1.4空间向量的运用-证明平行（或垂直）
文档属性
| 名称 | 1.4空间向量的运用-证明平行（或垂直） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-07 15:05:17 | ||
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文档简介
空间向量的运用-证明平行（或垂直）
【考纲解读】
理解空间直角坐标系的定义，掌握建立空间直角坐标系的基本方法；
理解平面法向量的定义，掌握求平面法向量的基本方法；
理解直线平行直线，直线平行平面和平面平行平面的定义，掌握运用空间向量证明直线平行直线，直线平行平面和平面平行平面的基本方法；
理解直线垂直直线，直线垂直平面和平面垂直平面的定义，掌握运用空间向量证明直线垂直直线，直线垂直平面和平面垂直平面的基本方法。
【知识精讲】
一、空间直角坐标系：
1、空间直角坐标系的定义：在空间选的一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为坐标原点，分别以，，的正方向为三条坐标轴的正方向构成的直角坐标系，称为空间直角坐标系，表示为O-xyz；这里的三条坐标轴，分别称为x轴，y轴，z轴；其中两条坐标轴构成的平面称为坐标平面，这三个坐标平面分别称为xOy平面，xOz平面，yOz平面，
2、建立空间直角坐标系的基本方法：
（1）确定直角坐标系原点的基本方法：①若图像中有现成的三条线段两两互相垂直于一点，则取垂足为原点；②若图像中没有现成的三条线段两两互相垂直于一点，则需要通过作辅助线寻找两两互相垂直于一点的三条线段，并证明三条线段两两互相垂直，然后取垂足为原点；
（2）坐标轴正方向的确定：①若图像中有现成的三条线段两两互相垂直，则取指向自己的方向作为x轴的正方向，指向右边的方向作为y轴的正方向，指向竖直向上的方向作为z轴的正方向；②若图像中没有现成的三条线段两两互相垂直，则需要通过作辅助线寻找两两互相垂直于的三条线段，并证明三条线段两两互相垂直，然后取指向自己的方向作为x轴的正方向，指向右边的方向作为y轴的正方向，指向竖直向上的方向作为z轴的正方向；
（3）建立空间直角坐标系的基本方法：①以确定的原点为空间直角坐标系的原点；②以确定坐x轴，y轴，z轴的正方向分别为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴；③建立空间直角坐标系O—xyz；
3、空间点A的坐标：
（1）空间点A，空间向量，有序实数对（x，y，z）之间的一一对应：对空间的任意原点A，有且仅有唯一的空间向量与它对应，有且仅有唯一的有序实数对（x，y，z）与它对应，称为空间点A，空间向量，有序实数对（x，y，z）之间的一一对应；
（2）这里的有序实数对（x，y，z），称为空间向量的坐标，记为=（x，y，z）；同时有序实数对（x，y，z），也称为空间点A的坐标，记为A（x，y，z）。
二、运用空间向量证明平行（或垂直）：
1、用空间向量表示直线方程（或判断点在直线上）：
（1）向量参数直线方程的定义：给定一个定点A和一个向量，存在一个实数t，使A为起点的向量=t，则称向量方程叫做直线l（直线AP）的向量参数方程，向量称为该直线的方向向量；
（2）判断空间点P在直线l上的基本方法：对空间任意的点O，点P在直线l（直线AB）上的充要条件是存在唯一实数t，使=(1-t) +t成立。
2、运用空间向量证明空间中的平行关系：
（1）证明直线平行直线的基本方法：设直线和的方向向量分别为和，则//（或与重合）// ；
（2）证明直线平行平面的基本方法：①设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量分别为和，则l//（或l）存在x，yR，使=x +y成立；
②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l//（或l）；
证明平面平行平面的基本方法：设平面，的法向量分别为，，则//
//。
3、运用空间向量证明空间中的垂直关系：
（1）证明直线垂直直线的基本方法：设直线和的方向向量分别为和，则 .=0；
（2）证明直线垂直平面的基本方法：①设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l// ；②直线l的方向向量为，平面内两条相交直线和的方向向量分别为和，则l，且，.=0，且.=0；
（3）证明平面垂直平面的基本方法：设平面，的法向量分别为，，则 .=0。
4、直线的方向向量与平面的法向量的确定：
（1）直线的方向向量确定的基本方法：①在直线上取两点的坐标（线段一般取线段两个端点的坐标）；②把其中一点作为始点，另一点作中点；③求出两点确定的向量，从而得到直线的方向向量；
（2）平面法向量确定的基本方法：①设平面的法向量为=（x，y，z），在平面内取两条相交直线的方向向量分别为，；②根据 .=0 且 .=0，得到关于x，y，z的两个方程；③两个方程组成的方程组（注意：这里涉及到两个方程三个未知数的问题，求解时可以令x，y，z中某一个的值为1，转化为两个方程两个未知数的方程组求解）求出x，y，z的值；④求出平面的法向量。
【探导考点】
考点1空间直角坐标系的概念：热点①空间直角坐标系定义及运用；热点②空间点的坐标及其对称点的坐标；
考点2运用空间向量证明平行问题：热点①运用空间向量证明直线平行直线；热点②运用空间向量证明直线平行平面；热点③运用空间向量证明平面平行平面；
考点3运用空间向量证明垂直问题：热点①运用空间向量证明直线垂直直线；热点②运用空间向量证明直线垂直平面；热点③运用空间向量证明平面垂直平面。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
如图在正方体ABCD---中 D C
建立空间直角坐标系。
A B
2、如图在几何体中，底面ABCD是边长为 E F
6的正方形，是以E为直角顶点的等腰
直角三角形且垂直于底面，试建立空间直角
坐标系。 D C
A B
3、如图在四菱锥P----ABCD中，侧面PAD⊥底面 P
ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，
其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的 A O D
中点，试建立空间直角坐标系。
B C
4、如图在四菱锥O----ABCD中，底面ABCD是 O
边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
试建立空间直角坐标系。 A D
B C
『思考问题1』
（1）【典例1】是空间向量运用的首要问题—建立空间直角坐标系，【典例1】中的（1）有现成的系，可以直接建立空间直角坐标系D-xyz，原因是AD⊥D，AD⊥DC，DC⊥D是条件ABCD---是正方体给定了的；
（2）【典例1】中的（2），（3），（4）中没有现成的系，这时需要我们去找系。找系的基本规律是：①条件中有两个平面垂直可利用平面垂直平面的性质定理，在一个平面内找垂直于另一个平面的直线，其垂足为原点建立直角坐标系；②条件中没有两个平面垂直，但有直线垂直于平面，可利用直线垂直平面的性质定理，直接取垂足为原点建立直角坐标系。
〔练习1〕按要求解答下列各题： S
1、如图四菱锥S----ABCD中，底面ABCD是矩形，
SD⊥底面ABCD，试建立空间直角坐标系。
D C
A B
E
2、如图DC⊥平面ABC，EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2，
，P、Q分别为AE、AB的中点，试 D
建立空间直角坐标系。 P
C Q B
A
【典例2】解答下列问题：
1、如图四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，
该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图所示。 M
证明：AM//平面PBC；
3
D C
A B 4
2 2
2、如图在几何体中底面ABCD是边长为6的 E F
正方形，是以E为直角顶点的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等
分点。 D H C
求证：(1)EF//AB； R
(2) EF∥平面ABCD； A B
3、如图在正方体ABCD---中，M， D C
N，P分别是C、、的中点。 A B M
求证：（1）D//MN； P N
（2）平面MNP∥平面BD。
『思考题2』
【典例2】是运用空间向量证明平行的问题，这类问题主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面； ③运用空间向量证明平面平行平面；
（2）证明直线平行直线的基本思路是证明两直线的方向向量平行（但要注意说明两条直线不重合）；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③证明两个向量平行；④得出所证两直线平行的结论；
（3）证明直线平行平面的基本思路是：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（但应注意说明直线不在平面内）；②证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量共线（但应注意说明直线不在平面内）；思路一的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法，求出平面的法向量；④证明直线的方向向量与平面的法向量平垂直直线方向向量与平面法向量的数量积为0）；⑤得出所证直线与平面平行的结论；思路二的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③在平面内找一条直线并求出其方向向量；④证明两向量平行；⑤得出所证直线与平面平行的结论；
（4）证明平面平行平面的基本思路是证明两个平面的法向量平行，（但应注意说明两法向量不重合）；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据求平面法向量的基本方法，分别求出两个平面的法向量； ③证明两个法向量平行；④得出所证两平面平行的结论。
〔练习2〕解答下列问题： P
1、如图在三棱锥P---ABC中，AB=BC=PA，O， D
D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC。 O C
求证：（1）OD∥平面ABP； A
OP∥AP。 D B C
4、如图所示在正方体ABCD---中，M，N A B M
分别是C，的中点。 E
求证：（1）MN//平面BD； N
（2）若点E是的中点，证明平面MEN//平面BD。
【典例3】解答下列问题：
1、已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量；
2、如图在正方体ABCD----中，点E，F
分别是B，的中点。
求证：EF⊥D； E D C
A B
3、如图在正方体ABCD----中，E，F分别是B、CD的中点，M是AE上一点，
且=。
求证：（1）M⊥平面DAE；
（2）M⊥AD； D M F E C
（3）平面AED⊥平面F。 A B
4、如图四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，
该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图所示。
（1）证明：BC⊥平面PBD； M
（2）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所 D C 3
成角的余弦值为？若存在，找出所有符合 A B 4
要求的点N，并求CN的长；若不存在， 2 2
请说明理由。
5、如图在几何体中底面ABCD是边长为6的 E F
正方形，是以E为直角顶点的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等
分点。 D H C
求证：①EF∥平面ABCD； R
②AG⊥FB, RH⊥FB. A B
6、如图在正方体ABCD---中，M， D C
N，P分别是C、、的中点。 A B M
求证：（1）AP⊥MN； P N
（2）AC⊥MN。
7、如图已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， B E
ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为
CD的中点。 A
（1）求证：AB⊥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值 C F D
『思考题3』
（1）【典例3】是运用空间向量证明垂直的问题，这类问题主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面； ③运用空间向量证明平面平行平面； （2）证明直线垂直直线的基本思路是证明两直线的方向向量互相垂直，两直线方向向量的数量积为零，其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的空间向量（注意两点的顺序）；③证明两个空间向量垂直两个空间向量的数量积为零；④得出两条直线垂直的结论；
（3）证明直线与平面垂直的基本思路是：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直，证明直线方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量的数量积为零；思路一的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④证明直线方向向量与平面法向量平行；⑤得出所证直线与平面垂直的结论；思路二的基本方法是：建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③在平面内找两条相交直线并分别求出其方向向量；④分别证明直线方向向量与平面内两条相交直线方向向量平行，分别证明直线方向向量与平面内两条相交直线方向向量的数量积为零；⑤得出所证直线与平面垂直的结论；
（4）证明平面垂直平面的基本思路是证明两平面的法向量垂直，证明两平面法向量的数量积为零；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据求平面法向量的基本方法，分别求出两个平面的法向量；③证明两平面法向量垂直，证明两平面法向量的数量积为零； ④得出两平面垂直的结论。
〔练习3〕解答下列问题： V
1、如图在四棱锥V----ABCD中，底面ABCD
是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底
面ABCD。
求证：（1）AB⊥平面VAD； D C
（2）CD⊥AV； A B
（3）平面VAD⊥平面VDC. O
3、已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N P
为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若 Q
AB=OC，求证：PM⊥QN。 A N C
M
B
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、如图在几何体中，底面ABCD是边长为 E F
6的正方形，是以E为直角顶点的等腰
直角三角形且垂直于底面，试建立空间直角
坐标系。 D C
A B
2、如图已知三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中点，D⊥BD.
（1）证明：D⊥BC；
（2）求二面角—BD—的大小。
『思考题4』
【典例4】是解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，容易触碰的雷区：该类问题的雷区主要包括：①找系建立空间直角坐标系时，忽视找系过程中的必要证明，导致解答问题出现错误；②运用空间向量证明平行（或垂直）问题，涉及到平面内直线的方向向量时，忽视判断直线是否在平面内，导致解答问题出现错误；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，为避免忽视找系过程中的必要证明的雷区，需要注意对找系过程中的三直线是否两两互相垂直作出相应的证明；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，为避免涉及到平面内直线的方向向量时，忽视判断直线是否在平面内的雷区，需要注意对直线是否在平面内给出准确的判断。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如图在四菱锥O----ABCD中，底面ABCD是 O
边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
试建立空间直角坐标系。 A D
B C
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点。
（1）证明：BD平面PEF；
（2）若BAD=，求二面角B—PD—A的余弦值。
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
如图，在正四棱柱ABCD-中，AB=2，A=4，点，，，分别在棱A，B，C，D上，，A=1，B=D=2，C=3。
证明：//；
点P在棱B上，当二面角P--为，求P（2023全国高考新高考I）
2、如图，在多面体ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GD//EF，GF//BC，FG平面ADGC，M，N分别是AC，BF的中点，BC=EF=CG=FG。
（1）证明：MN//平面APG；
（2）求直线MN与平面BEF所成角的正弦值。
3、在长方体ABCD—中，已知AB=AD，E为AD的中点。
（1）在线段上是否存在点F，使得平面AF//平面EC？若存在请加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）设AD=2，A=4，点G在A上且满足=8，求EG与平面EB所成角的余弦值。
4、（理）如图，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求证：AC平面AB；
（2）若D，E分别为棱AB，AC上的动点，且BD=AE，当三棱锥A-DE的体积最大时，求二面角A—D—E的余弦值（成都市高2021级高三零诊）
5、在三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=，E为BC的中点。
证明：BCDA；
点F满足=，求二面角D-AB-F的正弦值（2023全国高考新高考II）
6、如图，在三棱柱ABC—中，与A均是边长为2的正三角形，且A=。
（1）证明：平面A⊥平面；
（2）求平面B与平面AC所成锐二面角的余弦值（成都市高2020级高三二诊）
『思考题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末调研考试）试卷中，运用空间向量证明平行（或垂直）的问题，归结起来主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面；③运用空间向量证明平面平行平面；④运用空间向量证明直线垂直直线；⑤运用空间向量证明直线垂直平面；⑥运用空间向量证明平面垂直平面等几类问题；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）的问题的基本方法是：①建立空间直角坐标系；
②根据问题结构特征判断问题所属类型；③运用解答该类问题的思路和基本方法对问题实施解答；④得出解答问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、如图，PO是三棱锥P—ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点。
（1）证明：OE//平面PAC；
（2）若ABO=CBO=，PO=3，PA=5，求二面角C—AE—B的正弦值（2022全国高考新高考II卷）
2、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
BAD=，M，N分别为AD，PA的中点（2020成都市高三零诊）。
（1）证明：平面BMN//平面PCD；
（2）（理）若AD=6，CD=，求平面BMN与平面BCP所成二面角的余弦值。
3、（理）在四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=。
（1）证明：BDPA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值。
4、如图，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求证：AC平面AB；
（2）若D，E分别为棱AB，AC上的动点，且BD=AE，当三棱锥A-DE的体积最大时，求二面角A—D—E的余弦值（成都市高2021级高三零诊）
5、如图，四面体ABCD中，ADCD，AD=CD，ADB=BDC，E为AC中点。
（1）证明：平面BED平面ACD；
（2）（理）设AB=BD=2，ACB=，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值（2022全国高考乙卷）
空间向量的运用-证明平行（或垂直）
【考纲解读】
理解空间直角坐标系的定义，掌握建立空间直角坐标系的基本方法；
理解平面法向量的定义，掌握求平面法向量的基本方法；
理解直线平行直线，直线平行平面和平面平行平面的定义，掌握运用空间向量证明直线平行直线，直线平行平面和平面平行平面的基本方法；
理解直线垂直直线，直线垂直平面和平面垂直平面的定义，掌握运用空间向量证明直线垂直直线，直线垂直平面和平面垂直平面的基本方法。
【知识精讲】
一、空间直角坐标系：
1、空间直角坐标系的定义：在空间选的一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为坐标原点，分别以，，的正方向为三条坐标轴的正方向构成的直角坐标系，称为空间直角坐标系，表示为O-xyz；这里的三条坐标轴，分别称为x轴，y轴，z轴；其中两条坐标轴构成的平面称为坐标平面，这三个坐标平面分别称为xOy平面，xOz平面，yOz平面，
2、建立空间直角坐标系的基本方法：
（1）确定直角坐标系原点的基本方法：①若图像中有现成的三条线段两两互相垂直于一点，则取垂足为原点；②若图像中没有现成的三条线段两两互相垂直于一点，则需要通过作辅助线寻找两两互相垂直于一点的三条线段，并证明三条线段两两互相垂直，然后取垂足为原点；
（2）坐标轴正方向的确定：①若图像中有现成的三条线段两两互相垂直，则取指向自己的方向作为x轴的正方向，指向右边的方向作为y轴的正方向，指向竖直向上的方向作为z轴的正方向；②若图像中没有现成的三条线段两两互相垂直，则需要通过作辅助线寻找两两互相垂直于的三条线段，并证明三条线段两两互相垂直，然后取指向自己的方向作为x轴的正方向，指向右边的方向作为y轴的正方向，指向竖直向上的方向作为z轴的正方向；
（3）建立空间直角坐标系的基本方法：①以确定的原点为空间直角坐标系的原点；②以确定坐x轴，y轴，z轴的正方向分别为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴；③建立空间直角坐标系O—xyz；
3、空间点A的坐标：
（1）空间点A，空间向量，有序实数对（x，y，z）之间的一一对应：对空间的任意原点A，有且仅有唯一的空间向量与它对应，有且仅有唯一的有序实数对（x，y，z）与它对应，称为空间点A，空间向量，有序实数对（x，y，z）之间的一一对应；
（2）这里的有序实数对（x，y，z），称为空间向量的坐标，记为=（x，y，z）；同时有序实数对（x，y，z），也称为空间点A的坐标，记为A（x，y，z）。
二、运用空间向量证明平行（或垂直）：
1、用空间向量表示直线方程（或判断点在直线上）：
（1）向量参数直线方程的定义：给定一个定点A和一个向量，存在一个实数t，使A为起点的向量=t，则称向量方程叫做直线l（直线AP）的向量参数方程，向量称为该直线的方向向量；
（2）判断空间点P在直线l上的基本方法：对空间任意的点O，点P在直线l（直线AB）上的充要条件是存在唯一实数t，使=(1-t) +t成立。
2、运用空间向量证明空间中的平行关系：
（1）证明直线平行直线的基本方法：设直线和的方向向量分别为和，则//（或与重合）// ；
（2）证明直线平行平面的基本方法：①设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量分别为和，则l//（或l）存在x，yR，使=x +y成立；
②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l//（或l）；
证明平面平行平面的基本方法：设平面，的法向量分别为，，则//
//。
3、运用空间向量证明空间中的垂直关系：
（1）证明直线垂直直线的基本方法：设直线和的方向向量分别为和，则 .=0；
（2）证明直线垂直平面的基本方法：①设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l// ；②直线l的方向向量为，平面内两条相交直线和的方向向量分别为和，则l，且，.=0，且.=0；
（3）证明平面垂直平面的基本方法：设平面，的法向量分别为，，则 .=0。
4、直线的方向向量与平面的法向量的确定：
（1）直线的方向向量确定的基本方法：①在直线上取两点的坐标（线段一般取线段两个端点的坐标）；②把其中一点作为始点，另一点作中点；③求出两点确定的向量，从而得到直线的方向向量；
（2）平面法向量确定的基本方法：①设平面的法向量为=（x，y，z），在平面内取两条相交直线的方向向量分别为，；②根据 .=0 且 .=0，得到关于x，y，z的两个方程；③两个方程组成的方程组（注意：这里涉及到两个方程三个未知数的问题，求解时可以令x，y，z中某一个的值为1，转化为两个方程两个未知数的方程组求解）求出x，y，z的值；④求出平面的法向量。
【探导考点】
考点1空间直角坐标系的概念：热点①空间直角坐标系定义及运用；热点②空间点的坐标及其对称点的坐标；
考点2运用空间向量证明平行问题：热点①运用空间向量证明直线平行直线；热点②运用空间向量证明直线平行平面；热点③运用空间向量证明平面平行平面；
考点3运用空间向量证明垂直问题：热点①运用空间向量证明直线垂直直线；热点②运用空间向量证明直线垂直平面；热点③运用空间向量证明平面垂直平面。
【典例解析】 z
1、如图在正方体ABCD---中
建立空间直角坐标系。
【解析】 D C y
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②建立 x
空间直角坐标系的基本方法；③正方体的定义与性质。 A B
【解题思路】运用正方体的性质，结合空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。
【详细解答】如图， ABCD---是正方体，DDA，DDC，ADDC，以D为原点，射线DA，DC，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz。
2、如图在几何体中，底面ABCD是边长为 E F
6的正方形，是以E为直角顶点的等腰
直角三角形且垂直于底面，试建立空间直角
坐标系。 D C
【解析】
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②建立
空间直角坐标系的基本方法；③正方形的定义与性质； A B
④等腰直角三角形定义与性质。
【解题思路】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，根据等腰三角形的性质，结合问题条件得到EOOA，EOOF，AOOF，运用建立空间直角坐标系的基本方法就可建立空间直角坐标系O-xyz。
【详细解答】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，如图，以O为原点，射线OA，OF，OE分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz。
3、如图在四菱锥P----ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点，试建立直角坐标系O---XYZ；
【解析】
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③平面垂直平面的性质；④直角梯形的定义与性质；⑤等腰三 P z
角形的定义与性质。
【解题思路】连接PO，运用等腰三角形的性质，结合
问题条件可证POOD，POOC，COOD，利用
空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。 A O Dy
【详细解答】连接CO， PA=PD=，O为AD的 B x C
中点， POAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，PO 平面PAD， PO平面ABCD， POOD，POOC， BC∥AD， AD=2AB=2BC=2，四边形ABCO是菱形，AB⊥AD，四边形ABCO是正方形， OCOD，如图，以O为原点，射线OC，OD，OP分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz。
4、如图在四菱锥O----ABCD中，底面ABCD是 O z
边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
试建立直角坐标系A---XYZ。 A D y
【解析】
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②建立 x
空间直角坐标系的基本方法；③菱形的定义与性质；④B E C
直线垂直平面的定义与性质。
【解题思路】过A作AEAD，垂足为A，交BC于点E，运用直线垂直平面的性质，结合问题条件可证ADOA，AEOA，利用空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。
【详细解答】过A作AEAD，垂足为A，交BC于点E， OA⊥底面ABCD，AD，AE 平面ABCD， ADOA，AEOA，如图，以A为原点，射线AE，AD，AO分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz。
『思考问题1』
（1）【典例1】是空间向量运用的首要问题—建立空间直角坐标系，【典例1】中的（1）有现成的系，可以直接建立空间直角坐标系D-xyz，原因是AD⊥D，AD⊥DC，DC⊥D是条件ABCD---是正方体给定了的；
（2）【典例1】中的（2），（3），（4）中没有现成的系，这时需要我们去找系。找系的基本规律是：①条件中有两个平面垂直可利用平面垂直平面的性质定理，在一个平面内找垂直于另一个平面的直线，其垂足为原点建立直角坐标系；②条件中没有两个平面垂直，但有直线垂直于平面，可利用直线垂直平面的性质定理，直接取垂足为原点建立直角坐标系。
〔练习1〕按要求解答下列各题： S
1、如图四菱锥S----ABCD中，底面ABCD是矩形，
SD⊥底面ABCD，试建立空间直角坐标系。 D C
（提示：证明SD⊥DA，SD⊥DC，AD⊥DC）
A B E
2、如图DC⊥平面ABC，EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2， D
，P、Q分别为AE、AB的中点，试 C B
建立空间直角坐标系。 A P
（提示：过点C作CF⊥CB交AB于点F，证明DC ⊥CB，DC⊥CF)
【典例2】解答下列问题：
1、如图四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，
该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图所示。 M
证明：AM//平面PBC；
3
D C
A B 4
【解析】 2 2
【知识点】①直角梯形定义与性质；②几何体三视图定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量证明直线平行平面的基本方法。
【解题思路】如图，根据直线垂直平面的性质得到PD⊥DA ，PD⊥DC，由底面ABCD是直角梯形，得到AD⊥DC，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，运用几何体三视图的性质得到点D，A，B，C，P的坐标，从而得到点M的坐标，求出向量，，，由求平面法向量的基本方法求出平面PBC的法向量，得到.=0，利用空间向量证明直线平行平面的基本方法就可证明AM//平面PBC。
【详细解答】如图， PD⊥底面ABCD，AD，CD 平面ABCD， PD⊥DA ，PD⊥DC，
底面ABCD是直角梯形， AD⊥CD，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz， D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0），P（0，0，4），M（0，0，3），C（0，4，0），=（-，0，3），=（-，-1，4），=（-，3，0），设平面PBC的法向量为=（，，），⊥，且⊥，.=--+4=0①，且. =-+3+0=0②，联立①②解得：=，=1，=1，=（，1，1），.=-3+0+3=0，AM平面PBC， AM//平面PBC。
2、如图在几何体中底面ABCD是边长为6的 E F
正方形，是以E为直角顶点的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等
分点。 D H C
求证：(1)EF//AB； R
EF∥平面ABCD； A B
【解析】
【知识点】①正方形定义与性质；②等腰直角三角形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量证明直线平行直线的基本方法；⑧运用空间向量证明直线平行平面的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，根据平面垂直平面的性质得到EO⊥平面ABCD，从而得到EO⊥OA ，EO⊥OR，由底面ABCD是正方形，得到AO⊥OR，以O为原点，射线OA，OR，OE分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，结合问题条件得到点O，A，B，E，F的坐标，求出向量， ，运用空间向量证明直线平行直线的基本方法就可证明EF//AB；（2）根据（1）求出向量， ，得到.=0，从而得到EOEF，运用空间向量证明直线平行平面的基本方法就可证明EF∥平面ABCD。
【详细解答】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点，EOAD， 平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，以O为原点，射线OA，OR，OE分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，四边形ABCD是边长为6的正方形，EF⊥平面EAD,EF=3，O是AD的中点，O（0，0，0），E（0，0，3），F（0，3，
3），A（3，0，0），B（3，6，0），=（0，6，0），=（0，3，0），=2，//，即EF//AB；（2）由（1）得 EO平面ABCD，向量= （0，0，-3）是平面ABCD的一个法向量，.=0+0+0=0，EF平面ABCD， EF//平面ABCD。
3、如图在正方体ABCD---中，M， D C
N，P分别是C、、的中点。 A B M
求证：（1）D//MN； P N
（2）平面MNP∥平面BD。
【解析】
【知识点】①正方体定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质；④空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑤平面法向量的基本方法；⑥运用空间向量证明直线平行直线的基本方法；⑦运用空间向量证明平面平行平面的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设正方体ABCD---的棱长为1，根据正方体的性质得到D，D，，以为原点，射线，，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，结合问题条件得到点，
，，，A，C的坐标，从而得到点M，N，P的坐标，求出向量，，运用空间向量证明直线平行直线的基本方法就可证明D//MN；（2）根据（1）求出向量，，，，运用求平面法向量的基本方法，分别求出平面MNP,平面BD的法向量法向量，，运用空间向量证明平面平行平面的基本方法就可证明平面MNP∥平面BD。
【详细解答】（1）如图，设正方体ABCD---的棱长为1， ABCD---是正方体，D，D，，以为原点，射线，，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），A（1，0，1），C（0，1，1），D（0，0，1），M，N，P分别是C，，的中点，P（0，，0），M（0，1，），N（，1，0），= （-1，0，1），=（，0，-），=-2， //，即D//MN；（2）由（1）得：=（0，1，1），=（-1，0，1），=（0，，），=（，，0），设平面BD的法向量为=（，，），，且，.=0++=0①，. =-+0+=0②，联立①②解得：=1，=-1，=1，=（1，-1，1），设平面MNP的法向量为=（x，y，z），，且，.=0+y+z=0③，. =-x+y+0=0④，联立③④解得：x=-1，y=1，=-1，=（-1，1，-1），=-，//，即平面MNP∥平面BD。
『思考题2』
【典例2】是运用空间向量证明平行的问题，这类问题主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面； ③运用空间向量证明平面平行平面；
（2）证明直线平行直线的基本思路是证明两直线的方向向量平行（但要注意说明两条直线不重合）；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③证明两个向量平行；④得出所证两直线平行的结论；
（3）证明直线平行平面的基本思路是：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（但应注意说明直线不在平面内）；②证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量共线（但应注意说明直线不在平面内）；思路一的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法，求出平面的法向量；④证明直线的方向向量与平面的法向量平垂直直线方向向量与平面法向量的数量积为0）；⑤得出所证直线与平面平行的结论；思路二的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③在平面内找一条直线并求出其方向向量；④证明两向量平行；⑤得出所证直线与平面平行的结论；
（4）证明平面平行平面的基本思路是证明两个平面的法向量平行，（但应注意说明两法向量不重合）；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据求平面法向量的基本方法，分别求出两个平面的法向量； ③证明两个法向量平行；④得出所证两平面平行的结论。
〔练习2〕解答下列问题： P
1、如图在三棱锥P---ABC中，AB=BC=PA，O， D
D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC。 O C
求证：（1）OD∥平面ABP； A
（2）OP∥AP（提示：过点O作OE⊥OC交AB于点E） D B C
4、如图所示在正方体ABCD---中，M，N A B M
分别是C，的中点。 E
求证：（1）MN//平面BD； N
（2）若点E是的中点，证明平面MEN//平面BD（提示：建立空间直角坐标系-xyz）
【典例3】解答下列问题：
已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量；
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法；③平面法向量的基本求法。
【解题思路】设平面ABC的单位法向量为=（x，y，z），根据空间向量的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，得到关于x，y，z的方程组，求出方程组求出x，y，z的值，从而得到平面ABC的法向量，就可求出平面ABC的单位法向量。
【详细解答】设平面ABC的单位法向量为=（x，y，z），⊥，且⊥，.=2x+2y+z=0①，. =4x+5y+3z=0②，联立①②解得：x=1，y=-2，z=2，
=（1，-2，2），||==3，平面ABC的单位法向为（，-，）。
2、如图在正方体ABCD----中，点E，F z
分别是B，的中点。 F
求证：EF⊥D； D E C y
【解析】 x
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法； A B
②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法。
【解题思路】如图运用建立空间自己坐标系的基本方法建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点D，，B，，的坐标，由问题条件求出点E，F的坐标，从而求出直线EF，D，所在向量，，得到.=0，利用空间向量证明直线垂直直线的基本方法就可证明结论。
【详细解答】 ABCD---是正方体，DDA，DDC，ADDC，如图，以D为原点，射线DA，DC，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为1， D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），E，F分别是B，的中点， E（1，1，），F （，，1），=（1，0，1），=（-，-，），.=-+0+=0，EF⊥D。
3、如图在正方体ABCD----中，E，F分别是B、CD的中点，M是AE上一点，
且=。
求证：（1）M⊥平面DAE；
（2）M⊥AD； D M F E C
（3）平面AED⊥平面F。 A B
【解析】
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④平面法向量的基本求法；⑤运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量证明平面垂直平面的基本方法。
【解题思路】（1）如图运用建立空间自己坐标系的基本方法建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点，M，D，A，E的坐标，从而求出直线M，DA，DE所在向量，，，得到.=0，. =0，可证M⊥DA，M⊥DE，利用直线垂直平面判定定理和判定方法就可证明结论；（2）由（1）点的坐标分别求出直线M，AD所在的向量，，得到.=0，从而证明M⊥AD；（3）设平面DAE的法向量为=（，，），由.=0，. =0，求出法向量，用同样的方法求出平面F的法向量，得到.=0，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1） ABCD---是正方体，DDA，DDC，ADDC，如图，以D为原点，射线DA，DC，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为1，M（x，y，z）， D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），（1，0，1），E是B的中点， E（1，1，），=（1，0，0），=（1，1，），=（x-1，y，z），=（0，1，），=，x-1=0，y=，z=，M（1，，），=（0，，-），.=0+0+0=0，. =0+-=0，M⊥DA，M⊥DE，DA，DE平面DAE，DADE=D，M⊥平面DAE；（2）由（1）知=（0，，-），=（-1，0，0），.=0+0+0=0，M⊥AD；（3）设平面DAE的法向量为=（，，），.=+0+0==0，. =++=0，=0，=-1，=2，=（0，-1，2），同理求出平面F的法向量=（0，2，1），.=0-2+2=0，平面AED⊥平面F。
4、如图四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，
该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图所示。
（1）证明：BC⊥平面PBD； M
（2）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所 D C 3
成角的余弦值为？若存在，找出所有符合 A B 4
要求的点N，并求CN的长；若不存在， 2 2
请说明理由。
【解析】
【知识点】①四棱锥定义与性质；②直角梯形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法；⑧运用空间向量求异面直线夹角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据直线垂直平面的性质，得到PD⊥DA ，PD⊥DC，由底面ABCD是直角梯形，得到AD⊥DC，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，结合问题条件得到点D，B，C，P的坐标，求出向量，，，从而求出与，与的数量积，得到BC⊥BP， BC⊥BD，运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法就可证明BC⊥平面PBD；（2）设线段CD上存在点N（x，y，z），使AM与BN所成角的余弦值为，根据（1）求出向量，，运用公式cos<，>=得到关于t的方程，求解方程求出t的值，从而求出点N的坐标，就可得出结论。
【详细解答】（1）如图， PD⊥底面ABCD，AD，CD 平面ABCD， PD⊥DA ，PD⊥DC，底面ABCD是直角梯形， AD⊥CD，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz， B（，1，0），P（0，0，4），M（0，0，3），C（0，4，0），=（-，-1，4），，=（-，3，0），
=（-，-1，0），.=3-3+0=0，.=3-3+0=0， BC⊥BP， BC⊥BD，BP，BD平面PBD，BPBD=B，BC⊥平面PBD；（3）设线段CD上存在点N（x，y，z），使AM与BN所成角的余弦值为，=（0，-4，0），=（x，y-4，z），点N在线段CD上，存在tR，使=t，（x，y-4，z）=（0，-4t，0），x=0，y=4-4t，z=0，=（-，3-4t，0）， cos<，>== = =，=2，t=或t=1，y=1或y=-1，05、如图在几何体中底面ABCD是边长为6的 E F
正方形，是以E为直角顶点的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等
分点。 D H C
求证：（1）RH⊥FB； R
（2）AG⊥FB,。 A B
【解析】
【知识点】①正方形定义与性质；②等腰直角三角形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，根据平面垂直平面的性质得到EO⊥平面ABCD，从而得到EO⊥OA ，EO⊥OR，由底面ABCD是正方形，得到AO⊥OR，以为原点，射线，，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，结合问题条件得到点B，C，，E，F，R，H的坐标，求出向量，， 从而求出向量与的数量积，就可证明RH⊥FB；（2）根据（1）得到点G的坐标，向量，从而求出与的数量积，就可证明AG⊥BF。
【详细解答】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，以O为原点，射线OA，OF，OE分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，四边形ABCD是边长为6的正方形，EF⊥平面EAD,EF=3，O，R分别是AD，BC的中点，G、H是BF上的两个三等分的，A（3，0，0），B（3，6，0），C（-3，6，0），E（0，0，3），R（0，6，0），H（2，5，1），G（1，4，2），F（0，3，3），=（-3，-3，3），=（2，-1，1）， .=-6+3+3=0，RH⊥BF；（2）= （-2，4，2），.=6-12+6=0，
AG⊥BF。
6、如图在正方体ABCD---中，M， D C
N，P分别是C、、的中点。 A B M
求证：（1）AP⊥MN； P N
（2）AB⊥MN。
【解析】
【知识点】①正方体定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质；④空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设正方体ABCD---的棱长为1，根据正方体的性质得到D，D，，以为原点，射线，，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，得到点，，，A，C的坐标，从而得到点M，N，P的坐标，求出向量，，向量与的数量积，就可证明AP⊥MN；（2）由（1）求出向量，从而求出向量与的数量积，就可证明AB⊥MN。
【详细解答】（1）如图， ABCD---是正方体，D，D，，以为原点，射线，，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，设正方体的棱长为1，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），A（1，0，1），C（0，1，1），M，N，P分别是C，，的中点，P（0，，0），M（0，1，），N（，1，0），= （-1，，-1），=（，0，-），.=-+0+=0， AP⊥MN；（2）B（1，1，1），=（0，1，0），.=0+0+0=0，AB⊥MN。
7、如图已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， B E
ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为
CD的中点。 M
（1）求证：AB⊥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE； A
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值 C F D
【解析】 x
【知识点】①三角形中位线的定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质；④空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法；⑦运用空间向量证明平面垂直平面的基本方法；⑧求直线与平面所成角正弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取CE的中点M，连接FM，运用三角形中位线的性质可证MF平面ACD，得到FMFD，FM FA，FA FD，以F为原点，AF的延长线，射线FD，FM分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系F—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点，A，F，B，C，E的坐标，从而求出向量,，，，根据求平面法向量的基本方法求出平面BCE的法向量，求出.的值，就可证明AB⊥平面BCE；（2）根据确定点坐标的基本方法分别确定点D的坐标，求出直线DC，DE所在向量，，运用求平面法向量的基本方法，分别求出平面CDE的法向量法向量，得到.=0，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明结论；（3）求出直线BF所在向量，运用求直线与平面所成角正弦值的基本方法通过计算就可求出结果。
【详细解答】（1）如图，设AD=DE=2，平面BCE的法向量为=（，，），取CE的中点M，连接FM，延长AF，M，F分别是CE，CD的中点，FM//DE， DE⊥平面ACD，FM⊥平面ACD， FMFD，FM FA，ACD为等边三角形，D是CD的中点，FA FD，以F为原点，AF的延长线，射线FD，FM分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系F—xyz， AD=DE=2AB，A（-，0，0），F（0，0，0），B（-，0，1），C（0，-1，0），E（0，1，2），=B（0，0，1），=（，0，0），=（，-1，-1），=（，1，1），⊥，且⊥ ，.=--=0①，且. =-++=0②，联立①②解之得：=0，=-1，=1，=（0，-1，1），. =-0+0+0=0， AB⊥平面BCE；（2）D（0，1，0），=（0，-2，0），=（0，0，2），设平面CDE的法向量为=（x，y，z），.=0-2y+0=0，.=-0+0+2z=0，x=，y=0，z=0，=（x，0，1），.=0+0+0=0，平面BCE⊥平面CDE；（3）设直线BF与平面BCE所成角为，=（，0，-1），sin=cos<，>===。
『思考题3』
（1）【典例3】是运用空间向量证明垂直的问题，这类问题主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面； ③运用空间向量证明平面平行平面； （2）证明直线垂直直线的基本思路是证明两直线的方向向量互相垂直，两直线方向向量的数量积为零，其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的空间向量（注意两点的顺序）；③证明两个空间向量垂直两个空间向量的数量积为零；④得出两条直线垂直的结论；
（3）证明直线与平面垂直的基本思路是：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直，证明直线方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量的数量积为零；思路一的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④证明直线方向向量与平面法向量平行；⑤得出所证直线与平面垂直的结论；思路二的基本方法是：建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③在平面内找两条相交直线并分别求出其方向向量；④分别证明直线方向向量与平面内两条相交直线方向向量平行，分别证明直线方向向量与平面内两条相交直线方向向量的数量积为零；⑤得出所证直线与平面垂直的结论；
（4）证明平面垂直平面的基本思路是证明两平面的法向量垂直，证明两平面法向量的数量积为零；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据求平面法向量的基本方法，分别求出两个平面的法向量；③证明两平面法向量垂直，证明两平面法向量的数量积为零； ④得出平面垂直平面的结论。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如图在四棱锥V----ABCD中，底面ABCD V
是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底
面ABCD。
求证：（1）AB⊥平面VAD； D C
（2）CD⊥AV； A B
（3）平面VAD⊥平面VDC.（提示：建立空间直角坐 O
标系D-xyz）
3、已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N P q
为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若 A N C
AB=OC，求证：PM⊥QN。 M
（提示：证明.=0） B
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题： z
2、如图在几何体中，底面ABCD是边长为 E F
6的正方形，是以E为直角顶点的等腰
直角三角形且垂直于底面，试建立直角坐标系
O----XYZ； D C
【解析】 O F y
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②空间 x
直角坐标系建立的基本方法；③等腰三角形的定义与 A B
性；④正方形的定义与性质；⑤平面垂直平面的性质。
【解题思路】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，运用等腰三角形的性质，结合问题条件可证EOOA，EOOF，AOOF，利用空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。
【详细解答】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，如图，以O为原点，射线OA，OF，OE分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz。
2、如图，在等腰梯形ADEF中，AD//EF，AD=3，DE=，EF=1，在矩形 ABCD中，AB=1，平面ADEF平面ABCD。
（1）证明：BFCF；
（2）求直线AF与平面CEF所成角的大小。
【解析】
【考点】①等腰梯形定义与性质；②矩形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，过点F作FOAD于点O，过点O作OM//AB交BC于当M，连接OB，OC，根据平面垂直平面和矩形的性质，结合问题条件得到FO平面ABCD，从而得到FOOM，FOOD，ODOM，以O为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，求出点B，C，F的坐标，向量，，从而求出向量，的数量积，就可证明BFFC；（2）根据（1）得到A，E的坐标，从而求出，, ，运用求平面法向量的基本方法求出平面CEF的法向量，利用求直线与平面所成角正弦值的基本方法求出直线AF与平面CEF所成角的正弦值，就可求出直线AF与平面CEF所成角的大小。
【详细解答】（1）如图，过点F作FOAD于点O，过点O作OM//AB交BC于当M，连接OB，OC， 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD， FO平面ADEF， FO平面ABCD， FOOM，FOOD，四边形A BCD是矩形， OMO
以O为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，AD//EF，AD=3，DE=，EF=1，AB=1，B（1，-1，0），C（1，2，0），F（0，0，1），=（-1，1，1），=（-1，-2，1），.=1-2+1=0，BFCF；（2）设直线AF与平面CEF所成角为， 由（1）得：A（0，-1，0），E（0，1，1），=（0，1，1），= （-1，-1，1），= （-1，-2，1），设平面CEF的法向量
为=（x，y，z）， ，且，.=-x-y+z=0①， .=-x-2y+z =0
②，联立①②解得：x=1，y=0，z=1，=（1，0，1），sin=|cos<，>\=||
=||=，（0，）, =，即直线AF与平面CEF所成角的大小为。
『思考题4』
【典例4】是解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，容易触碰的雷区：该类问题的雷区主要包括：①找系建立空间直角坐标系时，忽视找系过程中的必要证明，导致解答问题出现错误；②运用空间向量证明平行（或垂直）问题，涉及到平面内直线的方向向量时，忽视判断直线是否在平面内，导致解答问题出现错误；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，为避免忽视找系过程中的必要证明的雷区，需要注意对找系过程中的三直线是否两两互相垂直作出相应的证明；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，为避免涉及到平面内直线的方向向量时，忽视判断直线是否在平面内的雷区，需要注意对直线是否在平面内给出准确的判断。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如图在四菱锥O----ABCD中，底面ABCD是 O
边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
试建立空间直角坐标系。 A D
（提示：过点A作AEAD交BC于点E，以A
为原点，就可建立空间直角坐标系）
B C
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点。
（1）证明：BD平面PEF；
（2）若BAD=，求二面角B—PD—A的余弦值。
（提示：连接PE，过点E作EG//AB交BC于点G，以E为原点，,，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系E-xyz。）
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、如图，在正四棱柱ABCD-中，AB=2，A=4，点，，，分别在棱A，B，C，D上，，A=1，B=D=2，C=3。
证明：//；
点P在棱B上，当二面角P--为，求P（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①正四棱柱定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质；④空间向量坐标运算法则和基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥求二面角余弦值公式及运用；⑦两点之间距离公式及运用。
【解题思路】（1）如图，以C为坐标原点，,,分别为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，根据空间向量的性质，结合问题条件得到点，，，的坐标，运用空间向量坐标运算法则和基本方法求出向量，，从而证明向量与向量共线，就可证明//；（2）如图，设点P（0，2，h），根据求平面法向量的基本方法分别求出平面P和平面的法向量，运用求二面角余弦值的公式得到关于h的等式，从而求出h的值，得到点P的坐标，利用两点之间的距离公式就可求出P。
【详细解答】（1）如图，ABCD-是正四棱柱，以C为坐标原点，,,
分别为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，在正四棱柱ABCD-中，AB=2，A=4，点，，，分别在棱A，B，C，D上，，A=1，B=D=2，C=3，（2，2，1），（0，2，2），（0，0，3），（2，0，2），=（0，-2，1），=（0，-2，1），向量与向量共线，//；（2）如图，设点P（0，2，h），由（1）知（2，2，1），（0，0，3），（2，0，2），=（2，0，1-h），=（0，-2，3-h），=（0，2，-1），=（-2，0，1），设平面P的法向量=（x，y，z），由，且，.=2x+0+（1-h）z=0，且 .=0-2y+（3-h）z=0，解得： x=，y=，z=1，=（，，1），设平面的法向量=（，，），由 ⊥，且 ⊥，.=0+2-=0，且 .=-2+0+=0，解之得：=1，=1，=2，=（1，1，2），二面角P--为，
====，
h=1或h=3，P（0，2，1）或P（0，2，3），（0，2，2），P==1。
2、如图，在多面体ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GD//EF，GF//BC，FG平面ADGC，M，N分别是AC，BF的中点，BC=EF=CG=FG。
（1）证明：MN//平面AFG；
（2）求直线MN与平面BEF所成角的正弦值（成都市高2020级高三三珍）
【解析】
【考点】①正方形定义与性质；②梯形定义与性质；③三角形和梯形中位线定理及运用；④建立空间直角坐标系的基本方法；⑤空间向量定义与性质；⑥空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑦求平面法向量的基本方法；⑧求直线与平面所成正余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设BC=EF=1，FG平面ADGC，DG，CG平面ADGC，FGDG， FGCG，ADGC是正方形，DGCG，以G为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系G—xyz，根据空间向量的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到点A，B，C，F，M，N，P，G的坐标，求出向量，，，从而求出平面APG的法向量，利用.的数量积为0就可证明MN//平面AFG；（2）如图，根据（1）得到点A，B，C，D，E，F的坐标，从而得到点M，N的坐标，求出，, ，运用求平面法向量的基本方法求出平面BEF的法向量，利用求直线与平面所成角正弦值的基本方法就可求出直线MN与平面BEF所成角的正弦值。
【详细解答】（1）如图，设BC=EF=1，FG平面ADGC，DG，CG平面ADGC，FGDG， FGCG，ADGC是正方形，DGCG，以G为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系G—xyz，M，N分别是AC，BF的中点，BC=EF
=CG=FG，A（2，0，2），B（0，1，2），C（0，0，2），F（0，2，0），G（0，0，0），M（1，0，2），N（0，，1），=（-1，，-1），=（-2，2，-2），=（-2，0，-2），设平面AFG的法向量=（，，），，，.=-2+2-2=0，且 .=-2+0-2=0，解之得：=-1，=0，=1，=（-1，0，1），.=1+0-1=0，，即MN//平面AFG；（2）如图，设直线MN与平面BEF所成角为，由（1）知，A（2，0，2），B（0，1，2），C（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，0），M，N分别是AC，BF的中点，M（1，0，2），N（0，，1），=（-1，，-1），= （1，1，-2），= （0，1，-2），设平面BEF的法向量为=（x，y，z），，且，.=-x+y-2z=0①， .=-0+y-2z =0②，联立①②解得：x=0，y=2，z=1，=（0，2，1），sin=cos<，>=||=||=，直线MN与平面BEF所成角的正弦值为。
3、在长方体ABCD—中，已知AB=AD，E为AD的中点。
（1）在线段上是否存在点F，使得平面AF//平面EC？若存在请加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）设AD=2，A=4，点G在A上且满足=8，求EG与平面EB所成角的余弦值。
【解析】
【考点】①长方体定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质； ④空间向量坐标运算法则和基本方法； ⑤求平面法向量的基本方法；⑥直线与平面所成角的定义与性质；⑦求直线与平面所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据ABCD—是长方体，以D为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，设在线段上是否存在点F（t，2，4），使得平面AF//平面EC，根据空间向量的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件，求出向量，，，，从而求出平面AF与平面EC的法向量，利用两平面平行其法向量共线得到关于t的方程，求解方程求出t的值，就可证明结论；（2）如图，设G（x，y，z），根据空间向量的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出，，得出点G的坐标，从而求出，，，平面法向量，利用公式求出与 平面EB的法向量夹角的余弦值，得到EG与平面EB所成角的正弦值，由同角三角函数的基本关系就可求出EG与平面EB所成角的余弦值。
【详细解答】（1）如图，设在线段上是否存在点F（t，2，4），使得平面AF//平面EC， AB=AD=2，A=4，ABCD—是长方体，以D为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，E为AD的中点， A（2，0，0），E（1，0，0）， C（0，2，0），（2，0，4），（0，2，4），
=（0，0，4），=（t-2，2，4），=（-1，2，4），=（-1，2，0），设平面AF的法向量为=（x，y，z），由，且，.=0+0+4z=0，且 .=（t-2）x+2y+4z=0，解得：x=1，y=1-t，z=0，=（1，1-t，0），设平面EC的法向量=（，，），由 ⊥，且 ⊥，.=-+2+4=0，且 .=-+2+0=0，解之得：=2，=1，=0，=（2，1，0），平面AF//平面EC，存在实数u，使=u成立，1=2u，且1-t=u，解之得：t=1，在线段上是否存在点F（1，2，4），使得平面AF//平面ECF//CE；（2）如图，设G（x，y，z）， AD=2，A=4，AB=AD， A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（2，0，4），（0，2，4），=（x-2，y，z），=（0，0，4），=8，8x-16=0，8y=0，8z=4，x=2，y=0，z=，G（2，0，），E（1，0，0），=（1，0，），=（1，2，0），=（-1，2，4），设平面EB的法向量为=（x，y，z），，，.=x+2y+0=0①，.=-x+2y+4z=0②，联立①②解得：x=2，y=-1，z=1，=（2，-1，1），令直线EG与平面EB所成角为，sin=|cos<,>|=||=||=，cos=
=，即EG与平面EB所成角的余弦值为。
4、在三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=，E为BC的中点。
（1）证明：BCDA；
（2）点F满足=，求二面角D-AB-F的正弦值（2023全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①三棱锥定义与性质；②全等三角形判定定理及运用；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法；⑧同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】（1）如图，设DA=DB=DC=，连接AE，DE，根据三棱锥的性质和全等三角形判定定理，结合问题条件证明ABD与ACD是全等的等边三角形，得到AEBC，DEBC，由BDCD，得到DEAE，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz，求出点A，B，C，D的坐标，向量，，从而求出.的数量积就可证明BCDA；（2）设F（x，y，z），根据（1）求出向量，，，，，，运用求平面法向量的基本方法分别求出平面DAB和平面FAB的法向量，由求二面角余弦值的基本方法求出二面角D-AB-F的余弦值，利用同角三角函数的基本关系就可求出二面角D-AB-F的正弦值。
【详细解答】（1）如图，设DA=DB=DC=，连接AE，DE，DA=DB=DC，ADB
=ADC=，等边ABD等边ACD，AB=AC，E为BC的中点，AEBC，DEBC， BDCD，BC==2，AE=DE==1=CE=BEAE+DE=1
+1=2=AD，AEDE，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz，A（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），C（0，-1，0），=（-1，0，1），=（0，-2，0），.=0+0+0=0，BC⊥AD；（2）如图，设F（x，y，z），A（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，0，0），=（x，y，z），=（-1，0，1），=，F（-1，0，1），=（-1，1，0），=（1，0，0），=（1，1，-1），设平面ABD的法向量=（x，y，z），由，且，.=-x+0+z=0，且 .=-x+y+0=0，解得： x=1，y=1，z=1，=（1，1，1），设平面ABF的法向量=（，，），由 ⊥，且 ⊥，.=+0+0=0，且.=+-=0，解之得：=0，=1，=1，=（0，1，1），设二面角P--为，cos===，sin==，即二面角P--的正弦值为。
5、如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且ABC=，
E为BC的中点（2020成都市高三一诊）
（1）证明：BC⊥平面PAE；
（2）若AB=2，PA=1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值。
【解析】
【考点】①四棱锥的定义与性质；②菱形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，过P作PQ//BC，交CD于点Q，设菱形的边长为2，根据四棱锥和菱形的性质，得到ABC 是正三角形，AEPB，运用直线垂直平面的性质定理，结合问题条件得到PAPB，PAPQ，以P为原点，，，分别为,x，y，z轴的正方向 建立空间直角坐标系P-xyz，得到点A，B，C，P，E的坐标，从而求出向量，，，求出向量与，与的数量积，得到直线BCPE，BCPA，就可证明直线BC平面PAE；（2）设二面角P--为，根据（1）求出向量，，，，运用求平面法向量的基本方法分别求出平面PAB，平面PCD的法向量，利用求出二面角的余弦值的基本方法就可求出平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值。
【详细解答】（1）如图，过P作PQ//BC，交CD于点Q，设菱形的边长为2，四边形ABCD是菱形，ABC=，ABC 是正三角形，E是BC的中点，AEPB，
AP平面PBC，PB，PQ平面PBC，PAPB，PAPQ，以P为原点，，，
分别为x，y，z轴的正方向 建立空间直角坐标系P-xyz，P（0，0，0），A（0，0，
1），B（，-1，0），C（，1，0），E（1，0，0），=（0，2，0），=（1，0，0），= （0，0，1），.=0+0+0=0，.=0+0+0=0，BCPE，BCPA， PA，PE平面PAE，PAPE=P，BC平面APE；（2）设锐二面角P--为，=（0，0，1），=（，-1，0），设平面BAP的法向量为=（x，y，z），，且，.=0+0+z=0，且 .=x-y+0=0，x=1 ，
y=，Z=0，=（1，，0），=（，1，0），= D（0，2，1），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），，且 ，.=x+y+0=0，
且.=0+2y+z=0，x=1，y=-，z=2，=（1，-， 2），
是平面BAP与平面PCD所成角为锐角，cos=||=||
=||=。
6、如图，在三棱柱ABC—中，与A均是边长为2的正三角形，且A=。
（1）证明：平面A⊥平面；
（2）求平面B与平面AC所成锐二面角的余弦值（成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①正三角形定义与性质；②勾股定理逆定理及运用； ③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求锐二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取的中点D，连接AD，D，根据正三角形的性质得到D⊥D，AD⊥D，运用勾股定理逆定理，结合问题条件得到AD⊥D，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，，，的坐标，求出向量，，，，从而分别求出平面A，平面的法向量，，求出向量，，的数量积，就可证明平面A⊥平面；（2）根据（1）求出向量，，，，运用求平面法向量的基本方法分别求出平面B和平面AC的法向量，，利用求锐二面角余弦值的基本方法，就可求出平面B与平面AC所成锐二面角的余弦值。
【详细解答】（1）证明：如图，取的中点D，连接AD，D，与A均是边长为2的正三角形，AD=D=，AD⊥，D⊥，A=， AD+D=3+3=6=A，AD⊥D，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz， 点A（0，0，）， B（-，1，），（，0，0），（0，1，0），（0，-1，0），=（0，1，-），
=（0，-1，-），=（-，1，0），，=（-，-1，0），设平面A的法向量为=（x，y，z），⊥，且⊥，.=0+y-z=0且.
=0-y-z=0，得：x=1，y=0，z=0，=（1，0，0)，==（0，0，），.
=0+0+0=0，⊥，即平面 A⊥平面； （2） 根据（1）得：
= （2，-1，-），= （，-2，-），= （，0，-），= （0，-1，-），设平面B的一个法向量为=（x，y，z），⊥，且⊥，.=-2x-y-z=0，且 .=-x-2y-z=0，x=1，y=-，z=3，=（1，-，3)，设平面AC的一个法向量为=（，，）， ⊥，且 ⊥， .=+0-=0，且 .=--=0， =1，
=-，=1，=（1，-，1），cos<，>==
=-，平面B与平面AC所成锐二面角的余弦值为。
『思考题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末调研考试）试卷中，运用空间向量证明平行（或垂直）的问题，归结起来主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面；③运用空间向量证明平面平行平面；④运用空间向量证明直线垂直直线；⑤运用空间向量证明直线垂直平面；⑥运用空间向量证明平面垂直平面等几类问题；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）的问题的基本方法是：①建立空间直角坐标系；
②根据问题结构特征判断问题所属类型；③运用解答该类问题的思路和基本方法对问题实施解答；④得出解答问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、如图，PO是三棱锥P—ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点。
（1）证明：OE//平面PAC；
（2）若ABO=CBO=，PO=3，PA=5，求二面角C—AE—B的正弦值（2022全国高考新高考II卷）（提示：如图，以A为原点，， ， 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz）
2、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
BAD=，M，N分别为AD，PA的中点（2020成都市高三零诊）。
（1）证明：平面BMN//平面PCD；
（2）若AD=6，CD=，求平面BMN与平面BCP所成二面角的余弦值。（提示：如图，以M为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz）
3、在四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=。
（1）证明：BDPA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值。（提示：如图，以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz）
4、如图，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求证：AC平面AB；
（2）若D，E分别为棱AB，AC上的动点，且BD=AE，当三棱锥A-DE的体积最大时，求二面角A—D—E的余弦值（成都市高2021级高三零诊）（提示：如图，以点A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz）
5、如图，四面体ABCD中，ADCD，AD=CD，ADB=BDC，E为AC中点。
（1）证明：平面BED平面ACD；
（2）设AB=BD=2，ACB=，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值（2022全国高考乙卷）（提示：如图，以E为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系E—xyz）
【考纲解读】
理解空间直角坐标系的定义，掌握建立空间直角坐标系的基本方法；
理解平面法向量的定义，掌握求平面法向量的基本方法；
理解直线平行直线，直线平行平面和平面平行平面的定义，掌握运用空间向量证明直线平行直线，直线平行平面和平面平行平面的基本方法；
理解直线垂直直线，直线垂直平面和平面垂直平面的定义，掌握运用空间向量证明直线垂直直线，直线垂直平面和平面垂直平面的基本方法。
【知识精讲】
一、空间直角坐标系：
1、空间直角坐标系的定义：在空间选的一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为坐标原点，分别以，，的正方向为三条坐标轴的正方向构成的直角坐标系，称为空间直角坐标系，表示为O-xyz；这里的三条坐标轴，分别称为x轴，y轴，z轴；其中两条坐标轴构成的平面称为坐标平面，这三个坐标平面分别称为xOy平面，xOz平面，yOz平面，
2、建立空间直角坐标系的基本方法：
（1）确定直角坐标系原点的基本方法：①若图像中有现成的三条线段两两互相垂直于一点，则取垂足为原点；②若图像中没有现成的三条线段两两互相垂直于一点，则需要通过作辅助线寻找两两互相垂直于一点的三条线段，并证明三条线段两两互相垂直，然后取垂足为原点；
（2）坐标轴正方向的确定：①若图像中有现成的三条线段两两互相垂直，则取指向自己的方向作为x轴的正方向，指向右边的方向作为y轴的正方向，指向竖直向上的方向作为z轴的正方向；②若图像中没有现成的三条线段两两互相垂直，则需要通过作辅助线寻找两两互相垂直于的三条线段，并证明三条线段两两互相垂直，然后取指向自己的方向作为x轴的正方向，指向右边的方向作为y轴的正方向，指向竖直向上的方向作为z轴的正方向；
（3）建立空间直角坐标系的基本方法：①以确定的原点为空间直角坐标系的原点；②以确定坐x轴，y轴，z轴的正方向分别为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴；③建立空间直角坐标系O—xyz；
3、空间点A的坐标：
（1）空间点A，空间向量，有序实数对（x，y，z）之间的一一对应：对空间的任意原点A，有且仅有唯一的空间向量与它对应，有且仅有唯一的有序实数对（x，y，z）与它对应，称为空间点A，空间向量，有序实数对（x，y，z）之间的一一对应；
（2）这里的有序实数对（x，y，z），称为空间向量的坐标，记为=（x，y，z）；同时有序实数对（x，y，z），也称为空间点A的坐标，记为A（x，y，z）。
二、运用空间向量证明平行（或垂直）：
1、用空间向量表示直线方程（或判断点在直线上）：
（1）向量参数直线方程的定义：给定一个定点A和一个向量，存在一个实数t，使A为起点的向量=t，则称向量方程叫做直线l（直线AP）的向量参数方程，向量称为该直线的方向向量；
（2）判断空间点P在直线l上的基本方法：对空间任意的点O，点P在直线l（直线AB）上的充要条件是存在唯一实数t，使=(1-t) +t成立。
2、运用空间向量证明空间中的平行关系：
（1）证明直线平行直线的基本方法：设直线和的方向向量分别为和，则//（或与重合）// ；
（2）证明直线平行平面的基本方法：①设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量分别为和，则l//（或l）存在x，yR，使=x +y成立；
②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l//（或l）；
证明平面平行平面的基本方法：设平面，的法向量分别为，，则//
//。
3、运用空间向量证明空间中的垂直关系：
（1）证明直线垂直直线的基本方法：设直线和的方向向量分别为和，则 .=0；
（2）证明直线垂直平面的基本方法：①设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l// ；②直线l的方向向量为，平面内两条相交直线和的方向向量分别为和，则l，且，.=0，且.=0；
（3）证明平面垂直平面的基本方法：设平面，的法向量分别为，，则 .=0。
4、直线的方向向量与平面的法向量的确定：
（1）直线的方向向量确定的基本方法：①在直线上取两点的坐标（线段一般取线段两个端点的坐标）；②把其中一点作为始点，另一点作中点；③求出两点确定的向量，从而得到直线的方向向量；
（2）平面法向量确定的基本方法：①设平面的法向量为=（x，y，z），在平面内取两条相交直线的方向向量分别为，；②根据 .=0 且 .=0，得到关于x，y，z的两个方程；③两个方程组成的方程组（注意：这里涉及到两个方程三个未知数的问题，求解时可以令x，y，z中某一个的值为1，转化为两个方程两个未知数的方程组求解）求出x，y，z的值；④求出平面的法向量。
【探导考点】
考点1空间直角坐标系的概念：热点①空间直角坐标系定义及运用；热点②空间点的坐标及其对称点的坐标；
考点2运用空间向量证明平行问题：热点①运用空间向量证明直线平行直线；热点②运用空间向量证明直线平行平面；热点③运用空间向量证明平面平行平面；
考点3运用空间向量证明垂直问题：热点①运用空间向量证明直线垂直直线；热点②运用空间向量证明直线垂直平面；热点③运用空间向量证明平面垂直平面。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
如图在正方体ABCD---中 D C
建立空间直角坐标系。
A B
2、如图在几何体中，底面ABCD是边长为 E F
6的正方形，是以E为直角顶点的等腰
直角三角形且垂直于底面，试建立空间直角
坐标系。 D C
A B
3、如图在四菱锥P----ABCD中，侧面PAD⊥底面 P
ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，
其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的 A O D
中点，试建立空间直角坐标系。
B C
4、如图在四菱锥O----ABCD中，底面ABCD是 O
边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
试建立空间直角坐标系。 A D
B C
『思考问题1』
（1）【典例1】是空间向量运用的首要问题—建立空间直角坐标系，【典例1】中的（1）有现成的系，可以直接建立空间直角坐标系D-xyz，原因是AD⊥D，AD⊥DC，DC⊥D是条件ABCD---是正方体给定了的；
（2）【典例1】中的（2），（3），（4）中没有现成的系，这时需要我们去找系。找系的基本规律是：①条件中有两个平面垂直可利用平面垂直平面的性质定理，在一个平面内找垂直于另一个平面的直线，其垂足为原点建立直角坐标系；②条件中没有两个平面垂直，但有直线垂直于平面，可利用直线垂直平面的性质定理，直接取垂足为原点建立直角坐标系。
〔练习1〕按要求解答下列各题： S
1、如图四菱锥S----ABCD中，底面ABCD是矩形，
SD⊥底面ABCD，试建立空间直角坐标系。
D C
A B
E
2、如图DC⊥平面ABC，EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2，
，P、Q分别为AE、AB的中点，试 D
建立空间直角坐标系。 P
C Q B
A
【典例2】解答下列问题：
1、如图四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，
该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图所示。 M
证明：AM//平面PBC；
3
D C
A B 4
2 2
2、如图在几何体中底面ABCD是边长为6的 E F
正方形，是以E为直角顶点的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等
分点。 D H C
求证：(1)EF//AB； R
(2) EF∥平面ABCD； A B
3、如图在正方体ABCD---中，M， D C
N，P分别是C、、的中点。 A B M
求证：（1）D//MN； P N
（2）平面MNP∥平面BD。
『思考题2』
【典例2】是运用空间向量证明平行的问题，这类问题主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面； ③运用空间向量证明平面平行平面；
（2）证明直线平行直线的基本思路是证明两直线的方向向量平行（但要注意说明两条直线不重合）；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③证明两个向量平行；④得出所证两直线平行的结论；
（3）证明直线平行平面的基本思路是：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（但应注意说明直线不在平面内）；②证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量共线（但应注意说明直线不在平面内）；思路一的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法，求出平面的法向量；④证明直线的方向向量与平面的法向量平垂直直线方向向量与平面法向量的数量积为0）；⑤得出所证直线与平面平行的结论；思路二的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③在平面内找一条直线并求出其方向向量；④证明两向量平行；⑤得出所证直线与平面平行的结论；
（4）证明平面平行平面的基本思路是证明两个平面的法向量平行，（但应注意说明两法向量不重合）；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据求平面法向量的基本方法，分别求出两个平面的法向量； ③证明两个法向量平行；④得出所证两平面平行的结论。
〔练习2〕解答下列问题： P
1、如图在三棱锥P---ABC中，AB=BC=PA，O， D
D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC。 O C
求证：（1）OD∥平面ABP； A
OP∥AP。 D B C
4、如图所示在正方体ABCD---中，M，N A B M
分别是C，的中点。 E
求证：（1）MN//平面BD； N
（2）若点E是的中点，证明平面MEN//平面BD。
【典例3】解答下列问题：
1、已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量；
2、如图在正方体ABCD----中，点E，F
分别是B，的中点。
求证：EF⊥D； E D C
A B
3、如图在正方体ABCD----中，E，F分别是B、CD的中点，M是AE上一点，
且=。
求证：（1）M⊥平面DAE；
（2）M⊥AD； D M F E C
（3）平面AED⊥平面F。 A B
4、如图四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，
该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图所示。
（1）证明：BC⊥平面PBD； M
（2）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所 D C 3
成角的余弦值为？若存在，找出所有符合 A B 4
要求的点N，并求CN的长；若不存在， 2 2
请说明理由。
5、如图在几何体中底面ABCD是边长为6的 E F
正方形，是以E为直角顶点的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等
分点。 D H C
求证：①EF∥平面ABCD； R
②AG⊥FB, RH⊥FB. A B
6、如图在正方体ABCD---中，M， D C
N，P分别是C、、的中点。 A B M
求证：（1）AP⊥MN； P N
（2）AC⊥MN。
7、如图已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， B E
ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为
CD的中点。 A
（1）求证：AB⊥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值 C F D
『思考题3』
（1）【典例3】是运用空间向量证明垂直的问题，这类问题主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面； ③运用空间向量证明平面平行平面； （2）证明直线垂直直线的基本思路是证明两直线的方向向量互相垂直，两直线方向向量的数量积为零，其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的空间向量（注意两点的顺序）；③证明两个空间向量垂直两个空间向量的数量积为零；④得出两条直线垂直的结论；
（3）证明直线与平面垂直的基本思路是：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直，证明直线方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量的数量积为零；思路一的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④证明直线方向向量与平面法向量平行；⑤得出所证直线与平面垂直的结论；思路二的基本方法是：建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③在平面内找两条相交直线并分别求出其方向向量；④分别证明直线方向向量与平面内两条相交直线方向向量平行，分别证明直线方向向量与平面内两条相交直线方向向量的数量积为零；⑤得出所证直线与平面垂直的结论；
（4）证明平面垂直平面的基本思路是证明两平面的法向量垂直，证明两平面法向量的数量积为零；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据求平面法向量的基本方法，分别求出两个平面的法向量；③证明两平面法向量垂直，证明两平面法向量的数量积为零； ④得出两平面垂直的结论。
〔练习3〕解答下列问题： V
1、如图在四棱锥V----ABCD中，底面ABCD
是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底
面ABCD。
求证：（1）AB⊥平面VAD； D C
（2）CD⊥AV； A B
（3）平面VAD⊥平面VDC. O
3、已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N P
为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若 Q
AB=OC，求证：PM⊥QN。 A N C
M
B
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、如图在几何体中，底面ABCD是边长为 E F
6的正方形，是以E为直角顶点的等腰
直角三角形且垂直于底面，试建立空间直角
坐标系。 D C
A B
2、如图已知三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中点，D⊥BD.
（1）证明：D⊥BC；
（2）求二面角—BD—的大小。
『思考题4』
【典例4】是解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，容易触碰的雷区：该类问题的雷区主要包括：①找系建立空间直角坐标系时，忽视找系过程中的必要证明，导致解答问题出现错误；②运用空间向量证明平行（或垂直）问题，涉及到平面内直线的方向向量时，忽视判断直线是否在平面内，导致解答问题出现错误；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，为避免忽视找系过程中的必要证明的雷区，需要注意对找系过程中的三直线是否两两互相垂直作出相应的证明；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，为避免涉及到平面内直线的方向向量时，忽视判断直线是否在平面内的雷区，需要注意对直线是否在平面内给出准确的判断。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如图在四菱锥O----ABCD中，底面ABCD是 O
边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
试建立空间直角坐标系。 A D
B C
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点。
（1）证明：BD平面PEF；
（2）若BAD=，求二面角B—PD—A的余弦值。
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
如图，在正四棱柱ABCD-中，AB=2，A=4，点，，，分别在棱A，B，C，D上，，A=1，B=D=2，C=3。
证明：//；
点P在棱B上，当二面角P--为，求P（2023全国高考新高考I）
2、如图，在多面体ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GD//EF，GF//BC，FG平面ADGC，M，N分别是AC，BF的中点，BC=EF=CG=FG。
（1）证明：MN//平面APG；
（2）求直线MN与平面BEF所成角的正弦值。
3、在长方体ABCD—中，已知AB=AD，E为AD的中点。
（1）在线段上是否存在点F，使得平面AF//平面EC？若存在请加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）设AD=2，A=4，点G在A上且满足=8，求EG与平面EB所成角的余弦值。
4、（理）如图，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求证：AC平面AB；
（2）若D，E分别为棱AB，AC上的动点，且BD=AE，当三棱锥A-DE的体积最大时，求二面角A—D—E的余弦值（成都市高2021级高三零诊）
5、在三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=，E为BC的中点。
证明：BCDA；
点F满足=，求二面角D-AB-F的正弦值（2023全国高考新高考II）
6、如图，在三棱柱ABC—中，与A均是边长为2的正三角形，且A=。
（1）证明：平面A⊥平面；
（2）求平面B与平面AC所成锐二面角的余弦值（成都市高2020级高三二诊）
『思考题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末调研考试）试卷中，运用空间向量证明平行（或垂直）的问题，归结起来主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面；③运用空间向量证明平面平行平面；④运用空间向量证明直线垂直直线；⑤运用空间向量证明直线垂直平面；⑥运用空间向量证明平面垂直平面等几类问题；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）的问题的基本方法是：①建立空间直角坐标系；
②根据问题结构特征判断问题所属类型；③运用解答该类问题的思路和基本方法对问题实施解答；④得出解答问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、如图，PO是三棱锥P—ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点。
（1）证明：OE//平面PAC；
（2）若ABO=CBO=，PO=3，PA=5，求二面角C—AE—B的正弦值（2022全国高考新高考II卷）
2、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
BAD=，M，N分别为AD，PA的中点（2020成都市高三零诊）。
（1）证明：平面BMN//平面PCD；
（2）（理）若AD=6，CD=，求平面BMN与平面BCP所成二面角的余弦值。
3、（理）在四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=。
（1）证明：BDPA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值。
4、如图，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求证：AC平面AB；
（2）若D，E分别为棱AB，AC上的动点，且BD=AE，当三棱锥A-DE的体积最大时，求二面角A—D—E的余弦值（成都市高2021级高三零诊）
5、如图，四面体ABCD中，ADCD，AD=CD，ADB=BDC，E为AC中点。
（1）证明：平面BED平面ACD；
（2）（理）设AB=BD=2，ACB=，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值（2022全国高考乙卷）
空间向量的运用-证明平行（或垂直）
【考纲解读】
理解空间直角坐标系的定义，掌握建立空间直角坐标系的基本方法；
理解平面法向量的定义，掌握求平面法向量的基本方法；
理解直线平行直线，直线平行平面和平面平行平面的定义，掌握运用空间向量证明直线平行直线，直线平行平面和平面平行平面的基本方法；
理解直线垂直直线，直线垂直平面和平面垂直平面的定义，掌握运用空间向量证明直线垂直直线，直线垂直平面和平面垂直平面的基本方法。
【知识精讲】
一、空间直角坐标系：
1、空间直角坐标系的定义：在空间选的一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为坐标原点，分别以，，的正方向为三条坐标轴的正方向构成的直角坐标系，称为空间直角坐标系，表示为O-xyz；这里的三条坐标轴，分别称为x轴，y轴，z轴；其中两条坐标轴构成的平面称为坐标平面，这三个坐标平面分别称为xOy平面，xOz平面，yOz平面，
2、建立空间直角坐标系的基本方法：
（1）确定直角坐标系原点的基本方法：①若图像中有现成的三条线段两两互相垂直于一点，则取垂足为原点；②若图像中没有现成的三条线段两两互相垂直于一点，则需要通过作辅助线寻找两两互相垂直于一点的三条线段，并证明三条线段两两互相垂直，然后取垂足为原点；
（2）坐标轴正方向的确定：①若图像中有现成的三条线段两两互相垂直，则取指向自己的方向作为x轴的正方向，指向右边的方向作为y轴的正方向，指向竖直向上的方向作为z轴的正方向；②若图像中没有现成的三条线段两两互相垂直，则需要通过作辅助线寻找两两互相垂直于的三条线段，并证明三条线段两两互相垂直，然后取指向自己的方向作为x轴的正方向，指向右边的方向作为y轴的正方向，指向竖直向上的方向作为z轴的正方向；
（3）建立空间直角坐标系的基本方法：①以确定的原点为空间直角坐标系的原点；②以确定坐x轴，y轴，z轴的正方向分别为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴；③建立空间直角坐标系O—xyz；
3、空间点A的坐标：
（1）空间点A，空间向量，有序实数对（x，y，z）之间的一一对应：对空间的任意原点A，有且仅有唯一的空间向量与它对应，有且仅有唯一的有序实数对（x，y，z）与它对应，称为空间点A，空间向量，有序实数对（x，y，z）之间的一一对应；
（2）这里的有序实数对（x，y，z），称为空间向量的坐标，记为=（x，y，z）；同时有序实数对（x，y，z），也称为空间点A的坐标，记为A（x，y，z）。
二、运用空间向量证明平行（或垂直）：
1、用空间向量表示直线方程（或判断点在直线上）：
（1）向量参数直线方程的定义：给定一个定点A和一个向量，存在一个实数t，使A为起点的向量=t，则称向量方程叫做直线l（直线AP）的向量参数方程，向量称为该直线的方向向量；
（2）判断空间点P在直线l上的基本方法：对空间任意的点O，点P在直线l（直线AB）上的充要条件是存在唯一实数t，使=(1-t) +t成立。
2、运用空间向量证明空间中的平行关系：
（1）证明直线平行直线的基本方法：设直线和的方向向量分别为和，则//（或与重合）// ；
（2）证明直线平行平面的基本方法：①设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量分别为和，则l//（或l）存在x，yR，使=x +y成立；
②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l//（或l）；
证明平面平行平面的基本方法：设平面，的法向量分别为，，则//
//。
3、运用空间向量证明空间中的垂直关系：
（1）证明直线垂直直线的基本方法：设直线和的方向向量分别为和，则 .=0；
（2）证明直线垂直平面的基本方法：①设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l// ；②直线l的方向向量为，平面内两条相交直线和的方向向量分别为和，则l，且，.=0，且.=0；
（3）证明平面垂直平面的基本方法：设平面，的法向量分别为，，则 .=0。
4、直线的方向向量与平面的法向量的确定：
（1）直线的方向向量确定的基本方法：①在直线上取两点的坐标（线段一般取线段两个端点的坐标）；②把其中一点作为始点，另一点作中点；③求出两点确定的向量，从而得到直线的方向向量；
（2）平面法向量确定的基本方法：①设平面的法向量为=（x，y，z），在平面内取两条相交直线的方向向量分别为，；②根据 .=0 且 .=0，得到关于x，y，z的两个方程；③两个方程组成的方程组（注意：这里涉及到两个方程三个未知数的问题，求解时可以令x，y，z中某一个的值为1，转化为两个方程两个未知数的方程组求解）求出x，y，z的值；④求出平面的法向量。
【探导考点】
考点1空间直角坐标系的概念：热点①空间直角坐标系定义及运用；热点②空间点的坐标及其对称点的坐标；
考点2运用空间向量证明平行问题：热点①运用空间向量证明直线平行直线；热点②运用空间向量证明直线平行平面；热点③运用空间向量证明平面平行平面；
考点3运用空间向量证明垂直问题：热点①运用空间向量证明直线垂直直线；热点②运用空间向量证明直线垂直平面；热点③运用空间向量证明平面垂直平面。
【典例解析】 z
1、如图在正方体ABCD---中
建立空间直角坐标系。
【解析】 D C y
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②建立 x
空间直角坐标系的基本方法；③正方体的定义与性质。 A B
【解题思路】运用正方体的性质，结合空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。
【详细解答】如图， ABCD---是正方体，DDA，DDC，ADDC，以D为原点，射线DA，DC，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz。
2、如图在几何体中，底面ABCD是边长为 E F
6的正方形，是以E为直角顶点的等腰
直角三角形且垂直于底面，试建立空间直角
坐标系。 D C
【解析】
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②建立
空间直角坐标系的基本方法；③正方形的定义与性质； A B
④等腰直角三角形定义与性质。
【解题思路】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，根据等腰三角形的性质，结合问题条件得到EOOA，EOOF，AOOF，运用建立空间直角坐标系的基本方法就可建立空间直角坐标系O-xyz。
【详细解答】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，如图，以O为原点，射线OA，OF，OE分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz。
3、如图在四菱锥P----ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点，试建立直角坐标系O---XYZ；
【解析】
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③平面垂直平面的性质；④直角梯形的定义与性质；⑤等腰三 P z
角形的定义与性质。
【解题思路】连接PO，运用等腰三角形的性质，结合
问题条件可证POOD，POOC，COOD，利用
空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。 A O Dy
【详细解答】连接CO， PA=PD=，O为AD的 B x C
中点， POAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，PO 平面PAD， PO平面ABCD， POOD，POOC， BC∥AD， AD=2AB=2BC=2，四边形ABCO是菱形，AB⊥AD，四边形ABCO是正方形， OCOD，如图，以O为原点，射线OC，OD，OP分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz。
4、如图在四菱锥O----ABCD中，底面ABCD是 O z
边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
试建立直角坐标系A---XYZ。 A D y
【解析】
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②建立 x
空间直角坐标系的基本方法；③菱形的定义与性质；④B E C
直线垂直平面的定义与性质。
【解题思路】过A作AEAD，垂足为A，交BC于点E，运用直线垂直平面的性质，结合问题条件可证ADOA，AEOA，利用空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。
【详细解答】过A作AEAD，垂足为A，交BC于点E， OA⊥底面ABCD，AD，AE 平面ABCD， ADOA，AEOA，如图，以A为原点，射线AE，AD，AO分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz。
『思考问题1』
（1）【典例1】是空间向量运用的首要问题—建立空间直角坐标系，【典例1】中的（1）有现成的系，可以直接建立空间直角坐标系D-xyz，原因是AD⊥D，AD⊥DC，DC⊥D是条件ABCD---是正方体给定了的；
（2）【典例1】中的（2），（3），（4）中没有现成的系，这时需要我们去找系。找系的基本规律是：①条件中有两个平面垂直可利用平面垂直平面的性质定理，在一个平面内找垂直于另一个平面的直线，其垂足为原点建立直角坐标系；②条件中没有两个平面垂直，但有直线垂直于平面，可利用直线垂直平面的性质定理，直接取垂足为原点建立直角坐标系。
〔练习1〕按要求解答下列各题： S
1、如图四菱锥S----ABCD中，底面ABCD是矩形，
SD⊥底面ABCD，试建立空间直角坐标系。 D C
（提示：证明SD⊥DA，SD⊥DC，AD⊥DC）
A B E
2、如图DC⊥平面ABC，EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2， D
，P、Q分别为AE、AB的中点，试 C B
建立空间直角坐标系。 A P
（提示：过点C作CF⊥CB交AB于点F，证明DC ⊥CB，DC⊥CF)
【典例2】解答下列问题：
1、如图四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，
该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图所示。 M
证明：AM//平面PBC；
3
D C
A B 4
【解析】 2 2
【知识点】①直角梯形定义与性质；②几何体三视图定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量证明直线平行平面的基本方法。
【解题思路】如图，根据直线垂直平面的性质得到PD⊥DA ，PD⊥DC，由底面ABCD是直角梯形，得到AD⊥DC，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，运用几何体三视图的性质得到点D，A，B，C，P的坐标，从而得到点M的坐标，求出向量，，，由求平面法向量的基本方法求出平面PBC的法向量，得到.=0，利用空间向量证明直线平行平面的基本方法就可证明AM//平面PBC。
【详细解答】如图， PD⊥底面ABCD，AD，CD 平面ABCD， PD⊥DA ，PD⊥DC，
底面ABCD是直角梯形， AD⊥CD，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz， D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0），P（0，0，4），M（0，0，3），C（0，4，0），=（-，0，3），=（-，-1，4），=（-，3，0），设平面PBC的法向量为=（，，），⊥，且⊥，.=--+4=0①，且. =-+3+0=0②，联立①②解得：=，=1，=1，=（，1，1），.=-3+0+3=0，AM平面PBC， AM//平面PBC。
2、如图在几何体中底面ABCD是边长为6的 E F
正方形，是以E为直角顶点的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等
分点。 D H C
求证：(1)EF//AB； R
EF∥平面ABCD； A B
【解析】
【知识点】①正方形定义与性质；②等腰直角三角形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量证明直线平行直线的基本方法；⑧运用空间向量证明直线平行平面的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，根据平面垂直平面的性质得到EO⊥平面ABCD，从而得到EO⊥OA ，EO⊥OR，由底面ABCD是正方形，得到AO⊥OR，以O为原点，射线OA，OR，OE分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，结合问题条件得到点O，A，B，E，F的坐标，求出向量， ，运用空间向量证明直线平行直线的基本方法就可证明EF//AB；（2）根据（1）求出向量， ，得到.=0，从而得到EOEF，运用空间向量证明直线平行平面的基本方法就可证明EF∥平面ABCD。
【详细解答】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点，EOAD， 平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，以O为原点，射线OA，OR，OE分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，四边形ABCD是边长为6的正方形，EF⊥平面EAD,EF=3，O是AD的中点，O（0，0，0），E（0，0，3），F（0，3，
3），A（3，0，0），B（3，6，0），=（0，6，0），=（0，3，0），=2，//，即EF//AB；（2）由（1）得 EO平面ABCD，向量= （0，0，-3）是平面ABCD的一个法向量，.=0+0+0=0，EF平面ABCD， EF//平面ABCD。
3、如图在正方体ABCD---中，M， D C
N，P分别是C、、的中点。 A B M
求证：（1）D//MN； P N
（2）平面MNP∥平面BD。
【解析】
【知识点】①正方体定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质；④空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑤平面法向量的基本方法；⑥运用空间向量证明直线平行直线的基本方法；⑦运用空间向量证明平面平行平面的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设正方体ABCD---的棱长为1，根据正方体的性质得到D，D，，以为原点，射线，，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，结合问题条件得到点，
，，，A，C的坐标，从而得到点M，N，P的坐标，求出向量，，运用空间向量证明直线平行直线的基本方法就可证明D//MN；（2）根据（1）求出向量，，，，运用求平面法向量的基本方法，分别求出平面MNP,平面BD的法向量法向量，，运用空间向量证明平面平行平面的基本方法就可证明平面MNP∥平面BD。
【详细解答】（1）如图，设正方体ABCD---的棱长为1， ABCD---是正方体，D，D，，以为原点，射线，，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），A（1，0，1），C（0，1，1），D（0，0，1），M，N，P分别是C，，的中点，P（0，，0），M（0，1，），N（，1，0），= （-1，0，1），=（，0，-），=-2， //，即D//MN；（2）由（1）得：=（0，1，1），=（-1，0，1），=（0，，），=（，，0），设平面BD的法向量为=（，，），，且，.=0++=0①，. =-+0+=0②，联立①②解得：=1，=-1，=1，=（1，-1，1），设平面MNP的法向量为=（x，y，z），，且，.=0+y+z=0③，. =-x+y+0=0④，联立③④解得：x=-1，y=1，=-1，=（-1，1，-1），=-，//，即平面MNP∥平面BD。
『思考题2』
【典例2】是运用空间向量证明平行的问题，这类问题主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面； ③运用空间向量证明平面平行平面；
（2）证明直线平行直线的基本思路是证明两直线的方向向量平行（但要注意说明两条直线不重合）；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③证明两个向量平行；④得出所证两直线平行的结论；
（3）证明直线平行平面的基本思路是：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（但应注意说明直线不在平面内）；②证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量共线（但应注意说明直线不在平面内）；思路一的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法，求出平面的法向量；④证明直线的方向向量与平面的法向量平垂直直线方向向量与平面法向量的数量积为0）；⑤得出所证直线与平面平行的结论；思路二的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③在平面内找一条直线并求出其方向向量；④证明两向量平行；⑤得出所证直线与平面平行的结论；
（4）证明平面平行平面的基本思路是证明两个平面的法向量平行，（但应注意说明两法向量不重合）；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据求平面法向量的基本方法，分别求出两个平面的法向量； ③证明两个法向量平行；④得出所证两平面平行的结论。
〔练习2〕解答下列问题： P
1、如图在三棱锥P---ABC中，AB=BC=PA，O， D
D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC。 O C
求证：（1）OD∥平面ABP； A
（2）OP∥AP（提示：过点O作OE⊥OC交AB于点E） D B C
4、如图所示在正方体ABCD---中，M，N A B M
分别是C，的中点。 E
求证：（1）MN//平面BD； N
（2）若点E是的中点，证明平面MEN//平面BD（提示：建立空间直角坐标系-xyz）
【典例3】解答下列问题：
已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量；
【解析】
【知识点】①空间向量定义与性质；②空间向量坐标运算的法则和基本方法；③平面法向量的基本求法。
【解题思路】设平面ABC的单位法向量为=（x，y，z），根据空间向量的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，得到关于x，y，z的方程组，求出方程组求出x，y，z的值，从而得到平面ABC的法向量，就可求出平面ABC的单位法向量。
【详细解答】设平面ABC的单位法向量为=（x，y，z），⊥，且⊥，.=2x+2y+z=0①，. =4x+5y+3z=0②，联立①②解得：x=1，y=-2，z=2，
=（1，-2，2），||==3，平面ABC的单位法向为（，-，）。
2、如图在正方体ABCD----中，点E，F z
分别是B，的中点。 F
求证：EF⊥D； D E C y
【解析】 x
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法； A B
②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法。
【解题思路】如图运用建立空间自己坐标系的基本方法建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点D，，B，，的坐标，由问题条件求出点E，F的坐标，从而求出直线EF，D，所在向量，，得到.=0，利用空间向量证明直线垂直直线的基本方法就可证明结论。
【详细解答】 ABCD---是正方体，DDA，DDC，ADDC，如图，以D为原点，射线DA，DC，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为1， D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），E，F分别是B，的中点， E（1，1，），F （，，1），=（1，0，1），=（-，-，），.=-+0+=0，EF⊥D。
3、如图在正方体ABCD----中，E，F分别是B、CD的中点，M是AE上一点，
且=。
求证：（1）M⊥平面DAE；
（2）M⊥AD； D M F E C
（3）平面AED⊥平面F。 A B
【解析】
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④平面法向量的基本求法；⑤运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量证明平面垂直平面的基本方法。
【解题思路】（1）如图运用建立空间自己坐标系的基本方法建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点，M，D，A，E的坐标，从而求出直线M，DA，DE所在向量，，，得到.=0，. =0，可证M⊥DA，M⊥DE，利用直线垂直平面判定定理和判定方法就可证明结论；（2）由（1）点的坐标分别求出直线M，AD所在的向量，，得到.=0，从而证明M⊥AD；（3）设平面DAE的法向量为=（，，），由.=0，. =0，求出法向量，用同样的方法求出平面F的法向量，得到.=0，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1） ABCD---是正方体，DDA，DDC，ADDC，如图，以D为原点，射线DA，DC，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为1，M（x，y，z）， D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），（1，0，1），E是B的中点， E（1，1，），=（1，0，0），=（1，1，），=（x-1，y，z），=（0，1，），=，x-1=0，y=，z=，M（1，，），=（0，，-），.=0+0+0=0，. =0+-=0，M⊥DA，M⊥DE，DA，DE平面DAE，DADE=D，M⊥平面DAE；（2）由（1）知=（0，，-），=（-1，0，0），.=0+0+0=0，M⊥AD；（3）设平面DAE的法向量为=（，，），.=+0+0==0，. =++=0，=0，=-1，=2，=（0，-1，2），同理求出平面F的法向量=（0，2，1），.=0-2+2=0，平面AED⊥平面F。
4、如图四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，
该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图所示。
（1）证明：BC⊥平面PBD； M
（2）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所 D C 3
成角的余弦值为？若存在，找出所有符合 A B 4
要求的点N，并求CN的长；若不存在， 2 2
请说明理由。
【解析】
【知识点】①四棱锥定义与性质；②直角梯形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法；⑧运用空间向量求异面直线夹角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据直线垂直平面的性质，得到PD⊥DA ，PD⊥DC，由底面ABCD是直角梯形，得到AD⊥DC，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，结合问题条件得到点D，B，C，P的坐标，求出向量，，，从而求出与，与的数量积，得到BC⊥BP， BC⊥BD，运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法就可证明BC⊥平面PBD；（2）设线段CD上存在点N（x，y，z），使AM与BN所成角的余弦值为，根据（1）求出向量，，运用公式cos<，>=得到关于t的方程，求解方程求出t的值，从而求出点N的坐标，就可得出结论。
【详细解答】（1）如图， PD⊥底面ABCD，AD，CD 平面ABCD， PD⊥DA ，PD⊥DC，底面ABCD是直角梯形， AD⊥CD，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz， B（，1，0），P（0，0，4），M（0，0，3），C（0，4，0），=（-，-1，4），，=（-，3，0），
=（-，-1，0），.=3-3+0=0，.=3-3+0=0， BC⊥BP， BC⊥BD，BP，BD平面PBD，BPBD=B，BC⊥平面PBD；（3）设线段CD上存在点N（x，y，z），使AM与BN所成角的余弦值为，=（0，-4，0），=（x，y-4，z），点N在线段CD上，存在tR，使=t，（x，y-4，z）=（0，-4t，0），x=0，y=4-4t，z=0，=（-，3-4t，0）， cos<，>== = =，=2，t=或t=1，y=1或y=-1，0
正方形，是以E为直角顶点的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等
分点。 D H C
求证：（1）RH⊥FB； R
（2）AG⊥FB,。 A B
【解析】
【知识点】①正方形定义与性质；②等腰直角三角形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，根据平面垂直平面的性质得到EO⊥平面ABCD，从而得到EO⊥OA ，EO⊥OR，由底面ABCD是正方形，得到AO⊥OR，以为原点，射线，，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，结合问题条件得到点B，C，，E，F，R，H的坐标，求出向量，， 从而求出向量与的数量积，就可证明RH⊥FB；（2）根据（1）得到点G的坐标，向量，从而求出与的数量积，就可证明AG⊥BF。
【详细解答】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，以O为原点，射线OA，OF，OE分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，四边形ABCD是边长为6的正方形，EF⊥平面EAD,EF=3，O，R分别是AD，BC的中点，G、H是BF上的两个三等分的，A（3，0，0），B（3，6，0），C（-3，6，0），E（0，0，3），R（0，6，0），H（2，5，1），G（1，4，2），F（0，3，3），=（-3，-3，3），=（2，-1，1）， .=-6+3+3=0，RH⊥BF；（2）= （-2，4，2），.=6-12+6=0，
AG⊥BF。
6、如图在正方体ABCD---中，M， D C
N，P分别是C、、的中点。 A B M
求证：（1）AP⊥MN； P N
（2）AB⊥MN。
【解析】
【知识点】①正方体定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质；④空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设正方体ABCD---的棱长为1，根据正方体的性质得到D，D，，以为原点，射线，，D分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，得到点，，，A，C的坐标，从而得到点M，N，P的坐标，求出向量，，向量与的数量积，就可证明AP⊥MN；（2）由（1）求出向量，从而求出向量与的数量积，就可证明AB⊥MN。
【详细解答】（1）如图， ABCD---是正方体，D，D，，以为原点，射线，，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，设正方体的棱长为1，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），A（1，0，1），C（0，1，1），M，N，P分别是C，，的中点，P（0，，0），M（0，1，），N（，1，0），= （-1，，-1），=（，0，-），.=-+0+=0， AP⊥MN；（2）B（1，1，1），=（0，1，0），.=0+0+0=0，AB⊥MN。
7、如图已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， B E
ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为
CD的中点。 M
（1）求证：AB⊥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE； A
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值 C F D
【解析】 x
【知识点】①三角形中位线的定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质；④空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法；⑦运用空间向量证明平面垂直平面的基本方法；⑧求直线与平面所成角正弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取CE的中点M，连接FM，运用三角形中位线的性质可证MF平面ACD，得到FMFD，FM FA，FA FD，以F为原点，AF的延长线，射线FD，FM分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系F—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点，A，F，B，C，E的坐标，从而求出向量,，，，根据求平面法向量的基本方法求出平面BCE的法向量，求出.的值，就可证明AB⊥平面BCE；（2）根据确定点坐标的基本方法分别确定点D的坐标，求出直线DC，DE所在向量，，运用求平面法向量的基本方法，分别求出平面CDE的法向量法向量，得到.=0，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明结论；（3）求出直线BF所在向量，运用求直线与平面所成角正弦值的基本方法通过计算就可求出结果。
【详细解答】（1）如图，设AD=DE=2，平面BCE的法向量为=（，，），取CE的中点M，连接FM，延长AF，M，F分别是CE，CD的中点，FM//DE， DE⊥平面ACD，FM⊥平面ACD， FMFD，FM FA，ACD为等边三角形，D是CD的中点，FA FD，以F为原点，AF的延长线，射线FD，FM分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系F—xyz， AD=DE=2AB，A（-，0，0），F（0，0，0），B（-，0，1），C（0，-1，0），E（0，1，2），=B（0，0，1），=（，0，0），=（，-1，-1），=（，1，1），⊥，且⊥ ，.=--=0①，且. =-++=0②，联立①②解之得：=0，=-1，=1，=（0，-1，1），. =-0+0+0=0， AB⊥平面BCE；（2）D（0，1，0），=（0，-2，0），=（0，0，2），设平面CDE的法向量为=（x，y，z），.=0-2y+0=0，.=-0+0+2z=0，x=，y=0，z=0，=（x，0，1），.=0+0+0=0，平面BCE⊥平面CDE；（3）设直线BF与平面BCE所成角为，=（，0，-1），sin=cos<，>===。
『思考题3』
（1）【典例3】是运用空间向量证明垂直的问题，这类问题主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面； ③运用空间向量证明平面平行平面； （2）证明直线垂直直线的基本思路是证明两直线的方向向量互相垂直，两直线方向向量的数量积为零，其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的空间向量（注意两点的顺序）；③证明两个空间向量垂直两个空间向量的数量积为零；④得出两条直线垂直的结论；
（3）证明直线与平面垂直的基本思路是：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直，证明直线方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量的数量积为零；思路一的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④证明直线方向向量与平面法向量平行；⑤得出所证直线与平面垂直的结论；思路二的基本方法是：建立空间直角坐标系；②在直线上取两点（如果是线段一般取线段的两个端点），并求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；③在平面内找两条相交直线并分别求出其方向向量；④分别证明直线方向向量与平面内两条相交直线方向向量平行，分别证明直线方向向量与平面内两条相交直线方向向量的数量积为零；⑤得出所证直线与平面垂直的结论；
（4）证明平面垂直平面的基本思路是证明两平面的法向量垂直，证明两平面法向量的数量积为零；其基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据求平面法向量的基本方法，分别求出两个平面的法向量；③证明两平面法向量垂直，证明两平面法向量的数量积为零； ④得出平面垂直平面的结论。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如图在四棱锥V----ABCD中，底面ABCD V
是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底
面ABCD。
求证：（1）AB⊥平面VAD； D C
（2）CD⊥AV； A B
（3）平面VAD⊥平面VDC.（提示：建立空间直角坐 O
标系D-xyz）
3、已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N P q
为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若 A N C
AB=OC，求证：PM⊥QN。 M
（提示：证明.=0） B
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题： z
2、如图在几何体中，底面ABCD是边长为 E F
6的正方形，是以E为直角顶点的等腰
直角三角形且垂直于底面，试建立直角坐标系
O----XYZ； D C
【解析】 O F y
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②空间 x
直角坐标系建立的基本方法；③等腰三角形的定义与 A B
性；④正方形的定义与性质；⑤平面垂直平面的性质。
【解题思路】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，运用等腰三角形的性质，结合问题条件可证EOOA，EOOF，AOOF，利用空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。
【详细解答】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，如图，以O为原点，射线OA，OF，OE分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz。
2、如图，在等腰梯形ADEF中，AD//EF，AD=3，DE=，EF=1，在矩形 ABCD中，AB=1，平面ADEF平面ABCD。
（1）证明：BFCF；
（2）求直线AF与平面CEF所成角的大小。
【解析】
【考点】①等腰梯形定义与性质；②矩形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，过点F作FOAD于点O，过点O作OM//AB交BC于当M，连接OB，OC，根据平面垂直平面和矩形的性质，结合问题条件得到FO平面ABCD，从而得到FOOM，FOOD，ODOM，以O为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，求出点B，C，F的坐标，向量，，从而求出向量，的数量积，就可证明BFFC；（2）根据（1）得到A，E的坐标，从而求出，, ，运用求平面法向量的基本方法求出平面CEF的法向量，利用求直线与平面所成角正弦值的基本方法求出直线AF与平面CEF所成角的正弦值，就可求出直线AF与平面CEF所成角的大小。
【详细解答】（1）如图，过点F作FOAD于点O，过点O作OM//AB交BC于当M，连接OB，OC， 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD， FO平面ADEF， FO平面ABCD， FOOM，FOOD，四边形A BCD是矩形， OMO
以O为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，AD//EF，AD=3，DE=，EF=1，AB=1，B（1，-1，0），C（1，2，0），F（0，0，1），=（-1，1，1），=（-1，-2，1），.=1-2+1=0，BFCF；（2）设直线AF与平面CEF所成角为， 由（1）得：A（0，-1，0），E（0，1，1），=（0，1，1），= （-1，-1，1），= （-1，-2，1），设平面CEF的法向量
为=（x，y，z）， ，且，.=-x-y+z=0①， .=-x-2y+z =0
②，联立①②解得：x=1，y=0，z=1，=（1，0，1），sin=|cos<，>\=||
=||=，（0，）, =，即直线AF与平面CEF所成角的大小为。
『思考题4』
【典例4】是解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，容易触碰的雷区：该类问题的雷区主要包括：①找系建立空间直角坐标系时，忽视找系过程中的必要证明，导致解答问题出现错误；②运用空间向量证明平行（或垂直）问题，涉及到平面内直线的方向向量时，忽视判断直线是否在平面内，导致解答问题出现错误；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，为避免忽视找系过程中的必要证明的雷区，需要注意对找系过程中的三直线是否两两互相垂直作出相应的证明；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）问题时，为避免涉及到平面内直线的方向向量时，忽视判断直线是否在平面内的雷区，需要注意对直线是否在平面内给出准确的判断。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如图在四菱锥O----ABCD中，底面ABCD是 O
边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
试建立空间直角坐标系。 A D
（提示：过点A作AEAD交BC于点E，以A
为原点，就可建立空间直角坐标系）
B C
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点。
（1）证明：BD平面PEF；
（2）若BAD=，求二面角B—PD—A的余弦值。
（提示：连接PE，过点E作EG//AB交BC于点G，以E为原点，,，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系E-xyz。）
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、如图，在正四棱柱ABCD-中，AB=2，A=4，点，，，分别在棱A，B，C，D上，，A=1，B=D=2，C=3。
证明：//；
点P在棱B上，当二面角P--为，求P（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①正四棱柱定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质；④空间向量坐标运算法则和基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥求二面角余弦值公式及运用；⑦两点之间距离公式及运用。
【解题思路】（1）如图，以C为坐标原点，,,分别为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，根据空间向量的性质，结合问题条件得到点，，，的坐标，运用空间向量坐标运算法则和基本方法求出向量，，从而证明向量与向量共线，就可证明//；（2）如图，设点P（0，2，h），根据求平面法向量的基本方法分别求出平面P和平面的法向量，运用求二面角余弦值的公式得到关于h的等式，从而求出h的值，得到点P的坐标，利用两点之间的距离公式就可求出P。
【详细解答】（1）如图，ABCD-是正四棱柱，以C为坐标原点，,,
分别为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，在正四棱柱ABCD-中，AB=2，A=4，点，，，分别在棱A，B，C，D上，，A=1，B=D=2，C=3，（2，2，1），（0，2，2），（0，0，3），（2，0，2），=（0，-2，1），=（0，-2，1），向量与向量共线，//；（2）如图，设点P（0，2，h），由（1）知（2，2，1），（0，0，3），（2，0，2），=（2，0，1-h），=（0，-2，3-h），=（0，2，-1），=（-2，0，1），设平面P的法向量=（x，y，z），由，且，.=2x+0+（1-h）z=0，且 .=0-2y+（3-h）z=0，解得： x=，y=，z=1，=（，，1），设平面的法向量=（，，），由 ⊥，且 ⊥，.=0+2-=0，且 .=-2+0+=0，解之得：=1，=1，=2，=（1，1，2），二面角P--为，
====，
h=1或h=3，P（0，2，1）或P（0，2，3），（0，2，2），P==1。
2、如图，在多面体ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GD//EF，GF//BC，FG平面ADGC，M，N分别是AC，BF的中点，BC=EF=CG=FG。
（1）证明：MN//平面AFG；
（2）求直线MN与平面BEF所成角的正弦值（成都市高2020级高三三珍）
【解析】
【考点】①正方形定义与性质；②梯形定义与性质；③三角形和梯形中位线定理及运用；④建立空间直角坐标系的基本方法；⑤空间向量定义与性质；⑥空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑦求平面法向量的基本方法；⑧求直线与平面所成正余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设BC=EF=1，FG平面ADGC，DG，CG平面ADGC，FGDG， FGCG，ADGC是正方形，DGCG，以G为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系G—xyz，根据空间向量的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到点A，B，C，F，M，N，P，G的坐标，求出向量，，，从而求出平面APG的法向量，利用.的数量积为0就可证明MN//平面AFG；（2）如图，根据（1）得到点A，B，C，D，E，F的坐标，从而得到点M，N的坐标，求出，, ，运用求平面法向量的基本方法求出平面BEF的法向量，利用求直线与平面所成角正弦值的基本方法就可求出直线MN与平面BEF所成角的正弦值。
【详细解答】（1）如图，设BC=EF=1，FG平面ADGC，DG，CG平面ADGC，FGDG， FGCG，ADGC是正方形，DGCG，以G为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系G—xyz，M，N分别是AC，BF的中点，BC=EF
=CG=FG，A（2，0，2），B（0，1，2），C（0，0，2），F（0，2，0），G（0，0，0），M（1，0，2），N（0，，1），=（-1，，-1），=（-2，2，-2），=（-2，0，-2），设平面AFG的法向量=（，，），，，.=-2+2-2=0，且 .=-2+0-2=0，解之得：=-1，=0，=1，=（-1，0，1），.=1+0-1=0，，即MN//平面AFG；（2）如图，设直线MN与平面BEF所成角为，由（1）知，A（2，0，2），B（0，1，2），C（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，0），M，N分别是AC，BF的中点，M（1，0，2），N（0，，1），=（-1，，-1），= （1，1，-2），= （0，1，-2），设平面BEF的法向量为=（x，y，z），，且，.=-x+y-2z=0①， .=-0+y-2z =0②，联立①②解得：x=0，y=2，z=1，=（0，2，1），sin=cos<，>=||=||=，直线MN与平面BEF所成角的正弦值为。
3、在长方体ABCD—中，已知AB=AD，E为AD的中点。
（1）在线段上是否存在点F，使得平面AF//平面EC？若存在请加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）设AD=2，A=4，点G在A上且满足=8，求EG与平面EB所成角的余弦值。
【解析】
【考点】①长方体定义与性质；②建立空间直角坐标系的基本方法；③空间向量定义与性质； ④空间向量坐标运算法则和基本方法； ⑤求平面法向量的基本方法；⑥直线与平面所成角的定义与性质；⑦求直线与平面所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据ABCD—是长方体，以D为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，设在线段上是否存在点F（t，2，4），使得平面AF//平面EC，根据空间向量的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件，求出向量，，，，从而求出平面AF与平面EC的法向量，利用两平面平行其法向量共线得到关于t的方程，求解方程求出t的值，就可证明结论；（2）如图，设G（x，y，z），根据空间向量的性质，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出，，得出点G的坐标，从而求出，，，平面法向量，利用公式求出与 平面EB的法向量夹角的余弦值，得到EG与平面EB所成角的正弦值，由同角三角函数的基本关系就可求出EG与平面EB所成角的余弦值。
【详细解答】（1）如图，设在线段上是否存在点F（t，2，4），使得平面AF//平面EC， AB=AD=2，A=4，ABCD—是长方体，以D为坐标原点，，，分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，E为AD的中点， A（2，0，0），E（1，0，0）， C（0，2，0），（2，0，4），（0，2，4），
=（0，0，4），=（t-2，2，4），=（-1，2，4），=（-1，2，0），设平面AF的法向量为=（x，y，z），由，且，.=0+0+4z=0，且 .=（t-2）x+2y+4z=0，解得：x=1，y=1-t，z=0，=（1，1-t，0），设平面EC的法向量=（，，），由 ⊥，且 ⊥，.=-+2+4=0，且 .=-+2+0=0，解之得：=2，=1，=0，=（2，1，0），平面AF//平面EC，存在实数u，使=u成立，1=2u，且1-t=u，解之得：t=1，在线段上是否存在点F（1，2，4），使得平面AF//平面ECF//CE；（2）如图，设G（x，y，z）， AD=2，A=4，AB=AD， A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（2，0，4），（0，2，4），=（x-2，y，z），=（0，0，4），=8，8x-16=0，8y=0，8z=4，x=2，y=0，z=，G（2，0，），E（1，0，0），=（1，0，），=（1，2，0），=（-1，2，4），设平面EB的法向量为=（x，y，z），，，.=x+2y+0=0①，.=-x+2y+4z=0②，联立①②解得：x=2，y=-1，z=1，=（2，-1，1），令直线EG与平面EB所成角为，sin=|cos<,>|=||=||=，cos=
=，即EG与平面EB所成角的余弦值为。
4、在三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=，E为BC的中点。
（1）证明：BCDA；
（2）点F满足=，求二面角D-AB-F的正弦值（2023全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①三棱锥定义与性质；②全等三角形判定定理及运用；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法；⑧同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】（1）如图，设DA=DB=DC=，连接AE，DE，根据三棱锥的性质和全等三角形判定定理，结合问题条件证明ABD与ACD是全等的等边三角形，得到AEBC，DEBC，由BDCD，得到DEAE，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz，求出点A，B，C，D的坐标，向量，，从而求出.的数量积就可证明BCDA；（2）设F（x，y，z），根据（1）求出向量，，，，，，运用求平面法向量的基本方法分别求出平面DAB和平面FAB的法向量，由求二面角余弦值的基本方法求出二面角D-AB-F的余弦值，利用同角三角函数的基本关系就可求出二面角D-AB-F的正弦值。
【详细解答】（1）如图，设DA=DB=DC=，连接AE，DE，DA=DB=DC，ADB
=ADC=，等边ABD等边ACD，AB=AC，E为BC的中点，AEBC，DEBC， BDCD，BC==2，AE=DE==1=CE=BEAE+DE=1
+1=2=AD，AEDE，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz，A（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），C（0，-1，0），=（-1，0，1），=（0，-2，0），.=0+0+0=0，BC⊥AD；（2）如图，设F（x，y，z），A（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，0，0），=（x，y，z），=（-1，0，1），=，F（-1，0，1），=（-1，1，0），=（1，0，0），=（1，1，-1），设平面ABD的法向量=（x，y，z），由，且，.=-x+0+z=0，且 .=-x+y+0=0，解得： x=1，y=1，z=1，=（1，1，1），设平面ABF的法向量=（，，），由 ⊥，且 ⊥，.=+0+0=0，且.=+-=0，解之得：=0，=1，=1，=（0，1，1），设二面角P--为，cos===，sin==，即二面角P--的正弦值为。
5、如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且ABC=，
E为BC的中点（2020成都市高三一诊）
（1）证明：BC⊥平面PAE；
（2）若AB=2，PA=1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值。
【解析】
【考点】①四棱锥的定义与性质；②菱形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，过P作PQ//BC，交CD于点Q，设菱形的边长为2，根据四棱锥和菱形的性质，得到ABC 是正三角形，AEPB，运用直线垂直平面的性质定理，结合问题条件得到PAPB，PAPQ，以P为原点，，，分别为,x，y，z轴的正方向 建立空间直角坐标系P-xyz，得到点A，B，C，P，E的坐标，从而求出向量，，，求出向量与，与的数量积，得到直线BCPE，BCPA，就可证明直线BC平面PAE；（2）设二面角P--为，根据（1）求出向量，，，，运用求平面法向量的基本方法分别求出平面PAB，平面PCD的法向量，利用求出二面角的余弦值的基本方法就可求出平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值。
【详细解答】（1）如图，过P作PQ//BC，交CD于点Q，设菱形的边长为2，四边形ABCD是菱形，ABC=，ABC 是正三角形，E是BC的中点，AEPB，
AP平面PBC，PB，PQ平面PBC，PAPB，PAPQ，以P为原点，，，
分别为x，y，z轴的正方向 建立空间直角坐标系P-xyz，P（0，0，0），A（0，0，
1），B（，-1，0），C（，1，0），E（1，0，0），=（0，2，0），=（1，0，0），= （0，0，1），.=0+0+0=0，.=0+0+0=0，BCPE，BCPA， PA，PE平面PAE，PAPE=P，BC平面APE；（2）设锐二面角P--为，=（0，0，1），=（，-1，0），设平面BAP的法向量为=（x，y，z），，且，.=0+0+z=0，且 .=x-y+0=0，x=1 ，
y=，Z=0，=（1，，0），=（，1，0），= D（0，2，1），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），，且 ，.=x+y+0=0，
且.=0+2y+z=0，x=1，y=-，z=2，=（1，-， 2），
是平面BAP与平面PCD所成角为锐角，cos=||=||
=||=。
6、如图，在三棱柱ABC—中，与A均是边长为2的正三角形，且A=。
（1）证明：平面A⊥平面；
（2）求平面B与平面AC所成锐二面角的余弦值（成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①正三角形定义与性质；②勾股定理逆定理及运用； ③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求锐二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取的中点D，连接AD，D，根据正三角形的性质得到D⊥D，AD⊥D，运用勾股定理逆定理，结合问题条件得到AD⊥D，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，，，的坐标，求出向量，，，，从而分别求出平面A，平面的法向量，，求出向量，，的数量积，就可证明平面A⊥平面；（2）根据（1）求出向量，，，，运用求平面法向量的基本方法分别求出平面B和平面AC的法向量，，利用求锐二面角余弦值的基本方法，就可求出平面B与平面AC所成锐二面角的余弦值。
【详细解答】（1）证明：如图，取的中点D，连接AD，D，与A均是边长为2的正三角形，AD=D=，AD⊥，D⊥，A=， AD+D=3+3=6=A，AD⊥D，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz， 点A（0，0，）， B（-，1，），（，0，0），（0，1，0），（0，-1，0），=（0，1，-），
=（0，-1，-），=（-，1，0），，=（-，-1，0），设平面A的法向量为=（x，y，z），⊥，且⊥，.=0+y-z=0且.
=0-y-z=0，得：x=1，y=0，z=0，=（1，0，0)，==（0，0，），.
=0+0+0=0，⊥，即平面 A⊥平面； （2） 根据（1）得：
= （2，-1，-），= （，-2，-），= （，0，-），= （0，-1，-），设平面B的一个法向量为=（x，y，z），⊥，且⊥，.=-2x-y-z=0，且 .=-x-2y-z=0，x=1，y=-，z=3，=（1，-，3)，设平面AC的一个法向量为=（，，）， ⊥，且 ⊥， .=+0-=0，且 .=--=0， =1，
=-，=1，=（1，-，1），cos<，>==
=-，平面B与平面AC所成锐二面角的余弦值为。
『思考题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末调研考试）试卷中，运用空间向量证明平行（或垂直）的问题，归结起来主要包括：①运用空间向量证明直线平行直线；②运用空间向量证明直线平行平面；③运用空间向量证明平面平行平面；④运用空间向量证明直线垂直直线；⑤运用空间向量证明直线垂直平面；⑥运用空间向量证明平面垂直平面等几类问题；
解答运用空间向量证明平行（或垂直）的问题的基本方法是：①建立空间直角坐标系；
②根据问题结构特征判断问题所属类型；③运用解答该类问题的思路和基本方法对问题实施解答；④得出解答问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、如图，PO是三棱锥P—ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点。
（1）证明：OE//平面PAC；
（2）若ABO=CBO=，PO=3，PA=5，求二面角C—AE—B的正弦值（2022全国高考新高考II卷）（提示：如图，以A为原点，， ， 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz）
2、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
BAD=，M，N分别为AD，PA的中点（2020成都市高三零诊）。
（1）证明：平面BMN//平面PCD；
（2）若AD=6，CD=，求平面BMN与平面BCP所成二面角的余弦值。（提示：如图，以M为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz）
3、在四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=。
（1）证明：BDPA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值。（提示：如图，以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz）
4、如图，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求证：AC平面AB；
（2）若D，E分别为棱AB，AC上的动点，且BD=AE，当三棱锥A-DE的体积最大时，求二面角A—D—E的余弦值（成都市高2021级高三零诊）（提示：如图，以点A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz）
5、如图，四面体ABCD中，ADCD，AD=CD，ADB=BDC，E为AC中点。
（1）证明：平面BED平面ACD；
（2）设AB=BD=2，ACB=，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值（2022全国高考乙卷）（提示：如图，以E为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系E—xyz）