新人教A版选择性必修第三册2023-2024学年高中数学 第7章 随机变量及其分布 检测题（含解析）

第七章检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A．第一次出现的点数
B．第二次出现的点数
C．两次出现点数之和
D．两次出现相同点的种数
2．某班有60名学生，一次考试后数学成绩X～N(110,102)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( )
A．9 B．8
C．7 D．6
3．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是( )
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于( )
A．6 B．4
C．3 D．9
5．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”，事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P(B|A)的值等于( )
A. B．
C． D．
6．随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P的值为( )
A. B．
C． D．
7．一批排球中正品有m个，次品有n个，m＋n＝10(m≥n)，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数．若D(X)＝2.1，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率p＝( )
A. B．
C． D．
8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为( )
ξ 0 1 2
P y 0.4 x
A.0.72 B．0.6
C．0.24 D．0.48
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
则下列结论正确的是( )
A．E(X)＝－ B．E(X＋4)＝－
C．D(3X＋1)＝5 D．P(X>0)＝
10．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝0)＝ B．P(X＝1)＝
C．P(X＝2)＝ D．E(X)＝
11．已知随机变量X～N(0.4，σ)，Y～N(0.8，σ)，其正态分布曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．P(X≥0.4)＝P(Y≥0.8)
B．P(X≥0)＝P(Y≥0)
C．X的取值比Y的取值更集中于平均值左右
D．两支密度曲线与x轴之间的面积均为1
12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝___.
14．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖．有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是 　.
15．商场每月售出的某种商品的件数X是一个随机变量，其分布列如下表.
X 1 2 3 … 12
P …
每售出一件可获利300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费100元．该商场月初进货9件这种商品，则销售该商品获利的期望为___.
16．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝___，E(ξ)＝ 　.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍且每次试跳成功与否相互之间没有影响．
(1)求甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)求甲在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．
18．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任取3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
19．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：
空气质量指数 空气质量等级
(0,50] 1级优
(50,100] 2级良
(100,150] 3级轻度污染
(150,200] 4级中度污染
(200,250] 5级重度污染
(250,300] 6级严重污染
该社团将该校区在2020年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图所示，把该直方图所得频率估计为概率．
(1)请估算2020年(以365天计算)全年空气质量优、良的天数(未满一天按一天计算)；
(2)该校2020年某三天举行了一场运动会，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10 000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20 000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列．
20.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和 ，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发是相互独立的．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望．
21．(本小题满分12分)某市举办数学知识竞赛活动，共5 000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
(1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩不低于90分的人数；
(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望．
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
22．(本小题满分12分)某校设计了一个试验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部试验操作，规定：至少正确完成其中2道题才可通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成，考生乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．
(1)求甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两考生的试验操作能力．
第七章检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是( D )
A．第一次出现的点数
B．第二次出现的点数
C．两次出现点数之和
D．两次出现相同点的种数
[解析]　由于两次出现相同点的种数是定值6，故不是随机变量．
2．某班有60名学生，一次考试后数学成绩X～N(110,102)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( A )
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析]　因为数学成绩X～N(110,102)，
所以由P(100≤X≤110)＝0.35可得P(110≤X≤120)＝ 0.35，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为P(X>120)＝1－0.5－0.35＝0.15，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9(人)，故选A.
3．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是( C )
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
[解析]　因为E(ξ)＝n×0.6＝3，所以n＝5.
所以P(ξ＝1)＝C×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.
4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于( A )
A．6 B．4
C．3 D．9
[解析]　D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6××＝，所以D(2X＋1)＝4×＝6.
5．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”，事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P(B|A)的值等于( B )
A. B．
C． D．
[解析]　由题意可得事件A：“甲骰子的点数大于3”包含点数为4,5,6三种情况，所以P(A)＝＝.
又事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，
所以事件A与事件B都发生所包含的情况有(4,3)，(5,2)，(6,1)，共3个基本事件；而抛掷甲、乙两颗骰子，共有36种情况，所以事件A与事件B都发生的概率为P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝.
6．随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P的值为( D )
A. B．
C． D．
[解析]　∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，
∴＋＋＋＝1，∴a＝.
∴P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＋×＝，故选D.
7．一批排球中正品有m个，次品有n个，m＋n＝10(m≥n)，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数．若D(X)＝2.1，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率p＝( B )
A. B．
C． D．
[解析]　由题意知抽取10次，每次抽到次品的概率为，则方差D(X)＝10××＝2.1，
又m≥n，则n≤5，∴解得n＝3，
∴所求的概率为p＝1－＝.故选B.
8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为( B )
ξ 0 1 2
P y 0.4 x
A.0.72 B．0.6
C．0.24 D．0.48
[解析]　由分布列的性质，可得x＋y＋0.4＝1，所以y＝0.6－x，又由期望的公式，可得E(ξ)＝0.4＋2x，所以E(ξ2)＝0.4＋4x，则D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝0.4＋4x－(0.4＋2x)2＝－4x2＋2.4x＋0.24＝－4(x－0.3)2＋0.6，所以当x＝0.3时，方差最大值为0.6，故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
则下列结论正确的是( ACD )
A．E(X)＝－ B．E(X＋4)＝－
C．D(3X＋1)＝5 D．P(X>0)＝
[解析]　由已知E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故A正确；
E(X＋4)＝E(X)＋4＝－＋4＝，故B错误；由D(X)＝2×＋2×＋2×＝，可得D(3X＋1)＝32D(X)＝9×＝5，故C正确；由分布列可知P(X>0)＝P(X＝1)＝，故D正确，所以选ACD.
10．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是( AB )
A．P(X＝0)＝ B．P(X＝1)＝
C．P(X＝2)＝ D．E(X)＝
[解析]　由题意得，X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，故A、B正确，C错误，E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故D不正确．
11．已知随机变量X～N(0.4，σ)，Y～N(0.8，σ)，其正态分布曲线如图所示，则下列说法正确的是( ACD )
A．P(X≥0.4)＝P(Y≥0.8)
B．P(X≥0)＝P(Y≥0)
C．X的取值比Y的取值更集中于平均值左右
D．两支密度曲线与x轴之间的面积均为1
[解析]　因为P(X≥0.4)＝，P(Y≥0.8)＝，所以P(X≥0.4)＝P(Y≥0.8)，所以A正确；由题图可得P(X≥0)>P(Y≥0)，所以B错误；由题图可得曲线X在均值0.4附近图象比曲线Y在均值0.8附近图象更陡，所以X的取值比Y的取值更集中于平均值左右，即C正确；两支密度曲线与x轴之间的面积都等于所有概率和，即均为1，所以D正确．
12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( BD )
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
[解析]　由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝＝＝，故B正确；
P(B)＝P(B·A1)＋P(B·A2)＋P(B·A3)＝×＋×＋×＝，故A、C不正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．故选BD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝_0.1__.
[解析]　∵随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，
∴P(0≤X≤2)＝0.4，
∴P(X>2)＝0.5－0.4＝0.1，
故答案为0.1.
14．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖．有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是 　.
[解析]　设中奖为事件A，则事件A包含的基本事件个数为(C)3＝8，所有的基本事件共有C＝20，所以中奖概率为P(A)＝＝；
有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X，则X～B，P(X＝1)＝C××2＝.
15．商场每月售出的某种商品的件数X是一个随机变量，其分布列如下表.
X 1 2 3 … 12
P …
每售出一件可获利300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费100元．该商场月初进货9件这种商品，则销售该商品获利的期望为_1_500元__.
[解析]　由题意知E(X)＝(1＋2＋3＋…＋12)×＝6.5.∵每售出一件可获利300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费100元，该商场月初进货9件这种商品，则销售该商品获利的期望为6×300－(9－6)×100＝1 500(元)．
故答案为1 500元．
16．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝_1__，E(ξ)＝ 　.
[解析]　由题意可得，P(ξ＝2)＝＝＝，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5，取出的两个球一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2.所以m－n＝1，易知ξ的所有可能取值为0,1,2，且P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍且每次试跳成功与否相互之间没有影响．
(1)求甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)求甲在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．
[解析]　设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p，则失败概率为1－p.依题意有p＝4(1－p)，解得p＝.
(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响，所以试跳三次中第三次才成功的概率为(1－p)2p＝2×＝.
(2)甲的三次试跳可看成三次独立重复试验，设甲在三次试跳中恰有两次成功的概率为P，则P＝C×2×＝.
18．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任取3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
[解析]　(1)X的所有可能取值为0,1,2.
依题意得P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝＝，∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝＝.
19．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：
空气质量指数 空气质量等级
(0,50] 1级优
(50,100] 2级良
(100,150] 3级轻度污染
(150,200] 4级中度污染
(200,250] 5级重度污染
(250,300] 6级严重污染
该社团将该校区在2020年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图所示，把该直方图所得频率估计为概率．
(1)请估算2020年(以365天计算)全年空气质量优、良的天数(未满一天按一天计算)；
(2)该校2020年某三天举行了一场运动会，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10 000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20 000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列．
[解析]　(1)由频率分布直方图可估算2020年(以365天计算)全年空气质量优、良的天数为(0.002×50＋0.004×50)×365＝0.3×365＝109.5≈110.
(2)由题意知，X的所有可能取值为0,10 000，20 000，30 000,40 000, 50 000,60 000，
由频率分布直方图知空气质量指数为(0,200]的概率为，
空气质量指数为(200,250]的概率为，
空气质量指数为(250,300]的概率为，
则P(X＝0)＝3＝，
P(X＝10 000)＝C××2＝，P(X＝20 000)＝C×2×＋C××2＝，
P(X＝30 000)＝3＋C××C××＝，
P(X＝40 000)＝C×2×＋C×2×＝，
P(X＝50 000)＝C×2×＝，
P(X＝60 000)＝3＝.
所以X的分布列为
X 0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000
P
20.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和 ，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发是相互独立的．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望．
[解析]　(1)设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为新产品A，B都没有研发成功，因为甲、乙成功的概率分别为，，
则P(B)＝×＝×＝，
再根据对立事件概率之间的概率公式可得
P(A)＝1－P(B)＝，
所以至少有一种新产品研发成功的概率为.
(2)设该企业可获得利润为ξ，
则由题可得ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，
即ξ的取值为0,120,100,220.
则有P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝120)＝×＝；
P(ξ＝100)＝×＝；
P(ξ＝220)＝×＝；
所以ξ的分布列如下：
ξ 0 120 100 220
P
则数学期望E(ξ)＝0× ＋120×＋100×＋220×＝32＋20＋88＝140(万元)．
21．(本小题满分12分)某市举办数学知识竞赛活动，共5 000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
(1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩不低于90分的人数；
(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望．
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
[解析]　(1)∵σ2＝144，
∴σ＝12.又μ＝66，
∴μ＋2σ＝66＋2×12＝90，
∴P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝(1－0.954 5)＝0.022 75，
∴估计不低于90分的人数有0.022 75×5 000≈113.
(2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7，
∴P(Y＝0)＝××＝；
P(Y＝2)＝C×××＝＝；
P(Y＝3)＝××＝；
P(Y＝4)＝××＝＝；
P(Y＝5)＝C×××＝＝；
P(Y＝7)＝××＝＝.
∴Y的分布列为
Y 0 2 3 4 5 7
P
∴E(Y)＝0×＋2×＋3×＋4×＋5×＋7×＝.
22．(本小题满分12分)某校设计了一个试验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部试验操作，规定：至少正确完成其中2道题才可通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成，考生乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．
(1)求甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两考生的试验操作能力．
[解析]　(1)设考生甲、乙正确完成试验操作的题数分别为X，Y，则X所有可能的取值为1,2,3；Y所有可能的取值为0,1,2,3.
∵P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴考生甲正确完成题数的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
∵P(Y＝0)＝C3＝，
同理P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝.
∴考生乙正确完成题数的分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(2)∵D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(Y)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×
＝，
∴D(X)∵P(X≥2)＝＋＝0.8，P(Y≥2)＝＋≈0.74，
∴P(X≥2)>P(Y≥2)．
从正确完成题数的数学期望考查，两人的水平相当；从正确完成题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确完成2道题的概率考查，甲通过的可能性大，因此可以判定甲的试验操作能力较强．