华东师大版七年级下期第7章 一次方程组“五环四互”教学模式数学学案

华东师大版七年级下期“五环四互”教学模式数学学案
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
第7章： 一次方程组
7．1二元一次方程组和它的解
【学习目标】：
1、能理解并记住二元一次方程、二元一次方程组的概念。
2、知道二元一次方程的解、二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。
3、明白方程组是反映现实世界多个量之间相等关系的一种数学模型，感受方程的作用。
【学习重难点】：
重点：二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念。
难点：求二元一次方程的某些特殊解（如正整数解）。
【学法指导】
先由学生自学课本，再独立完成自主学习的内容，然后小组讨论交流，预习时间10分。
【自学互助】:
1、复习回顾：什么是方程？方程的解？解方程？
2、问题：蓝球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？（考虑可否设两个未知数，观察所列方程特点）。
3、导学
知识点1：二元一次方程的概念
二元一次方程，指的是含有 ，并且含有未知数的项的次数 ，这样的方程叫做二元一次方程。
下列四个方程中，是二元一次方程的是 。
A、 B、
C、 D、
知识点2：二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的 ，叫做这个方程的解。
如能使两边的值相等，我们说是二元一次方程的一个解。
想一想，对于一个二元一次方程，它有多个解吗？
知识点3：二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；
但组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，如
与和都是二元一次方程组。
下列方程组中，是二元一次方程组的是
A、 B、 C、 D、
知识点4：二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解，它必须同时满足方程组中的每个方程，一般表示为的形式。
方程组的解是
A、 B、 C、 D、
知识点5：二元一次方程组的解的检验方法
判断下列各组数是否为二元一次方程组的解是________
（1）、 （2）、 （3）、
我的疑问：
【展示互导】：二元一次方程组的定义
【质疑互究】:
【检测互评】
A: 1、关于、的方程是二元一次方程，求的取值范围。
2、如果是二元一次方程，试确定的值。
B: 3、已知方程，求方程的非负整数解。
4、已知，求和的值？
C: 现有布料25米，要裁成大人和小孩的两种服装，已知大人每套2.4米，小孩每套用布1米，问各裁多少套恰好把布用完？
【总结提升】
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.2　二元一次方程组的解法
第1课时 代入法消元法解二元一次方程组1
[学习目标】：
1.能较熟练地用代入法消元法解二元一次方程组.
2,知道解方程组的基本思想是“消元”
3、培养合作交流意识和探究的精神。
【学习重难点】：
重点：用代入法解二元一次方程组。
难点：探索如何有代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
【学法指导】
1.自学课本27页，28页，再独立完成自主学习部分，然后小组交流讨论，预习时间15分钟。
2.注意解二元一次方程组完整的书写格式
3.在解方程时要善于观察,敢于实践
【自学互助】;
1、把下列方程改写成用含的式子表示
（1）、 （2）、
2、在解二元一次方程组时，由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个 的式子表示了出来，再代入另一个方程，就转化成了一元一次方程，进而求得该方程的解，也就可以求出方程组的解了，这种方法叫做代入消元法，简称 。在应用时要观察方程组中未知系数的特点，当有一个未知数的系数为1或-1时，可用代入消元法，一般步骤为：（1）求表达式；（2）代入消元；（3）解一元一次方程；（4）代入求另一未知数值；（5）写出方程组的解。
3、“消参法”是解二元一次方程组的基本思路，所谓“消参（元）”，就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为 再解出未知数。
4、例题1： 　　（同学们，你可以大胆的试一试吗）
先将某一个方程变形后再用带入法解二元一次方程组
解方程组： 　
我的疑问：
【展示互导】 用代入消元法解一元一次方程的思想和方法总结
【质疑互究】：比较复杂的方程组先应该怎么处理？
【检测互评】
已知方程x－2y＝8，用含y的式子表示x，则x=_________， 用含x的式子表示y，
则y =____________
2．解方程组 HYPERLINK "http://" 把①代入②可得_______
3．解方程组(1) （2）
4.已知　 　是方程组 的解.求、的值.
【总结提升】
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.2　二元一次方程组的解法
第2课时 用代入法消元法解二元一次方程组.2
【学习目标】
1.能较熟练地用代入法消元法解二元一次方程组.
2.在实践中学会观察未知数的系数的特点，选择合适的简单的表示方法，将一个未知数表 示为另一个未知数。
3.学会观察，大胆尝试。
【学习重点、难点】：代入消元法的解题步骤.
【学法指导】
先自学课本，再独立完成自主学习部分，然后小组讨论交流，预习时间10分钟。
【自学互助】
1、用一个未知数的式子表示另一个未知数
温馨提示; 用一个未知数的式子表示另一个未知数是代入消元法解方程组的重要基础，具体步骤：（1）移项（2）系数化为1
例题1;把方程6x+3y=9变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式
及时训练：
1、5x+2y=8,则x= ___________ y= ______________.
2、2x-7y=8,则x= ___________ y= ______________.
2： 用代入消元法解系数较复杂的二元一次方程组
例题:
思考讨论： 问题1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组的系数有什么区别？
问题2：能用代入法来解吗？
问题3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？请简单说说理由。
我的疑问：
【展示互导】用一个未知数的式子表示另一个未知数的方法和步骤
【质疑互究】
例题、解方程组：
　　　　　
【检测互评】
1. 解方程组 2. 解方程组 .
3.提升练习
关于x,y的方程y=kx+b,当x=2时，y=3；当x=-2时,y=-5.求k,b的值
【总结提升】
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.2　二元一次方程组的解法
第3课时 用加减消元法解二元一次方程1
【学习目标】
1、掌握用加减消元法解二元一次方程组.
2、记住解二元一次方程组的关键是“消元”.
3、培养自己的观察能力及运算能力。
【学习重难点】：
重点：用加减法解二元一次方程组。
难点：探索如何用加减法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
【自学互助】
1. 思考，在上一节课作业中出现的方程用代入法比较复杂，你能找到更简单的方法吗
2.找出(1)和(2)中未知数系数的特征；
方程（1）中的两个方程中y的系数_________,把两个方程两边分别相加，就消去未知数______ 得到一元一次方程______________________________.
方程（2）中的两个方程中x的系数_________,把两个方程两边分别相减，就消去未知数______ 得到一元一次方程______________________________.
3.像上面这种我们是将两个方程__________或___________消去一个未知数，将二元一次方
程转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做加减消元法，简称“加减法”.
例1、解方程组：　　　（大胆尝试，互助解决）　
例2、解方程组：　　（大胆尝试，互助主解决）　
我的疑问：
【展示互导】加减消元法的解题思想是什么？加减法解二元一次方程组的一般步骤
【质疑互究】在将两个方程相减时，应注意什么？
【检测互评】
1. 解方程组 时, 用____________________消元法为简便。
2. 解方程组 时, 用_______________________消元法为简便。
3.用加减消元法解下列方程
【总结提升】
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.2　二元一次方程组的解法
第4课时 用加减消元法解二元一次方程组2
【知识目标】
使熟练的掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法.
2、能灵活运用加减消元法解二元一次方程组.
【教学重点、难点】：
当未知数的系数绝对值不等时，如何用加减消元法解二元一次方程组.
【自学互助】
1、口述解下列方程的主要方法
2.用加减消元法解二元一次方程组
3、例1、解方程组 5x + 6y =11
3x –2y = 1
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同
温馨提示：当某一个未知数的系数成倍数关系时，可将系数较小的方程两边都乘这个倍数，使这个未知数的系数相反或相同，
4、例题2：解方程组 用加减法解方程组
分析：类比例题1，试一试，能否对上面方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
我的疑问：
【展示互导】当相同未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程变形，把该未知数的系数变为相反或相同，再用加减法求解。
思考：用加减法消去上面方程的另一个未知数应如何解？解得结果与上面一样吗？
【质疑互究】已知与互为相反数，求、的值。
【检测互评】
1、用加减法解下列方程组
（1） （2）
2、已知方程组的解是，求的值。
3、两台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
【总结提升】
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.2　二元一次方程组的解法
第5课时 用灵活选择消元法解二元一次方程组
【学习目标】
1、能根据二元一次方程组的特点，灵活选择适当的解法；
2、培养观察能力和运算能力
【 学习重、难点】
重点：二元一次方程组的解法.
难点：灵活、简便的实现消元.
【学法指导】
这节课的关键是善于观察，学会转化，由难到易
【自学互助】
1.复习回顾：用代入法和加减法解方程组的一般步骤。
2、阅读下面一段话：
加减法和代入法的共同点是：都是通过消元解方程组，使二元方程转化为一元方程，求出一个未知数的值后，再求另一个未知数的值。加减法和代入法的不同点是：消元的方法不同。或通过“代入”或通过“加减”，对一个方程组用哪种消元方法解都可以，但应根据方程组的具体形式选择比较简便的方法
3、选择适当的方法解下列二元一次方程组：
（1） （2） （3）
我的疑问：
【展示互导】用代入法和加减法解方程组的一般步骤和方法
【质疑互究】
1：解方程组 （1） （2）
【检测互评】
1.解方程组：
（1） （2）
2、能力提升:已知，求的值。
【总结提升】
学校___________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
《二元一次方程组的解法》训练案
1、下列方程组中，不是二元一次方程组的是
A、 B、 C、 D、
2、若、为非负数，则二元一次方程的解的情况是 。
A、无解 B、有无数多个解 C、有唯一解 D、不能求出
3、把用表示的式子是
A、 B、 C、 D、
4、方程组的解是
A、 B、 C、 D、
5、如果二元一次方程组的解也是关于、的二元一次方程的解，则的值为
A、6 B、-6 C、12 D、-12
6、已知是关于、的二元一次方程，则=
7、已知、满足方程，则
8、若方程的两个解是，则 ，
9、解下列方程组
（2）学校____________
学校___________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.3三元一次方程组及其解法（1）
【学习目标】
1、了解三元一次方程组的概念，体验解三元一次方程组的基本思想——消元法；
2、通过对三元一次方程组中未知数系数特点的观察和分析，合理选择消元方法，培养学生的运算能力；
3、在研究解三元一次方程组的方法的学习中，培养学生合作交流意识与探究精神。
【学习重点】三元一次方程组的解法。
【学习难点】化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”。
【学法指导】学生预习本节教材，自学课本，自主探索三元一次方程组的解法，独立完成自主学习部分，然后小组内讨论交流。
【自学互助】
1、解二元一次方程组的基本思想“消元”，常用方法有两种，即 和 。
2、含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的方程叫三元一次方程，含有 个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是 ，并且一共有 个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组，如 ， 等都是三元一次方程组。判断：
A、 B、 C、 D、
四个方程组中是三元一次方程组的是 。
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般地，用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数，想一想，解三元一次方程组的一般步骤是什么？
4、尝试解三元一次方程组：
仿照练习：解三元一次方程组：
我的疑问：
【展示互导】解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般地，用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数。想一想，解三元一次方程组的一般步骤是什么？
【质疑互究】有些特殊的方程组可用特殊的消元方法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法，如解方程组 ，有怎样的简便方法？
【检测互评】
1、下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A. B. C D
2、将三元一次方程组 ，经过步骤(1)- (3)和(3)×4+(2)消去未知数后，得到的二元一次方程组是( )
A． B. C. D
3、已知，则 。
4、解方程组：
（1） （2）
【总结提升】
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.3三元一次方程组解法（二）
【学习目标】
1、能熟练地解简单的三元一次方程组；
2、利用三元一次方程组解简单的实际问题。
3、在列三元一次方程组解决实际问题的过程中培养学生探究精神与合作交流意识。
【学习重点】三元一次方程组的解法。
【学习难点】利用三元一次方程组解实际问题。
【学法指导】学生预习本节教材，初步理解用“待定系数法”求字母a、b、c的值，独立完成自主学习部分。
【自学互助】
1、解三元一次方程组的基本思想是消元，可用加减法或代入法，消去系数较简单的未知数，化三元一次方程组为二元一次方程组。
2、解方程组
3、在等式中，当时，；当时，；当时，，求当时，的值。
我的疑问：
【展示互导】三元一次方程组的解法、思想和步骤。
【质疑互究】解方程组，此类方程组是三元一次方程组，一般有两种基本解法，想一想，有两种基本解法？
【检测互评】
1、在中，当时，；当时，；当时，，则= ，= ，= 。
2、解方程组
3、某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元。
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？说明理由。
【总结提升】
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.4实践与探索（一）
【学习目标】
1、会运用二元一次方程组解决实际问题；
体会建模思想，培养学生的数学应用意识；
3、体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。
【学习重点】用二元一次方程组解决实际问题。
【学习难点】把实际问题转化为二元一次方程组。
【学法指导】学生先预习课本探究1，先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再小组内交流，独立完成自主学习部分，预习时间20分钟。
【自学互助】
1、列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的 。一般来说，有几个未知量就必须列几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是 量；（2）同类量的单位要 ；（3）方程两边的数值要相符。列方程组解应用题要注意检验和作答，检验不仅要求所得的解是否 ，更重要的是要检验所求得的结果是否 。
2、一个笼中装有鸡兔若干只，从上面看共42个头，从下面看共有132只脚，则鸡有 ，兔有 。
3、行程问题的等量关系是 ，工程的等量关系是 。
4、问题1是有关用白卡纸做长方体包装盒的问题，为使问题便于分析解决，考虑的是如何分才能使做成的侧面和底面正好配套。设x张纸做侧面、y张纸做底面，该问题中的两个相等关系是：________________和________________于是可列出方程组 ；解这个方程组得 ，即 张纸做侧面， 张纸做底面。
想一想，此时可做 个侧面、 个底面，可最多做 个包装盒。若可以套裁，又该如何分这些白卡纸，且又充分利用白卡纸呢？
我的疑问：
【展示互导】列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？
【质疑互究】
某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以75千米/时的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？
【检测互评】
1、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
2、甲、乙两人各有书若干本，如果甲送给乙10本，那么两人所有的书相等；如果乙送给甲10本，那么甲所有的书就是乙剩的书的2倍，问原来甲、乙各有书多少本？
3、（拓展练习）甲、乙二人在周长400米的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔25分钟相遇一次；如果同向出发，每隔10分钟相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度？
【总结提升】
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.4实践与探索（二）
【学习目标】
1、会用二元一次方程组解决实际问题；2、进一步体会建模思想，培养学生的数学应用意识；3、感受数学的实用性，学会开放性地寻求设计方案，提高学习数学的兴趣。
【学习重点】能根据题意找出等量关系，列二元一次方程组。
【学习难点】把实际问题转化为二元一次方程组。
【学法指导】
学生预习课本第42页，独立分析问题2中的数量关系，列出方程组，得出问题的答案，然后小组内交流，独立完成自主学习部分。
【自学互助】
1、在一堆球中，篮球与排球之比为赞助单位又送来篮球队10个排球10个，这时篮球与排球的数量之比为27：40，则原有篮球 个，排球 个；
2、现在长为18米的钢材，要据成10段，每段长只能为1米或2米，则这个问题中的等量关系是：（1）1米的段数+ =10段，（2）1米的钢材总长+ =18米；
3、轮船在顺水中的速度= ，轮船在逆水中的速度= ；
4、问题2可要求学生动手，在拼图的过程中寻找小长方形的长、宽之间的等量关系，从图7.4.1可以得到的相等关系是： ，从图7.4.2中可以得到的相等关系是： 。若设小长方形的长为xmm、宽为ymm，可列方程组 ，解方程得 。
5、甲、乙两人做同样的零件，如果甲先做一天，乙再开始做，5天后两人做的零件一样多；如果甲先做30个，乙再开始做，4天后乙反而比甲多做10个，求甲、乙两人每天各做多少个零件？
我的疑问：
【展示互导】
【质疑互究】
某食品厂2008年利润200万元，2009年总产值比2008年增加了20%，总支出减少了10%，2009年的利润为780万元，则2008年的总产值、总支出各是多少万元？
【检测互评】
某船顺流航行36用3小时，逆流航行24用3小时，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 。
2、某商场打折促销，已知A商品每件60元，B商品每件80元，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共需1090元，求A、B商品各打几折？
3、某人上山速度为3/，沿同一条路下山速度为5/，则此人走完全程的平均速度为 。
【总结提升】
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________
7.4实践与探索（三）
【学习目标】
能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题；
进一步体会建模思想，培养学生的数学应用意识；
3、进一步体验和感受数学的实用，提高学习数学的兴趣。
【学习重点】借助列表分问题中所蕴含的数量关系。
【学习难点】把实际问题转化为二元一次方程组。
【自学互助】
1．某校办工厂现在年产值是5万元，如果每增加100元投资一年可增加50元产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x，y所满足的方程为 ；
2．Ａ，Ｂ两地相距２０千米，甲乙两人分别从Ａ，Ｂ两地同时相向而行，两小时后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有2千米，则甲乙的速度分别为 和 ；
3、如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元（吨·千米），铁路运价为1.2元（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
设问1.如何设未知数？
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设 。
设问2.如何确定题中数量关系？
列表分析
产品x吨 原料y吨 合计
公路运费（元）
铁路运费（元）
价 值（元）
由上表可列方程组
解这个方程组，得
所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多 元.
4、一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示．
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第1次 4 5 28.5
第2次 3 6 27
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元？
我的疑问：
【展示互导】
【质疑互究】
通过探究问题我们可以进一步感受设间接未知数，迂回解决问题策略，同时，该问题中的一些条件用示意图给出，这样表达形式简明、实用。
【检测互评】
已知关于x、y的方程组 与方程组有相同的解，
求出这个解及a、b的值。
2、某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？
【总结提升】
①②
__________________________________________________________________________________________
第 页 编制人：温超峰 审核人：张体健