人教版2023年八年级上册第13章《轴对称》单元检测卷 （含解析）

人教版2023年八年级上册第13章《轴对称》单元检测卷
一、选择题（共30分）
1．下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
4．如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点，使点到点、点的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，是等边三角形，，且，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在中，，，D为线段的垂直平分线与直线的交点，连接，则（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在中，的垂直平分线分别交于点M，P，的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在中，点D为AB边上一点，将沿CD折叠，点A恰好落在BC上的点E处，若，，，则的周长为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
9．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得为等腰三角形的格点C有（　　）个．

A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交、于点、，连接、，下列结论：①；②时，的周长为；③；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（共15分）
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ．
12．在等腰中，有一个内角为，则顶角为 ．
13．如图，是等边三角形，边长为5，和的角平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于D，交AC于E，则的周长是 ．

14．如图，在中，，于点，点、分别是的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分面积为 ．

15．已知等边中，，若点H在线段上运动，取最小值时，的值为 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）已知：如图，在中，，平分，于，交于，，求：的度数．

17．（8分）在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．

(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)直接写出关于x轴对称的的各顶点坐标．
18．（8分）如图，在中，．

(1)作边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，若，的周长为16，求的长．
19．（9分）如图，在中，，，点D在边上运动（D不与B、C重合），连结作，交边于点E．

(1)当等于多少时，，请说明理由；
(2)在点D的运动过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．
20．（9分）已知：如图，等边和等边，连接、交于点O．
(1)求证：；
(2)求的度数．
21．（9分）长方形纸片，点，分别在边，上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，平分，若，求的度数．
22．（12分）如图，的两条高与交于点，，．

(1)求证：；
(2)连结，试说明：是的垂直平分线；
(3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．
23．（12分）等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，，求B点的坐标；
(3)如图3，点，Q、A两点均在x轴上，且．分别以、为腰，第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合；
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2．A
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标的变化规律即可求解．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换——轴对称，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标的变化规律是解题的关键．
3．B
【分析】分两种情况讨论：当腰为4时，，所以不能构成三角形；当腰为9时，，可以构成三角形，再计算三角形的周长即可．
【详解】分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
4．C
【分析】由点到点、点的距离相等可得点在线段的垂直平分线上，由此即可得到答案．
【详解】解：点到点、点的距离相等，
点在线段的垂直平分线上，
故选：C．
【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及尺规作图．
5．A
【分析】根据等边三角形的性质可得：，，从而求出的度数，然后根据已知条件可得：，根据等边对等角和三角形的内角和即可求出，从而求出的度数．
【详解】解：为等边三角形，
，．
，，
，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等边三角形的内角都是和等边对等角是解决此题的关键．
6．B
【分析】由D为线段的垂直平分线与直线的交点可得,可得，可得的度数．
【详解】解：D为线段的垂直平分线与直线的交点，
,
，
，
∴，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
7．B
【分析】在中，分别是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得，又由三角形的内角和定理可得，结合，易求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：在中，分别是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用
8．B
【分析】由折叠得，，求出，然后将转化为进行计算即可．
【详解】解：由折叠得：，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，将转化为是解题的关键．
9．B
【分析】使得为等腰三角形，须分别讨论是以哪个边为腰的等腰三角形，分类讨论．
【详解】解：∵为等腰三角形，
当以为底的时候，没有合适的格点可以使为等腰三角形，
当以为腰的时候，可以分两种情况：
以点A为顶点时，此时有三个格点可以使为等腰三角形，
以点B为顶点时，此时有五个格点可以使为等腰三角形，
如图所示：
所以共有8个格点可以使为等腰三角形，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据题意分类讨论，数形结合．
10．D
【分析】根据轴对称的性质可得，由此可得，再根据等腰三角形的性质可得，当时，则，根据等边三角形的判定与性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，由此可得的周长，根据三角形三边关系可得，最后根据四边形的内角和可得，进而可得，再根据等边对等角可得，由此可得．
【详解】解：∵点P关于直线的对称点为点Q，关于直线的对称点为点T，
∴、分别垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
当时，则，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵、分别垂直平分，点M、N分别在、上，
∴，
∴的周长，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
如图，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在中， ，
∵，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关图形的判定与性质是解决本题的关键．
11．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．或
【分析】根据等腰中，有一个内角为，并没说明此内角是顶角还是底角，故需分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵等腰中，有一个内角为，
∴当为顶角时，其顶角为；
当为底角时，其顶角为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内角和为和等腰三角形等这对等角的性质进行分类讨论是解题的关键．
13．10
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，同理，则由三角形周长公式可得的周长．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴的周长，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，证明，是解题的关键．
14．9
【分析】根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
【详解】解：，，
，
，
，
阴影部分面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用和的面积相等是正确解答本题的关键．
15．4
【分析】过点作于点，连接，利用含30度的直角三角形的性质得到，可得，继而得出当、、三点依次在同直线上时，的值最小，再结合等边三角形的性质得到．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
是等边三角形，，
∴，，
，
，
当、、三点依次在同直线上时，的值最小，
此时，，，
∴，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是找到动点的位置．
16．
【分析】根据条件证明从而得到，根据等腰直角三角形得出．
【详解】解：在中，
∵ ，平分，
∴，即，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
17．(1)画图见解析，
(2)，，
【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标．
【详解】（1）解：如图，为所作，点的坐标为；

（2），，．
【点睛】本题考查了作图轴对称变换：记住关于轴和轴对称的对应点的坐标特征是解决问题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，则的周长，由即可得到的长．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质和作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质和作图是解题的关键．
19．(1)当时，，理由见解析
(2)或
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知，再根据全等三角形的判定即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质分当时当时两种情况，再根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答．
【详解】（1）解：当时，，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，当时，
，
在中，，
，
，，
，
在中，，
，
；
当时，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
；
当时，，
∵，
∴点E与C重合，此时点D与点B重合，不符合题意，舍去，
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，然后求出，利用可证得，从而得出结论；
（2）根据可得，求出，可得，然后利用三角形的内角和定理可得出的度数．
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，在解答第二问时，要注意运用等角代换求出未知角的和，这种思想经常在几何求解中运用．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由折叠的性质得，，，由可求出，进而可求出的度数；
（2）由折叠的性质得，，，可求出，结合可求出，进而可求出的度数．
【详解】（1）由折叠的性质得，，，
，
，
，
（2）由折叠的性质得，，，
∴，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)或4
【分析】（1）证明，即可得到；
（2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线；
（3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解．
【详解】（1）证明：、是高，
，
在与中，
，
；
（2）证明：，，
，
，
、是高，
．
在与中，，
，
，
点在的垂直平分线上．
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线；
（3）解：①如图1，当点在延长线上时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
②如图2，当点在之间时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
综上所述，或4．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（3）问要注意分类讨论．
23．(1)见解析
(2)
(3)不变，9
【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可；
（2）先过点作轴于，再判定，求得，，进而得出，即可得到点的坐标；
（3）先过作，交轴于，再，得出，，然后判定，得出，即可求得（定值）．
【详解】（1）解：如图1，，，
，
；

（2）如图2，过点作轴于，则，

在和中，
，
，
，，
，
又点在第三象限，
；
（3）的长度不会发生改变．
理由：如图3，过作，交轴于，则，

等腰、等腰，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
（定值），
即的长度始终是9．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．