元，乙的平均每月的获利为万元，
因为，乙的平均收益高于甲的平均获利，
所以乙的经营成果较好.
18．（1）（2）当点P距离O处千米时，总费用的最小
【解析】(1)在中利用正弦定理将求出,，代入并化简即可求得解析式，再根据P在原道路OC上求出的取值范围；(2)求出的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而求得最小值.
【详解】解：（1）因为，所以.
又在中，，
所以，
.
因为，
所以
.
（2），
由得，
又，所以.
当时，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
所以当时，取最小值，此时.
答：当点P距离O处千米时，总费用的最小.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形，求函数解析式，利用导数研究函数的单调性及最值，涉及三角函数的导数，属于中档题.
19．(1)， 吨
(2)元/吨
【分析】（1）由已知中赔付价格为元/吨, 所以乙方的实际年利润为. 我们利用导数法易求出乙方取得最大年利润的年产量
（2）由已知得, 若甲方净收入为元, 则. 再由 . 我们可以得 到甲方净收入与赔付价格 之间的函数关系式, 利用导数法, 我们易求出答案.
【详解】（1）由题意得．因为，所以当时，w取最大值，即乙方获得最大利润时的年产量为吨．
（2）设甲方净收入为u元，则．
由，可知当时，；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，u取最大值．因此甲方应向乙方要求的补偿价格元/吨时能获得最大净收入．
20．(1)（百米）．
(2)万元
【分析】（1）首先根据余弦定理求出，再利用正弦定理即可求出的长；
（2）设，得到，利用导数求出其最值即可.
【详解】（1）在中，由余弦定理，得，
因为，，，
所以，，
所以，．
在中，由正弦定理，得，
所以（百米）．
（2）设，，由（1）可得，
所以，
又，
所以
设三项费用之和为，
则
，，
所以，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以，即三项费用总和的最小值为万元．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．曲线的图像在处切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，比较的大小关系（ ）
A． B．b
C． D．
4．已知，且满足，为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．设，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．若方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知，函数的导函数为，下列说法正确的是（ ）
A． B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
10．（多选）设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含（ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数
C．的最大值为 D．若，则
12．曲线的一条切线平行于直线，则切点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（20分）
13．已知函数，则的值为 .
14．函数在点处的切线方程为 .
15．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝ .
16．若函数f (x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为 .
四、解答题（70分）
17．甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间获利10万元，乙用5个月时间获利2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
18．如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，.原有观光道路OC，且.为便于游客观赏，景点管理部门决定新建两条道路PQ、PA，其中P在原道路OC（不含端点O、C）上，Q在景点边界OB上，且，同时维修原道路的OP段，因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米费用分别是万元、万元，维修OP段的每千米费用是万元.
（1）设，求所需总费用，并给出的取值范围；
（2）当P距离O处多远时，总费用最小.
19．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方的生产需要占用甲方资源，因此乙方必须向甲方补偿一定的经济损失．设乙方每生产一吨产品必须支付甲方s（元）（以下称为补偿价格）．在乙方不补偿甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足的函数关系为．
(1)将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在补偿中获得最大净收入，应向乙方要求的补偿价格s是多少？
20．如图，某生态农庄内有一三角形区域，，百米，百米．现要修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点）．
(1)若，求的长度；
(2)现计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路的成本为每百米1万元，求三项费用总和的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角.
【详解】因为，所以，所以，
所以函数在处的切线的斜率，则倾斜角为.
故选：D.
2．C
【分析】根据题意构建，，利用导数判断其单调性，并利用单调性分析判断.
【详解】因为，不妨设，，
则，所以在上单调递增，
因为与1的大小不确定，所以无法比较的大小关系，故A、B无法判断；
则，即，
且，则，故D错误；
由，即，
且，则，C正确；
故选：C．
3．C
【分析】由，构造、且，利用导数研究单调性比较大小关系.
【详解】由，
令且，则，
所以递减，则，故，则，
令且，则，
所以递减，则，故，则，
综上，.
故选：C
4．B
【分析】构造函数，利用导函数研究函数的单调性判断即可.
【详解】解：因为在上单调增，，所以，故A、D错误；
构造函数，则，，
当时，，单调增，
当时，，单调减，
因为，，即，又，
所以，，，，
所以，
所以，，，即，
所以，故B正确.
故选：B.
5．C
【分析】分、两种情况求解即可.
【详解】若，则单调递减，图像可知，，
若，则单调递增，由图像可知，
故不等式的解集为．
故选：C
6．D
【分析】求出，由题意在上有解，再转化为求新函数的最小值．
【详解】由已知在上有解，
即在上有解，
设，则在上恒成立，因此在上是增函数，
，
所以，
故选：D．
7．D
【解析】根据导数的定义，结合导数的运算法则进行求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
【点睛】本题考查了导数的定义，考查导数的运算法则，属于基础题.
8．B
【分析】分离参数为，构建新函数，再求新函数的值域即可作答.
【详解】因，则有，，
令，则，时时，
在上递增，在上递减，时，，即值域为，
方程有解，即有解，必有，
所以实数的取值范围是.
故选：B
9．AC
【分析】求出，则可知，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为；方程等价于,易知函数与函数有且只有一个交点，由此即可选出答案.
【详解】由题意知：，
所以，A正确；
当时；，单调递增，
当时；，单调递减，B错误;
的极大值为，C正确；
方程等价于,
易知函数与函数有且只有一个交点，即方程有且只由一个解，D错误;
故选：AC.
10．CD
【分析】切线倾斜角的正切就是曲线的导数，只要判断导函数的取值范围即可.
【详解】，，
依题意：，，
∵倾斜角的取值范围是，∴，
故选：CD.
11．BCD
【分析】利用对称性定义推理判断A；由与在上单调性判断B；借助导数求出在周期长的区间上的最大值判断C；由在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.
【详解】对于A，因，则的图象关于对称，不关于对称，A错误；
对于B，因与在上都是增函数，则在上是增函数，B正确；
对于C，因，即是奇函数，
又与的最小正周期分别为与，则的正周期为，
当时，，令，得，即，
当时，，当时，，则在上递增，在上递减，
因此，在上的最大值为，由是奇函数得在上的最大值为，
由的正周期为，则在R上的最大值为，C正确；
对于D，由选项C得，，，，
又，则，
所以当时，，D正确．
故选：BCD
12．AB
【分析】设点，结合题意利用导数的几何意义即可求解.
【详解】设点，因为，则，
由题意可知：，解得，
当时，，此时点的坐标为；
当时，，此时点的坐标为；
故选：AB.
13．1
【分析】根据导函数公式，先求得，代入即可求解.
【详解】函数，
根据三角函数诱导公式可知，
所以
故答案为：1.
【点睛】本题考查了导数的简单应用，导数值的求法，属于基础题.
14．（写成亦可）
【分析】利用导数求得的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】，，则，
因此，函数在点处的切线方程为即.
故答案为：（写成亦可）.
15．－120
【详解】f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
16．
【详解】由f (x)在区间[a，a＋1]上单调递增，得f ′(x)＝ex(－x2＋a＋2)≥0，x∈[a，a＋1]恒成立，即(－x2＋a＋2)min≥0，x∈[a，a＋1].
当a≤时，－a2＋a＋2≥0，则－1≤a≤；
当a>时，－(a＋1)2＋a＋2≥0，则
【点睛】当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递增，当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递减．
当f(x)在区间D上单调递增时，导函数在区间D上，且要检验不恒恒成立．当f(x)在区间D上单调递减时，导函数在区间D上，且要检验不恒成立．
17．乙的经营成果好
【分析】根据题意分别求得甲乙平均每月的获利，比较即可得到结论.
【详解】由题意，甲的平均每月的获利为万元，乙的平均每月的获利为万元，
因为，乙的平均收益高于甲的平均获利，
所以乙的经营成果较好.
18．（1）（2）当点P距离O处千米时，总费用的最小
【解析】(1)在中利用正弦定理将求出,，代入并化简即可求得解析式，再根据P在原道路OC上求出的取值范围；(2)求出的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而求得最小值.
【详解】解：（1）因为，所以.
又在中，，
所以，
.
因为，
所以
.
（2），
由得，
又，所以.
当时，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
所以当时，取最小值，此时.
答：当点P距离O处千米时，总费用的最小.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形，求函数解析式，利用导数研究函数的单调性及最值，涉及三角函数的导数，属于中档题.
19．(1)， 吨
(2)元/吨
【分析】（1）由已知中赔付价格为元/吨, 所以乙方的实际年利润为. 我们利用导数法易求出乙方取得最大年利润的年产量
（2）由已知得, 若甲方净收入为元, 则. 再由 . 我们可以得 到甲方净收入与赔付价格 之间的函数关系式, 利用导数法, 我们易求出答案.
【详解】（1）由题意得．因为，所以当时，w取最大值，即乙方获得最大利润时的年产量为吨．
（2）设甲方净收入为u元，则．
由，可知当时，；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，u取最大值．因此甲方应向乙方要求的补偿价格元/吨时能获得最大净收入．
20．(1)（百米）．
(2)万元
【分析】（1）首先根据余弦定理求出，再利用正弦定理即可求出的长；
（2）设，得到，利用导数求出其最值即可.
【详解】（1）在中，由余弦定理，得，
因为，，，
所以，，
所以，．
在中，由正弦定理，得，
所以（百米）．
（2）设，，由（1）可得，
所以，
又，
所以
设三项费用之和为，
则
，，
所以，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以，即三项费用总和的最小值为万元．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页