圆锥曲线综合之齐次化巧解斜率的和积问题 学案

齐次化巧解斜率的和积问题
1. 曲线的平移法则：
对于给定曲线，平移口决：左加右减(针对 x)，下加上减(针对 y)
2. 两直线的斜率之和或积为定值
方法拓展
1. 拓展：齐次化巧解斜率的和积问题
2. 原理：平移不改变直线的斜率、韦达定理的运用
3. 步骤：①设：设两直线的斜率分别为 k1和 k2；
②移：将直线和曲线整体平移，使得两直线的公共点落在原点，写出平移后曲线的方程，并将平移后的目标直
线设为固定形式：mx+ny=1 若与定点( x0 , y0 )的斜率关系,则可设直线方程为m(x x0 ) n(y y0 ) 1
2 2
③联：联立直线和曲线方程，得到开如： py qxy rx 0( p 0)
方程两边同时除以 x2，得到形如 p( y )2 q( y ) r 0( p 0)
x x
y
④换：令 k= 2，得到 pk qk r 0( p 0)，则 k1和 k2是该方程的两根
x
⑤达：韦达定理得到 k1+k2和 k1k2，从而得到 m和 n的关系
4.优点：相比传统的韦达定理，计算量大大减少，缺点：mx+ny=1不能表示经过原点的直线
常见三种类型：① kMA kMB为定值(不为 0) ② kMA kMB为定值(不为 0) ③ (0 )
例 1 A B y2、 是抛物线 4x上的两点，且满足 OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：直线 AB经过一个定点.
练习 1
2
已知抛物线 C： y 2px( p 0)上一点 A(2,a)到其焦点的距离为 3
(1)求抛物线 C的方程；
(2)过点(4,0)的直线与抛物线 C交于点 P、Q两点，O为坐标原点，证明∠POQ=90°.
例 2 2设曲线 C： x 2py( p 0)上一点M(m,2)到焦点的距离为 3.
(1)求曲线 C方程；
(2)设 P、Q为曲线 C上不同于原点 O的任意两点，且满足以线段 PQ为直径的圆过原点 O，试问直线 PQ是否
恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由.
5
练习 2 已知离心率为 的双曲线 C的中心在坐标原点，左、右焦点 F1、F2在 x轴上，双曲线 C的右支上一
2

点 A使AF1 AF2 0且△AF1F2的面积为 1.
(1)求双曲线 C的标准方程；
(2)若直线 l：y=kx+m与双曲线 C相交于 E、F两点(E、F不是左右顶点)，且以 EF为直径的圆过双曲线 C的右
顶点 D，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标.
x2 y2 2
例 3 如图，椭圆 E： 2 2 1(a b 0)经过点 A(0,-1)，且离心率为a b 2
(1)求椭圆 E的方程；
(2)经过点(1,1)且斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 P、Q(异于点 A)，证明：直线 AP与 AQ的斜率之和
为 2.
3
练习 3已知椭圆 C过点 A(1， ),两个焦点为(-1,0),(1,0)
2
(1)求椭圆的方程；
(2)E、F是椭圆 C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与 AF的斜率互为相反数，证明直线 EF的斜率为定值，
并求出这个定值.
x2 y2 3 3
例 4(2017全国 I卷)已知椭圆 2 2 1(a b 0)，四点 P1(1,1)P2 (0,1)P3( 1, )P4 (1, )，中恰有三点在a b 2 2
椭圆 C上.
(1)求 C的方程；
(2)设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A、B两点，若直线 P2A与直线 P2B的斜率之和为-1，求证：l过定点.
练习 4 2设抛物线 C： y 2x点 A(2,0)，B(-2,0),过点 A的直线 l与 C交于M、N两点.
(1)当 l与 x轴垂直时，求直线 BM的方程；
(2)证明:∠ABM=∠ABN
参考答案
例 1设 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 )直线 AB的解析式为 mx+ny=1
2
，与抛物线联立有 y 4x(mx ny)即有
( y )2 y y y y y 1 4n 4m 0，此方程是关于 1 , 2 的一元二次方程， kOA k 1OB 2 4m 1，即m ，x x x1 x2 x1 x2 4
1
直线 AB的方程为 x ny 1，过定点(4,0)
4
p
练习 1(1)2+ =3得 p=2, 2抛物线的方程为 y 4x
2
(2)设 P( x1, y1 )、Q( x2 , y2 )直线 PQ的解析式为 mx+ny=1
2
，与抛物线联立有 y 4x(mx ny)即有
( y )2 4n y 4m 0 y ，此方程是关于 1 , y2 1的一元二次方程，直线 PQ过点(4,0)得m
x x x1 x2 4
k k y1 y2OP OQ 4m 1，故∠POQ=90°x1 x2
p
例 2(1)2+ =3得 p=2, 2抛物线的方程为 x 4y
2
(2)设 P( x1, y1 )、Q( x2 , y2 )直线 PQ的解析式为 mx+ny=1
2
，与抛物线联立有 x 4y(mx ny)即有
4n( y )2 4m y y y 1 0，此方程是关于 1 , 2 的一元二次方程，以 PQ为直径的圆过原点，则
x x x1 x2
k k y1 y2 1 1 1OP OQ 1得 n= ，直线 PQ方程为mx y 1，过定点(0,4)x1 x2 4n 4 4
c 5 x2
练习 2(1)易知 AF1-AF2=2a,AF21+BF2 22=4c2, 得 2a=4，b=1,故双曲线的方程为 y 1
a 2 4
(2) 设 P( x1, y1 )、Q( x2 , y2 )直线 PQ的方程 为 m(x-2)+ny=1，令 p=x-2,q=y，则直线 PQ的方程为 mp+nq=1与双
2 p 2 q y y
曲线联立有 ( p 2) 4q(mp nq)即有 (1 4m)( ) 4n 4 0，此方程是关于 1 , 2 的一元二
q p x1 2 x2 2
k k y1 y2 4 3 3 10次方程，则 DP DQ 1得 m= ，直线 PQ方程为 (x 2) ny 1，过定点( ,0)x1 2 x2 2 1 4m 4 4 3
x2
例 3(1) y2 1
2
(2)设 P( x1, y1 )、Q( x2 , y2 )直线 PQ的方程 为 mx+n(y+1)=1，令 p=x,q=y+1，则直线 PQ的方程为 mp+nq=1与
p2 q q y 1 y 1椭圆联立有 2(q 1)2 2即有 (2 4n)( )2 4m 1 0，此方程是关于 1 , 2 的一元二次方程，
p p x1 x2
k 4m 4(1 2n)则 DP kDQ ，而直线 PQ过点(1,1)则有 m+2n=1即有 m=1-2n，代入可得 kDP kDQ 22 4n 2 4n
x2 y2
练习 3(1) 1
4 3
3 3
(2)设 E( x1, y1 )、F( x2 , y2 )直线 EF的方程 为 m(x-1)+n(y- )=1，令 p=x-1,q=y- ，则直线 EF的方程为 mp+nq=12 2
3 q q
与椭圆联立有3( p 1)2 4(q )2 12即有 (4 12n)( )2 (6n 12m) 3 6m 0，此方程是关于
2 p p
y 3 31 y2 2 , 2 6n 12m 1的一元二次方程，则 kAE kAF 0得 n=-2m,故直线 EF的斜率为x1 1 x2 1 12n 4 2
x2
例 4(1)易知点 P2P3 P4 2在椭圆上，可得椭圆方程为 y 1
4
(2)设 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 )直线 AB的方程 为 mx+n(y-1)=1，令 p=x,q=y-1，则直线 AB的方程为 mp+nq=1与椭
2
圆联立有3p 4(q 1)2 q 4即有 (4 4n)( )2 q 4m 3 0 y 1 y 1 ，此方程是关于 1 , 2 的一元二次方程，
p p x1 x2
k k 4m 1 1则 AE AF 1得 m=n+ ,故直线方程为 n(x y 1) x 1 0，故直线过定点(2,1)4 4n 2 2
练习 4
1 1
(1) y x 1或y x 1
2 2
(2)设M( x1, y1 )、N( x2 , y2 )直线MN的方程 为 m(x+2)+ny=1，令 p=x+2,q=y，则直线 MN的方程为 mp+nq=1
q2 2( p 2) (1 4n2 )( q )2 (8mn 2n) q 4m2 y y与椭圆联立有 即有 2m 0，此方程是关于 1 , 2
p p x1 2 x2 2
k k 8mn 2n 1的一元二次方程，则 BM BN 2 ,而直线过点 A(2,0)，m= ,得 k1 4n 4 BM
kBN 0故∠ABM=∠ABN