人教A版（2019）必修第一册 1.3集合间的基本运算 同步练习（含解析）

1.3集合间的基本运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，或，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，，若，则实数的值为（ ）．
A．2 B．1 C． D．
5．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
8．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合，集合，若，则a的取值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
10．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ）

A．已知，则
B．已知或，则或
C．如果，那么
D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
11．如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ）

A． B．
C． D．
12．对任意，记．则下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．若，，则
C．若为所有的正整数，为所有的负整数，则为所有的整数
D．若，，则，或
三、填空题
13．已知集合，，，若，且，则实数的值为 ．
14．中国健儿在杭州亚运会上取得傲人佳绩，获奖多多，为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，石室成飞中学积极开展社团活动，每人都至少报名参加一个社团，高一（1）班参加杜团的学生有人，参加杜团的学生有人，参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，三个社团同时参加的学生有人，那么高一（1）班总共有学生人数为 ．
15．设集合为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①，②若，则，③若，则，则
16．重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ．
17．建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ； ．

四、解答题
18．已知集合，不等式的解集为.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
19．已知集合．
(1)求；
(2)求．
20．已知集合，．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使且？
21．对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合.
(1)若，直接写出集合和；
(2)若，其中，求的值，使得集合中元素的个数最少（直接写出答案，不需要说明理由）；
(3)若和都是自然数，集合时，求出使得成立的所有和的值，并说明理由.
22．已知集合，任取，，定义，其中表示，中的最大值，例如，.
(1)当且时，写出满足的所有元素；
(2)设，满足，求的最大值和最小值；
(3)若的子集满足：，成立，求集合中元素个数的最大值.
23．对非空数集T，给出如下定义，
定义1：若，，当时，，则称T为强和差集；
定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集．
(1)分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由；
(2)若集合是弱和差集，求A；
(3)若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】利用交集的定义即可得解.
【详解】因为集合，，所以，.
故选：C.
2．D
【分析】利用集合的基本关系，交并补运算一一判定即可.
【详解】易知，故A错误；
易知，但，故B错误；
易知，故C错误；
易知.
故选：D
3．B
【分析】利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，或，则.
故选：B.
4．A
【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，且，
所以，则或，
解得或或，
当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，，满足，符合题意.
故选：A
5．A
【分析】先求，再求补集可得答案.
【详解】集合，
则.
故选：A.
6．A
【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合.
【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于，但属于，
所以阴影部分所表示的集合是.
故选：A
7．A
【分析】应用集合的交运算求即可.
【详解】由题设.
故选：A
8．C
【分析】根据集合的补集与交集的概念运算即可.
【详解】全集，集合，
则，所以.
故选：C.
9．ABD
【分析】化简集合，即可根据，分类讨论求解.
【详解】，
由于，所以,
当时，，
当时，则，解得，
当时，则，解得，
综上可知：或或
故选：ABD
10．BCD
【分析】依题意根据的定义可知，可先求出，再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论.
【详解】根据差集定义即为且，
由，可得，所以A错误；
由定义可得即为且，
由或，可知或，即B正确；
若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确；
易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确.
故选：BCD
11．BD
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合但不属于集合，故符合要求，
故选：BD
12．AB
【分析】由集合的交并运算可得.
【详解】选项A，由题意知，，A正确；
选项B，若，，
则，，
由得，
，故B项正确；
选项C，若为所有的正整数，为所有的负整数，
则，则由题意知，，
且，故，故C项错误；
选项D，若，，
则，且，
由题意得，或，故D项错误.
故选：AB.
13．
【分析】根据题意可得，即可将3代入，求得a的值。验证后即可确定答案.
【详解】由题意，且，
可得,
故，解得或，
当时，，不满足；
当时，，符合题意，
故实数的值为，
故答案为：
14．
【分析】根据题意，利用容斥原理结合集合的运算概念和运算方法，即可求解
【详解】由题意，用分别表示参加杜团、参加杜团和参加杜团的学生形成的集合，
则,
,
因此
.
所以高一（1）班总共有学生人数为人.
故答案为：.
15．
【分析】任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为，从而，的是否属于，由是否属于确定，求得的表达式，即可求解.
【详解】任取偶数，将除以2，
若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为，
从而，其中为奇数，，
由题意知，若，则等价于为偶数；
若，则等价于为奇数，
所以是否属于，由是否属于确定，
设是中所有奇数的集合，所以是的子集个数，
当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数为（或），
所以，所以.
故答案为：.
16．
【分析】根据集合的知识求得正确答案.
【详解】设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人，
则，解得.
故答案为：
17．
【分析】根据韦恩图可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值即可.
【详解】由图可知，，解得.
故答案为：；.
18．(1)
(2)或.
【分析】（1）求出集合B，求出A的补集，根据集合的交并补集的运算，即可求得答案；
（2）由推出，讨论A是否为空集，列出相应不等式，求得答案.
【详解】（1）当时，；或，
解得，故，
故；
（2）由得，
当时，；
当时，，
故，解得，
即实数的取值范围为或.
19．(1)
(2)
【分析】根据集合的交并补的运算规则计算即可.
【详解】（1）因为集合，所以 ；
（2）因为，所以，则；
综上，，.
20．(1)；
(2)不存在.
【分析】（1）求出集合A的补集，再利用并集的结果求解即得.
（2）利用（1）的结论，结合交集的结果求得的范围即可.
【详解】（1）集合，则，而，且，
因此，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）由（1）知，
由，得或，解得或，
所以不存在实数a使且成立.
21．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)，或，，理由见解析
【分析】（1）根据题意，集合，利用列举法，即可求得；
（2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解；
（3）根据题意，分、和三种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解.
【详解】（1）由题意，集合，且，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得.
（2）由题意，集合，
对于，其中，
当时，此时中的元素个数最少，
若为奇数，则时，中的元素个数最少；
若为偶数，则或时，中的元素个数最少.
（3）若时，可得，此时，且，所以；
若时，可得，要使得且，
则，即.
若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立.
综上可得：，或，.
【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键在于理解所给新定义，根据所给新定义，创新性解决问题.
22．(1)或
(2)的最大值为，
当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，的最小值为.
(3)
【分析】（1）可以先列出所有可能情况，再按照定义式逐个判断是否满足题意；
（2）对分奇偶性讨论即可；
（3）用反证法说明仅有两种情况满足题意，从而得出结论.
【详解】（1）因为，且，
所以满足的所有元素或；
（2）因为，
所以，，
因为，
所以中有个量的值为 1，个量的值为 0.
于是，
而，满足题意，此时取得最大值，
当为偶数时，
当时，则有个元素均为1、另个元素均为0，于是取得最小值，
这是因为若，则至少有一个元素不同，于是；
当为奇数时， 中为1的元素个数不同，于是，
当只有一个元素不同时，则取得最小值，
这是因为若至少有两个元素不同，；
综上：的最大值为，
当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，的最小值为.
（3），
则，中满足的元素至多有一个，
否则中满足第个分量等于0的元素存在两个，即有，，，
则，，与已知矛盾；
故中可能有的元素分为以下两种情况：
（1）每个分量都是1的，至多存在1个，
（2）某个分量是0的至多各有1个，总计个，
所以，，
当 或时，满足题意且.
故所求最大值为.
23．(1)见解析；
(2)、、；
(3)2个；
【分析】（1）根据强和差集与弱和差集定义进行验证即可判断.
（2）根据弱和差集定义讨论参数取值，进行求解.
（3）根据强和差集定义，以及B的元素个数为12，且，讨论中元素关系，求出条件的集合B.
【详解】（1）由题，根据强和差集定义，当时，
x与y的所有取值可能为 ，，都满足，
所以是强和差集.
，根据弱和差集定义，当时，
x与y的所有取值可能为，，，，
其中时不满足，
所以不是弱和差集.
（2）若集合是弱和差集，则当时，
据题意有，
若，则，当时
继续重复以上步骤，显然矛盾.
所以必有，不妨，则.
当有，
若，此时为弱和差集.
若,此时为弱和差集.
若,此时为弱和差集.
所以或或
（3）因为B为强和差集且，如果B中有其它正数，设其最大值为，
根据强和差集定义得，即集合B有一定的对称性，
当时，，所以.
所以以0，1为对称中心依次列出12元素的集合可得：
与，
另根据定义可验证得一个强和差集的一个倍数也是强和差集，但必须满足，
故满足条件的集合B只有2个.
【点睛】本题属于集合新定义题目，抓住定义分析题目，有理有据讨论即可.
答案第1页，共2页
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