1.1 空间向量定义及运算 学案
文档属性
| 名称 | 1.1 空间向量定义及运算 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-07 15:04:09 | ||
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文档简介
空间向量定义及运算
【考纲解读】
理解空间向量的定义，掌握空间向量线性运算加法，减法和数与向量乘积运算的法则，掌握空间向量线性运算的基本方法，能够熟练进行空间向量的线性运算；
了解空间向量基本定理，理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量坐标运算加法，减法和数与向量乘积运算的法则，掌握空间向量坐标运算的基本方法，能够熟练进行空间向量的坐标运算；
理解空间向量数量积的定义，掌握空间向量数量积几何运算（或坐标运算）的法则和基本方法，能够熟练进行空间向量数量积几何运算（或坐标运算）。
【知识精讲】
一、空间向量的概念：
1、空间向量的定义：在空间具有大小和方向的量，叫做空间向量。
2、空间向量的三要素：（1）空间向量的始点；（2）空间向量的大小；（3）空间向量的方向。
3、向量的表示：空间向量表示的基本方法有：（1）始点与终点的大写字母加上箭头符号（注意大写字母的顺序）；（2）一个小写的希腊字母加上箭头符号。
4、空间向量的模：空间向量的长度，称为空间向量的模，它可表示为：（1）始点与终点的大写字母加上箭头符号（注意大写字母的顺序）再加上绝对值符号；（2）一个小写的希腊字母加上箭头符号再加上绝对值符号。
5、特殊的空间向量：（1）零向量：模长为0的向量，称为零向量，零向量具有如下性质：①零向量的模长为0 ；②零向量的方向不确定；③零向量与任何向量共线；
（2）单位向量：模长为1的向量，称为单位向量，单位向量常用，，-----表示，也可以表示为，，----- 。
（3）平行向量（或共线向量）：方向相同（或相反）的向量，称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任一向量平行（或共线）。
（4）相等向量：方向相同且模长相等的向量，称为相等向量，相等向量具有两个特征：①
相等向量方向相同；②相等向量模长相等。
（5）相反向量：方向相反且模长相等的两个向量，互为相反向量，其中一个向量称为另一个向量的相反向量，相等向量具有两个特征：①相反向量方向相反；②相反向量模长相等。
（6）共面向量：在同一个平面内的向量，叫做共面向量。
二、空间向量的线性运算：
1、空间向量的加法：
（1）空间向量加法的定义：求空间几个向量的和的运算，叫做空间向量的加法；
（2）空间向量加法的法则：
①平行四边形法则，如（图1）：
平行四边形法则的特点是两个向量具有公共的始点； +
它的适用范围是具有公共始点的两个向量求和。 （图1）
②三角形法则如（图2）：
三角形法则的特点是一个向量的始点与另一个向 +
量的终点重合； （图2）
三角形法则的适用范围是一个向量的始点与另一个向量的终点重合的两个向量求和。
（3）空间向量加法的运算律：
①+=+，这个运算律称为交换律；特别的：+=+=；
②（+）+=+（+），这个运算律称为结合律。
2、空间向量的减法：
（1）相反向量的定义：求两个向量的差的运算，称为向量的减法。
（2）相反向量的表示：在一个向量前面加上符号“-”表示这个向量的相反向量，例如向量的相反向量可表示-。
（3）互为相反向量的两个向量的性质：①互为相反向量的两个向量的和零，即设向量的相反向量向量为-，则上面的性质可表示为+（-）=0。
（4）空间向量减法的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
3、实数与空间向量的积：
（1）实数与空间向量积的意义：设空间向量为，∈R，的意义是：①长度：||=||||，②方向：＞0时，与同向；＜0时，与反向；由实数与空间向量积的意义可知，在计算时，应分两步进行：①确定的模长；②确定的方向 。
（2）实数与空间向量的积的运算性质：设，是空间向量，，∈R。
①（）=（）； ②（+）=+； ③（+）=+。
三、共线向量与共面向量：
1、共线向量：
（1）共线（或平行）向量的定义：方向相同（或相反）的向量，称为共线（或平行）向量。
（2）向量共线的充要条件：设，是空间任意两个向量，且≠0，则，共线的充要条件是：存在∈R，使=成立；即：与（≠0）共线存在∈R，使=成立。
（3）推论：如果直线l过已知点A，且平行于已知非零向量所在的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是：存在∈R，使=+成立。
2、共平面向量：
（1）共面向量的定义：在同一平面内的向量，称为共面向量。
（2）共面向量的充要条件：设，是不共线的两个向量，则向量与向量，共面的充要条件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；即：向量与不共线向量，共面存在x，y∈R，使=x+y成立。
（3）推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；或对空间任意一点O，存在x，y∈R,有=+x+y 成立。
四、空间向量基本定理：
1、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任意向量，存在 唯一一对有序实数组（x，y，z），使=x+y+z成立；这里的｛，，｝叫做空间的一个基底，向量{，，}叫做基向量；空间任何三个不共面的向量，都可以构成空间的一个基底。
2、空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C四点不共面，则对空间任意一点P，都存在
唯一一对有序实数组（x，y，z），使=x+y+z（x+y+z=1）成立。
五、空间向量的坐标运算：
1、空间向量坐标的定义：
（1）单位正交基底：在空间取三个互相垂直的单位向量为基向量的基底，称为单位正交基底，用{，，}来表示；
（2）空间直角坐标系的定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛，，｝，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，称为空间直角坐标系；这里的O点叫做空间直角坐标系的原点，向量，，叫做x轴，y轴，z轴的单位向量，每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面，空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们分别是xOy平面，xOz平面和yOz平面。
（3）空间向量坐标的定义：在给定的空间直角坐标系中，对空间的任意向量，由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使=x+y+z成立，这里的有序实数组（x，y，z）称为向量在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作=（x，y，z）。
（4）空间直角坐标系中点的坐标：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间的任意一点A，对应一个向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使= x+y+z成立，这里的有序实数组（x，y，z）称为点A在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A（x，y，z）；其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。
2、空间向量的坐标运算：
设=(， ，)，=(，，)。
（1）+=(+， +，+)； （2）-=(-， -，-) ；
（3）=(， ，)； （4）||==；
（5）设空间直角坐标系中的两点A(，，)，B(， ， )。
①=(-， -，-) ，从而得到：一个空间向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
②||==。
六、空间向量的数量积：
1、空间向量数量积的线性运算： B
（1）空间向量的夹角：如图设空间向量，是两个非零向量，
在空间任意取一点O，作=， =，则= O A
称为空间向量与的夹角，记为〈，〉=，（≤≤）；
（2）空间向量夹角的特例：①当=时，空间向量与同向；②当=时，空间向量与互相垂直，记作⊥；③当=时，空间向量与反向。
（3）空间向量数量积的线性运算：
①法则：.=||||COS〈，〉， 规定：.=.=0；
②空间向量数量积的几何意义：
.等于空间向量的长度||与空间向量在向量的方向上的投影|| COS〈，〉的乘积，如下图所示：
B B B
O A O A O A
〈，〉为锐角 〈，〉为钝角 〈，〉为直角
（4）空间向量数量积的运算性质：
设空间向量，，，∈R。则有：①.=.；②（）. =（. ）=. （）；③（+）.= .+.。
2、空间向量数量积的性质：
设空间向量，是非零向量，是与同向的单位向量，为空间向量与的夹角。则有：①.=.=||cos；②⊥.=0；③.=||或||=；
④cos= ；⑤|.|≤||.||。
3、空间向量数量积的坐标运算：
设=(， ，)，=(，，)。则有：（1）.=+ +；（2）||= .=；||=；（3）cos= ；（4）⊥.=+=0；（5）∥=。
【探导考点】
考点1空间向量的概念：热点判断与空间向量概念相关命题的真假；
考点2空间向量的线性运算：热点①空间向量线性运算；热点②根据空间向量运算求参数的值（或取值范围）；热点③空间向量共线充分必要条件的运用；
考点3空间向量的坐标运算：热点①空间向量基本定理及运用；热点②空间向量坐标运算；热点③利用空间向量共线（或共面）充分必要条件求向量（或点的坐标）；热点④利用空间向量共线（或共面）充分必要条件求参数的值（或取值范围）
考点4空间向量数量积：热点①空间向量数量积的线性运算；热点②空间向量数量积的坐标运算；热点③运用空间向量数量积求向量的模；热点④利用空间向量数量积求向量的夹角。【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足||=||，则=；③正方体ABCD—中，必有=；④若空间向量，，满足=，=，则=。其中不正确命题的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、判断下列命题的真假，如果是假命题，并说明理由：
若向量与同向，且||＞||，则＞；
若||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；
对任意向量||=||，且与的方向相同，则=；
的方向不定，故不与任何向量平行；
向量与平行，则向量与向量的方向相同或相反；
向量与向量是共线向量，则A、B、C、D四点在一条直线上；
起点不同，但方向相同，且模长相等的几何向量是相等向量。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与空间向量基本概念相关的问题，解答这类问题需要深刻理解空间向量的基本概念，注意问题与哪一个（或哪几个）基本概念相关；
（2）理解空间向量的基本概念，一定要注意每一个基本概念涉及问题的实质及主要特征，例如相等向量的实质是两个向量相等，主要特征是：① 相同，②模长 。
〔练习1〕解答下列问题：
1、四边形ABCD是平行四边形的充要条件是( )
A ||=|| B = C = D =
2、下列说法中错误的是（ ）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
【典例2】按要求解答下列各题：
1、如图已知平行六面体ABCD—。
求：（1）+；
（2） ++； D C
（3）++； A B
（4）（++）。 0
2、如图已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC， M
M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN G C
上，且使MG=2GN，用基向量，，表示 A N
向量； B
3、 如图平行六面体ABCD—中，AC与
BD的交点为点M，设，，
EMBED Equation.DSMT4 ，则下列向量中与相等的 D C
向量是（ ） A M B
A B C D
4、如图平行六面体ABCD—中，
AB=5，AD=3，A=7，，
EMBED Equation.DSMT4 。 D C
求A的长。 A B
5、已知ABCD—是平行六面体，设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC对角线B上的4等分点，且BN= B，设= ++，试求，，的值。
『思考问题2』
（1）【典例2】是空间向量线性运算的问题，解答这类问题应该理解并掌握空间向量线性运算的基本法则和运算律，注意每一个法则的特性与适用范围；
（2）在实际解答问题时，运用法则的同时应该结合空间向量线性运算的运算律，这样可以使问题更加简化便捷。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如图已知正方体ABCD—，点E、F分别是
上底面和侧面CD的中心，求下列各
题中x、y的值。 F
（1）=x（++）； D C
（2）=+x+y； A B
（3）=+ x+y。
2、如图已知空间四边形ABCD，连接AC、BD， A
M、G分别是BC、DC的中点。
求： （1）++；
（2）+（+）； D
（3）-（+）。 B M G
3、如图在平行六面体ABCD—中， C
=，=，=，用，，表示下列向量：
（1）、、；
（2）（点G是侧面BC的中心）。
D C
A B
4、O，A，B，C为空间四点，如果向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面；
5、已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且=， =， =，用，，表示。
【典例3】按要求解答下列各题：
1、设，是两个不共线的非零向量，若与的起点相同，t∈R，当t为何值时，，t，（+）三向量的终点在一条直线上；
2、设，不共线，点P在AB上，求证：=+，且+=1，，∈R。
3、设，是两个不共线的非零向量。
（1）如果=-，=3+2，=-8-2，求证：A,，C，D三点共线；
（2）如果=+，=2-3，=2-k，且A，C，D三点共线，求k的值。
5、如图已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量=k，=k，=k，=k，求证： O
（1）四点E、F、G、H共面；
（2）平面ABCD∥平面EFGH。 D C
A B
H G
E F
6、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C， 试问满足向量关系=x+y+z（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？
『思考问题3』
（1）【典例3】是空间向量共线与共面的问题，解答这类问题应该分辨清楚问题是空间向量共线还是共面的问题，理解并掌握空间向量共线或共面的充要条件；
（2）空间向量共线（或共面）的充要条件，是解答该类问题的关键，共线涉及到一个非零向量，而共面涉及到两个非零向量。
〔练习3〕按要求解答下列各题：
1、证明起点相同的三个向量，，3-2的终点在同一条直线上；
2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，确定在下列各条件下点M是否与A，B，C一定共面。
（1）= + + ； （2）= 2--。
3、已知点A（+1，-1,3），B（2，,-2），C（+3，-3,9）三点共线，则= ，= ；
4、已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，），若，，三个向量共面，则实数等于（ ）
A B 9 C D
5、如图所示已知平行六面体ABCD—中，
点M是A的中点，点G在对角线C上，且 G
CG：G =2:1，设=，=，=， M D C
试用，， 表示向量、、、；A B
【典例4】解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
（1）若≠0，.=.，则=；（2）若.=.，则≠，当且仅当=0时成立；（3）（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；（4）对任意向量有=||；
2、已知||=4，||=8，与的夹角为。
（1）求：（+2）.（2-）； （2）求：|4-2|；
3、如图，已知空间四边形ABCD的每条边及AC， A
BD的长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD ， F
DC的中点。 E C
求：（1）.； （2）.；（3）.； B G
（4）.； （5）. （6）. D
4、若向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2）。求：向量与的夹角；
5、如图已知m，n是平面内的两条相交直线， L
直线L与的交点为B，且L⊥m，L⊥n。 B n m O
求证：L⊥；
6、如图已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC,
OB⊥AC。 A C
求证：OC⊥AB； B
7、如图已知线段AB在平面内，线段AC⊥， C
线段BD⊥AB，线段D⊥，， D
如果AB=a，AC=BD=b. A B
求C，D间的距离；
8、如图在平行六面体ABCD—中，
AB =4，AD=3，A =5，，
。 D C
求 ： | 。 A B
『思考问题5』
（1）【典例5】是与空间向量数量积的几何运算相关的问题，解答这类问题需要理解空间向量数量积几何运算的定义，尤其是空间向量数量积的几何意义，掌握空间向量数量积的性质和运算性质；
（2）在实际解答问题时，应该分辨清楚问题是哪两个空间向量的数量积，再根据空间向量数量积的定义确定两个空间向量的夹角与模长，然后代入公式求出结果；
（3）如果两个空间向量中有一个空间向量是几个空间向量的和，求数量积时应该充分运用数量积的性质及其运算性质。
〔练习5〕解答下列问题：
已知、是非零向量，且|+|=|-|，求证：⊥；
已知||=5，||=4，且与的夹角为，当k为何值时，向量（k-）⊥（+2）。
3、如图已知空间四边形ABCD的每条边和对角线 A
的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，
求证：MN⊥AB，MN⊥CD。 M
4、如图所示，已知空间四边形ABCD的每一条边 A
和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD， B D
CD的中点。 E F C N
计算：（1）.； （2）.；
（3）EG的长； B C G D
（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值。
【典例6】解答下列问题：
1、已知=（2，-3,5），=（-3,1，-4）。
求：（1）+； （2）-； （3）8； （4）.； （5）||； （6）2.(-)；
（7）(+).（-）； （8）（2+3）（-2）； （9）|2+|。
2、已知=（2,3，1），=（-1,-2，-3），=（2,1,3）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）； （3）（+）； （4）+6-8；
3、已知=（2，-1,3），=（-4,2，x），且⊥，求x的值；
4、已知空间三点A(-2,0,2)，B(-1,1,2)，C(-3,0,4)，设=，=，求：
（1）与的夹角；
（2）若k+与k-2互相垂直，求k的值。
5、已知A(3,5,-7)，B(-2,4,3)，求 ，，线段AB的中点坐标及线段AB的长。
6、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
A B
7、已知，，是空间的一个单位正交基底，向量+，-，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为（1,2,3），求在基底+，-，下的坐标。
『思考问题6』
（1）【典例6】是空间向量坐标运算的问题，解答这类问题应该理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量坐标运算的法则；
（2）空间向量坐标运算对于空间向量几何运算中的运算律仍然成立，在实际运算中结合运算律和运算性质可以使运算更加简便快捷。
〔练习1〕按要求解答下列各题：
1、已知=（2，-3,1），=（2,0，3），=（0,0,2）。
求：（1）（+）； （2）+6-8。
2、判断下列各问题中的向量是否平行：
（1）=（1，2,-2），=（-2,-4，4）； （2）=（-2，3,5），=（16,-24，40）。
3、设=（-3，2,5），=（1,5，-1）。
求：（1）+； （2）3-； （3）6； （4）.；
（5）||； （6）（2+3）（-2）； （7）|2+|。
4、已知空间三点A(-1,0,1),B(-2,2,2),C(-3,0,3)，设=，=，求：
（1）与的夹角；
（2）若+k与2-k互相垂直，求k的值。
5、设=（-3,-4），=（2,3），=（5,6）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）。
在中，=（2,3），=（1，k），且的一个内角为，求k的值。
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
1、给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足||=||，则=；③正方体ABCD—中，必有=；④若空间向量，，满足=，=，则=。其中不正确命题的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、给出下列命题：①若≠0，.=.，则=；②若.=.，则≠，且
仅当=0时成立；③（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；④对任意向量有=||，其中假命题是（ ）
A ①②④ B ①②③ C ②③④ D ①②③④
如图所示，在空间直角坐标系中，有直三棱锥 B
ABC-，AC=C=2BC，则直线B与 C
A夹角的余弦值是 。 A
『思考问题7』
【典例7】是解答空间向量概念与空间向量运算问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视正确理解空间向量定义，导致解答问题出现错误；②忽视空间向量线性运算中，加减运算和数与向量积运算的法则（或向量的方向），导致解答问题出现错误；③忽视空间向量夹角与异面直线夹角的定义，导致解答问题出现错误；
解答空间向量概念与空间向量运算问题时，为避免忽视正确理解空间向量定义的雷区，需要正确理解空间向量的定义，尤其是零向量，单位向量，共线向量，相等向量和向量摸长的定义；
解答空间向量概念与空间向量运算问题时，为避免忽视空间向量线性运算中，加减运算和数与向量积运算的法则（或向量的方向）的雷区，需要理解并掌握空间向量加减运算的法则，数与向量积运算的基本方法，注意运算中空间向量的方向。
（4）解答空间向量概念与空间向量运算问题时，为避免忽视空间向量夹角与异面直线夹角的定义雷区，需要正确理解空间向量夹角和异面直线夹角的定义，注意两种夹角的取值范围。
〔练习7〕解答下列问题：
1、下列说法中错误的是（ ）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
给出下列命题：①已知A，B，C，D是空间任意四点，则+++=0；②|-|
=|+|是，共线的充要条件；③若与共线，则与所在的直线平行；④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=x+y+z（其中x，y，zR），则P，A，B，C四点共面，其中假命题的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
A B
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、在空间直角坐标系O-xyz中，点A（-2，1，4）与（2，1，4）关于（ ）对称（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末蓉城名校联盟考试）
A xOy平面 B yOz平面 C xOz平面 D 原点
2、在空间直角坐标系Oxyz中，点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐标原点的距离为（ ）（成都市高2020级2021-2022学年度上期期末调研考试）
A B C D
『思考问题8』
【典例8】是近几年高中数学考试试卷中有关空间向量定义及运算的问题，
1、在空间直角坐标系O—xyz中，点M（0，m，0）到点P（1，0，2）和点Q（1，-3，1）的距离相等，则实数m的值为（ ）（成都市高2019级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A -2 B -1 C 1 D 2
2、在空间直角坐标系OXY中，已知点P（3，2，1），Q（-1，0，1），则|PQ|= （成都市高2018级2019-2020学年度上期期末调研考试）
3、（理）在空间直角坐标系O—xyz中，已知点A（2，1，-1），则与点A关于原点对称的点的坐标为（ ）
A (-2，-1，1) B (-2，1，-1) C (2，-1，1) D (-2，-1，-1)
在空间直角坐标系O—xyz中，点M（1，-2，3）关于yoz平面对称的点的坐标是（ ）（成都市高2017级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A (-1，-2，3) B (1，-2，-3) C (-1，2，-3) D (1，2，-3)
4、在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（-2，-3），若沿X轴把坐标平面折成的二面角，则AB的长为（ ）（成都市高2017级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A B C 5 D 4
空间向量定义及运算
【考纲解读】
理解空间向量的定义，掌握空间向量线性运算加法，减法和数与向量乘积运算的法则，掌握空间向量线性运算的基本方法，能够熟练进行空间向量的线性运算；
了解空间向量基本定理，理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量坐标运算加法，减法和数与向量乘积运算的法则，掌握空间向量坐标运算的基本方法，能够熟练进行空间向量的坐标运算；
理解空间向量数量积的定义，掌握空间向量数量积几何运算（或坐标运算）的法则和基本方法，能够熟练进行空间向量数量积几何运算（或坐标运算）。
【知识精讲】
一、空间向量的概念：
1、空间向量的定义：在空间具有大小和方向的量，叫做空间向量。
2、空间向量的三要素：（1）空间向量的始点；（2）空间向量的大小；（3）空间向量的方向。
3、向量的表示：空间向量表示的基本方法有：（1）始点与终点的大写字母加上箭头符号（注意大写字母的顺序）；（2）一个小写的希腊字母加上箭头符号。
4、空间向量的模：空间向量的长度，称为空间向量的模，它可表示为：（1）始点与终点的大写字母加上箭头符号（注意大写字母的顺序）再加上绝对值符号；（2）一个小写的希腊字母加上箭头符号再加上绝对值符号。
5、特殊的空间向量：（1）零向量：模长为0的向量，称为零向量，零向量具有如下性质：①零向量的模长为0 ；②零向量的方向不确定；③零向量与任何向量共线；
（2）单位向量：模长为1的向量，称为单位向量，单位向量常用，，-----表示，也可以表示为，，----- 。
（3）平行向量（或共线向量）：方向相同（或相反）的向量，称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任一向量平行（或共线）。
（4）相等向量：方向相同且模长相等的向量，称为相等向量，相等向量具有两个特征：①
相等向量方向相同；②相等向量模长相等。
（5）相反向量：方向相反且模长相等的两个向量，互为相反向量，其中一个向量称为另一个向量的相反向量，相等向量具有两个特征：①相反向量方向相反；②相反向量模长相等。
（6）共面向量：在同一个平面内的向量，叫做共面向量。
二、空间向量的线性运算：
1、空间向量的加法：
（1）空间向量加法的定义：求空间几个向量的和的运算，叫做空间向量的加法；
（2）空间向量加法的法则：
①平行四边形法则，如（图1）：
平行四边形法则的特点是两个向量具有公共的始点； +
它的适用范围是具有公共始点的两个向量求和。 （图1）
②三角形法则如（图2）：
三角形法则的特点是一个向量的始点与另一个向 +
量的终点重合； （图2）
三角形法则的适用范围是一个向量的始点与另一个向量的终点重合的两个向量求和。
（3）空间向量加法的运算律：
①+=+，这个运算律称为交换律；特别的：+=+=；
②（+）+=+（+），这个运算律称为结合律。
2、空间向量的减法：
（1）相反向量的定义：求两个向量的差的运算，称为向量的减法。
（2）相反向量的表示：在一个向量前面加上符号“-”表示这个向量的相反向量，例如向量的相反向量可表示-。
（3）互为相反向量的两个向量的性质：①互为相反向量的两个向量的和零，即设向量的相反向量向量为-，则上面的性质可表示为+（-）=0。
（4）空间向量减法的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
3、实数与空间向量的积：
（1）实数与空间向量积的意义：设空间向量为，∈R，的意义是：①长度：||=||||，②方向：＞0时，与同向；＜0时，与反向；由实数与空间向量积的意义可知，在计算时，应分两步进行：①确定的模长；②确定的方向 。
（2）实数与空间向量的积的运算性质：设，是空间向量，，∈R。
①（）=（）； ②（+）=+； ③（+）=+。
三、共线向量与共面向量：
1、共线向量：
（1）共线（或平行）向量的定义：方向相同（或相反）的向量，称为共线（或平行）向量。
（2）向量共线的充要条件：设，是空间任意两个向量，且≠0，则，共线的充要条件是：存在∈R，使=成立；即：与（≠0）共线存在∈R，使=成立。
（3）推论：如果直线l过已知点A，且平行于已知非零向量所在的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是：存在∈R，使=+成立。
2、共平面向量：
（1）共面向量的定义：在同一平面内的向量，称为共面向量。
（2）共面向量的充要条件：设，是不共线的两个向量，则向量与向量，共面的充要条件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；即：向量与不共线向量，共面存在x，y∈R，使=x+y成立。
（3）推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；或对空间任意一点O，存在x，y∈R,有=+x+y 成立。
四、空间向量基本定理：
1、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任意向量，存在 唯一一对有序实数组（x，y，z），使=x+y+z成立；这里的｛，，｝叫做空间的一个基底，向量{，，}叫做基向量；空间任何三个不共面的向量，都可以构成空间的一个基底。
2、空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C四点不共面，则对空间任意一点P，都存在
唯一一对有序实数组（x，y，z），使=x+y+z（x+y+z=1）成立。
五、空间向量的坐标运算：
1、空间向量坐标的定义：
（1）单位正交基底：在空间取三个互相垂直的单位向量为基向量的基底，称为单位正交基底，用{，，}来表示；
（2）空间直角坐标系的定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛，，｝，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，称为空间直角坐标系；这里的O点叫做空间直角坐标系的原点，向量，，叫做x轴，y轴，z轴的单位向量，每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面，空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们分别是xOy平面，xOz平面和yOz平面。
（3）空间向量坐标的定义：在给定的空间直角坐标系中，对空间的任意向量，由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使=x+y+z成立，这里的有序实数组（x，y，z）称为向量在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作=（x，y，z）。
（4）空间直角坐标系中点的坐标：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间的任意一点A，对应一个向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使= x+y+z成立，这里的有序实数组（x，y，z）称为点A在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A（x，y，z）；其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。
2、空间向量的坐标运算：
设=(， ，)，=(，，)。
（1）+=(+， +，+)； （2）-=(-， -，-) ；
（3）=(， ，)； （4）||==；
（5）设空间直角坐标系中的两点A(，，)，B(， ， )。
①=(-， -，-) ，从而得到：一个空间向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
②||==。
六、空间向量的数量积：
1、空间向量数量积的线性运算： B
（1）空间向量的夹角：如图设空间向量，是两个非零向量，
在空间任意取一点O，作=， =，则= O A
称为空间向量与的夹角，记为〈，〉=，（≤≤）；
（2）空间向量夹角的特例：①当=时，空间向量与同向；②当=时，空间向量与互相垂直，记作⊥；③当=时，空间向量与反向。
（3）空间向量数量积的线性运算：
①法则：.=||||COS〈，〉， 规定：.=.=0；
②空间向量数量积的几何意义：
.等于空间向量的长度||与空间向量在向量的方向上的投影|| COS〈，〉的乘积，如下图所示：
B B B
O A O A O A
〈，〉为锐角 〈，〉为钝角 〈，〉为直角
（4）空间向量数量积的运算性质：
设空间向量，，，∈R。则有：①.=.；②（）. =（. ）=. （）；③（+）.= .+.。
2、空间向量数量积的性质：
设空间向量，是非零向量，是与同向的单位向量，为空间向量与的夹角。则有：①.=.=||cos；②⊥.=0；③.=||或||=；
④cos= ；⑤|.|≤||.||。
3、空间向量数量积的坐标运算：
设=(， ，)，=(，，)。则有：（1）.=+ +；（2）||= .=；||=；（3）cos= ；（4）⊥.=+=0；（5）∥=。
【探导考点】
考点1空间向量的概念：热点判断与空间向量概念相关命题的真假；
考点2空间向量的线性运算：热点①空间向量线性运算；热点②根据空间向量运算求参数的值（或取值范围）；热点③空间向量共线充分必要条件的运用；
考点3空间向量的坐标运算：热点①空间向量基本定理及运用；热点②空间向量坐标运算；热点③利用空间向量共线（或共面）充分必要条件求向量（或点的坐标）；热点④利用空间向量共线（或共面）充分必要条件求参数的值（或取值范围）
考点4空间向量数量积：热点①空间向量数量积的线性运算；热点②空间向量数量积的坐标运算；热点③运用空间向量数量积求向量的模；热点④利用空间向量数量积求向量的夹角。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足||=||，则=；③正方体ABCD—中，必有=；④若空间向量，，满足=，=，则=。其中不正确命题的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各命题的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对①，空间向量的单位向量的模长都等于1，将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点在以起点为圆心，1为半径的球上，①错误；对②，当向量，互为反向量时，有||=||，，②错误；对③，ABCD—是正方体，=，③正确；对④，空间向量，，满足=，=，=，④正确，综上所述，其中不正确命题有①②两个，B正确，选B。
2、判断下列命题的真假，如果是假命题，并说明理由：
（1）若向量与同向，且||＞||，则＞；
（2）若||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对任意向量||=||，且与的方向相同，则=；
（4）的方向不定，故不与任何向量平行；
（5）向量与平行，则向量与向量的方向相同或相反；
（6）向量与向量是共线向量，则A、B、C、D四点在一条直线上；
（7）起点不同，但方向相同，且模长相等的几何向量是相等向量。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件就可判断各小题命题的真假。
【详细解答】（1）向量不能比较大小，（1）是假命题；（2）当向量与分别是菱形的一组临边时，有||=||，与的长度相等且，但方向不相同也不相反，（2）是假命题；（3）对任意两个向量，，若||=||，且与的方向相同，则=，（3）是真命题；（4）的方向不定，与任何向量平行，（4）是假命题；（5）向量与平行，则向量与向量的方向相同或相反，（5）是真命题；（6）当向量与向量分别是平行四边形的一组对边时，向量与向量是共线向量，但A、B、C、D四点不在一条直线上，（6）是假命题；（7）起点不同，但方向相同，且模长相等的几个向量是相等向量，（7）是真命题。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与空间向量基本概念相关的问题，解答这类问题需要深刻理解空间向量的基本概念，注意问题与哪一个（或哪几个）基本概念相关；
（2）理解空间向量的基本概念，一定要注意每一个基本概念涉及问题的实质及主要特征，例如相等向量的实质是两个向量相等，主要特征是：①方向相同；②模长相等。
〔练习1〕解答下列问题：
1、四边形ABCD是平行四边形的充要条件是( )（答案：D）
A ||=|| B = C = D =
2、下列说法中错误的是（ ）（答案：A）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
【典例2】按要求解答下列各题： O
2、如图已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC， M
M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN E G C
上，且使MG=2GN，用基向量，，表示 A N
向量； B
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条件就可得到向量关于向量，，的表示式。
【详细解答】如图，取OB的中点E，连接ME，NE，M，E，N分别是对边OA，OB，BC的中点，= = - ，= ，=+
=- + ， 点G在线段MN 上，且使MG=2GN，= =-+ ，=+=+ 。
2、如图已知平行六面体ABCD—。
求：（1）+； M
（2） ++； D C
（3）++； A B
（4）（++）。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条件就可分别求出各小题的结果。
【详细解答】如图，取C的中点M，连接AM，AC，（1）+=；（2）+
+=+=+=； （3）++=+=；（4）（++）=（+）=。
3、 如图平行六面体ABCD—中，AC与BD的交点为点M，设，
，则下列向量中
与相等的向量是（ ）
A B D C
C D A M B
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条
件得到向量关于向量，，的表示式，就可得出选项。
【详细解答】如图，平行六面体ABCD—中，AC与BD的交点为点M，，，，==（-+），=+=+（-+）
=-++，A正确，选A。
4、已知ABCD—是平行六面体，设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC对角线B上的4等分点，且BN= B，设= ++，试求，，的值。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条件得到向量关于向量，，的表示式，就可求出，，的值。
【详细解答】如图，=+=+，
M是底面ABCD的中心，== N
+，=+= +，N是 D C
侧面BC对角线B上的4等分点，且BN A M B
= B，==+，=+=++
+=++= ++，=，=，=。
5、如图平行六面体ABCD—中，AB=5，AD=3，A=7，，
EMBED Equation.DSMT4 。
求A的长。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质； ②空间 D C
向量线性运算的法则和基本方法。 A B
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条件得到向量关于向量，，的表示式，就可求出，，的值。
【详细解答】如图，=+=+，=+=++，
AB=5，AD=3，A=7，，，A的长为||
==2。
『思考问题2』
（1）【典例2】是空间向量线性运算的问题，解答这类问题应该理解并掌握空间向量线性运算的基本法则和运算律，注意每一个法则的特性与适用范围；
（2）在实际解答问题时，运用法则的同时应该结合空间向量线性运算的运算律，这样可以使问题更加简化便捷。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如图已知正方体ABCD—，点E、F分别是
上底面和侧面CD的中心，求下列各
题中x、y的值。 F
（1）=x（++）； D C
（2）=+x+y； A B
（3）=+ x+y（答案：（1）x=1；（2）x=，y=；（3）x=2，y=1。）
2、如图已知空间四边形ABCD，连接AC，BD， A
M，G分别是BC，DC的中点。
求： （1）++；
（2）+（+）； D
（3）-（+）。 B G
（答案：（1）；（2）；（3）。） M C
3、如图在平行六面体ABCD—中，
EMBED Equation.DSMT4 =，=，=，用，，
表示下列向量：
（1），，； D C
（2）（点G是侧面BC的中心）。 A B
（答案：（1）=--+，=--，=-+；（2）=++。）
4、O，A，B，C为空间四点，如果向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面；（答案：O，A，B，C共面。）
5、已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且=， =， =，用，，表示。（答案：=-++）
【典例3】按要求解答下列各题：
设，是两个不共线的非零向量，若与的起点相同，t∈R，当t为何值时，，t，（+）三向量的终点在一条直线上。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量共线充分必要条件，结合问题条件得到向量，关于向量，的表示式，从而得到关于t的方程，求解方程就可求出t的值。
【详细解答】证明：如图，=t- （+） B C
=- +（t-），= （+）- =- O A
+，A，C，B三点在同一直线上，存在实数u，使=u成立，（t-u）+
（u-），，是两个不共线的非零向量，t-u=0①，u-=0②，联立①②解得：t=。当t=时，，t，（+）三向量的终点在一条直线上。
2、设，不共线，点P在AB上，求证：=+，且+=1，，∈R。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用间向量共线充分必要条件，结合问题条件得到向量关于向量，的表示式，就可证明结论。 B
【详细解答】证明：如图，=-， P
=-，A，P，B三点在同一直线上，存在实 O A
数t，使=t成立，=（1-t）+t，令=1-t，=t，=+，且+=1-t+t=1。
3、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C， 试问满足向量关系=x+y+z（其中x+y+z=1）的四点P，A，B，C是否共面？
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量共线充分必要条件及运用；③空间向量共面充分必要条件及运用。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用间向量共线充分必要条件和空间向量共面充分必要条件，结合问题条件就可得出四点P、A、B、C共面。
【详细解答】x+y+z=1，z=1-(x+y)，A，B，C三点不共线，=-，=-不共线，=x+y+（1-x-y）=-x(-)-y(-)
=--x-y，-==x+y，即四点P，A，B，C共面。
5、如图已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量=k，=k，=k，=k，求证： O
（1）四点E，F，G，H共面；
（2）平面ABCD∥平面EFGH。 D C
【解析】 A B
【知识点】①空间向量定义与性质； ②空间向量
共线的充分必要条件及运用；③空间向量共面 H G
充分必要条件及运用；④直线平行平面判定定理 E F
及运用；⑤平面平行平面判定定理及运用。
【解题思路】（1）根据空间向量的性质，运用空间向量共线充分必要条件和平行线段成比例定理，结合问题条件可证明AB//EF，CD//HG，从而证明EF//HG就可证明四点E，F，G，H共面；（2）根据（1），运用直线平行平面判定定理可以证明AB//平面EFGH，BC//平面EFGH，利用平面平行平面的判断定理就可证明平面ABCD∥平面EFGH。
【详细解答】（1）如图，向量=k，=k，=k，=k，=-=k-k=k（-）=k=k(+)=k（-+-）=-+-=+，四点E，F，G，H共面；（2）=-=k-k=k(-）=k，AB//EF，AB平面EFGH，EF平面EFGH，AB//平面EFGH，同理可证AC//平面EFGH，AB，AC平面ABCD，AB
AC=A，平面ABCD∥平面EFGH。
4、设，是两个不共线的非零向量。
（1）如果=-，=3+2，=-8+2，求证：A,，C，D三点共线；
（2）如果=+，=2-3，=2-k，且A，C，D三点共线，求k的值。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据空间向量的性质，运用间向量共线充分必要条件，结合问题条件就可证明A，C，D三点共线；（2）根据空间向量的性质，运用间向量共线充分必要条件，结合问题条件得到关于k，t的方程组，求解方程组就可求出k的值。
【详细解答】（1）证明：=-，=3+2，=-8-2，=+
=4+，=+=12+3=3（4+）=3，向量，具有公共的始点，A,，C，D三点共线；（2）=+，=2-3，=2-k，
=+=3-2，=+=5-（2+k），A，C，D三点共线，存在实数t，使=t成立，（5-3t)-（2+k-2t）=0，，是两个不共线的非零向量，5-3t=0①，2+k-2t=0②，联立①②解得：k=。
『思考问题3』
（1）【典例3】是空间向量共线与共面的问题，解答这类问题应该分辨清楚问题是空间向量共线还是共面的问题，理解并掌握空间向量共线或共面的充要条件；
（2）空间向量共线（或共面）的充要条件，是解答该类问题的关键，共线涉及到一个非零向量，而共面涉及到两个非零向量。
〔练习3〕按要求解答下列各题：
1、证明起点相同的三个向量，，3-2的终点在同一条直线上；（提示：运用共线向量的充分必要条件）
2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，确定在下列各条件下点M是否与A，B，C一定共面。
（1）= + + ；（答案：点M与A，B，C一定共面）
（2）= 2--。（答案：点M与A，B，C不共面）
3、已知点A（+1，-1,3），B（2，,-2），C（+3，-3,9）三点共线，则= ，= 。（答案：=0，=0.）
4、已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，），若，，三个向量共面，则实数等于（ ）（答案：D）
A B 9 C D
5、如图所示已知平行六面体ABCD—中，
点M是A的中点，点G在对角线C上，且 G
CG：G =2：1，设=，=，=， M D C
试用，， 表示向量，，，。A B
（答案：=+；=++；=++；=++）
【典例4】解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
（1）若≠0，.=.，则=；
（2）若.=.，则≠，当且仅当=0时成立；
（3）（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；
（4）对任意向量有=||；
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②正方体定义与性质；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量和正方体的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各命题的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】（1）当||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，.=||.||
=||，.=||.||cos=||2=||，≠0，.=.，=不一定成立，（1）是假命题；（2）当||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，.=||.||
=||=.=||.||cos=||2=||，≠0时也成立，（2）是假命题；（3）当||=||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，（.）.=， .（.）=，当且仅当=时，（.）.= .（.）才成立，（3）是假命题；（4）对任意向量有=||，（4）是真命题。
2、已知||=4，||=8，与的夹角为。
（1）求：（+2）.（2-）； （2）求：|4-2|。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法
则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可分别求出各空间向量数量积的值。
【详细解答】||=4，||=8，与的夹角为，（1）（+2）.（2-）=32+348
（-）-128=-96-48；（2）求：|4-2|=
==8。
3、如图，已知空间四边形ABCD的每条边及AC， A
BD的长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD ， F
DC的中点。 E C
求：（1）.； （2）.；（3）.； B G
（4）.； （5）. ； （6）. 。 D
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可分别求出各空间向量数量积的值。
【详细解答】 空间四边形ABCD的每条边及AC，BD的长都等于a， （1）.
=； （2）.=-.=-；点E，F，G分别是AB，AD ，DC的中点， （3）.=-.=-；（4）.=；（5）. =-. =-；（6）. =-.（+）=-.-.=-
-=-。
4、若向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2）。求：向量与的夹角的余弦值。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件得到关于||，||的等式，从而就可求出向量与夹角的余弦值。
【详细解答】向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2），（+3）.（7-5）=7||+16.-15||=0①，（-4）.（7-2）=7||-30.+8
||=0②，联立①②得:||=||，.=||，||=||，cos<.，>===。
5、如图已知m，n是平面内的两条相交直线， l
直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n。 B n m
求证：L⊥。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可证明L⊥。
【详细解答】证明：如图，设直线m，n的方向向量分别为，，直线l的方向向量为，直线b是平面内的任意一条直线， 直线m，n是平面内的两条相交直线，存在唯一一对有序实数（x，y）是直线b的方向向量为x+y，l⊥m，l⊥n，.=0，.=0，
.（x+y)=x.+y.=0，L⊥b，L⊥。
6、如图已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC, O
OB⊥AC。
求证：OC⊥AB； A C
【解析】 B
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可证明OC⊥AB。
【详细解答】如图， =+，=+，OA⊥BC, OB⊥AC，.
=（+）.（+）=.+.+.+.=.（+）+.=（-）+.=（+）=0，OC⊥AB。
7、如图已知线段AB在平面内，线段AC⊥， C
线段BD⊥AB，线段D⊥，， D
如果AB=a，AC=BD=b. A B
求C，D间的距离；
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的
法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可求出C，D间的距离。
【详细解答】如图， =+=++， 线段AB在平面内，线段AC⊥，线段BD⊥AB，AB=a，AC=BD=b，| |=
= =a。
8、如图在平行六面体ABCD—中，
AB =4，AD=3，A =5，，
。 D C
求 ： | 。 A B
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可求出 |的值。
【详细解答】如图， =+=+ +，AB =4，AD=3，A =5，，， | =
==。
『思考问题5』
（1）【典例5】是与空间向量数量积的线性运算相关的问题，解答这类问题需要理解空间向量数量积的定义，尤其是空间向量数量积的几何意义，掌握空间向量数量积的性质和运算性质，注意空间向量数量积线性（或坐标）运算的法则和基本方法；
（2）在实际解答空间向量线性运算问题时，应该分辨清楚问题是哪两个空间向量的数量积，再根据空间向量数量积的定义确定两个空间向量的夹角与模长，然后代入公式求出结果；
（3）如果两个空间向量中有一个空间向量是几个空间向量的和，求数量积时应该充分运用数量积的性质及其运算性质。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知，是非零向量，且|+|=|-|，求证：⊥；（提示：证明.=0）
2、已知||=5，||=4，且与的夹角为，当k为何值时，向量（k-）⊥（+2）。（答案：当k=时，向量（k-）⊥（+2））
3、如图已知空间四边形ABCD的每条边和对角线 A
的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，
求证：MN⊥AB，MN⊥CD。（提示：分别证明所在向量的数量积为0） M
4、如图所示，已知空间四边形ABCD的每一条边 A
和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD， B D
CD的中点。 E F C N
计算：（1）.； （2）.；
（3）EG的长； B C G D
（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值。（答案：（1）.=；（2）.=-；（3）EG的长为；（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值为）
【典例6】解答下列问题：
1、已知=（2，-3，5），=（-3，1，-4）。
求：（1）+； （2）-； （3）8； （4）.； （5）||； （6）2.(-)；
(+).（-）； （8）（2+3）（-2）； （9）|2+|。
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件，就可分别求出各小题的结果。
【详细解答】 =（2，-3，5），=（-3，1，-4），（1）+=（-1，-2，1）；（2）-=（5，-4，9）；（3）8=（16，-24，40）；（4）.=-6-3-20=-29；（5）||==；
（6）2.(-)=（4，-6，10）（3，-1，4）=12+6-40=-22.；（7）(+).（-）=（-1，-2，1）.（5，-4，9）=-5+8+9=12； （8）（2+3）（-2）=（-5，-3，-2）.（8，-1，13）=-40+3-26=-63；（9）|2+|=|（1，-5，6）|==。
2、已知=（2，3，1），=（-1，-2，-3），=（2，1，3）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）； （3）（+）； （4）+6-8。
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合
问题条件，就可分别求出各小题的结果。
【详细解答】 =（2，3，1），=（-1，-2，-3），=（2，1，3），（1）（.）.=（-2-6-3）（2，1，3）=（-22，-11，-33）；（2）.（.）=（2，3，1）.（-2-2-9）=（-26，-39，-13）； （3）（+）=（2，3，1）.（1，-1，0）=2-3+0=-1；（4）+6-8=（2，3，1）+（-6，-12，-18）+ （-16，-8，-24）=（-20，-17，-41）。
已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），且⊥，求x的值；
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件得到关于x的方程，求解肥肠粉就可求出x的值。
【详细解答】=（2，-1，3），=（-4，2，x），且⊥，.=-8-2+3x=3x-10=0，
k=。
4、已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=，=，求：
（1）与的夹角的余弦值；
（2）若k+与k-2互相垂直，求k的值。
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件，就可求出与的夹角的余弦值；（2）根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件得到关于k的方程，求解方程就可求出k的值。
【详细解答】（1）A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，==(1，1，0)，==(-1，0，2)，cos===-；（2）k+=(k，k，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，k-2=(k，k，0)+(2，0，-4)=(k+2，k，-4)，k+与k-2互相垂直，
（k+）.（k-2）=（k-1）（k+2）+-8=2+k-10=0，k=2或k=-。
5、已知A(3，5，-7)，B(-2，4，3)，求 ，，线段AB的中点坐标及线段AB的长。
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件，就可求出，，线段AB的中点坐标及线段AB的长。
【详细解答】A(3，5，-7)，B(-2，4，3)，=(-5，-1，10)，=(5，1，-10)，线段AB的中点坐标为(，，-2)，线段AB的长为||==3。
6、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别 z
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N Cy
【解析】 A x B
【知识点】①正方体定义与性质；②异面直线定义与性质；③求异面直线所成角的余弦值的基本方法。
【解题思路】根据正方体和异面直线的性质，运用求异面直线所成角的余弦值的基本方法，结合问题条件，就可求出CM和N所成角的余弦值。
【详细解答】如图，设正方体ABCD—的棱长为1，ABCD—是正方体，以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，1），（1，1，1），（0，0，1），点M，N分别是棱A 和B的中点，M（1，0，），N（1，1，），=（-1，1，-），=N（1，1，-），CM和N所成角的余弦值为cos<，>===。
7、已知，，是空间的一个单位正交基底，向量+，-，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为（1，2，3），求在基底+，-，下的坐标。
【解析】
【知识点】①空间单位正交基底定义与性质；②空间基底定义与性质；③空间向量坐标定义与性质。
【解题思路】根据空间单位正交基底和空间基底的性质，运用空间向量坐标的性质，结合问题条件，就可求出在基底+，-，下的坐标。
【详细解答】，，是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为（1，2，3），在基底+，-，下的坐标为++2（-）+3=（1，1，0）+（2，-2，0）+（0，0，3）=（3，-1，3）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是空间向量坐标运算的问题，解答这类问题应该理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量坐标运算的法则和基本方法；
（2）空间向量坐标运算对于空间向量线性运算中的运算律仍然成立，在实际运算中结合运算律和运算性质可以使运算更加简便快捷。
〔练习1〕按要求解答下列各题：
1、已知=（2，-3，1），=（2，0，3），=（0，0，2）。
求：①（+）；（答案：（+）=9）
②+6-8。（答案：+6-8=（14，-3，3））
2、判断下列各问题中的向量是否平行：
（1）=（1，2，-2），=（-2，-4，4）； （2）=（-2，3，5），=（16，-24，40）。
（答案：（1）//；（2）与不平行。）
3、设=（-3，2，5），=（1，5，-1）。求：
（1）+； （2）3-； （3）6； （4）.；
（5）||； （6）（2+3）（-2）； （7）|2+|。
（答案：（1）+=（-2，7，4）；（2）-=（-4，-3，6）；（1）6=（-18，12，30）；（4）.=2；（5）||=；（6）（2+3）（-2）=-84；（7）|2+|=。）
4、已知空间三点A(-1，0，1)，B(-2，2，2)，C(-3，0，3)，设=，=，求：
（1）与的夹角；（答案：与的夹角=）
（2）若+k与2-k互相垂直，求k的值。（答案：k=-1或k=）
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
1、给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足||=||，则=；③正方体ABCD—中，必有=；④若空间向量，，满足=，=，则=。其中不正确命题的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②正方体定义与性质；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量和正方体的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各命题的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对①，空间向量的单位向量的模长都等于1，将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点在以起点为圆心，1为半径的球上，①错误；对②，当向量，互为反向量时，有||=||，，②错误；对③，ABCD—是正方体，=，③正确；对④，空间向量，，满足=，=，=，④正确，综上所述，其中不正确命题有①②两个，B正确，选B。
2、给出下列命题：①若≠0，.=.，则=；②若.=.，则≠，且
仅当=0时成立；③（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；④对任意向量有=||，其中假命题是（ ）
A ①②④ B ①②③ C ②③④ D ①②③④
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②正方体定义与性质；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量和正方体的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各命题的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对①，当||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，.=||.||
=||，.=||.||cos=||2=||，≠0，.=.，=不一定成立，①是假命题；对②，当||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，.=||.||
=||=.=||.||cos=||2=||，≠0时也成立，②是假命题；对③，当||=||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，（.）.=， .（.）=，当且仅当=时，（.）.= .（.）才成立，③是假命题；对④，对任意向量有=||，④是真命题，综上所述，其中假命题是①②③，B正确，选B。
如图所示，在空间直角坐标系中，有直三棱锥 B z
ABC-，AC=C=2BC，则直线B与 C y
A夹角的余弦值是 。 x A
【解析】
【知识点】①直三棱柱定义与性质；②异面直线定义与性质；③求异面直线夹角余弦值的基本方法。
【解题思路】根据直三棱柱和异面直线的性质，运用求异面直线夹角余弦值的基本方法，结合问题条件，就可求出直线B与 A夹角的余弦值。
【详细解答】如图，设BC=1， AC=C=2BC，A（2，0，0），B（0，0，1）， （0，2，1）， （0，2，0），=（0，2，-1），=（-2，2，1）， cos< ， >
== = 。
『思考问题7』
（1）【典例7】是解答空间向量概念与空间向量线性运算问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视正确理解空间向量定义，导致解答问题出现错误；②忽视空间向量线性运算中，加减运算和数与向量积运算的法则（或向量的方向），导致解答问题出现错误；③忽视空间向量夹角与异面直线夹角的定义，导致解答问题出现错误；
（2）解答空间向量概念与空间向量线性运算问题时，为避免忽视正确理解空间向量定义的雷区，需要正确理解空间向量的定义，尤其是零向量，单位向量，共线向量，相等向量和向量摸长的定义；
（3）解答空间向量概念与空间向量线性运算问题时，为避免忽视空间向量线性运算中，加减运算和数与向量积运算的法则（或向量的方向）的雷区，需要理解并掌握空间向量加减运算的法则，数与向量积运算的基本方法，注意运算中空间向量的方向；
（4）解答空间向量概念与空间向量线性运算问题时，为避免忽视空间向量夹角与异面直线夹角的定义雷区，需要理解空间向量夹角和异面直线夹角的定义，注意两种夹角的取值范围。
〔练习7〕解答下列问题：
1、下列说法中错误的是（ ）（答案：A）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
给出下列命题：①已知A，B，C，D是空间任意四点，则+++=0；②||-||
=|+|是，共线的充要条件；③若与共线，则与所在的直线平行；④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=x+y+z（其中x，y，zR），则P，A，B，C四点共面，其中假命题的个数为（ ）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
（答案：CM和N所成角的余弦值为） A B
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、在空间直角坐标系O-xyz中，点A（-2，1，4）与（2，1，4）关于（ ）对称（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末蓉城名校联盟考试）
A xOy平面 B yOz平面 C xOz平面 D 原点
【解析】
【考点】①空间直角坐标系定义与性质；②已知点与其对称点坐标，求对称平面的基本方法。
【解题思路】根据空间直角坐标系的性质，运用已知点与其对称点坐标，求对称平面的基本方法，求出两点的对称平面就可得出选项。
【详细解答】点A（-2，1，4）与（2，1，4）的坐标中，x坐标互为相反数，y和z坐标不变，点A（-2，1，4）与（2，1，4）关于 yOz平面对称，B正确，选B。
2、在空间直角坐标系Oxyz中，点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐标原点的距离为（ ）（成都市高2020级2021-2022学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①空间直角坐标系的定义与性质；②空间直角坐标系中的点到平面射影的定义与性
质；③求空间直角坐标系中点到平面射影的基本方法；④两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】根据空间直角坐标系，空间直角坐标系中点到平面的射影的性质和求空间直角坐标系中点到平面射影的基本方法，求出点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影，运用两点之间的距离公式求出点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐标原点的距离就可得出选项。
【详细解答】在空间直角坐标系Oxyz中，点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影为（2，-1，0），点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐标原点的距离为=，C正确，选C。
A B C D
『思考问题8』
（1）【典例8】是近几年高中数学考试试卷中有关空间向量定义及运算的问题，归结起来主要包括：①空间向量的定义；②空间向量线性运算；③空间向量坐标运算；④空间向量共线（或共面）；⑤空间向量的数量积等几种问题；
（2）解答空间向量定义及运算问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答某类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、在空间直角坐标系O—xyz中，点M（0，m，0）到点P（1，0，2）和点Q（1，-3，1）的距离相等，则实数m的值为（ ）（成都市高2019级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A -2 B -1 C 1 D 2 （答案：B）
2、在空间直角坐标系OXY中，已知点P（3，2，1），Q（-1，0，1），则|PQ|= （成都市高2018级2019-2020学年度上期期末调研考试）（答案：|PQ|=2。）
3、（理）在空间直角坐标系O—xyz中，已知点A（2，1，-1），则与点A关于原点对称的点的坐标为（ ）（答案：A）
A (-2，-1，1) B (-2，1，-1) C (2，-1，1) D (-2，-1，-1)
（文）在空间直角坐标系O—xyz中，点M（1，-2，3）关于yoz平面对称的点的坐标是（ ）（成都市高2017级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：A）
A (-1，-2，3) B (1，-2，-3) C (-1，2，-3) D (1，2，-3)
4、在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（-2，-3），若沿x轴把坐标平面折成的二面角，则AB的长为（）（成都市高2017级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：C）
A B C 5 D 4
【考纲解读】
理解空间向量的定义，掌握空间向量线性运算加法，减法和数与向量乘积运算的法则，掌握空间向量线性运算的基本方法，能够熟练进行空间向量的线性运算；
了解空间向量基本定理，理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量坐标运算加法，减法和数与向量乘积运算的法则，掌握空间向量坐标运算的基本方法，能够熟练进行空间向量的坐标运算；
理解空间向量数量积的定义，掌握空间向量数量积几何运算（或坐标运算）的法则和基本方法，能够熟练进行空间向量数量积几何运算（或坐标运算）。
【知识精讲】
一、空间向量的概念：
1、空间向量的定义：在空间具有大小和方向的量，叫做空间向量。
2、空间向量的三要素：（1）空间向量的始点；（2）空间向量的大小；（3）空间向量的方向。
3、向量的表示：空间向量表示的基本方法有：（1）始点与终点的大写字母加上箭头符号（注意大写字母的顺序）；（2）一个小写的希腊字母加上箭头符号。
4、空间向量的模：空间向量的长度，称为空间向量的模，它可表示为：（1）始点与终点的大写字母加上箭头符号（注意大写字母的顺序）再加上绝对值符号；（2）一个小写的希腊字母加上箭头符号再加上绝对值符号。
5、特殊的空间向量：（1）零向量：模长为0的向量，称为零向量，零向量具有如下性质：①零向量的模长为0 ；②零向量的方向不确定；③零向量与任何向量共线；
（2）单位向量：模长为1的向量，称为单位向量，单位向量常用，，-----表示，也可以表示为，，----- 。
（3）平行向量（或共线向量）：方向相同（或相反）的向量，称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任一向量平行（或共线）。
（4）相等向量：方向相同且模长相等的向量，称为相等向量，相等向量具有两个特征：①
相等向量方向相同；②相等向量模长相等。
（5）相反向量：方向相反且模长相等的两个向量，互为相反向量，其中一个向量称为另一个向量的相反向量，相等向量具有两个特征：①相反向量方向相反；②相反向量模长相等。
（6）共面向量：在同一个平面内的向量，叫做共面向量。
二、空间向量的线性运算：
1、空间向量的加法：
（1）空间向量加法的定义：求空间几个向量的和的运算，叫做空间向量的加法；
（2）空间向量加法的法则：
①平行四边形法则，如（图1）：
平行四边形法则的特点是两个向量具有公共的始点； +
它的适用范围是具有公共始点的两个向量求和。 （图1）
②三角形法则如（图2）：
三角形法则的特点是一个向量的始点与另一个向 +
量的终点重合； （图2）
三角形法则的适用范围是一个向量的始点与另一个向量的终点重合的两个向量求和。
（3）空间向量加法的运算律：
①+=+，这个运算律称为交换律；特别的：+=+=；
②（+）+=+（+），这个运算律称为结合律。
2、空间向量的减法：
（1）相反向量的定义：求两个向量的差的运算，称为向量的减法。
（2）相反向量的表示：在一个向量前面加上符号“-”表示这个向量的相反向量，例如向量的相反向量可表示-。
（3）互为相反向量的两个向量的性质：①互为相反向量的两个向量的和零，即设向量的相反向量向量为-，则上面的性质可表示为+（-）=0。
（4）空间向量减法的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
3、实数与空间向量的积：
（1）实数与空间向量积的意义：设空间向量为，∈R，的意义是：①长度：||=||||，②方向：＞0时，与同向；＜0时，与反向；由实数与空间向量积的意义可知，在计算时，应分两步进行：①确定的模长；②确定的方向 。
（2）实数与空间向量的积的运算性质：设，是空间向量，，∈R。
①（）=（）； ②（+）=+； ③（+）=+。
三、共线向量与共面向量：
1、共线向量：
（1）共线（或平行）向量的定义：方向相同（或相反）的向量，称为共线（或平行）向量。
（2）向量共线的充要条件：设，是空间任意两个向量，且≠0，则，共线的充要条件是：存在∈R，使=成立；即：与（≠0）共线存在∈R，使=成立。
（3）推论：如果直线l过已知点A，且平行于已知非零向量所在的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是：存在∈R，使=+成立。
2、共平面向量：
（1）共面向量的定义：在同一平面内的向量，称为共面向量。
（2）共面向量的充要条件：设，是不共线的两个向量，则向量与向量，共面的充要条件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；即：向量与不共线向量，共面存在x，y∈R，使=x+y成立。
（3）推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；或对空间任意一点O，存在x，y∈R,有=+x+y 成立。
四、空间向量基本定理：
1、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任意向量，存在 唯一一对有序实数组（x，y，z），使=x+y+z成立；这里的｛，，｝叫做空间的一个基底，向量{，，}叫做基向量；空间任何三个不共面的向量，都可以构成空间的一个基底。
2、空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C四点不共面，则对空间任意一点P，都存在
唯一一对有序实数组（x，y，z），使=x+y+z（x+y+z=1）成立。
五、空间向量的坐标运算：
1、空间向量坐标的定义：
（1）单位正交基底：在空间取三个互相垂直的单位向量为基向量的基底，称为单位正交基底，用{，，}来表示；
（2）空间直角坐标系的定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛，，｝，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，称为空间直角坐标系；这里的O点叫做空间直角坐标系的原点，向量，，叫做x轴，y轴，z轴的单位向量，每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面，空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们分别是xOy平面，xOz平面和yOz平面。
（3）空间向量坐标的定义：在给定的空间直角坐标系中，对空间的任意向量，由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使=x+y+z成立，这里的有序实数组（x，y，z）称为向量在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作=（x，y，z）。
（4）空间直角坐标系中点的坐标：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间的任意一点A，对应一个向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使= x+y+z成立，这里的有序实数组（x，y，z）称为点A在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A（x，y，z）；其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。
2、空间向量的坐标运算：
设=(， ，)，=(，，)。
（1）+=(+， +，+)； （2）-=(-， -，-) ；
（3）=(， ，)； （4）||==；
（5）设空间直角坐标系中的两点A(，，)，B(， ， )。
①=(-， -，-) ，从而得到：一个空间向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
②||==。
六、空间向量的数量积：
1、空间向量数量积的线性运算： B
（1）空间向量的夹角：如图设空间向量，是两个非零向量，
在空间任意取一点O，作=， =，则= O A
称为空间向量与的夹角，记为〈，〉=，（≤≤）；
（2）空间向量夹角的特例：①当=时，空间向量与同向；②当=时，空间向量与互相垂直，记作⊥；③当=时，空间向量与反向。
（3）空间向量数量积的线性运算：
①法则：.=||||COS〈，〉， 规定：.=.=0；
②空间向量数量积的几何意义：
.等于空间向量的长度||与空间向量在向量的方向上的投影|| COS〈，〉的乘积，如下图所示：
B B B
O A O A O A
〈，〉为锐角 〈，〉为钝角 〈，〉为直角
（4）空间向量数量积的运算性质：
设空间向量，，，∈R。则有：①.=.；②（）. =（. ）=. （）；③（+）.= .+.。
2、空间向量数量积的性质：
设空间向量，是非零向量，是与同向的单位向量，为空间向量与的夹角。则有：①.=.=||cos；②⊥.=0；③.=||或||=；
④cos= ；⑤|.|≤||.||。
3、空间向量数量积的坐标运算：
设=(， ，)，=(，，)。则有：（1）.=+ +；（2）||= .=；||=；（3）cos= ；（4）⊥.=+=0；（5）∥=。
【探导考点】
考点1空间向量的概念：热点判断与空间向量概念相关命题的真假；
考点2空间向量的线性运算：热点①空间向量线性运算；热点②根据空间向量运算求参数的值（或取值范围）；热点③空间向量共线充分必要条件的运用；
考点3空间向量的坐标运算：热点①空间向量基本定理及运用；热点②空间向量坐标运算；热点③利用空间向量共线（或共面）充分必要条件求向量（或点的坐标）；热点④利用空间向量共线（或共面）充分必要条件求参数的值（或取值范围）
考点4空间向量数量积：热点①空间向量数量积的线性运算；热点②空间向量数量积的坐标运算；热点③运用空间向量数量积求向量的模；热点④利用空间向量数量积求向量的夹角。【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足||=||，则=；③正方体ABCD—中，必有=；④若空间向量，，满足=，=，则=。其中不正确命题的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、判断下列命题的真假，如果是假命题，并说明理由：
若向量与同向，且||＞||，则＞；
若||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；
对任意向量||=||，且与的方向相同，则=；
的方向不定，故不与任何向量平行；
向量与平行，则向量与向量的方向相同或相反；
向量与向量是共线向量，则A、B、C、D四点在一条直线上；
起点不同，但方向相同，且模长相等的几何向量是相等向量。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与空间向量基本概念相关的问题，解答这类问题需要深刻理解空间向量的基本概念，注意问题与哪一个（或哪几个）基本概念相关；
（2）理解空间向量的基本概念，一定要注意每一个基本概念涉及问题的实质及主要特征，例如相等向量的实质是两个向量相等，主要特征是：① 相同，②模长 。
〔练习1〕解答下列问题：
1、四边形ABCD是平行四边形的充要条件是( )
A ||=|| B = C = D =
2、下列说法中错误的是（ ）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
【典例2】按要求解答下列各题：
1、如图已知平行六面体ABCD—。
求：（1）+；
（2） ++； D C
（3）++； A B
（4）（++）。 0
2、如图已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC， M
M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN G C
上，且使MG=2GN，用基向量，，表示 A N
向量； B
3、 如图平行六面体ABCD—中，AC与
BD的交点为点M，设，，
EMBED Equation.DSMT4 ，则下列向量中与相等的 D C
向量是（ ） A M B
A B C D
4、如图平行六面体ABCD—中，
AB=5，AD=3，A=7，，
EMBED Equation.DSMT4 。 D C
求A的长。 A B
5、已知ABCD—是平行六面体，设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC对角线B上的4等分点，且BN= B，设= ++，试求，，的值。
『思考问题2』
（1）【典例2】是空间向量线性运算的问题，解答这类问题应该理解并掌握空间向量线性运算的基本法则和运算律，注意每一个法则的特性与适用范围；
（2）在实际解答问题时，运用法则的同时应该结合空间向量线性运算的运算律，这样可以使问题更加简化便捷。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如图已知正方体ABCD—，点E、F分别是
上底面和侧面CD的中心，求下列各
题中x、y的值。 F
（1）=x（++）； D C
（2）=+x+y； A B
（3）=+ x+y。
2、如图已知空间四边形ABCD，连接AC、BD， A
M、G分别是BC、DC的中点。
求： （1）++；
（2）+（+）； D
（3）-（+）。 B M G
3、如图在平行六面体ABCD—中， C
=，=，=，用，，表示下列向量：
（1）、、；
（2）（点G是侧面BC的中心）。
D C
A B
4、O，A，B，C为空间四点，如果向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面；
5、已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且=， =， =，用，，表示。
【典例3】按要求解答下列各题：
1、设，是两个不共线的非零向量，若与的起点相同，t∈R，当t为何值时，，t，（+）三向量的终点在一条直线上；
2、设，不共线，点P在AB上，求证：=+，且+=1，，∈R。
3、设，是两个不共线的非零向量。
（1）如果=-，=3+2，=-8-2，求证：A,，C，D三点共线；
（2）如果=+，=2-3，=2-k，且A，C，D三点共线，求k的值。
5、如图已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量=k，=k，=k，=k，求证： O
（1）四点E、F、G、H共面；
（2）平面ABCD∥平面EFGH。 D C
A B
H G
E F
6、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C， 试问满足向量关系=x+y+z（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？
『思考问题3』
（1）【典例3】是空间向量共线与共面的问题，解答这类问题应该分辨清楚问题是空间向量共线还是共面的问题，理解并掌握空间向量共线或共面的充要条件；
（2）空间向量共线（或共面）的充要条件，是解答该类问题的关键，共线涉及到一个非零向量，而共面涉及到两个非零向量。
〔练习3〕按要求解答下列各题：
1、证明起点相同的三个向量，，3-2的终点在同一条直线上；
2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，确定在下列各条件下点M是否与A，B，C一定共面。
（1）= + + ； （2）= 2--。
3、已知点A（+1，-1,3），B（2，,-2），C（+3，-3,9）三点共线，则= ，= ；
4、已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，），若，，三个向量共面，则实数等于（ ）
A B 9 C D
5、如图所示已知平行六面体ABCD—中，
点M是A的中点，点G在对角线C上，且 G
CG：G =2:1，设=，=，=， M D C
试用，， 表示向量、、、；A B
【典例4】解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
（1）若≠0，.=.，则=；（2）若.=.，则≠，当且仅当=0时成立；（3）（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；（4）对任意向量有=||；
2、已知||=4，||=8，与的夹角为。
（1）求：（+2）.（2-）； （2）求：|4-2|；
3、如图，已知空间四边形ABCD的每条边及AC， A
BD的长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD ， F
DC的中点。 E C
求：（1）.； （2）.；（3）.； B G
（4）.； （5）. （6）. D
4、若向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2）。求：向量与的夹角；
5、如图已知m，n是平面内的两条相交直线， L
直线L与的交点为B，且L⊥m，L⊥n。 B n m O
求证：L⊥；
6、如图已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC,
OB⊥AC。 A C
求证：OC⊥AB； B
7、如图已知线段AB在平面内，线段AC⊥， C
线段BD⊥AB，线段D⊥，， D
如果AB=a，AC=BD=b. A B
求C，D间的距离；
8、如图在平行六面体ABCD—中，
AB =4，AD=3，A =5，，
。 D C
求 ： | 。 A B
『思考问题5』
（1）【典例5】是与空间向量数量积的几何运算相关的问题，解答这类问题需要理解空间向量数量积几何运算的定义，尤其是空间向量数量积的几何意义，掌握空间向量数量积的性质和运算性质；
（2）在实际解答问题时，应该分辨清楚问题是哪两个空间向量的数量积，再根据空间向量数量积的定义确定两个空间向量的夹角与模长，然后代入公式求出结果；
（3）如果两个空间向量中有一个空间向量是几个空间向量的和，求数量积时应该充分运用数量积的性质及其运算性质。
〔练习5〕解答下列问题：
已知、是非零向量，且|+|=|-|，求证：⊥；
已知||=5，||=4，且与的夹角为，当k为何值时，向量（k-）⊥（+2）。
3、如图已知空间四边形ABCD的每条边和对角线 A
的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，
求证：MN⊥AB，MN⊥CD。 M
4、如图所示，已知空间四边形ABCD的每一条边 A
和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD， B D
CD的中点。 E F C N
计算：（1）.； （2）.；
（3）EG的长； B C G D
（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值。
【典例6】解答下列问题：
1、已知=（2，-3,5），=（-3,1，-4）。
求：（1）+； （2）-； （3）8； （4）.； （5）||； （6）2.(-)；
（7）(+).（-）； （8）（2+3）（-2）； （9）|2+|。
2、已知=（2,3，1），=（-1,-2，-3），=（2,1,3）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）； （3）（+）； （4）+6-8；
3、已知=（2，-1,3），=（-4,2，x），且⊥，求x的值；
4、已知空间三点A(-2,0,2)，B(-1,1,2)，C(-3,0,4)，设=，=，求：
（1）与的夹角；
（2）若k+与k-2互相垂直，求k的值。
5、已知A(3,5,-7)，B(-2,4,3)，求 ，，线段AB的中点坐标及线段AB的长。
6、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
A B
7、已知，，是空间的一个单位正交基底，向量+，-，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为（1,2,3），求在基底+，-，下的坐标。
『思考问题6』
（1）【典例6】是空间向量坐标运算的问题，解答这类问题应该理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量坐标运算的法则；
（2）空间向量坐标运算对于空间向量几何运算中的运算律仍然成立，在实际运算中结合运算律和运算性质可以使运算更加简便快捷。
〔练习1〕按要求解答下列各题：
1、已知=（2，-3,1），=（2,0，3），=（0,0,2）。
求：（1）（+）； （2）+6-8。
2、判断下列各问题中的向量是否平行：
（1）=（1，2,-2），=（-2,-4，4）； （2）=（-2，3,5），=（16,-24，40）。
3、设=（-3，2,5），=（1,5，-1）。
求：（1）+； （2）3-； （3）6； （4）.；
（5）||； （6）（2+3）（-2）； （7）|2+|。
4、已知空间三点A(-1,0,1),B(-2,2,2),C(-3,0,3)，设=，=，求：
（1）与的夹角；
（2）若+k与2-k互相垂直，求k的值。
5、设=（-3,-4），=（2,3），=（5,6）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）。
在中，=（2,3），=（1，k），且的一个内角为，求k的值。
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
1、给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足||=||，则=；③正方体ABCD—中，必有=；④若空间向量，，满足=，=，则=。其中不正确命题的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、给出下列命题：①若≠0，.=.，则=；②若.=.，则≠，且
仅当=0时成立；③（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；④对任意向量有=||，其中假命题是（ ）
A ①②④ B ①②③ C ②③④ D ①②③④
如图所示，在空间直角坐标系中，有直三棱锥 B
ABC-，AC=C=2BC，则直线B与 C
A夹角的余弦值是 。 A
『思考问题7』
【典例7】是解答空间向量概念与空间向量运算问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视正确理解空间向量定义，导致解答问题出现错误；②忽视空间向量线性运算中，加减运算和数与向量积运算的法则（或向量的方向），导致解答问题出现错误；③忽视空间向量夹角与异面直线夹角的定义，导致解答问题出现错误；
解答空间向量概念与空间向量运算问题时，为避免忽视正确理解空间向量定义的雷区，需要正确理解空间向量的定义，尤其是零向量，单位向量，共线向量，相等向量和向量摸长的定义；
解答空间向量概念与空间向量运算问题时，为避免忽视空间向量线性运算中，加减运算和数与向量积运算的法则（或向量的方向）的雷区，需要理解并掌握空间向量加减运算的法则，数与向量积运算的基本方法，注意运算中空间向量的方向。
（4）解答空间向量概念与空间向量运算问题时，为避免忽视空间向量夹角与异面直线夹角的定义雷区，需要正确理解空间向量夹角和异面直线夹角的定义，注意两种夹角的取值范围。
〔练习7〕解答下列问题：
1、下列说法中错误的是（ ）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
给出下列命题：①已知A，B，C，D是空间任意四点，则+++=0；②|-|
=|+|是，共线的充要条件；③若与共线，则与所在的直线平行；④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=x+y+z（其中x，y，zR），则P，A，B，C四点共面，其中假命题的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
A B
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、在空间直角坐标系O-xyz中，点A（-2，1，4）与（2，1，4）关于（ ）对称（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末蓉城名校联盟考试）
A xOy平面 B yOz平面 C xOz平面 D 原点
2、在空间直角坐标系Oxyz中，点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐标原点的距离为（ ）（成都市高2020级2021-2022学年度上期期末调研考试）
A B C D
『思考问题8』
【典例8】是近几年高中数学考试试卷中有关空间向量定义及运算的问题，
1、在空间直角坐标系O—xyz中，点M（0，m，0）到点P（1，0，2）和点Q（1，-3，1）的距离相等，则实数m的值为（ ）（成都市高2019级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A -2 B -1 C 1 D 2
2、在空间直角坐标系OXY中，已知点P（3，2，1），Q（-1，0，1），则|PQ|= （成都市高2018级2019-2020学年度上期期末调研考试）
3、（理）在空间直角坐标系O—xyz中，已知点A（2，1，-1），则与点A关于原点对称的点的坐标为（ ）
A (-2，-1，1) B (-2，1，-1) C (2，-1，1) D (-2，-1，-1)
在空间直角坐标系O—xyz中，点M（1，-2，3）关于yoz平面对称的点的坐标是（ ）（成都市高2017级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A (-1，-2，3) B (1，-2，-3) C (-1，2，-3) D (1，2，-3)
4、在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（-2，-3），若沿X轴把坐标平面折成的二面角，则AB的长为（ ）（成都市高2017级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A B C 5 D 4
空间向量定义及运算
【考纲解读】
理解空间向量的定义，掌握空间向量线性运算加法，减法和数与向量乘积运算的法则，掌握空间向量线性运算的基本方法，能够熟练进行空间向量的线性运算；
了解空间向量基本定理，理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量坐标运算加法，减法和数与向量乘积运算的法则，掌握空间向量坐标运算的基本方法，能够熟练进行空间向量的坐标运算；
理解空间向量数量积的定义，掌握空间向量数量积几何运算（或坐标运算）的法则和基本方法，能够熟练进行空间向量数量积几何运算（或坐标运算）。
【知识精讲】
一、空间向量的概念：
1、空间向量的定义：在空间具有大小和方向的量，叫做空间向量。
2、空间向量的三要素：（1）空间向量的始点；（2）空间向量的大小；（3）空间向量的方向。
3、向量的表示：空间向量表示的基本方法有：（1）始点与终点的大写字母加上箭头符号（注意大写字母的顺序）；（2）一个小写的希腊字母加上箭头符号。
4、空间向量的模：空间向量的长度，称为空间向量的模，它可表示为：（1）始点与终点的大写字母加上箭头符号（注意大写字母的顺序）再加上绝对值符号；（2）一个小写的希腊字母加上箭头符号再加上绝对值符号。
5、特殊的空间向量：（1）零向量：模长为0的向量，称为零向量，零向量具有如下性质：①零向量的模长为0 ；②零向量的方向不确定；③零向量与任何向量共线；
（2）单位向量：模长为1的向量，称为单位向量，单位向量常用，，-----表示，也可以表示为，，----- 。
（3）平行向量（或共线向量）：方向相同（或相反）的向量，称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任一向量平行（或共线）。
（4）相等向量：方向相同且模长相等的向量，称为相等向量，相等向量具有两个特征：①
相等向量方向相同；②相等向量模长相等。
（5）相反向量：方向相反且模长相等的两个向量，互为相反向量，其中一个向量称为另一个向量的相反向量，相等向量具有两个特征：①相反向量方向相反；②相反向量模长相等。
（6）共面向量：在同一个平面内的向量，叫做共面向量。
二、空间向量的线性运算：
1、空间向量的加法：
（1）空间向量加法的定义：求空间几个向量的和的运算，叫做空间向量的加法；
（2）空间向量加法的法则：
①平行四边形法则，如（图1）：
平行四边形法则的特点是两个向量具有公共的始点； +
它的适用范围是具有公共始点的两个向量求和。 （图1）
②三角形法则如（图2）：
三角形法则的特点是一个向量的始点与另一个向 +
量的终点重合； （图2）
三角形法则的适用范围是一个向量的始点与另一个向量的终点重合的两个向量求和。
（3）空间向量加法的运算律：
①+=+，这个运算律称为交换律；特别的：+=+=；
②（+）+=+（+），这个运算律称为结合律。
2、空间向量的减法：
（1）相反向量的定义：求两个向量的差的运算，称为向量的减法。
（2）相反向量的表示：在一个向量前面加上符号“-”表示这个向量的相反向量，例如向量的相反向量可表示-。
（3）互为相反向量的两个向量的性质：①互为相反向量的两个向量的和零，即设向量的相反向量向量为-，则上面的性质可表示为+（-）=0。
（4）空间向量减法的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
3、实数与空间向量的积：
（1）实数与空间向量积的意义：设空间向量为，∈R，的意义是：①长度：||=||||，②方向：＞0时，与同向；＜0时，与反向；由实数与空间向量积的意义可知，在计算时，应分两步进行：①确定的模长；②确定的方向 。
（2）实数与空间向量的积的运算性质：设，是空间向量，，∈R。
①（）=（）； ②（+）=+； ③（+）=+。
三、共线向量与共面向量：
1、共线向量：
（1）共线（或平行）向量的定义：方向相同（或相反）的向量，称为共线（或平行）向量。
（2）向量共线的充要条件：设，是空间任意两个向量，且≠0，则，共线的充要条件是：存在∈R，使=成立；即：与（≠0）共线存在∈R，使=成立。
（3）推论：如果直线l过已知点A，且平行于已知非零向量所在的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是：存在∈R，使=+成立。
2、共平面向量：
（1）共面向量的定义：在同一平面内的向量，称为共面向量。
（2）共面向量的充要条件：设，是不共线的两个向量，则向量与向量，共面的充要条件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；即：向量与不共线向量，共面存在x，y∈R，使=x+y成立。
（3）推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；或对空间任意一点O，存在x，y∈R,有=+x+y 成立。
四、空间向量基本定理：
1、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任意向量，存在 唯一一对有序实数组（x，y，z），使=x+y+z成立；这里的｛，，｝叫做空间的一个基底，向量{，，}叫做基向量；空间任何三个不共面的向量，都可以构成空间的一个基底。
2、空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C四点不共面，则对空间任意一点P，都存在
唯一一对有序实数组（x，y，z），使=x+y+z（x+y+z=1）成立。
五、空间向量的坐标运算：
1、空间向量坐标的定义：
（1）单位正交基底：在空间取三个互相垂直的单位向量为基向量的基底，称为单位正交基底，用{，，}来表示；
（2）空间直角坐标系的定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛，，｝，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，称为空间直角坐标系；这里的O点叫做空间直角坐标系的原点，向量，，叫做x轴，y轴，z轴的单位向量，每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面，空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们分别是xOy平面，xOz平面和yOz平面。
（3）空间向量坐标的定义：在给定的空间直角坐标系中，对空间的任意向量，由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使=x+y+z成立，这里的有序实数组（x，y，z）称为向量在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作=（x，y，z）。
（4）空间直角坐标系中点的坐标：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间的任意一点A，对应一个向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使= x+y+z成立，这里的有序实数组（x，y，z）称为点A在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A（x，y，z）；其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。
2、空间向量的坐标运算：
设=(， ，)，=(，，)。
（1）+=(+， +，+)； （2）-=(-， -，-) ；
（3）=(， ，)； （4）||==；
（5）设空间直角坐标系中的两点A(，，)，B(， ， )。
①=(-， -，-) ，从而得到：一个空间向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
②||==。
六、空间向量的数量积：
1、空间向量数量积的线性运算： B
（1）空间向量的夹角：如图设空间向量，是两个非零向量，
在空间任意取一点O，作=， =，则= O A
称为空间向量与的夹角，记为〈，〉=，（≤≤）；
（2）空间向量夹角的特例：①当=时，空间向量与同向；②当=时，空间向量与互相垂直，记作⊥；③当=时，空间向量与反向。
（3）空间向量数量积的线性运算：
①法则：.=||||COS〈，〉， 规定：.=.=0；
②空间向量数量积的几何意义：
.等于空间向量的长度||与空间向量在向量的方向上的投影|| COS〈，〉的乘积，如下图所示：
B B B
O A O A O A
〈，〉为锐角 〈，〉为钝角 〈，〉为直角
（4）空间向量数量积的运算性质：
设空间向量，，，∈R。则有：①.=.；②（）. =（. ）=. （）；③（+）.= .+.。
2、空间向量数量积的性质：
设空间向量，是非零向量，是与同向的单位向量，为空间向量与的夹角。则有：①.=.=||cos；②⊥.=0；③.=||或||=；
④cos= ；⑤|.|≤||.||。
3、空间向量数量积的坐标运算：
设=(， ，)，=(，，)。则有：（1）.=+ +；（2）||= .=；||=；（3）cos= ；（4）⊥.=+=0；（5）∥=。
【探导考点】
考点1空间向量的概念：热点判断与空间向量概念相关命题的真假；
考点2空间向量的线性运算：热点①空间向量线性运算；热点②根据空间向量运算求参数的值（或取值范围）；热点③空间向量共线充分必要条件的运用；
考点3空间向量的坐标运算：热点①空间向量基本定理及运用；热点②空间向量坐标运算；热点③利用空间向量共线（或共面）充分必要条件求向量（或点的坐标）；热点④利用空间向量共线（或共面）充分必要条件求参数的值（或取值范围）
考点4空间向量数量积：热点①空间向量数量积的线性运算；热点②空间向量数量积的坐标运算；热点③运用空间向量数量积求向量的模；热点④利用空间向量数量积求向量的夹角。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足||=||，则=；③正方体ABCD—中，必有=；④若空间向量，，满足=，=，则=。其中不正确命题的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各命题的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对①，空间向量的单位向量的模长都等于1，将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点在以起点为圆心，1为半径的球上，①错误；对②，当向量，互为反向量时，有||=||，，②错误；对③，ABCD—是正方体，=，③正确；对④，空间向量，，满足=，=，=，④正确，综上所述，其中不正确命题有①②两个，B正确，选B。
2、判断下列命题的真假，如果是假命题，并说明理由：
（1）若向量与同向，且||＞||，则＞；
（2）若||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对任意向量||=||，且与的方向相同，则=；
（4）的方向不定，故不与任何向量平行；
（5）向量与平行，则向量与向量的方向相同或相反；
（6）向量与向量是共线向量，则A、B、C、D四点在一条直线上；
（7）起点不同，但方向相同，且模长相等的几何向量是相等向量。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件就可判断各小题命题的真假。
【详细解答】（1）向量不能比较大小，（1）是假命题；（2）当向量与分别是菱形的一组临边时，有||=||，与的长度相等且，但方向不相同也不相反，（2）是假命题；（3）对任意两个向量，，若||=||，且与的方向相同，则=，（3）是真命题；（4）的方向不定，与任何向量平行，（4）是假命题；（5）向量与平行，则向量与向量的方向相同或相反，（5）是真命题；（6）当向量与向量分别是平行四边形的一组对边时，向量与向量是共线向量，但A、B、C、D四点不在一条直线上，（6）是假命题；（7）起点不同，但方向相同，且模长相等的几个向量是相等向量，（7）是真命题。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与空间向量基本概念相关的问题，解答这类问题需要深刻理解空间向量的基本概念，注意问题与哪一个（或哪几个）基本概念相关；
（2）理解空间向量的基本概念，一定要注意每一个基本概念涉及问题的实质及主要特征，例如相等向量的实质是两个向量相等，主要特征是：①方向相同；②模长相等。
〔练习1〕解答下列问题：
1、四边形ABCD是平行四边形的充要条件是( )（答案：D）
A ||=|| B = C = D =
2、下列说法中错误的是（ ）（答案：A）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
【典例2】按要求解答下列各题： O
2、如图已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC， M
M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN E G C
上，且使MG=2GN，用基向量，，表示 A N
向量； B
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条件就可得到向量关于向量，，的表示式。
【详细解答】如图，取OB的中点E，连接ME，NE，M，E，N分别是对边OA，OB，BC的中点，= = - ，= ，=+
=- + ， 点G在线段MN 上，且使MG=2GN，= =-+ ，=+=+ 。
2、如图已知平行六面体ABCD—。
求：（1）+； M
（2） ++； D C
（3）++； A B
（4）（++）。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条件就可分别求出各小题的结果。
【详细解答】如图，取C的中点M，连接AM，AC，（1）+=；（2）+
+=+=+=； （3）++=+=；（4）（++）=（+）=。
3、 如图平行六面体ABCD—中，AC与BD的交点为点M，设，
，则下列向量中
与相等的向量是（ ）
A B D C
C D A M B
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条
件得到向量关于向量，，的表示式，就可得出选项。
【详细解答】如图，平行六面体ABCD—中，AC与BD的交点为点M，，，，==（-+），=+=+（-+）
=-++，A正确，选A。
4、已知ABCD—是平行六面体，设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC对角线B上的4等分点，且BN= B，设= ++，试求，，的值。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条件得到向量关于向量，，的表示式，就可求出，，的值。
【详细解答】如图，=+=+，
M是底面ABCD的中心，== N
+，=+= +，N是 D C
侧面BC对角线B上的4等分点，且BN A M B
= B，==+，=+=++
+=++= ++，=，=，=。
5、如图平行六面体ABCD—中，AB=5，AD=3，A=7，，
EMBED Equation.DSMT4 。
求A的长。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质； ②空间 D C
向量线性运算的法则和基本方法。 A B
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法，结合问题条件得到向量关于向量，，的表示式，就可求出，，的值。
【详细解答】如图，=+=+，=+=++，
AB=5，AD=3，A=7，，，A的长为||
==2。
『思考问题2』
（1）【典例2】是空间向量线性运算的问题，解答这类问题应该理解并掌握空间向量线性运算的基本法则和运算律，注意每一个法则的特性与适用范围；
（2）在实际解答问题时，运用法则的同时应该结合空间向量线性运算的运算律，这样可以使问题更加简化便捷。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如图已知正方体ABCD—，点E、F分别是
上底面和侧面CD的中心，求下列各
题中x、y的值。 F
（1）=x（++）； D C
（2）=+x+y； A B
（3）=+ x+y（答案：（1）x=1；（2）x=，y=；（3）x=2，y=1。）
2、如图已知空间四边形ABCD，连接AC，BD， A
M，G分别是BC，DC的中点。
求： （1）++；
（2）+（+）； D
（3）-（+）。 B G
（答案：（1）；（2）；（3）。） M C
3、如图在平行六面体ABCD—中，
EMBED Equation.DSMT4 =，=，=，用，，
表示下列向量：
（1），，； D C
（2）（点G是侧面BC的中心）。 A B
（答案：（1）=--+，=--，=-+；（2）=++。）
4、O，A，B，C为空间四点，如果向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面；（答案：O，A，B，C共面。）
5、已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且=， =， =，用，，表示。（答案：=-++）
【典例3】按要求解答下列各题：
设，是两个不共线的非零向量，若与的起点相同，t∈R，当t为何值时，，t，（+）三向量的终点在一条直线上。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用空间向量共线充分必要条件，结合问题条件得到向量，关于向量，的表示式，从而得到关于t的方程，求解方程就可求出t的值。
【详细解答】证明：如图，=t- （+） B C
=- +（t-），= （+）- =- O A
+，A，C，B三点在同一直线上，存在实数u，使=u成立，（t-u）+
（u-），，是两个不共线的非零向量，t-u=0①，u-=0②，联立①②解得：t=。当t=时，，t，（+）三向量的终点在一条直线上。
2、设，不共线，点P在AB上，求证：=+，且+=1，，∈R。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用间向量共线充分必要条件，结合问题条件得到向量关于向量，的表示式，就可证明结论。 B
【详细解答】证明：如图，=-， P
=-，A，P，B三点在同一直线上，存在实 O A
数t，使=t成立，=（1-t）+t，令=1-t，=t，=+，且+=1-t+t=1。
3、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C， 试问满足向量关系=x+y+z（其中x+y+z=1）的四点P，A，B，C是否共面？
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量共线充分必要条件及运用；③空间向量共面充分必要条件及运用。
【解题思路】根据空间向量的性质，运用间向量共线充分必要条件和空间向量共面充分必要条件，结合问题条件就可得出四点P、A、B、C共面。
【详细解答】x+y+z=1，z=1-(x+y)，A，B，C三点不共线，=-，=-不共线，=x+y+（1-x-y）=-x(-)-y(-)
=--x-y，-==x+y，即四点P，A，B，C共面。
5、如图已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量=k，=k，=k，=k，求证： O
（1）四点E，F，G，H共面；
（2）平面ABCD∥平面EFGH。 D C
【解析】 A B
【知识点】①空间向量定义与性质； ②空间向量
共线的充分必要条件及运用；③空间向量共面 H G
充分必要条件及运用；④直线平行平面判定定理 E F
及运用；⑤平面平行平面判定定理及运用。
【解题思路】（1）根据空间向量的性质，运用空间向量共线充分必要条件和平行线段成比例定理，结合问题条件可证明AB//EF，CD//HG，从而证明EF//HG就可证明四点E，F，G，H共面；（2）根据（1），运用直线平行平面判定定理可以证明AB//平面EFGH，BC//平面EFGH，利用平面平行平面的判断定理就可证明平面ABCD∥平面EFGH。
【详细解答】（1）如图，向量=k，=k，=k，=k，=-=k-k=k（-）=k=k(+)=k（-+-）=-+-=+，四点E，F，G，H共面；（2）=-=k-k=k(-）=k，AB//EF，AB平面EFGH，EF平面EFGH，AB//平面EFGH，同理可证AC//平面EFGH，AB，AC平面ABCD，AB
AC=A，平面ABCD∥平面EFGH。
4、设，是两个不共线的非零向量。
（1）如果=-，=3+2，=-8+2，求证：A,，C，D三点共线；
（2）如果=+，=2-3，=2-k，且A，C，D三点共线，求k的值。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据空间向量的性质，运用间向量共线充分必要条件，结合问题条件就可证明A，C，D三点共线；（2）根据空间向量的性质，运用间向量共线充分必要条件，结合问题条件得到关于k，t的方程组，求解方程组就可求出k的值。
【详细解答】（1）证明：=-，=3+2，=-8-2，=+
=4+，=+=12+3=3（4+）=3，向量，具有公共的始点，A,，C，D三点共线；（2）=+，=2-3，=2-k，
=+=3-2，=+=5-（2+k），A，C，D三点共线，存在实数t，使=t成立，（5-3t)-（2+k-2t）=0，，是两个不共线的非零向量，5-3t=0①，2+k-2t=0②，联立①②解得：k=。
『思考问题3』
（1）【典例3】是空间向量共线与共面的问题，解答这类问题应该分辨清楚问题是空间向量共线还是共面的问题，理解并掌握空间向量共线或共面的充要条件；
（2）空间向量共线（或共面）的充要条件，是解答该类问题的关键，共线涉及到一个非零向量，而共面涉及到两个非零向量。
〔练习3〕按要求解答下列各题：
1、证明起点相同的三个向量，，3-2的终点在同一条直线上；（提示：运用共线向量的充分必要条件）
2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，确定在下列各条件下点M是否与A，B，C一定共面。
（1）= + + ；（答案：点M与A，B，C一定共面）
（2）= 2--。（答案：点M与A，B，C不共面）
3、已知点A（+1，-1,3），B（2，,-2），C（+3，-3,9）三点共线，则= ，= 。（答案：=0，=0.）
4、已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，），若，，三个向量共面，则实数等于（ ）（答案：D）
A B 9 C D
5、如图所示已知平行六面体ABCD—中，
点M是A的中点，点G在对角线C上，且 G
CG：G =2：1，设=，=，=， M D C
试用，， 表示向量，，，。A B
（答案：=+；=++；=++；=++）
【典例4】解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
（1）若≠0，.=.，则=；
（2）若.=.，则≠，当且仅当=0时成立；
（3）（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；
（4）对任意向量有=||；
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②正方体定义与性质；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量和正方体的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各命题的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】（1）当||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，.=||.||
=||，.=||.||cos=||2=||，≠0，.=.，=不一定成立，（1）是假命题；（2）当||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，.=||.||
=||=.=||.||cos=||2=||，≠0时也成立，（2）是假命题；（3）当||=||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，（.）.=， .（.）=，当且仅当=时，（.）.= .（.）才成立，（3）是假命题；（4）对任意向量有=||，（4）是真命题。
2、已知||=4，||=8，与的夹角为。
（1）求：（+2）.（2-）； （2）求：|4-2|。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法
则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可分别求出各空间向量数量积的值。
【详细解答】||=4，||=8，与的夹角为，（1）（+2）.（2-）=32+348
（-）-128=-96-48；（2）求：|4-2|=
==8。
3、如图，已知空间四边形ABCD的每条边及AC， A
BD的长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD ， F
DC的中点。 E C
求：（1）.； （2）.；（3）.； B G
（4）.； （5）. ； （6）. 。 D
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可分别求出各空间向量数量积的值。
【详细解答】 空间四边形ABCD的每条边及AC，BD的长都等于a， （1）.
=； （2）.=-.=-；点E，F，G分别是AB，AD ，DC的中点， （3）.=-.=-；（4）.=；（5）. =-. =-；（6）. =-.（+）=-.-.=-
-=-。
4、若向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2）。求：向量与的夹角的余弦值。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件得到关于||，||的等式，从而就可求出向量与夹角的余弦值。
【详细解答】向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2），（+3）.（7-5）=7||+16.-15||=0①，（-4）.（7-2）=7||-30.+8
||=0②，联立①②得:||=||，.=||，||=||，cos<.，>===。
5、如图已知m，n是平面内的两条相交直线， l
直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n。 B n m
求证：L⊥。
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可证明L⊥。
【详细解答】证明：如图，设直线m，n的方向向量分别为，，直线l的方向向量为，直线b是平面内的任意一条直线， 直线m，n是平面内的两条相交直线，存在唯一一对有序实数（x，y）是直线b的方向向量为x+y，l⊥m，l⊥n，.=0，.=0，
.（x+y)=x.+y.=0，L⊥b，L⊥。
6、如图已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC, O
OB⊥AC。
求证：OC⊥AB； A C
【解析】 B
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可证明OC⊥AB。
【详细解答】如图， =+，=+，OA⊥BC, OB⊥AC，.
=（+）.（+）=.+.+.+.=.（+）+.=（-）+.=（+）=0，OC⊥AB。
7、如图已知线段AB在平面内，线段AC⊥， C
线段BD⊥AB，线段D⊥，， D
如果AB=a，AC=BD=b. A B
求C，D间的距离；
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的
法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可求出C，D间的距离。
【详细解答】如图， =+=++， 线段AB在平面内，线段AC⊥，线段BD⊥AB，AB=a，AC=BD=b，| |=
= =a。
8、如图在平行六面体ABCD—中，
AB =4，AD=3，A =5，，
。 D C
求 ： | 。 A B
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量线性运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量和空间向量数量积的性质，运用空间向量线性运算的法则和基本方法的，结合问题条件就可求出 |的值。
【详细解答】如图， =+=+ +，AB =4，AD=3，A =5，，， | =
==。
『思考问题5』
（1）【典例5】是与空间向量数量积的线性运算相关的问题，解答这类问题需要理解空间向量数量积的定义，尤其是空间向量数量积的几何意义，掌握空间向量数量积的性质和运算性质，注意空间向量数量积线性（或坐标）运算的法则和基本方法；
（2）在实际解答空间向量线性运算问题时，应该分辨清楚问题是哪两个空间向量的数量积，再根据空间向量数量积的定义确定两个空间向量的夹角与模长，然后代入公式求出结果；
（3）如果两个空间向量中有一个空间向量是几个空间向量的和，求数量积时应该充分运用数量积的性质及其运算性质。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知，是非零向量，且|+|=|-|，求证：⊥；（提示：证明.=0）
2、已知||=5，||=4，且与的夹角为，当k为何值时，向量（k-）⊥（+2）。（答案：当k=时，向量（k-）⊥（+2））
3、如图已知空间四边形ABCD的每条边和对角线 A
的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，
求证：MN⊥AB，MN⊥CD。（提示：分别证明所在向量的数量积为0） M
4、如图所示，已知空间四边形ABCD的每一条边 A
和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD， B D
CD的中点。 E F C N
计算：（1）.； （2）.；
（3）EG的长； B C G D
（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值。（答案：（1）.=；（2）.=-；（3）EG的长为；（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值为）
【典例6】解答下列问题：
1、已知=（2，-3，5），=（-3，1，-4）。
求：（1）+； （2）-； （3）8； （4）.； （5）||； （6）2.(-)；
(+).（-）； （8）（2+3）（-2）； （9）|2+|。
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件，就可分别求出各小题的结果。
【详细解答】 =（2，-3，5），=（-3，1，-4），（1）+=（-1，-2，1）；（2）-=（5，-4，9）；（3）8=（16，-24，40）；（4）.=-6-3-20=-29；（5）||==；
（6）2.(-)=（4，-6，10）（3，-1，4）=12+6-40=-22.；（7）(+).（-）=（-1，-2，1）.（5，-4，9）=-5+8+9=12； （8）（2+3）（-2）=（-5，-3，-2）.（8，-1，13）=-40+3-26=-63；（9）|2+|=|（1，-5，6）|==。
2、已知=（2，3，1），=（-1，-2，-3），=（2，1，3）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）； （3）（+）； （4）+6-8。
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合
问题条件，就可分别求出各小题的结果。
【详细解答】 =（2，3，1），=（-1，-2，-3），=（2，1，3），（1）（.）.=（-2-6-3）（2，1，3）=（-22，-11，-33）；（2）.（.）=（2，3，1）.（-2-2-9）=（-26，-39，-13）； （3）（+）=（2，3，1）.（1，-1，0）=2-3+0=-1；（4）+6-8=（2，3，1）+（-6，-12，-18）+ （-16，-8，-24）=（-20，-17，-41）。
已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），且⊥，求x的值；
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件得到关于x的方程，求解肥肠粉就可求出x的值。
【详细解答】=（2，-1，3），=（-4，2，x），且⊥，.=-8-2+3x=3x-10=0，
k=。
4、已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=，=，求：
（1）与的夹角的余弦值；
（2）若k+与k-2互相垂直，求k的值。
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件，就可求出与的夹角的余弦值；（2）根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件得到关于k的方程，求解方程就可求出k的值。
【详细解答】（1）A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，==(1，1，0)，==(-1，0，2)，cos===-；（2）k+=(k，k，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，k-2=(k，k，0)+(2，0，-4)=(k+2，k，-4)，k+与k-2互相垂直，
（k+）.（k-2）=（k-1）（k+2）+-8=2+k-10=0，k=2或k=-。
5、已知A(3，5，-7)，B(-2，4，3)，求 ，，线段AB的中点坐标及线段AB的长。
【解析】
【知识点】①空间向量坐标定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据空间向量坐标的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法的，结合问题条件，就可求出，，线段AB的中点坐标及线段AB的长。
【详细解答】A(3，5，-7)，B(-2，4，3)，=(-5，-1，10)，=(5，1，-10)，线段AB的中点坐标为(，，-2)，线段AB的长为||==3。
6、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别 z
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N Cy
【解析】 A x B
【知识点】①正方体定义与性质；②异面直线定义与性质；③求异面直线所成角的余弦值的基本方法。
【解题思路】根据正方体和异面直线的性质，运用求异面直线所成角的余弦值的基本方法，结合问题条件，就可求出CM和N所成角的余弦值。
【详细解答】如图，设正方体ABCD—的棱长为1，ABCD—是正方体，以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，1），（1，1，1），（0，0，1），点M，N分别是棱A 和B的中点，M（1，0，），N（1，1，），=（-1，1，-），=N（1，1，-），CM和N所成角的余弦值为cos<，>===。
7、已知，，是空间的一个单位正交基底，向量+，-，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为（1，2，3），求在基底+，-，下的坐标。
【解析】
【知识点】①空间单位正交基底定义与性质；②空间基底定义与性质；③空间向量坐标定义与性质。
【解题思路】根据空间单位正交基底和空间基底的性质，运用空间向量坐标的性质，结合问题条件，就可求出在基底+，-，下的坐标。
【详细解答】，，是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为（1，2，3），在基底+，-，下的坐标为++2（-）+3=（1，1，0）+（2，-2，0）+（0，0，3）=（3，-1，3）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是空间向量坐标运算的问题，解答这类问题应该理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量坐标运算的法则和基本方法；
（2）空间向量坐标运算对于空间向量线性运算中的运算律仍然成立，在实际运算中结合运算律和运算性质可以使运算更加简便快捷。
〔练习1〕按要求解答下列各题：
1、已知=（2，-3，1），=（2，0，3），=（0，0，2）。
求：①（+）；（答案：（+）=9）
②+6-8。（答案：+6-8=（14，-3，3））
2、判断下列各问题中的向量是否平行：
（1）=（1，2，-2），=（-2，-4，4）； （2）=（-2，3，5），=（16，-24，40）。
（答案：（1）//；（2）与不平行。）
3、设=（-3，2，5），=（1，5，-1）。求：
（1）+； （2）3-； （3）6； （4）.；
（5）||； （6）（2+3）（-2）； （7）|2+|。
（答案：（1）+=（-2，7，4）；（2）-=（-4，-3，6）；（1）6=（-18，12，30）；（4）.=2；（5）||=；（6）（2+3）（-2）=-84；（7）|2+|=。）
4、已知空间三点A(-1，0，1)，B(-2，2，2)，C(-3，0，3)，设=，=，求：
（1）与的夹角；（答案：与的夹角=）
（2）若+k与2-k互相垂直，求k的值。（答案：k=-1或k=）
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
1、给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足||=||，则=；③正方体ABCD—中，必有=；④若空间向量，，满足=，=，则=。其中不正确命题的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②正方体定义与性质；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量和正方体的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各命题的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对①，空间向量的单位向量的模长都等于1，将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点在以起点为圆心，1为半径的球上，①错误；对②，当向量，互为反向量时，有||=||，，②错误；对③，ABCD—是正方体，=，③正确；对④，空间向量，，满足=，=，=，④正确，综上所述，其中不正确命题有①②两个，B正确，选B。
2、给出下列命题：①若≠0，.=.，则=；②若.=.，则≠，且
仅当=0时成立；③（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；④对任意向量有=||，其中假命题是（ ）
A ①②④ B ①②③ C ②③④ D ①②③④
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②正方体定义与性质；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据空间向量和正方体的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各命题的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对①，当||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，.=||.||
=||，.=||.||cos=||2=||，≠0，.=.，=不一定成立，①是假命题；对②，当||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，.=||.||
=||=.=||.||cos=||2=||，≠0时也成立，②是假命题；对③，当||=||=1，||=2，与同向， 与夹角为时，（.）.=， .（.）=，当且仅当=时，（.）.= .（.）才成立，③是假命题；对④，对任意向量有=||，④是真命题，综上所述，其中假命题是①②③，B正确，选B。
如图所示，在空间直角坐标系中，有直三棱锥 B z
ABC-，AC=C=2BC，则直线B与 C y
A夹角的余弦值是 。 x A
【解析】
【知识点】①直三棱柱定义与性质；②异面直线定义与性质；③求异面直线夹角余弦值的基本方法。
【解题思路】根据直三棱柱和异面直线的性质，运用求异面直线夹角余弦值的基本方法，结合问题条件，就可求出直线B与 A夹角的余弦值。
【详细解答】如图，设BC=1， AC=C=2BC，A（2，0，0），B（0，0，1）， （0，2，1）， （0，2，0），=（0，2，-1），=（-2，2，1）， cos< ， >
== = 。
『思考问题7』
（1）【典例7】是解答空间向量概念与空间向量线性运算问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视正确理解空间向量定义，导致解答问题出现错误；②忽视空间向量线性运算中，加减运算和数与向量积运算的法则（或向量的方向），导致解答问题出现错误；③忽视空间向量夹角与异面直线夹角的定义，导致解答问题出现错误；
（2）解答空间向量概念与空间向量线性运算问题时，为避免忽视正确理解空间向量定义的雷区，需要正确理解空间向量的定义，尤其是零向量，单位向量，共线向量，相等向量和向量摸长的定义；
（3）解答空间向量概念与空间向量线性运算问题时，为避免忽视空间向量线性运算中，加减运算和数与向量积运算的法则（或向量的方向）的雷区，需要理解并掌握空间向量加减运算的法则，数与向量积运算的基本方法，注意运算中空间向量的方向；
（4）解答空间向量概念与空间向量线性运算问题时，为避免忽视空间向量夹角与异面直线夹角的定义雷区，需要理解空间向量夹角和异面直线夹角的定义，注意两种夹角的取值范围。
〔练习7〕解答下列问题：
1、下列说法中错误的是（ ）（答案：A）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
给出下列命题：①已知A，B，C，D是空间任意四点，则+++=0；②||-||
=|+|是，共线的充要条件；③若与共线，则与所在的直线平行；④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=x+y+z（其中x，y，zR），则P，A，B，C四点共面，其中假命题的个数为（ ）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
（答案：CM和N所成角的余弦值为） A B
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、在空间直角坐标系O-xyz中，点A（-2，1，4）与（2，1，4）关于（ ）对称（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末蓉城名校联盟考试）
A xOy平面 B yOz平面 C xOz平面 D 原点
【解析】
【考点】①空间直角坐标系定义与性质；②已知点与其对称点坐标，求对称平面的基本方法。
【解题思路】根据空间直角坐标系的性质，运用已知点与其对称点坐标，求对称平面的基本方法，求出两点的对称平面就可得出选项。
【详细解答】点A（-2，1，4）与（2，1，4）的坐标中，x坐标互为相反数，y和z坐标不变，点A（-2，1，4）与（2，1，4）关于 yOz平面对称，B正确，选B。
2、在空间直角坐标系Oxyz中，点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐标原点的距离为（ ）（成都市高2020级2021-2022学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①空间直角坐标系的定义与性质；②空间直角坐标系中的点到平面射影的定义与性
质；③求空间直角坐标系中点到平面射影的基本方法；④两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】根据空间直角坐标系，空间直角坐标系中点到平面的射影的性质和求空间直角坐标系中点到平面射影的基本方法，求出点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影，运用两点之间的距离公式求出点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐标原点的距离就可得出选项。
【详细解答】在空间直角坐标系Oxyz中，点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影为（2，-1，0），点（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐标原点的距离为=，C正确，选C。
A B C D
『思考问题8』
（1）【典例8】是近几年高中数学考试试卷中有关空间向量定义及运算的问题，归结起来主要包括：①空间向量的定义；②空间向量线性运算；③空间向量坐标运算；④空间向量共线（或共面）；⑤空间向量的数量积等几种问题；
（2）解答空间向量定义及运算问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答某类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、在空间直角坐标系O—xyz中，点M（0，m，0）到点P（1，0，2）和点Q（1，-3，1）的距离相等，则实数m的值为（ ）（成都市高2019级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A -2 B -1 C 1 D 2 （答案：B）
2、在空间直角坐标系OXY中，已知点P（3，2，1），Q（-1，0，1），则|PQ|= （成都市高2018级2019-2020学年度上期期末调研考试）（答案：|PQ|=2。）
3、（理）在空间直角坐标系O—xyz中，已知点A（2，1，-1），则与点A关于原点对称的点的坐标为（ ）（答案：A）
A (-2，-1，1) B (-2，1，-1) C (2，-1，1) D (-2，-1，-1)
（文）在空间直角坐标系O—xyz中，点M（1，-2，3）关于yoz平面对称的点的坐标是（ ）（成都市高2017级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：A）
A (-1，-2，3) B (1，-2，-3) C (-1，2，-3) D (1，2，-3)
4、在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（-2，-3），若沿x轴把坐标平面折成的二面角，则AB的长为（）（成都市高2017级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：C）
A B C 5 D 4