人教A版（2019）必修第一册 1.2集合间的基本关系 同步练习（含解析）

1.2集合间的基本关系同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，若，则的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
2．设集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
3．下列各式中，正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．下列集合中表示同一集合的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
5．下列各结论中，正确的是（ ）
A．是空集 B．是空集
C．与是不同的集合 D．方程的解集是
6．已知集合，，若，则的所有可能取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
7．设集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给出以下几组集合，其中是相等集合的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
11．给出下列四个结论，其中正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．集合是无限集
D．集合的子集共有4个
12．已知集合，且，则实数m的值可以为（ ）
A．1 B． C．2 D．0
三、填空题
13．，，，则实数a的取值集合是 ．
14．已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个.
15．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 .
16．已知集合，若 ，则符合题意的一个集合C为 （写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合，，若，且，则 ．
四、解答题
17．已知集合.
(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;
(3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
18．设是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合的包含集合的任意元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等.
(1)当时，试写出一个三元子集；
(2)当时，证明：.
19．已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？
20．设集合.
(1)判断元素是否属于集合,并说明理由;
(2)设集合,证明:;
(3)设,证明:.
21．集合．
(1)若，存在集合M使得 ，求出这样的集合M；
(2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．
22．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为
(1)对于集合，，若，，则．求证：
(2)若，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解.
【详解】集合，
集合，
因为，所以，解得.
故选：A.
2．A
【分析】根据集合相等的含义求出可得答案.
【详解】因为，，所以，所以.
故选：A.
3．A
【分析】利用集合知识逐个判定即可得出答案.
【详解】利用元素与集合关系，正确，所以①正确；
利用集合与集合关系，可知，，
所以②不正确，③正确；
因为是无理数，所以，故④不正确.
故选：A.
4．C
【分析】根据集合的定义及集合中元素的特性分别判断.
【详解】A选项：与不是同一个点，A选项错误；
B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误；
C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确；
D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误；
故选：C.
5．B
【分析】按照集合的定义逐个判断即可.
【详解】是以0为元素的非空集合，故A错误；
的，无实数根，故B正确；
相同集合的元素顺序可以不同，故C错误；
同一集合不能有相同元素，故D错误.
故选：B.
6．A
【分析】先求出集合，可知，再由，可得集合是集合的子集，根据子集的性质求解便可.
【详解】依题意得： ，所以，
又因为，所以或，解得：或6，
故的所有可能取值组成的集合为：.
故选：A.
7．D
【分析】当时，，进而判断出四个选项的正误.
【详解】当时，，故，，ABC错误，D正确.
故选：D
8．B
【分析】根据集合的表达式，可求出集合是的奇数倍，是的整数倍，即可得出的关系.
【详解】由可知，集合表示的是的奇数倍；
由可知，集合表示的是的整数倍；
即可知是的真子集，即 .
故选：B
9．CD
【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】为点集，为数集，所以，故A错误；
，，所以，故B错误；
，，所以，故C正确；
，，所以，故D正确；
故选：CD
10．BC
【分析】根据集合的性质依次判断即可.
【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；
对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；
对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；
对D，因为，
当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.
故选：BC.
11．BC
【分析】根据已知条件，结合集合的关系、子集的定义等性质和概念，即可求解.
【详解】对于A，集合间不应有属于和不属于的关系，故A错误；
对于B，若为整数，则一定为整数，故B正确；
对于C，有理数有无数个，则集合是无限集，故C正确；
对于D，，即其子集的个数为个，故D错误；
故选：BC.
12．ABD
【分析】若，然后针对是否为空集进行讨论求解即可.
【详解】因为，．
当时，，符合题意；
当时，，所以或，解得或．
所以m的值为或或．
故选：ABD．
13．
【分析】先求得集合，结合一元二次方程的根及包含关系求解即可.
【详解】由题意，，，
当时，，满足，符合题意；
当时，，要使得，则，且.
综上所述，实数a的取值集合是.
故答案为：.
14．31
【分析】根据集合的定义确定集合中可能含有的元素，然后结合子集个数可得..
【详解】由题意1和36同时属于或不属于集合，2和18同时属于或不属于集合，3和12同时属于或不属于集合，4和9同时属于或不属于集合，又6也可以属于或不属于集合，
因此满足题意的集合的个数为，
故答案为：31.
15．
【分析】根据集合相等可得出关于实数、的等式组，解出、的值，即可得出的值.
【详解】由题意可知，，则，所以，，可得，
从而，所以，，且，解得，
因此，.
故答案为：.
16． （答案不唯一，也可以是）
【分析】求出集合，根据集合的包含关系，即可得出答案；根据已知列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，又 ，
所以C是，，中的一个；
显然1是方程与的公共解，且，
则，解得，
所以．
故答案为：；.
17．(1)；；
(2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集；
(3)个子集，个真子集，个非空真子集.
【分析】利用子集、真子集、非空真子集的定义计算即可.
【详解】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为；
（2）由题意可知，
所以其子集为：，共个，
真子集为：，共个，
非空真子集为：，共个；
（3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个，
非空真子集个数为个.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据新定义求解即可；
（2）根据集合的新定义结合反证法证明即可.
【详解】（1）当时，，
取，则满足题意，
（2）当时，，
假设若，则的非空子集有个，
而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾．
假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内
因为任意一个这样的和，且由知：，，，不同时属于
若，则由知，，不同时属于，
由知，，不同时属于，
由知，，不同时属于，
所以此时最大的和不大于
而，则必有两个子集的和相等，矛盾．
若则由知．，不同时属于，
由知，，不同时属于，
由知，，不同时属于，
所以此时最大的和不大于
而，则必有两个子集的和相等，矛盾，
若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和．
而，则必有两个子集的和相等，矛盾．
综上所述，．
【点睛】关键点点睛：本题考查了集合的新定义，考查反证法的应用，解题的关键是正确的对集合新定义的理解，属于难题．
19．(1)0或－1
(2)－1
(3)不存在
【分析】（1）由元素与集合的关系，解方程求a的值并检验；
（2）由元素与集合的关系，解方程求实数x的值并检验；
（3）由元素相同，分类讨论列方程求解.
【详解】（1）由且，可知或，
当时，；当时，.
经检验，0与－1都符合要求.∴或.
（2）由，得或或，∴或或.
但考虑到集合元素的互异性，且，故.
（3）显然，由集合元素的无序性，只可能或.
若，则，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同.
若，则，A包含的元素为0，，，与集合B中元素不相同.
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同.
20．(1);理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）可知当时即可判断;
（2）令,可证明,且,从而证明;
（3）利用反证法证明.
【详解】（1）当时,,故.
（2）对任意,
令,则,
故,
又当时,,
所以.
（3）假设,则存在,
使得,
①若一个为奇数,一个为偶数,
则都为奇数,则为奇数,
与是偶数矛盾;
②若两个数都是奇数或两个数都是偶数,
则都为偶数,则为的倍数,
与矛盾,
故.
21．(1)答案见解析
(2)P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为
【分析】（1）根据真子集的性质进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，结合子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）若，，
因为 ，
所以；
（2）方程的判别式为，
当时，即时，，此时显然P是Q的一个子集，
当时，即时，，此时显然P不是Q的一个子集，
当时，即时，要想P是Q的一个子集，中必有二个元素是集合P中元素，根据一元二次方程根与系数关系，这两个根之和为，显然中没有两个数的和为，所以此时P不可能是Q的一个子集，
综上所述：P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可；
（2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）设，∴，将带入方程等式成立．
∴是方程的解，
∴，∴；
（2）∵，∴有实根，
∴，∴，
∵集合为方程即的根的集合，
由（1）的结论
且集合为方程根的集合，
∴因式分解后必定含有因式，
由多项式的除法：，
∵，
∴无实根或其根为方程的根，
当无实根时，
，解得，
当的根为方程的根时，
①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同；
②当有两相等实根时，即即时，
方程的根为，此根刚好是的根，满足条件．
综上：故的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据集合相等的定义判断出无实根或其根为方程的根.
答案第1页，共2页
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