四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高三上册数学（文科）入学联考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
1．（2023高三上·成都开学考）若复数z满足，则|z|＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：
则
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.
2．（2023高三上·成都开学考）设集合U＝R，若集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥0}，CU（A∪B）＝（ ）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≤﹣1}
C．{x|x≤1} D．{x|x＜0或x≥1}
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】，.
故答案为：B
【分析】根据集合的基本运算即可求出，在根据补集的定义求出答
3．（2023高三上·成都开学考）棱长为1的正方体的外接球的表面积为( )
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】棱长为1的正方体的体对角线的长度是它的外接球的球直径，所以球半径为，所以球的表面积为
【分析】解决本小题的关键是根据正方体的体对角线的长度是它的外接球的球直径求出球的半径.
4．（2023高三上·成都开学考）已知a＝ln0.9，b＝，c＝2﹣0.1，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：对数、指数比较大小.
根据指数函数的性质：，
当时，为增函数，则， 又
再结合指数函数的单调性得：，故
故答案为：A.
【分析】指数与对数在比较大小应该熟记函数图象，利用函数图象的性质进行比较大小。还要学会找中间量，例如1、0、、.
5．（2023高三上·成都开学考）养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼做好标记并放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有3条鲤鱼被标记，则该池塘大约有鱼（ ）
A．1000条 B．3000条 C．3333条 D．10000条
【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：设池塘大约有鱼x条，则根据题意可列方程：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查用样本的数字特征估算总体的数字特征，属于基础题型。
6．（2023高三上·成都开学考）若函数f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定义域上的奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：方法一根据题意知函数f（x）的定义域为R，则，解得a=0，
方法二为奇函数，，即
化简得，解得
故答案为：A.
【分析】本题主要考查奇函数的相关性质结论：1、奇函数定义域的对称性；，2、为奇函数则； 3、奇函数在0处有意义则.
7．（2023高三上·成都开学考）若直线y＝2x的倾斜角为θ，则sin2θ＝（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：直线，
直线的斜率.根据直线斜率与倾斜角的关系可得：
，
又由倍角公式得：
故答案为：C.
【分析】本题考查：1、直线斜率与倾斜角的关系；2、倍角公式及“1”的灵活运用.
8．（2023高三上·成都开学考）过点作圆x2﹣2x+y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：把圆的一般方程：化为标准方程：，设圆心为O，半径为r，
则圆心O为，半径r=，根据两点间的距离公式得： ，r=，
A，B为切点，根据圆的切线性质可得，易证得：.
.在中：
，即，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，可得圆的标准方程，从而找到圆心及半径，再结合圆的切线性质和三角形全等得出.在根据三角函知识求解即可.
9．（2023高三上·成都开学考）若函数f（x）＝kex﹣lnx在区间（1，e）上是增函数，则实数k的取值范围为（ ）
A．（0，+∞） B．
C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，﹣e]
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对求导得
又在区间（1，e）上是增函数.
对恒成立，利用分离参数的方法可得：对恒成立.
令，则对恒成立.只需.
则在区间上单调递减，，则对恒成立，
只需
故答案为：B.
【分析】根据题意可得对恒成立.只需要对恒成立.再利用函数的
单调性找到的最大值即可.
10．（2023高三上·成都开学考）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB=CD=2EF=2BC=4，EA＝ED＝FB＝FC＝3，则五面体FE﹣ABCD的表面积为（ ）
A．48 B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】解：在五面体FE-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，且AB=CD=2EF=2BC=4，
五面体的表面积：
故答案为：D.
【分析】将五面体的五个面分为底面矩形、2个梯形、2个三角形，然后根据矩形、梯形、三角形的面积公式进行计算即可.
11．（2023高三上·成都开学考）若函数，x∈[m，n]的值域为[﹣1，2]则n﹣m的最小值为（ ）
A． B．π C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：中，则的周期，
在一个周期内的值域为，而时，的值域为，则
令，即或
解得：或，
又令，即
解得：，当时，则
，
此时的最小值为：；
当时，则，此时的最小值为
，
故综上的最小值为
故答案为：C
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，中，则的周期，在一个周期内的值域为，而时，的值域为，则，故只需求出一个周期内=-1，=2时x的值，然后进行讨论即可求出n-m的最小值.
12．（2023高三上·成都开学考）已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|+|FB|+|FC|的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设A，B，C，
又抛物线，则F，
又焦点F恰好为 △ABC的重心
根据重心坐标公式得：，得，
故
故答案为：C.
【分析】本题主要考查抛物线的基本性质及重心坐标公式。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高三上·成都开学考）若，，则＝ ．
【答案】4
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知，根据平面向量坐标运算公式的：
，
故答案为：.
【分析】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，运用平面向量积的坐标运算求解即可。
14．（2023高三上·成都开学考）已知双曲线的一条渐近线方程为，则m＝ ．
【答案】3
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：已知双曲线的标准方程为：，则，.
又双曲线的渐近线方程为：，结合已知得：
解得：.
故答案为：3.
【分析】由双曲线的方程求得渐近线方程，在结合已知条件即可得出答案。
15．（2023高三上·成都开学考）勒洛三角形是分别以等边△ABC的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，如转子发动机，方孔钻机等．如图，现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自△ABC及其内部的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为a，
则
勒洛三角形 的面积S=
现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自△ABC及其内部的概率为 P=
故答案为：.
【分析】设 △ABC 的边长为a，求出勒洛三角形 的面积和△ABC 的面积，再利用几何模型的概率公式求解.
16．（2023高三上·成都开学考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a=2，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理得：，
，在结合重要不等式，得
当且仅当时取“=”
当且仅当时取“=”.
故答案为：.
【分析】首先由三角形的面积公式知道要求三角形面积的最大值，只需求出bc的最大值即可，接下来结合余弦定理和重要不等式可求出bc的最大值。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（2023高三上·成都开学考）已知等比数列{an}的各项满足an+1＞an，若a2＝3，且3a2，2a3，a4成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an+n}的前n项和．
【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝3，且3a2，2a2，a4成等差数列，
∴由等差中项的性质可得，
即，
解得
解得q＝1或q＝4，
又∵等比数列{an}的各项满足an+1＞an，
∴q＞1，
∴q＝3，a1＝1，
∴{an}的通项公式为an＝3n﹣1；
（2）解：由（1）得an＝3n﹣1，则an+n＝3n﹣1+n，
∴数列{an+n}的前n项和（a1+1）+（a2+2）+...+（an+n）
＝（1+3+...+3n﹣1）+（1+2+...+n）
＝.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据等比数列的通项公式及等差中项的性质：如果A、B、C，构成等差数列，则2B=A+C，列出方程解方程组即可.
（2）利用等差数列前n项和公式等比数列前n项和公式进行分组求和即可.
18．（2023高三上·成都开学考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC＝3，PA=AB=AD=．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）求三棱锥C﹣PBD的体积．
【答案】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，
PA⊥BD
在直角梯形ABCD中，由AD∥BC，BC＝3 ，
在中：
在中有余弦定理得：
∵AD∥BC，
∴△AED∽△CEB，
则，
可得：，，
在△AED中，有AE2+DE4＝AD2，得AE⊥BD，
又PA∩AE＝A，
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：∵，，
∴三棱锥C﹣PBD的体积V＝VP﹣ABCD﹣VP﹣ABD＝．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）直线与平面垂直的判定，要证明BD⊥平面PAC ，则需要在平面PAC中找到两条相交直线与BD垂直，由已知可得PA⊥BD，所以需要在平面PAC内找一条与PA交的直线与BD垂直.
(2)经观察知道直接求三棱锥C﹣PBD的体积 比较困难，这时就要考虑通过等体积法间接求出答案.又四棱锥P﹣ABCD及三棱锥P﹣ABD的体积能简单快速的求出，三棱锥C﹣PBD的体积V=VP﹣ABCD﹣VP﹣ABD，求出答案.
19．（2023高三上·成都开学考）近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在8月9日随机抽取了该市100人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”．
（1）估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；
（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有95%的把握认为“运动达人”与性别有关．
非“运动达人” “运动达人” 合计
男性 15 45
女性
合计
附：，n＝a+b+c+d，
临界值表：
p（K2≥k） 0.05 0.01
k 3.841 6.635
【答案】（1）解：众数为＝35，
平均数为5×5.1+15×0.18+25×3.22+35×0.25+45×0.5+55×0.05＝29.2；
（2）解：由频率分布直方图可知，“运动达人”的人数为（3.2+0.05）×100＝25，
完成5×2列联表如下：
非“运动达人” “运动达人” 合计
男性 30 15 45
女性 45 10 55
合计 75 25 100
则K2＝≈3.030＜3.841，
所以没有95%的把握认为“运动达人”与性别有关．
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用
【解析】解析：【分析】（1）众数的定义：在一组数据中出现次数最多的数据.在频率分布直方图中众数即为最高的小长方形中点的横坐标，经观察频率分布直方图知众数为；
平均数：样本数据的平均数即：而在频率分布直方图中平均数为每个小长方形面积与小长方形中点横坐标乘积之和.
（2）根据题目数据可完成列表，后根据公式求出随机变量来进行判断即可.
20．（2023高三上·成都开学考）已知函数f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）过原点的切线方程；
（2）证明：当a≤﹣2时，对任意的正实数x，都有不等式f（x）
【答案】（1）解：∵f（x）＝xex+1，
∴f′（x）＝ex+1（x+1），
设f（x）过原点的切线切f（x）于点P（t，tet+1），
则P处的切线的斜率为：，
则切线方程为y﹣tet+1＝et+1（t+1）（x﹣t），又该切线过原点（0，0）
∴﹣tet+1＝et+1（t+1）（﹣t），
∴t＝t（t+1），∴t＝0，则f（x）过原点的切线方程y＝ex；
（2）证明：∵当a≤﹣2时，对任意的正实数x，有f（x）+1＝xex+1+1＞2，
∴ 对任意的正实数x有，f（x）﹣ax+1＞2x，①，
设g（x）＝x﹣sinx，x＞2，
则g′（x）＝1﹣cosx≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，
即x﹣sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴2x＞2sinx，②，
由①②可得f（x）﹣ax+1＞2sinx，
故原命题得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】(1)先利用导数的几何意义函数在点处切线的斜率，表示出切线方程，再把原点，代入即可求解.
（2）根据题意易得对任意的正实数x有： ，在构造函数，证明，从而可得，最后利用不等式的传递性，即可得证.
21．（2023高三上·成都开学考）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离的．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（3，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，若存在，求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：椭圆C的上顶点与右顶点的距离为，
，①
又点在椭圆C上，，②
联立①②，解得a2＝2，b2＝1或，（不合题意，舍去）
所以椭圆C的方程为；
（2）解：当直线l与x轴重合时，x轴上存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，
当直线l与x轴不重合时，
不妨设直线l的方程为x＝ty+3，
联立，消去x并整理得 （t2+2）y2+6ty+7＝6，
此时Δ＝（6t）2﹣28（）≥0，
解得或，
不妨设A（x1，），B（x2，y2），由韦达定理得，，
若存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，即存在点Q使得kQA+kQB＝0，
不妨设Q（m，0），
，
即，
即y1（ty2+3﹣m）+y2（ty1+3﹣m）＝0，
整理得
代入得，
所以点Q的坐标为，
综上，x轴上存在点．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）首先根据椭圆C的上顶点与右顶点的距离的 由勾股定理得到，因为点在椭圆上故可以把该点代入椭圆C的标准方程中，进而求解；
（2）首先对直线l的斜率是否存在进行讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x=ty+3，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，结合根的判别式求出t的取值范围，若存在 点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，根据，知即，不妨设Q（m，0）代入斜率公式中即可得证.
四、选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（2023高三上·成都开学考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣ρ2cos2θ+3ρcosθ＝3．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：曲线C的极坐标方程为ρ2﹣ρ2cos2θ+3ρcosθ＝3，整理得：ρ2（1﹣cos2θ）+3ρcosθ﹣3＝0，化简得：4ρ2sin2θ+3ρcosθ﹣3＝0，
根据，转换为直角坐标方程为：2y2+3x﹣4＝0，
（2）解：直线l的参数 方程为（t为参数）直线l的直角坐标方程：；
由于直线l与C有公共点，
所以，整理得，
利用，解得．
故实数m的取值范围为．
【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程
【解析】【分析】（1）利用极坐标和直角坐标互化公式：，把极坐标方程化为直角坐标方程即可；
（2）首先把直线的参数方程利用参数方程与直角坐标方程互化公式：化为直角坐标方程，然后在联系直线与曲线的直角坐标方程消去x，利用判别式即可求解.
23．（2023高三上·成都开学考）已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．
（1）当m＝2时，求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若f（x）＞﹣m，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解： 当m＝2时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，
当x＜﹣1时，令﹣2x+1≤5；解得
当﹣1≤x≤2时，3≤5成立；﹣1≤x≤2
当x＞2时，令2x﹣1≤5；解得
综上所述，f（x）≤5的解集为：[﹣2，3]；
（2）解：f（x）＝|x+1|+|x﹣m|≥|（x+1）-（x﹣m）|＝|1+m|，当时，“=”成立又f（x）＞﹣m，
所以有|m+1|＞﹣m，
当m≥0时，上式显然成立；
当m＜0时，由|m+1|＞-m，可得m2+2m+1＞m2，解得﹣＜m＜0，
综上所述，实数m的取值范围为.
【知识点】不等式的证明；比较法；综合法与分析法(选修）
【解析】【分析】（1）利用对已知函数化简，从而转化为分段函数进行解一元一次不等式即可.
(2)利用不等式放缩法得到，从而解不等式即可.
1 / 1四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高三上册数学（文科）入学联考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
1．（2023高三上·成都开学考）若复数z满足，则|z|＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2023高三上·成都开学考）设集合U＝R，若集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥0}，CU（A∪B）＝（ ）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≤﹣1}
C．{x|x≤1} D．{x|x＜0或x≥1}
3．（2023高三上·成都开学考）棱长为1的正方体的外接球的表面积为( )
A． B．2 C．3 D．4
4．（2023高三上·成都开学考）已知a＝ln0.9，b＝，c＝2﹣0.1，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
5．（2023高三上·成都开学考）养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼做好标记并放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有3条鲤鱼被标记，则该池塘大约有鱼（ ）
A．1000条 B．3000条 C．3333条 D．10000条
6．（2023高三上·成都开学考）若函数f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定义域上的奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
7．（2023高三上·成都开学考）若直线y＝2x的倾斜角为θ，则sin2θ＝（ ）
A． B． C． D．1
8．（2023高三上·成都开学考）过点作圆x2﹣2x+y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB＝（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高三上·成都开学考）若函数f（x）＝kex﹣lnx在区间（1，e）上是增函数，则实数k的取值范围为（ ）
A．（0，+∞） B．
C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，﹣e]
10．（2023高三上·成都开学考）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB=CD=2EF=2BC=4，EA＝ED＝FB＝FC＝3，则五面体FE﹣ABCD的表面积为（ ）
A．48 B． C． D．
11．（2023高三上·成都开学考）若函数，x∈[m，n]的值域为[﹣1，2]则n﹣m的最小值为（ ）
A． B．π C． D．
12．（2023高三上·成都开学考）已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|+|FB|+|FC|的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高三上·成都开学考）若，，则＝ ．
14．（2023高三上·成都开学考）已知双曲线的一条渐近线方程为，则m＝ ．
15．（2023高三上·成都开学考）勒洛三角形是分别以等边△ABC的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，如转子发动机，方孔钻机等．如图，现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自△ABC及其内部的概率为 ．
16．（2023高三上·成都开学考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a=2，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（2023高三上·成都开学考）已知等比数列{an}的各项满足an+1＞an，若a2＝3，且3a2，2a3，a4成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an+n}的前n项和．
18．（2023高三上·成都开学考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC＝3，PA=AB=AD=．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）求三棱锥C﹣PBD的体积．
19．（2023高三上·成都开学考）近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在8月9日随机抽取了该市100人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”．
（1）估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；
（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有95%的把握认为“运动达人”与性别有关．
非“运动达人” “运动达人” 合计
男性 15 45
女性
合计
附：，n＝a+b+c+d，
临界值表：
p（K2≥k） 0.05 0.01
k 3.841 6.635
20．（2023高三上·成都开学考）已知函数f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）过原点的切线方程；
（2）证明：当a≤﹣2时，对任意的正实数x，都有不等式f（x）
21．（2023高三上·成都开学考）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离的．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（3，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，若存在，求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
四、选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（2023高三上·成都开学考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣ρ2cos2θ+3ρcosθ＝3．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求实数m的取值范围．
23．（2023高三上·成都开学考）已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．
（1）当m＝2时，求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若f（x）＞﹣m，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：
则
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】，.
故答案为：B
【分析】根据集合的基本运算即可求出，在根据补集的定义求出答
3．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】棱长为1的正方体的体对角线的长度是它的外接球的球直径，所以球半径为，所以球的表面积为
【分析】解决本小题的关键是根据正方体的体对角线的长度是它的外接球的球直径求出球的半径.
4．【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：对数、指数比较大小.
根据指数函数的性质：，
当时，为增函数，则， 又
再结合指数函数的单调性得：，故
故答案为：A.
【分析】指数与对数在比较大小应该熟记函数图象，利用函数图象的性质进行比较大小。还要学会找中间量，例如1、0、、.
5．【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：设池塘大约有鱼x条，则根据题意可列方程：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查用样本的数字特征估算总体的数字特征，属于基础题型。
6．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：方法一根据题意知函数f（x）的定义域为R，则，解得a=0，
方法二为奇函数，，即
化简得，解得
故答案为：A.
【分析】本题主要考查奇函数的相关性质结论：1、奇函数定义域的对称性；，2、为奇函数则； 3、奇函数在0处有意义则.
7．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：直线，
直线的斜率.根据直线斜率与倾斜角的关系可得：
，
又由倍角公式得：
故答案为：C.
【分析】本题考查：1、直线斜率与倾斜角的关系；2、倍角公式及“1”的灵活运用.
8．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：把圆的一般方程：化为标准方程：，设圆心为O，半径为r，
则圆心O为，半径r=，根据两点间的距离公式得： ，r=，
A，B为切点，根据圆的切线性质可得，易证得：.
.在中：
，即，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，可得圆的标准方程，从而找到圆心及半径，再结合圆的切线性质和三角形全等得出.在根据三角函知识求解即可.
9．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对求导得
又在区间（1，e）上是增函数.
对恒成立，利用分离参数的方法可得：对恒成立.
令，则对恒成立.只需.
则在区间上单调递减，，则对恒成立，
只需
故答案为：B.
【分析】根据题意可得对恒成立.只需要对恒成立.再利用函数的
单调性找到的最大值即可.
10．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】解：在五面体FE-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，且AB=CD=2EF=2BC=4，
五面体的表面积：
故答案为：D.
【分析】将五面体的五个面分为底面矩形、2个梯形、2个三角形，然后根据矩形、梯形、三角形的面积公式进行计算即可.
11．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：中，则的周期，
在一个周期内的值域为，而时，的值域为，则
令，即或
解得：或，
又令，即
解得：，当时，则
，
此时的最小值为：；
当时，则，此时的最小值为
，
故综上的最小值为
故答案为：C
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，中，则的周期，在一个周期内的值域为，而时，的值域为，则，故只需求出一个周期内=-1，=2时x的值，然后进行讨论即可求出n-m的最小值.
12．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设A，B，C，
又抛物线，则F，
又焦点F恰好为 △ABC的重心
根据重心坐标公式得：，得，
故
故答案为：C.
【分析】本题主要考查抛物线的基本性质及重心坐标公式。
13．【答案】4
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知，根据平面向量坐标运算公式的：
，
故答案为：.
【分析】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，运用平面向量积的坐标运算求解即可。
14．【答案】3
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：已知双曲线的标准方程为：，则，.
又双曲线的渐近线方程为：，结合已知得：
解得：.
故答案为：3.
【分析】由双曲线的方程求得渐近线方程，在结合已知条件即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为a，
则
勒洛三角形 的面积S=
现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自△ABC及其内部的概率为 P=
故答案为：.
【分析】设 △ABC 的边长为a，求出勒洛三角形 的面积和△ABC 的面积，再利用几何模型的概率公式求解.
16．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理得：，
，在结合重要不等式，得
当且仅当时取“=”
当且仅当时取“=”.
故答案为：.
【分析】首先由三角形的面积公式知道要求三角形面积的最大值，只需求出bc的最大值即可，接下来结合余弦定理和重要不等式可求出bc的最大值。
17．【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝3，且3a2，2a2，a4成等差数列，
∴由等差中项的性质可得，
即，
解得
解得q＝1或q＝4，
又∵等比数列{an}的各项满足an+1＞an，
∴q＞1，
∴q＝3，a1＝1，
∴{an}的通项公式为an＝3n﹣1；
（2）解：由（1）得an＝3n﹣1，则an+n＝3n﹣1+n，
∴数列{an+n}的前n项和（a1+1）+（a2+2）+...+（an+n）
＝（1+3+...+3n﹣1）+（1+2+...+n）
＝.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据等比数列的通项公式及等差中项的性质：如果A、B、C，构成等差数列，则2B=A+C，列出方程解方程组即可.
（2）利用等差数列前n项和公式等比数列前n项和公式进行分组求和即可.
18．【答案】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，
PA⊥BD
在直角梯形ABCD中，由AD∥BC，BC＝3 ，
在中：
在中有余弦定理得：
∵AD∥BC，
∴△AED∽△CEB，
则，
可得：，，
在△AED中，有AE2+DE4＝AD2，得AE⊥BD，
又PA∩AE＝A，
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：∵，，
∴三棱锥C﹣PBD的体积V＝VP﹣ABCD﹣VP﹣ABD＝．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）直线与平面垂直的判定，要证明BD⊥平面PAC ，则需要在平面PAC中找到两条相交直线与BD垂直，由已知可得PA⊥BD，所以需要在平面PAC内找一条与PA交的直线与BD垂直.
(2)经观察知道直接求三棱锥C﹣PBD的体积 比较困难，这时就要考虑通过等体积法间接求出答案.又四棱锥P﹣ABCD及三棱锥P﹣ABD的体积能简单快速的求出，三棱锥C﹣PBD的体积V=VP﹣ABCD﹣VP﹣ABD，求出答案.
19．【答案】（1）解：众数为＝35，
平均数为5×5.1+15×0.18+25×3.22+35×0.25+45×0.5+55×0.05＝29.2；
（2）解：由频率分布直方图可知，“运动达人”的人数为（3.2+0.05）×100＝25，
完成5×2列联表如下：
非“运动达人” “运动达人” 合计
男性 30 15 45
女性 45 10 55
合计 75 25 100
则K2＝≈3.030＜3.841，
所以没有95%的把握认为“运动达人”与性别有关．
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用
【解析】解析：【分析】（1）众数的定义：在一组数据中出现次数最多的数据.在频率分布直方图中众数即为最高的小长方形中点的横坐标，经观察频率分布直方图知众数为；
平均数：样本数据的平均数即：而在频率分布直方图中平均数为每个小长方形面积与小长方形中点横坐标乘积之和.
（2）根据题目数据可完成列表，后根据公式求出随机变量来进行判断即可.
20．【答案】（1）解：∵f（x）＝xex+1，
∴f′（x）＝ex+1（x+1），
设f（x）过原点的切线切f（x）于点P（t，tet+1），
则P处的切线的斜率为：，
则切线方程为y﹣tet+1＝et+1（t+1）（x﹣t），又该切线过原点（0，0）
∴﹣tet+1＝et+1（t+1）（﹣t），
∴t＝t（t+1），∴t＝0，则f（x）过原点的切线方程y＝ex；
（2）证明：∵当a≤﹣2时，对任意的正实数x，有f（x）+1＝xex+1+1＞2，
∴ 对任意的正实数x有，f（x）﹣ax+1＞2x，①，
设g（x）＝x﹣sinx，x＞2，
则g′（x）＝1﹣cosx≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，
即x﹣sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴2x＞2sinx，②，
由①②可得f（x）﹣ax+1＞2sinx，
故原命题得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】(1)先利用导数的几何意义函数在点处切线的斜率，表示出切线方程，再把原点，代入即可求解.
（2）根据题意易得对任意的正实数x有： ，在构造函数，证明，从而可得，最后利用不等式的传递性，即可得证.
21．【答案】（1）解：椭圆C的上顶点与右顶点的距离为，
，①
又点在椭圆C上，，②
联立①②，解得a2＝2，b2＝1或，（不合题意，舍去）
所以椭圆C的方程为；
（2）解：当直线l与x轴重合时，x轴上存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，
当直线l与x轴不重合时，
不妨设直线l的方程为x＝ty+3，
联立，消去x并整理得 （t2+2）y2+6ty+7＝6，
此时Δ＝（6t）2﹣28（）≥0，
解得或，
不妨设A（x1，），B（x2，y2），由韦达定理得，，
若存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，即存在点Q使得kQA+kQB＝0，
不妨设Q（m，0），
，
即，
即y1（ty2+3﹣m）+y2（ty1+3﹣m）＝0，
整理得
代入得，
所以点Q的坐标为，
综上，x轴上存在点．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）首先根据椭圆C的上顶点与右顶点的距离的 由勾股定理得到，因为点在椭圆上故可以把该点代入椭圆C的标准方程中，进而求解；
（2）首先对直线l的斜率是否存在进行讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x=ty+3，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，结合根的判别式求出t的取值范围，若存在 点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，根据，知即，不妨设Q（m，0）代入斜率公式中即可得证.
22．【答案】（1）解：曲线C的极坐标方程为ρ2﹣ρ2cos2θ+3ρcosθ＝3，整理得：ρ2（1﹣cos2θ）+3ρcosθ﹣3＝0，化简得：4ρ2sin2θ+3ρcosθ﹣3＝0，
根据，转换为直角坐标方程为：2y2+3x﹣4＝0，
（2）解：直线l的参数 方程为（t为参数）直线l的直角坐标方程：；
由于直线l与C有公共点，
所以，整理得，
利用，解得．
故实数m的取值范围为．
【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程
【解析】【分析】（1）利用极坐标和直角坐标互化公式：，把极坐标方程化为直角坐标方程即可；
（2）首先把直线的参数方程利用参数方程与直角坐标方程互化公式：化为直角坐标方程，然后在联系直线与曲线的直角坐标方程消去x，利用判别式即可求解.
23．【答案】（1）解： 当m＝2时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，
当x＜﹣1时，令﹣2x+1≤5；解得
当﹣1≤x≤2时，3≤5成立；﹣1≤x≤2
当x＞2时，令2x﹣1≤5；解得
综上所述，f（x）≤5的解集为：[﹣2，3]；
（2）解：f（x）＝|x+1|+|x﹣m|≥|（x+1）-（x﹣m）|＝|1+m|，当时，“=”成立又f（x）＞﹣m，
所以有|m+1|＞﹣m，
当m≥0时，上式显然成立；
当m＜0时，由|m+1|＞-m，可得m2+2m+1＞m2，解得﹣＜m＜0，
综上所述，实数m的取值范围为.
【知识点】不等式的证明；比较法；综合法与分析法(选修）
【解析】【分析】（1）利用对已知函数化简，从而转化为分段函数进行解一元一次不等式即可.
(2)利用不等式放缩法得到，从而解不等式即可.
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