新人教A版选择性必修第三册2023-2024学年高中数学第6章计数原理检测题（含解析）

第六章检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用1,3,5,7,9五个数字中的三个替换直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，若A，B，C的值互不相同，则不同的直线共有( )
A．25条 B．60条
C．80条 D．181条
2．已知C－C＝C(n∈N*)，则n＝( )
A．14 B．15
C．13 D．12
3．已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
4．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的情况有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
5．(2023·北京高考题)5的展开式中x的系数为( )
A．－80 B．－40
C．40 D．80
6．(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
7．如图所示，若从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有( )
A．3种 B．5种
C．7种 D．9种
8．已知10(a＜0)的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是( )
A．第2项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．关于(a－b)10的说法，正确的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
10．五个人排成一排，下列说法正确的是( )
A．甲不站排头的排法有96种
B．甲不站排头，乙不站排尾的排法有54种
C．甲、乙两人必须相邻的排法有24种
D．甲、乙中间有且只有一人的排法有36种
11．下列结论正确的是( )
A．若C＝C，则m＝3
B．若A－A＝12，则n＝6
C．在(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)11的展开式中，含x2的项的系数是220
D．(x－1)8的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大
12．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则下列说法正确的是( )
A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如果A＝aC，则a的值是___.
14．从0,1,2,3,4,5这6个数中每次取3个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有___个．
15．已知(x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，ai∈R(i＝0,1，…，7)，则a0＝___，a4＝___.
16．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往A，B，C3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是___.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知试求x，n的值．
18．(本小题满分12分)已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数指数幂的项的个数．
19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
20．(本小题满分12分)某兴趣小组有9名学生，若从这9名学生中选取3人，且选取的3人中恰好有一名女生的概率是.
(1)该小组中男、女学生各有多少人？
(2)9名学生站成一列，现要求女生保持相对顺序不变(即女生前后顺序保持不变)重新站队，有多少种重新站队的方法？(要求用数字作答)
(3)9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？(要求用数字作答)
21．(本小题满分12分)已知n的展开式的各项二项式系数之和为512.
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
22．(本小题满分12分)0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
第六章检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用1,3,5,7,9五个数字中的三个替换直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，若A，B，C的值互不相同，则不同的直线共有( B )
A．25条 B．60条
C．80条 D．181条
[解析]　用1,3,5,7,9五个数字中的三个来替换A，B，C；A，B，C的值互不相同，利用分步乘法计数原理可知直线条数是5×4×3＝60.
2．已知C－C＝C(n∈N*)，则n＝( D )
A．14 B．15
C．13 D．12
[解析]　由组合数性质知，C＋C＝C，所以C＝C，所以6＋7＝n＋1，得n＝12.
3．已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　二项式n的各项系数的和为(1＋3)n＝4n，二项式n的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以＝2n＝64，n＝6.故选C.
4．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的情况有( B )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
[解析]　由题意，现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，其中乙、丙两人恰好参加同一项活动的情况有CCA＝2(种)．
5．(2023·北京高考题)5的展开式中x的系数为( D )
A．－80 B．－40
C．40 D．80
[解析]　5的展开式的通项为
Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r25－rCx5－2r，
令5－2r＝1得r＝2，
所以5的展开式中x的系数为(－1)225－2C＝80，故选D.
6．(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( C )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
[解析]　首先确定相同的读物，共有C种情况，然后两人各自的选另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A种，根据分步乘法公式则共有C·A＝120种，故选C.
7．如图所示，若从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有( B )
A．3种 B．5种
C．7种 D．9种
[解析]　从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有C＝5(种)．
8．已知10(a＜0)的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是( D )
A．第2项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
[解析]　10(a＜0)的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－a)r·x eq \s\up10()，
令＝0，求得r＝2，可得展开式中常数项为C·(－a)2＝45，∴a＝－1，∴－a＝1，
则展开式中第r＋1项的系数为C·(－a)r＝C，
故当r＝5时，第r＋1项的系数C最大，
即第6项的系数最大．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．关于(a－b)10的说法，正确的是( ABD )
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
[解析]　由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．
10．五个人排成一排，下列说法正确的是( AD )
A．甲不站排头的排法有96种
B．甲不站排头，乙不站排尾的排法有54种
C．甲、乙两人必须相邻的排法有24种
D．甲、乙中间有且只有一人的排法有36种
[解析]　对于A，先排甲，有4种排法，然后排其余4人，有A种排法，故有4A＝96(种)排法；对于B，若甲在排尾，其余四人有A种排法，若甲排在中间三个位置中的一个，而乙不在排尾，则有A×A×A＝54(种)排法，共A＋54＝78(种)排法；对于C，将甲、乙两人看作一个元素，与其他3个元素作全排列有A种排法，然后甲、乙再作全排列有A种排法，故有AA＝48(种)排法；对于D，甲、乙两人有A种排法，从剩下的三人中选一人插入甲、乙中间，有A种，然后再将三人看作一个元素，和其他两个元素作全排列，有A种排法，故共有A·A·A＝36(种)排法．
11．下列结论正确的是( BC )
A．若C＝C，则m＝3
B．若A－A＝12，则n＝6
C．在(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)11的展开式中，含x2的项的系数是220
D．(x－1)8的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大
[解析]　若C＝C，则m＝3m－2或m＋3m－2＝10，解得m＝1或m＝3，故A错误；若A－A＝12，则(n＋1)n－n(n－1)＝12，求得n＝6，故B正确；在(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)11的展开式中，含x2的项的系数是C＋C＋C＋…＋C＝220，故C正确；(x－1)8的展开式中，第4项的二项式系数为C，第5项的二项式系数为C，故只有第5项的二项式系数最大，故D错误．
12．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则下列说法正确的是( ABD )
A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
[解析]　甲随机选择的情况有C＝20(种)，乙随机选择的情况有C＝56(种)，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有CC＝8(种)，故甲选择的三个点构成正三角形的概率为＝，故A正确；甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：①上下两点都选，中间四个点中选一个，共有C＝4(种)；②上下两点中选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有CC＝4(种)；③中间四个点中选三个点，共有C＝4(种)，故共有4＋4＋4＝12(种)，所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为＝，故B正确；正八面体的各面中心是正方体的8个顶点，所以乙选择的三个点构成正三角形，共有8种，所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为＝，故C错误；乙选择的三个点构成等腰直角三角形，共有3×8＝24(种)，概率为＝，甲、乙相似，则甲、乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为×＋×＝，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如果A＝aC，则a的值是_120__.
[解析]　a＝＝＝＝5！＝120.
14．从0,1,2,3,4,5这6个数中每次取3个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有_40__个．
[解析]　先选取3个不同的数，有C种选法；然后把其中最大的数放在百位上，另2个不同的数放在十位和个位上，有A种放法，故共有CA＝40(个)三位数．
15．已知(x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，ai∈R(i＝0,1，…，7)，则a0＝_－128__，a4＝_－280__.
[解析]　令x＝0，可得a0＝(－2)7＝－128；二项式(x－2)7的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r(－2)r，所以a4＝C(－2)3＝－280.
16．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往A，B，C3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是_100__.
[解析]　若甲去B点，则剩余4人，可只去A，C两个点，也可分为3组去A，B，C 3个点．当剩余4人只去A，C两个点时，人员分配为1,3或2,2，此时的分配方法有C·C·A＋·A＝14；当剩余4人分为3组去A，B，C 3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有C·A＝36，综上可得，甲去B点，不同的安排方法数是14＋36＝50.同理，甲去C点，不同的安排方法数也是50，所以，不同的安排方法数是50＋50＝100.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知试求x，n的值．
[解析]　∵C＝C＝C，∴n－x＝2x或x＝2x(舍去)，
∴n＝3x.
由C＝C，得＝·
，
整理得3(x－1)！(n－x＋1)！＝11(x＋1)！(n－x－1)！，3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.
将n＝3x代入，整理得6(2x＋1)＝11(x＋1)，
∴x＝5，n＝3x＝15.
18．(本小题满分12分)已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数指数幂的项的个数．
[解析]　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－kk＝(－1)kn－kCx eq \s\up10(2n－k) (k＝0,1,2，…，n)．
(1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)64C＝.
(3)要使2n－k为整数，即为整数，只需k为偶数．
由于k＝0,1,2,3，…，9,10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
[解析]　(1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有C种；②取3个红球1个白球，有CC种；③取2个红球2个白球，有CC种，故有C＋CC＋CC＝115种．
(2)设取x个红球，y个白球，则
故或或
因此，符合题意的取法共有CC＋CC＋CC＝186种．
20．(本小题满分12分)某兴趣小组有9名学生，若从这9名学生中选取3人，且选取的3人中恰好有一名女生的概率是.
(1)该小组中男、女学生各有多少人？
(2)9名学生站成一列，现要求女生保持相对顺序不变(即女生前后顺序保持不变)重新站队，有多少种重新站队的方法？(要求用数字作答)
(3)9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？(要求用数字作答)
[解析]　(1)设男生有x人，则＝，
即x(x－1)(9－x)＝90，解得x＝6.经检验符合题意，故男生有6人，女生有3人．
(2)由(1)知，男生有6人，女生有3人．
方法一：第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置，共有A＝60 480(种)方法；
第二步：余下的位置让3名女生去站，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择，因此一共有60 480×1－1＝60 479(种)重新站队的方法．
方法二：9名学生站队共有A种站队方法，3名女生有A种站队顺序，因此一共有＝60 480(种)站队方法，所以重新站队的方法有60 480－1＝60 479(种)．
(3)由(1)知，男生有6人，女生有3人，第一步：将6名男生分成3组，每组2人，共有＝15(种)分法；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入她们形成的空中，共有AA＝144(种)站队方法；
第三步：3组男生站队方法共有(A)3＝8(种)，故一共有15×144×8＝17 280(种)站队方法．
21．(本小题满分12分)已知n的展开式的各项二项式系数之和为512.
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解析]　(1)由题意可得各项二项式系数之和为2n＝512，则n＝9.
故通项公式Tr＋1＝C·x9－r·3－r·x－r＝C·3－r·x eq \s\up10(9－)，
由题意可得9－为整数，则r是3的倍数，
因为0≤r≤9，所以r的值为0或3或6或9，
则有理项为T1＝x9，T4＝x5，T7＝x，
T10＝.
(2)设第r＋1项的系数tr＋1最大，因为Tr＋1＝C·3－r·x eq \s\up10(9－)，
所以，＝＝≥1，
＝＝≤1，
解得≤r≤，
因为r为整数，所以r＝2.
故展开式中系数最大的项T3＝C×3－2·x eq \s\up10(9－)＝4x eq \s\up10().
22．(本小题满分12分)0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
[解析]　(1)将所有的三位偶数分为两类：①若个位数为0，则共有A＝12(种)；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(种)．所以共有30个符合题意的三位偶数．
(2)将这些“凹数”分为三类：①若十位数字为0，则共有A＝12(种)；②若十位数字为1，则共有A＝6(种)；③若十位数字为2，则共有A＝2(种)．所以共有20个符合题意的“凹数”．
(3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A·A＝12(种)；②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A·C·A＝8(种)；③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A·C·A＝8(种)．所以共有28个符合题意的五位数．